切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)

切雪比夫不等式公式切雪比夫不等式，又称切比雪夫不等式，是概率论中一条重要的不等式。

它是由俄罗斯数学家切比雪夫于1867年提出的，用于描述一组数据与其平均值之间的关系。

切雪比夫不等式的表述方式有多种，但其核心思想始终如一：数据的分布越集中，离均值越近，概率越大。

切雪比夫不等式的一种常见形式是：对于任意正数ε，当ε大于0时，有P(|X-μ|≥ε)≤σ^2/ε^2，其中X为随机变量，μ为其均值，σ^2为其方差。

想象一个寒冷的冬日，大雪纷飞，寒风凛冽。

人们行走在雪地中，足迹踏下的痕迹有时靠近，有时疏远。

这些足迹就好比数据点，而人们的平均位置则是数据的均值。

切雪比夫不等式告诉我们，无论是靠近还是疏远，数据点总是有一定的概率分布在平均位置附近。

这个不等式的意义在于，它揭示了数据的分布特性。

当数据越集中，方差越小时，切雪比夫不等式的右侧项σ^2/ε^2就越小，因此左侧项P(|X-μ|≥ε)的值就越小，即数据点离均值的距离大于ε的概率就越小。

切雪比夫不等式的应用非常广泛。

在统计学中，它可以用来估计数据点偏离均值的程度。

在机器学习中，它常被用来衡量模型的性能，判断模型对数据的拟合程度。

在金融领域，它可以用来评估投资风险，帮助投资者做出理性的决策。

切雪比夫不等式的思想贯穿于各个领域，它告诉我们，无论是数据分析还是决策制定，我们都需要考虑数据的分布特性。

只有深入理解数据的分布规律，我们才能更好地把握事物的本质，做出准确的判断和决策。

正如大雪纷飞的冬日，我们需要仔细观察足迹，了解数据的分布情况。

只有这样，我们才能走得更加稳健，更加自信。

切雪比夫不等式给予我们这样的启示，让我们在决策和分析中更加谨慎，更加准确。

切雪比夫不等式，不仅是一条数学公式，更是一种思维方式，一种洞察事物本质的能力。

让我们用切雪比夫不等式的思想，去探索更广阔的世界。

叙述切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的一条重要不等式，其用于衡量随机变量偏离其均值的程度。

这一不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫于1874年提出，因此得名为切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式的核心思想是，对于任意一个随机变量X，无论它的概率分布是否已知，至少有一定比例的观测值距离其均值不会超过给定的数值。

具体而言，设X为一个随机变量，E(X)为其期望值，σ为其标准差，k为大于1的实数，则根据切比雪夫不等式可知：P(|X-E(X)| ≥ kσ) ≤ 1/k²这个不等式的一种解释是说，对于一个随机变量X，至少有（1-1/k²）比例的观测值距离其均值的距离不会超过k倍的标准差。

