经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

第八讲 几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证 解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个 当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。

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分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且~xb(1000,1/2).因此500211000=×==npex,250)2答题完毕，祝你开心!11(211000)1(=××==pnpdx,而所求的概率为}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=exxp}100{<=exxp975.010012=≥dx.二、切比雪夫(chebyshev)不等式对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2或p{|x-ex|<ε}>=1-dx/ε^2切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是说，随机变量x取值基本上集中在ex附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。

需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k^2。

常用不等式及其证明方法不等式作为数学中重要的概念，广泛应用在数学推理、优化问题以及各个领域的研究中。

在本文中，我们将介绍一些常用的不等式及其证明方法，帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、基本不等式1. 平均不等式平均不等式是最基本的不等式之一。

对于任意非负实数$a_1, a_2,\ldots, a_n$，其算术平均和几何平均的大小关系如下：\[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot\ldots \cdot a_n} \]2. 柯西-施瓦兹不等式柯西-施瓦兹不等式是数学分析中常用的不等式之一。

对于实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，其平方和满足以下不等式：\[ (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2)\geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \]3. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式用于描述非负随机变量的概率分布。

对于非负随机变量$X$和任意大于$0$的实数$a$，其概率满足以下不等式：\[ P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a} \]二、常用不等式1. 幂平均不等式幂平均不等式是数学分析中常用的不等式之一。

对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和实数$p$，定义$p$次幂平均如下：\[ M_p = \left(\frac{a_1^p + a_2^p + \ldots +a_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}} \]当$p > q$时，有$M_p \geq M_q$。

2. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中常用的不等式之一，用于度量随机变量偏离其期望值的程度。

