切比雪夫不等式练习题
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2016
1 / 23 切比雪夫不等式练习题
第一章
习题一1.4
证 由切比雪夫不等式及E|?|?0
P?1?P?1?nE|?|?1
故P?P?limP?1。
n?1n
由切比雪夫不等式P?E|?|/n及E|?|??，得
P?P与有相同的n阶自协方差矩阵。 故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k?1，存在非零实向量b?使得 var[Tn?k?1
i?k?{|?|?n})?limP?0。 n?1nbi?k?1]?0。
不妨假设bn?0，则有对任给整数k?1，Xn?k可由Xk,Xk?1,?,Xn?k?1线性表出。
对m?n?1，Xn可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，Xn?1可由X2,X2,?,Xn线性
表出，故Xn?1可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
假设对所有n?m?n?k，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。则对
m?n?k?1，由于Xn?k?1可由Xk?1,Xk?2,?,Xn?k线性表出，由假设，Xn?k?1也可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
根据，，对任何m?n，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，精品文档
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2 / 23 即存在常数a0,a1,?,an?1，使得Xm?a0??aiXn?i,
i?1n?1a.s.。
习题四 .3
解 显然服从二维正态分布，且EXt?EXs?0。
记t?12k?l,s?12m?n,其中0?l?11,0?n?11， 则
Xt12i?l,Xs12j?n，这里?0?0。
i?0j?0km
由于{?t}是正态白噪声WN， 故
当l?n， 即t?s时， ?t,s?cov?0；
当l?n?0，即t?s,t?12k时， ?t,s?cov?min?2?[min2]?； 12
12),t?12k时， 当l?n?0，即t?s?min?
所以
2?]?1)?2。 12t,tt,s?~N， 其中??T,Σ。 ?s,s??t,s??
第二章
习题二
1X2. tt?t?1,Xt??t?a?t?1
习题三
3. 提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A?B时，是AR序列。
习题五 精品文档
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3 / 23 5.提示：利用第一章7.4和第二章定理3.1。
Zt}仍然 {
编号
毕业论文
题 目：切比雪夫不等式的推广及应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 指导教师： 职称： 完成日期：2013年月24日
二○一三 年 五 月
切比雪夫不等式的推广及应用
摘 要 本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.
关键词 切比雪夫不等式;推广;应用;实例. 中图分类号 O211.1
The promotion and application of chebyshev
inequality
Song QiaoguoInstructor Zhu Fuguo
Abstract: Chebyshev inequality is presented in
this paper the three forms of promotion, and use the 精品文档
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4 / 23 chebyshev inequality study random variables into the
probability of a certain area, solving the probability
of inequality, prove chebyshev theorem of large number
and the application of the four aspects, such as special
inequalities.
Abstract: chebyshev
inequality;Promotion;Applications;The instance
1 引言
概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃. 对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常
有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅精品文档
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5 / 23 能加深对切比雪夫不等式的理解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.
预备知识
定义1?1? 若随机变量X有数学期望E?X?和方差D?X?,则对于任意的正数??0, 总有:
P?X?E??
定义2
?2?
??
D
?
2
.
如果函数f和g对于一切x1,x2均成立
f2)gg)f)与0g成似序；,与g成反序.
定义3?3? 设连续型随机变量X的概率密度函数为f,若积分?敛,则称?
??
??
xfdx收
xfdx为X的数学期望,则D?E?E2为X的方差. 精品文档
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6 / 23 主要结论及证明
定理1?2? 切比雪夫不等式积分形式
如果连续函数f与g在区间?a,b?上成似序,则成立如下不等式
?
b
a
fdx?gdx??fgdx
a
a
bb
相反,如果f与g成反序,则不等号反向.
证明 引入辅助函数
F??fgdx??fdx?gdx,
a
a
a
t
t
t
F求导得
F’??fgdx?fg?f?gdx?g?fdx 精品文档
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a
a
ttt
fg?fg?fg?gf?dx
at
t
f?f)??g?g?dx.
a
由于f与与g在区间?a,b?上成似序,故有
?f?f??g?g??0,
于是F’?0,因此F在?a,b?上单调递增, 又F?0,?F?0,即
?fgdx??fdx?gdx?0,
a
a
a
b
b
b
??fdx?gdx??fgdx.
a 精品文档
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a
bbb
同理反序成立.
定理2?4? 切比雪夫不等式有限形式
若l?和m?是两个实序列,且满l1?l2ln,
m1?m2mn,或l1?l2ln,m1?m2mn,则成立如下不等式
1n1n1n
limi?. ?ni?1ni?1ni?1
证明 设l1,l2,?,ln,m1,m2,?,mn为两个有相同次序的序列,有排序不等式得
l1m1?l2m2??lnmn?l1m1?l2m2lnmn,
l1m1?l2m2??lnmn?l1m2?l2m3lnm1,
l1m1?l2m2??lnmn?l1m3?l2m4lnm2,
??
l1m1?l2m2??lnmn?l1mn?l2m1lnmn?1,
将这n个式子相加得到
n?limi?,
i?1
i?1
i?1 精品文档
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n
n
不等式两边同时除以n2,得
1n1n1n
limi?. ?ni?1ni?1ni?1
定理3
?4?
设a?,b??R,?i?0,则当
a1?a2an,b1?b2bn或者a1?a2an,b1?b2bn时,有如下不等
式成立
i?1
i?1
i?1
i?1
当a1?a2an,b1?b2bn或者a1?a2an,b1?b2bn时,也有如下不等式成立
i?1
i?1 精品文档
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10 / 23 i?1
i?1
并且当?i?0,对于任意的i?1,2,?,n时,则,中等式成立的条件是
a1?a2an或b1?b2bn.
证明 先证明成立.
i?1
i?1
i?1
i?1
kkkk
用数学归纳法
k?1时
1?
则不等式成立.
假设k?n时
i?1
i?1
i?1