切比雪夫不等式的意义在于提供了一个在概率分布未知或者难以计算的情况下，对随机变量分布情况进行估计的方法。

它能帮助我们了解随机变量数据的分布情况，以及偏离均值的程度。

无论我们是否掌握随机变量的具体分布，只要我们知道均值和标准差，即可通过切比雪夫不等式对随机变量的分布进行大致的估计。

切比雪夫不等式具有广泛的应用场景。

比如，在金融领域中，假设我们想要对某个投资组合的回报率进行估计。

我们可以利用切比雪夫不等式，通过计算样本的均值和标准差，来估计这个投资组合的回报率落在某个给定范围内的概率。

在这个例子中，切比雪夫不等式不仅提供了一个估计方法，还可以帮助投资者了解这个投资组合的风险程度。

此外，在数据分析领域中，切比雪夫不等式也被广泛应用于异常值检测。

通过比较观测值与均值之间的偏离程度，我们可以判断是否存在异常值。

如果大多数观测值都集中在均值附近，那么说明数据分布比较稳定，反之则可能存在异常值。

这样的分析对于数据的清洗和处理非常有指导意义。

综上所述，切比雪夫不等式是概率论中一条生动、全面且具有指导意义的重要不等式。

它提供了一种在未知概率分布情况下对随机变量进行估计的方法，并且在金融、数据分析等领域具有广泛的应用价值。

通过应用这一不等式，我们能更好地理解随机变量的分布情况，并为实际问题提供相应的解决方案。

切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式和大数定律是概率论中重要的两个理论。

它们在统计学、数学和物理学等领域具有广泛的应用。

本文将依次介绍切比雪夫不等式和大数定律的概念、原理及应用。

一、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是描述随机变量离其均值的偏离程度的概率上界。

设随机变量X具有均值μ和方差σ^2，k为任意大于0的常数，则切比雪夫不等式可表示为：P(|X-μ|≥kσ) ≤ 1/k^2其中，P表示概率。

该不等式表明，当k取较大值时，随机变量X 与其均值之间的偏离概率将变得非常小。

也就是说，随机变量X与其均值之间的差异愈大，差异大于k倍标准差的概率将愈小。

切比雪夫不等式在统计推断和概率论中有许多应用。

例如，在对总体均值进行估计时，可以利用切比雪夫不等式给出一个近似的置信区间；在概率分布函数未知的情况下，切比雪夫不等式可用于确定随机变量落入某一区间的概率上界。

二、大数定律大数定律是概率论中指出在独立同分布的随机变量序列中，样本平均值近似等于总体均值的定律。

大数定律有多种形式，其中最著名的是弱大数定律和强大数定律。

1. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，假设它们具有相同的均值μ和方差σ^2。

则对于任意ε>0，有：lim(n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|>ε) = 0这意味着当样本容量n趋于无穷大时，样本均值与总体均值之间的偏离程度将趋于零。

2. 强大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，假设它们具有相同的均值μ和方差σ^2。

则几乎处处有：(X1+X2+...+Xn)/n → μ (当n→∞)这意味着当样本容量趋于无穷大时，样本均值将收敛于总体均值。

大数定律为我们提供了一种判断样本均值近似等于总体均值的准则。

它广泛地应用于概率论、统计学、经济学等领域。

例如，在随机过程和随机演化等问题中，大数定律提供了重要的理论基础。

不等式的其它形式
例1 估计
的概率
解
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。
≤
| x− |≥
∫ε µ
1
2
|x − µ |
2
ε
2
f ( x)dx
2
≤∫
|x − µ |2
≤
ε
∫ (x − µ)
f ( x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f ( x)dx
2
是 于 P{| X − µ |< ε} ≥ 1−σ / ε
2
2
P{| X − µ |≥ ε } ≤ σ 2 / ε 2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P{| X − µ |≥ ε } ≤σ 2 / ε 2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε
2
2
证明：设X为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x). 证明： 为连续性（离散型类似），其密度为 ），
P{| X − µ |≥ ε }
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 EX = µ, 方 DX = σ 2 差 对任意 ε > 0 , 不等式
P{| X − µ |≥ ε } ≤ σ 2 / ε 2
或 成立， P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε 成立，

两个随机变量切比雪夫不等式（实用版）目录1.切比雪夫不等式的定义和背景2.切比雪夫不等式的应用3.切比雪夫不等式的举例说明正文【1.切比雪夫不等式的定义和背景】切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，用于估计一个随机变量的偏差。

切比雪夫不等式可以告诉我们，在给定的概率分布下，某个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。

这个不等式的名字来源于 19 世纪俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）。

设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ，则切比雪夫不等式可以表示为：P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k其中，k 为常数，称为切比雪夫常数。

【2.切比雪夫不等式的应用】切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛应用，例如：- 估计随机变量的偏差：切比雪夫不等式可以用来估计一个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。

- 风险管理：在金融领域，切比雪夫不等式可以用来估计投资组合的风险，帮助投资者制定合理的风险管理策略。

- 统计推断：在统计学中，切比雪夫不等式可以用来估计样本均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。