初等不等式证明一、基本不等式及应用基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式，它常被当作定理，用于证明其他一些不等式.基本不等式在许多不等式专著中都作过介绍.这里给出几个常用的基本不等式. 1. 平均值不等式设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，记12111n nn H a a a =++⋅⋅⋅+，n G =12n n a a a A n ++⋅⋅⋅+=，n Q =， 分别称n n n n H G A Q 、、、为这n 个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均，则有n n n n H G A Q ≤≤≤， 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.2. 柯西（Cauchy ）不等式 设,(1,2,,)i i a b R i n ∈=⋅⋅⋅，则 222111()()()nn ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，当数组12,,,n a a a ⋅⋅⋅；12,,,n b b b ⋅⋅⋅不全为零时，当且仅当(1,2,,,0)i i b a i n λλ==⋅⋅⋅≠时取等号.3. 排序不等式设两组实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅；12,,,n b b b ⋅⋅⋅，满足12n a a a ≤≤⋅⋅⋅≤，12n b b b ≤≤⋅⋅⋅≤，则 有1211n n n a b a b a b -++⋅⋅⋅+ （反序和） 1212n i i n i a b a b a b ≤++⋅⋅⋅+ （乱序和） 1122n n a b a b a b ≤++⋅⋅⋅+ （同序和）当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=，或12n b b b ==⋅⋅⋅=时取等号.4. 琴生（Jensen ）不等式设连续函数()f x 的定义域为(,)a b ，如果对于(,)a b 内的任意两个数12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤， 则称()f x 为(,)a b 上的凸函数.若上式不等式反号，则称()f x 为(,)a b 上的凹函数.若()f x 为(,)a b 上的凸函数，则对于任意12,,,(,)n x x x a b ⋅⋅⋅∈有12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+，当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时取等号.若为(,)a b 上的凹函数，则对于任意12,,,(,)n x x x a b ⋅⋅⋅∈有 12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+，当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时取等号.5. 贝努利（Bernoulli ）不等式 设1x >-，若0α<，或1α>-，则 (1)1x x αα+≥+. 若01α<<，则(1)1x x αα+≤+.当且仅当0x =时，以上两式均取等号. 6. 赫尔德（H ǒlder ）不等式设,,,(1,2,,)i i i a b l R i n +⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，又,,,R αβλ+⋅⋅⋅∈，且1αβλ++⋅⋅⋅+=，则有1111()()()nn n nii i i i i i i i i ab l a b l αβλαβλ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑，.当且仅当111(1,2,,)kkknnni i ii i i a b l k n a b l=====⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∑∑∑时取等号.特别当1nαβλ==⋅⋅⋅==时，有 11111[()]()()()nn n nnn i iii i i i i i i a b l a b l ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑.7. 切比雪夫(Chebyshev)不等式设两组实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅；12,,,n b b b ⋅⋅⋅，若满足12n a a a ≤≤⋅⋅⋅≤，12n b b b ≤≤⋅⋅⋅≤或12n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，12n b b b ≥≥⋅⋅⋅≥，则有111111()()n n ni i i i i i i a b a b n n n ===≥∑∑∑.若满足12n a a a ≤≤⋅⋅⋅≤，12n b b b ≥≥⋅⋅⋅≥，或12n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，12n b b b ≤≤⋅⋅⋅≤， 则有111111()()n n ni i i i i i i a b a b n n n ===≤∑∑∑.当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=，或12n b b b ==⋅⋅⋅=时以上两式均取等号.8. 