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考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析
在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位2016考研的朋友和其它学习的同学参考。
一、切比雪夫不等式的分析证明
从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间
内取值的概率基本都是约90%。
以上分析希望对大家理解和应用切比雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。
二项分布切比雪夫不等式
二项分布的切比雪夫不等式是指对于任意一个服从二项分布的随机变量X，其概率分布为B(n,p)，其均值为μ=np，方差为σ^2=np(1-p)，则对于任意一个正数ε，有以下不等式成立：
P(|X-μ|≥ε)≤σ^2/ε^2
其中，P(|X-μ|≥ε)表示随机变量X偏离均值μ超过ε的概率，σ^2表示X的方差。
这个不等式的含义是，对于任意一个二项分布，无论其具体参数是多少，只要给定一个正数ε，那么随机变量X偏离均值μ超过ε的概率都不会超过方差σ^2与ε^2之比。
也可以说，大多数的二项分布随机变量都会在均值附近波动，偏离均值的部分概率会随着偏离的增加而逐渐减小。
切比雪夫不等式应用示例 ， 证：只证X 为连续型随机变量的情况
设ƒ(χ)为X 的概率密度，则有
例1 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数，并且λξηe =（0>λ），若ηE 存在，求证
对于任何实数a 都有λξλξEe e a P a ⋅≤≥-}{
证明：可用切贝晓夫不等式来证.
令y a ξ=-，则y 的取值是任意的.
因为e λξ的期望存在，所以()a e λξ-的期望存在，即y e λ存在.
当a ξ≥即0y a ξ=-≥时： 1y e
λ> 从而1y Ee λ>
所以()0y P a Ee λξ-≥≤
整理即得：()a P a e Ee λλξξ-≥≤⋅
例 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，
试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。
解: 令X 表示夜晚同时开着灯的数目，X~B(10000,0.7)
可用切贝晓夫不等式进行估计此概率。
切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来估计一个随机变量与其均值之间的差距。
下面是切比雪夫不等式的证明：假设X是一个随机变量，其均值为μ，方差为σ²（方差的定义为Var(X) = E[(X-μ)²]）。
对于任意大于0的实数k，我们希望证明以下不等式成立：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²首先，我们定义一个新的随机变量Y，表示X与其均值之间的差距的绝对值：Y = |X-μ|。
根据Y的定义，我们可以得到：Y²= (X-μ)²由于Y²始终大于或等于0，我们可以对Y²应用马尔可夫不等式（Markov's inequality），得到：P(Y²≥k²σ²) ≤E(Y²) / (k²σ²)接下来，我们计算Y²的期望（E(Y²)）：E(Y²) = E((X-μ)²) = Var(X) = σ²将E(Y²)代入不等式中，得到：P(Y²≥k²σ²) ≤σ²/ (k²σ²)化简后可得：P(Y²≥k²σ²) ≤1/k²由于Y²与|X-μ|²是等价的，我们可以将不等式中的Y²替换为|X-μ|²：P(|X-μ|²≥k²σ²) ≤1/k²最后，我们注意到，对于任意实数a和b，若a²≥b²，则|a| ≥|b|。
因此，我们可以将不等式中的|X-μ|²替换为|X-μ|，得到最终形式的切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥kσ) ≤1/k²这就完成了切比雪夫不等式的证明。
需要注意的是，切比雪夫不等式并没有给出具体的概率估计，它只给出了一个上界。
切⽐雪夫不等式的证明
定理4.4 (切⽐雪夫不等式) 设随机变量 X 的期望和⽅差均存在，则对任意 ε>0，有
P (|X −WX |≥ε)≤DX
ε
2
等价形式为
P (|X −WX |<ε)≥1−DX
ε
2
证明 令
Y =
1ω∈{|X −EX |≥ε},0其他,
则 Y ≤
(X −EX )2
ε2
，根据期望的性质，有
P (|X −WX |≥ε)=EY ≤E
(X −EX )2
ε2
=DX ε2
.
以上是书本上的证明，我初读不理解，故在⽹上查阅其他形式的证明辅助理解，有效，如下：
命题 设随机变量具有数学期望 E (X )=µ，⽅差 D (X )=σ2，则对任意的正数 ε 有 P {|X −µ|≥ε}≤σ2
ε2 或 P {|X −µ|≤ε}≥1−σ2
ε
2
证明过程：
1. X 为连续型则有
P {|X −µ|>ε}=∫|X −µ|≥εf (x )dx ≤∫+∞
−∞
(x −µ)2
ε2
f (x )dx =σ2
ε
2
2. X 为离散型则有
P {|X −µ|≥ε}=∑k ∈|X −µ|≥εP k ≤∞
∑
k =1
(x −µ)2ε2
P k =σ2
ε
2
注：上⾯的离散型证明中的第⼀个求和符号下⾯的 k 后⾯的符号不确定是否是 ∈，原图有些不清晰，以后有时间会求证.参考：
{
[
]
Processing math: 100%。
切比雪夫不等式1. 引言切比雪夫不等式是概率论与数理统计中非常重要的一条不等式，其形式是针对一个随机变量的界的一种刻画方法。
切比雪夫不等式给出了一个随机变量偏离其期望值的可能性的上界。
切比雪夫不等式的应用广泛，在概率论、数理统计和机器学习等领域都有重要作用。
2. 定理表述设X是一个随机变量，其期望值E(X)存在，则对于任意正数ε，有P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) / ε^2其中Var(X)表示X的方差。
3. 证明思路证明切比雪夫不等式需要使用马尔可夫不等式。
马尔可夫不等式表明，对于一个非负的随机变量Y和任意正数η，有P(Y ≥ η) ≤ E(Y) / η在切比雪夫不等式的证明中，我们将马尔可夫不等式应用于随机变量(Y = (X - E(X))2)，并分别取η为ε2和η为Var(X)。
4. 证明过程首先，根据马尔可夫不等式，对于任意正数η，有P(Y ≥ η) ≤ E(Y) / η将Y代入，有P((X - E(X))^2 ≥ η) ≤ E((X - E(X))^2) / η由于方差Var(X) = E((X - E(X))^2)，所以上式可以改写为P((X - E(X))^2 ≥ η) ≤ Var(X) / η令η = ε^2，可以得到P((X - E(X))^2 ≥ ε^2) ≤ Var(X) / ε^2由于(X - E(X))^2 ≥ ε^2等价于|X - E(X)| ≥ ε，所以上式可以改写为P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) / ε^2证毕。
5. 应用示例切比雪夫不等式可以用来估计随机变量偏离其期望值的可能性的上界。
例如，假设我们有一个服从正态分布的随机变量X，其期望值为0，方差为1。
我们可以使用切比雪夫不等式来估计X大于等于2的概率的上界。
根据切比雪夫不等式，我们有：P(|X - 0| ≥ 2) ≤ Var(X) / 2^2 = 1 / 4因此，X大于等于2的概率的上界为1/4。
切比雪夫不等式证明(精选多篇)第一篇：切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。
分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且~xb(1000,1/2).因此500211000=×==npex,250)2答题完毕，祝你开心!11(211000)1(=××==pnpdx,而所求的概率为}500600500400{}600400{}100{975.010012=≥dx.二、切比雪夫(chebyshev)不等式对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,恒有p{|x-ex|>=ε}=1-dx/ε切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}越小，p{|x-ex|同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。
需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k 。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16……与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。