加权幂平均不等式设,(1,2,,)i i a p R i n +∈=⋅⋅⋅，,r s R ∈，且r s <，则111111nnrsrsi i i i i i nn i i i i p a p a p p ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≤⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑， 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号. 9. 其他（1）设,,,,,x y z R αβγ∈，且(21)k αβγπ++=+（k Z ∈），则 i ） 2221cos cos cos ()2yz zx xy x y z αβγ++≤++ 当且仅当sin sin sin yz zx xy αβγ==时取等号.ii ） 22221sin sin sin ()4yz zx xy x y z αβγ++≤++， 当且仅当sin 2sin 2sin 2yz zx xy αβγ==时取等号. （2） 设,,1,2,,,ij x R i j n ∈=⋅⋅⋅则1n i =≥，当且仅当123::::i i i ni x x x x λ⋅⋅⋅=（常数），1,2,3,,i n =⋅⋅⋅时取等号.（3）设,,,,i i i i x y z l R -⋅⋅⋅∈，22220i i i i x y z l ---⋅⋅⋅-≥，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，则1ni =≤当且仅当::::i i i i x y z l λ⋅⋅⋅=（常数），1,2,3,,i n =⋅⋅⋅时取等号.（4）两个有用定理定理1 设,,u v R λ+∈，记1s u v λ=++，2s uv v u λλ=++，3s uv λ=，x =，y =i ） 23()61(xy xy xy +---(1)(2)3283()61(x xy xy xy ≤≤+-+-ii ）23()61(xy xy xy +---(3)(4)3283()61(y xy xy xy ≤≤+-+-.当且仅当,,u v λ中有两个数相等且不小于第三个数时，（1）、（4）两式取等号；当且仅当,,u v λ中有两个数相等，且不大于第三个数时，（2）、（3）两式取等号.推论1 同定理1条件，有(5)(6)324(1)4(1)164129()219595xy xy xy x xy xy xy xy ---+≤≤++---；(7)(8)324(1)4(1)164129()219595xy xy xy y xy xy xy xy ---+≤≤++---当且仅当u v λ==时，（5）、（6）、（7）、（8）四式取等号.推论2 同定理1条件，有x ≤≤3(11)(12)12728972x y x x-+++≤≤，当且仅当u v λ==时，（9）、（10）、（11）、（12）四式均取等号.定理2 设,,u v R λ∈，记1s u v λ=++，2s uv v u λλ=++，3s uv λ=，w =（10w s ≤≤），则32322323(13)(14)11111111332(2)()(2)()3227272727s s w w s w s w s w s w s s w w s ---++--+=≤≤=，当且仅当,,u v λ中有两个数相等，且不小于113s 时，（13）式取等号；当且仅当,,u v λ中有两个数相等，且不大于113s 时，（14）式取等号. 推论3 同定理2条件，特别当11s =时，有232223(15)(16)132(12)(1)(12)(1)132********w w w w w w w w uv λ---++--+=≤≤=，当且仅当,,u v λ中有两个数相等，且不小于13时，（15）式取等号；当且仅当,,u v λ中有两个数相等，且不大于13时，（16）式取等号. 注：在应用定理2与其推论3时，要特别注意120w -≤的情况，有时要对120w -≤和120w -≥分别加以讨论，尤其在0u λν≥时的情况.（一） 算术几何平均值不等式应用例子 例1 已知 ,1,2,i a R i +∈=…,n, 且11nii a==∑，求证()()()()3122311*********n n n n a a a a a a a a n -++⋅⋅⋅++≥+++++ （1） 当且仅当 121n a a a n==⋅⋅⋅==时，（1）式取等号.例2 （20XX 年全国十八所奥赛协作体学校试题）设 ,,,a b c R +∈且 1bc ca ab ++=，求证1abc≤ （2） 提示 由1bc =≥∑知，可证更强式（3）⇔3 （※）例3 （2005，第17届亚太地区数学奥林匹克）设 ,,,x y z R +∈且 8xyz =，则243≥（4） 当且仅当2x y z ===时，（4）式取等号.注：由本题证明中可知，若将条件改为12yz zx xy ++≥，结论也成立.例4 （自创题，2006.12.17） 设,,a b c R +∈，则> （5）例 5 （自创题，1988.10.13）设同一平面上两个凸四边形的边长分别为,,,a b c d 和,,,a b c d ''''，面积分别为∆和'∆，那么aa bb cc dd ''''+++≥ （6） 当且仅当这两个凸四边形都内接于圆（不一定要同一个圆），且 ()()()s a s a s b ''--=-⋅()()()()()s b s c s c s d s d ''''''-=--=--时，（6）式取等号. 这里1()2s a b c d =+++，1()2s a b c d '''''=+++.附： 凸四边形ABCD 四边长分别为AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，当且仅当此四边形ABCD 内接于圆时，其面积最大，最大值为max ()ABCD S =（7）例6 （自创题，2006.12.26）设,,,a b c d R -∈，则32222()4[()()()()]a a c d b d a c a b d b c ≥+++++++∑ （8）当且仅当a c =，b d =时，（8）式取等号.例7 设,,x y z R -∈，求证 25()81x xyz x ≥⋅∑∑ （9）当且仅当x y z ==时，（9）式取等号.（二） 柯西不等式应用例子 例1 设,i i x y R ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅，且10nii x=≥∑，10ni i y =≥∑，10i j i j nx x ≤<≤≥∑，10i j i j ny y ≤<≤≥∑，1ni i x x ==∑，则1()niii x x y=-≥∑ （1）yxdc baDCBA当且仅当1212n nx x x y y y ==⋅⋅⋅= 时，（1）式取等号. 在（1）式中，当3n =时，被人们称之为“母不等式”.即以下 命题1：设123123,,,,,x x x y y y R ∈，且10x≥∑，10y ≥∑，120x x ≥∑，120y y ≥∑，则231()xx y +≥∑ （2）当且仅当312123x x x y y y ==时，（2）式取等号. 命题1应用如下：1.（匹多不等式）ABC ∆与'''A B C ∆边长分别为,,a b c 和,,a b c '''，面积分别为∆与'∆，则2222()16ab c a ''-++≥∆∆∑ （3） 当且仅当ABCA B C '''∆∆时，（3）式取等号. 提示：取222x a b c =-++,2222x a b c ''''=-++等，并应用三角形面积公式.2.（程灵提出）若ABC ∆与A B C '''∆边长分别为,,a b c 和,,a b c '''，面积分别为∆与'∆，则()a b c a '-++≥∑ （4）当且仅当ABC ∆与'''A B C ∆均为正三角形时，（4）式取等号.提示：在（2）中取1x a b c '''=-++，1y a b c =-++等，并应用到22bc a-∑∑≥.3.（安振平提出）若ABC ∆与A B C '''∆边长分别为,,a b c 和,,a b c '''，面积分别为∆与'∆，则2()()16a b c a b c a ''-++-≥∆∆∑ （5）当且仅当222()()()a b c a a b c b a b c c a b c '''==-++-++-时，（5）式取等号.提示：在（2）中取2221x a b c '''=-++，1()()y a b c a b c =-++-等.4.（自创题，1983.05.07）若ABC ∆与A B C '''∆边长分别为,,a b c 和,,a b c '''，面积分别为∆与'∆，则()()()16a a b c a b c a b c '''''''-++-++-≥∆∆∑ （6）当且仅当ABCA B C '''∆∆时，（6）式取等号.提示：在（2）中取1()()x a b c a b c =-++-，1()()y a b c a b c ''''''=-++-等. 以上（3）式与（6）式有相同的取等号条件，试讨论他们左边式子的大小.5. 设ABC ∆三边长为,,BC a CA b AB c ===，面积为∆，P 为ABC ∆内部或边界上一点，从P 分别向三边BC 、CA 、AB 所在直线作垂线，垂足分别为D 、E 、F ，记1PD r =，2PE r =，3PF r =，则223242r r bc a∆≤-∑∑∑. （7） 提示：12342()()ar a b c r r ∆==-+++∑∑≥≥.我们还可以由（2）式得到或证明更多不等式.又如第六章，“三角几何不等式”中的例6、例22等.注：类似上述方法，应用赫尔德不等式，有 命题 设x ,,i i i y z R -∈，1,2,3i =，则123123123111222333()()()()x x x y y y z z z x y z x y z x y z ++++++-++≥.（8）例2 （自创题，1988，0.4.20）设,,,,x y z w R λ∈，且0,0xy zw >>，2λ≤，则≤（9）=时，（9）式取等号.注：（9）式可参阅由吴康主编的《奥赛金牌之路》（高中数学）“第一章 §6 三角不等式”（P81—P90），本节系杨学枝所写.利用同上证法可得以下命题（自创题）：设,,,x y z w R +∈，(21)k αβγθπ+++=+ ()k z ∈，则sin sin sin sin x y z w αβγθ+++≤（10）当且仅当，cos cos cos cos x y z w αβγθ=== 时，（9）式取等号.（10）式为笔者首创，可参见同上吴康主编的《奥赛金牌之路》（高中数学）P82. 本命题在《中等数学》杂志社组织的数学竞赛命题评奖中，获一等奖.本命题也可参见《中等数学》，1989年第二期，杨学枝文：《对一个三角不等式的再探讨》.例3 a ,i i b R ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅，则1112nnni i i i i i i a b a b n ===≥∑∑∑. （11） 注：（11）式是一个值得关注的不等式，如取3n =时，可证20XX 年中国国家队培训题：,,,,,a b c x y z R ∈，满足()()3a b c x y z ++++=，222222()()4a b c x y z ++++=，求证0ax by cz ++≥.例4 设a,,b c R +∈，且3a b c ++=，则2232a ab ≥+∑. （12）例5 （20XX 年.IMO.46）已知x,y,z ∈R +,且 1xyz ≥，求证525220x x x y z-≥++∑ （13）例6 （20XX 年IMO 预选题）设(1,2,,)i x R i n ∈=⋅⋅⋅,求证1222222211212111n nx x x x x x x x x ++⋅⋅⋅+<++++++⋅⋅⋅+（14）例7 a,b,c 为正数，证明22224()a b c a b a b c b c a a b c-++≥+++++， （15） 当且仅当a c b >>，且a b c a c a b c b==---，即a c b >>且3322b c b c +=时，（15）式取等号.例8 （20XX 年国家集训队测试题）设,,,x y z R -∈且1x y z ++=，求证+≤ （16）例9 （自创题，1987.07.20） 设 ,,,x y z w R +∈，则 ()2918x x x xy xz xw yz yw zw +⋅≥+++++∑∑∑ （17）当且仅当 x y z w === 时，（17）式取等号.注：（17）式可推广为：设 ,1,2,,i x R i n +∈=⋅⋅⋅，则111n ni i i i x x ==⋅≥∑∑()()2212112n i i i ji j jn x n n x x =≤<≤⎛⎫- ⎪⎝⎭--∑∑ （18） 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时,(18)式取等号.若记11ni i s x ==∑，21i j i j ns x x ≤<≤=∑，12n n s x x x =⋅⋅⋅，111n n s s x -=∑，则（18）式可写成如下形式：22212121(2)(1)n n n s s s n n s s n s s -+-≥-.例10 (陈计，2008.08.29提供)对正数,,,a b c d 及0k ≥，有 41a b c d b kd c ka d kb a kc k+++≥+++++. （19）例11 （自创题，2010.11,09）设,,x y z R +∈，求证322x x xy y ≥++∑ （20） 当且仅当1x y z ===时（20）式取等号.注：猜想 设,,x y z R +∈，有322x x xy y ≥++∑322x x xy y≥++∑.例12 设,,,..a b c x y z 非负，且a b c x y z ++=++，则()()()3()ax a x by b y cz c z abc xyz +++++≥+. （21）例13 （第50届IMO 金牌得主林博提出的猜想）设,,0a b c ≥，求证2a ≤∑∑. （22）例14（自创题，2001.02.02）设,,x y z R +∈,且4yz zx xy xyz +++≤，则x y z yz zx xy ++≥++. （23） 注：1.用类似方法，可证以下命题 设,,p q r R -∈，,,x y z R ∈，且14p q r pqr +++≤，则222px qy rz yz zx xy ++≥++. （24） 2. 第48届国际数学奥林匹克中国国家集训队有一道测试题（20XX 年3月）与其相似.题目 设正实数,,u v w满足4u v w ++=，求证u v w ++. （25）x =y =z =，则原命题等价于：,,x y z R +∈，且4yz zx xy xyz +++=，则x y z yz zx xy ++≥++ ① 式证明可见《数学奥林匹克不等式研究》第八章章练习题64中i ）.例15（第48届IMO 中国国家集训队测试题）设正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，满足12a a +1n a +⋅⋅⋅+=，求证1212231222223311()()1n n a a a na a a a a a a a a a a a n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++++ （26）例16 已知221,a b kab +-= 221c d kcd +-=，,,,,a b c d k R ∈，且 2k <，求证ac bd -≤（27）当且仅当()()()()22a b c d k k a b c d ---=+++，即bc ad k ac bd +=+时，（27）式取等号.例17. （20XX 年IMO 预选题）设(1,2,,)i x R i n ∈=⋅⋅⋅,求证1222222211212111n nx x x x x x x x x ++⋅⋅⋅+<++++++⋅⋅⋅+（28）3. 其他基本不等式应用例子 例1 设,,x y z R -∈，则4+≤(1)()2x y z ≤++，例2 （自创题，2010.07.03） 若,,a b c 为满足1a b c ++=的正数，19λ≥，则 31()()()(3)3a b c b c a λλλλ+++≥+， （3）推广式，即有以下命题 若12,,,n a a a ⋅⋅⋅为满足11ni i a ==∑的正数，21n λ≥，则 122311()()()()n n a a a n a a a nλλλλ++⋅⋅⋅+≥+， （4） 当且仅当121n a a a n==⋅⋅⋅==时，（4）式取等号.例3 （自创题，2010.07.03）若,,a b c 为满足1abc ≥的正数，23λ≥，则)a b c ≤++， （5）当且仅当1a b c ===时，（5）式取等号.推广式以下命题 若12,,,n a a a ⋅⋅⋅为满足121n a a a ⋅⋅⋅≥的正数，11nλ≥-，则11nni i i a ==≤， （6）当且仅当121n a a a ==⋅⋅⋅==时，（6）式取等号.例4（《不等式研究网站》，“竞赛不等式”专栏，20XX 年1月6日，陈胜利老师提出） 设,,0a b c >，且1abc =，求证2112()3a a ≥+-∑ （7）例5 （王雍熙，2011.08.22提供）设,,a b c R -∈，且2a a ≥∑∑，则31aabc bc +≥+∑∑. （8）本题可推广，见以下例6.例6（自创题，2011.08.22）设i a R -∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅，2n ≥，记i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）中每k （1,2,,k n =⋅⋅⋅）,个乘积之和为k s ，m 为不大于n 的正整数，且211n ni ii i a a==≥∑∑，则11352411+s 1nn n n ii n n s n s n as s s s n sn --=-⎧⎧++≥+++⋅⋅⋅+⎨⎨⎩⎩∑（为奇数）（为奇数）（为偶数）（为偶数）， （9）二、其他方法证明不等式例子例1 （自创题，2006.08.25）设,,x y z R -∈，且2222x y z xyz +++1≤，则 142xyz yz +≥∑， （1）当且仅当12x y z ===，或,,x y z中一个为零，另外二个均等于2时，（1）式取等号.例2（20XX 年全国高中数学联赛A 卷加试题3）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅满足1,1,2,,k a k n ≤=⋅⋅⋅，记12,1,2,,kk a a a A k n k++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅.求证： 1112nnk k k k n a A ==--<∑∑. （2）例 3 已知123123a a a b b b ++=++，122331122331a a a a a a a a a a a a ++=++，若123123min{,,}min{,,}a a a b b b ≤，求证： 123123max{,,}max{,,}a a a b b b ≤.注. 本例可推广.例4 （自创题，2007.12.28）设,,a b c R +∈，且1bc =∑，则21142a bc ≥-+∑， （3）当且仅当a b c ===时取等号.例5 （宋庆老师在《中学数学研究》（广东），20XX 年第1期，文“两个优美的无理不等式”中提出的猜想） 若,,0a b c >，满足1a b c ===，则≥（4）例6 .(20XX 年，Serbian 数学奥林匹克试题) 已知,,a b c 是正数,且1a b c ++=，证明127131bc a a≤++∑. （5）例7（陈计，2008.05.04提供）设,,a b c R ∈，n N ∈，则 2[()()]4[()][()]n n n b c b c b c bc b c +-≥--∑∑∑. （6）例8 （自创题，2008.05.07）设,,a b c R -∈，求使22222233()()()(2)()b c bc c a ca a b ab abc a b c λλλλ++++++≥+++ 成立的最大正数λ的值.例9 (自创题，2008.08.30)设1122,,,a b a b R ∈，且222221122a b a b m -=-=，则2212211122211221122()()()()()4()()a b a b m a b a b a b a b m a b a b ++-+++≥++-++， （7） 当且仅当22211a b m -=，12a a =，12b b =时，（7）式取等号.例10 （江苏高三学生顾振同学2010.08.06提供）设,,x y z R -∈，且2221x y z ++=，则411x yzx xyz≤--∑∑∑ ， （8）当且仅当3x y z ===，或,,x y z中，有一个为零，其余两个都等于2时，（8）式取等号.例11 （自创题，2005.12.04）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则3)5)1080abc abc bc -+≥∑ （9）当且仅当13a b c ===，或,,a b c中有一个等于33-，另外两个都等于6时，（9）式取等号.例12（自创题，2007.09.18）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则271481abc a-≤∑ （10）当且仅当13a b c ===，或,,a b c 中一个等于23，其余两个都等于16时，（10）式取等号.例13 （美国，Pham Kim Hung ）设,,a b c 是三角形三边长，则222a b a b a≥+∑∑∑， (11) 当且仅当ABC ∆为正三角形时,(11)式取等号.例14 “奥数之家”2010.03.31，“476934847”提出： 设,,a b c R +∈，则22222()3a b c a c b c a a b c -++≥+++. （12）例15 假设P 、Q 、R 分别是ABC 的三边BC 、CA 、AB 上三点，且满足13AQ AR BR BP CP CQ +=+=+=，则12PQ QR RP ++≥（13）注：1. 关于本题，有其深刻的背景，可参阅杨之所著《初等数学研究的问题和课题》P297~298；或参阅《数学通讯》1991年第2期“问题征解”栏目杨学枝解答及编者评语；或参阅《中学数学教学参考》（陕西），1992年第6期，杨学枝文《一个几何不等式的再加强》；或参阅《数学通讯》1996年第10期，杨学枝文《从一道命题谈起》：也可以参阅杨学枝主编《不等式研究》(西藏人民出版社，2000年6月出版)一书中杨路教授写的“序”；还可以参阅杨学枝著《数学奥林匹克不等式研究》(哈尔滨工业大学出版社，20XX 年8月出版)一书中杨路教授写的“序”；还可以参见《UNIV, BEOGRAD. PUBL. ELEKTKOTEHN.FAKser. Mat.4(1993).25~27.陈计与杨学枝文:《ON A ZIRAKZADEH INEQUALITY RELATED TO TWO TRIANGLES INSCRIBED ONE IN THE OTHER 》.2. 由以上所得重要不等式1()()(cos cos cos )3QR RP PQ a b c a b c A B C ++≥++-++++（14） 可得较（13）式更强的不等式33339()()8QR RP PQ BC CA AB ++≥++ （15）3. 《福建中学数学》，1996年第4期.杨学枝文：《对一道猜想题的证明》中，用与（13）式的类似证法，给出了2221()4RP PQ PQ QR QR RP BC CA AB ⋅+⋅+⋅≥++ （16）其中,,P Q R 分别为,,BC CA AB 边上的周界中点.。

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。