【3.切比雪夫不等式的举例说明】假设有一个随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ。

现在我们想要知道，在给定的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度。

根据切比雪夫不等式，我们可以计算出切比雪夫常数 k，然后得到 X 的取值偏离μ的置信区间。

例如，若置信水平为 95%，则 k=1.96（查表可得）。

假设我们要估计 X 的取值偏离μ的程度，可以计算：P(|X - μ| ≥ 1.96σ) ≤ 1/(1.96) = 0.05这意味着，在 95% 的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度不会超过1.96σ。

2020-2021年考物理简单机械及答案（word）1一、简单机械选择题1．如图所示，在“探究杠杆平衡条件”的实验中，轻质杠杆上每个小格长度均为2cm，在B 点竖直悬挂4个重均为0.5N的钩码，当在A点用与水平方向成30°角的动力F拉杠杆，使杠杆在水平位置平衡。

对该杠杆此状态的判断，下列说法中正确的是A．杠杆的动力臂为8cm B．该杠杆为费力杠杆C．该杠杆的阻力大小为0.5N D．动力F的大小为1.5N【答案】B【解析】【详解】A、当动力在A点斜向下拉（与水平方向成30°角）动力臂是：12OA=12×4×2cm=4cm，故A错误；B、阻力臂OB，3×2cm=6cm＞12OA，即阻力臂大于动力臂，该杠杆为费力杠杆，故B正确；C、该杠杆的阻力大小为：G=4×0.5N=2N，故C错误；D、根据杠杆的平衡条件，F1l1=F2l2，G×OB=F×12OA，代入数据，2N×8cm=F×4cm，解得，F=4N，故D错误。

2．在生产和生活中经常使用各种机械，使用机械时A．功率越大，做功越快B．做功越多，机械效率越高C．做功越快，机械效率越高D．可以省力、省距离，也可以省功【答案】A【解析】【分析】（1）功率是表示做功快慢的物理量，即功率越大，做功越快；（2）机械效率是表示有用功所占总功的百分比；即效率越高，有用功所占的比例就越大；（3）功率和效率是无必然联系的；（4）使用任何机械都不省功．【详解】A．功率是表示做功快慢的物理量，故做功越快功率一定越大，故A正确；B．机械效率是表示有用功所占总功的百分比，故做功多，而不知道是额外功还是有用功，所以无法判断机械效率，故B错误；C．由于功率和效率没有直接关系，所以功越快，机械效率不一定越高，故C错误；D．使用任何机械都不省功，故D错误．故选A．3．用一个定滑轮和一个动滑轮组成的滑轮组把重150N的物体匀速提升1m，不计摩擦和绳重时，滑轮组的机械效率为60%．则下列选项错误的是（）A．有用功一定是150J B．总功一定是250JC．动滑轮重一定是100N D．拉力大小一定是125N【答案】D【解析】【分析】知道物体重和物体上升的高度，利用W=Gh求对物体做的有用功；又知道滑轮组的机械效率，利用效率公式求总功，求出了有用功和总功可求额外功，不计绳重和摩擦，额外功W额=G轮h，据此求动滑轮重；不计摩擦和绳重，根据F=1n（G物+G轮）求拉力大小．【详解】对左图滑轮组，承担物重的绳子股数n=3，对物体做的有用功：W有=Gh=150N×1m=150J，由η=WW有总，得：W总=Wη有=15060%J=250J，因此，W额=W总-W有=250J-150J=100J；因为不计绳重和摩擦，W额=G轮h，所以动滑轮重：G轮=Wh额=1001Jm=100N，拉力F的大小：F=13（G物+G轮）=13（150N+100N）=2503N；对右图滑轮组，承担物重的绳子股数n=2，对物体做的有用功：W有=Gh=150N×1m=150J，由η=WW有总，得：W总=Wη有=15060%J=250J，所以W额=W总-W有=250J-150J=100J；因为不计绳重和摩擦，W额=G轮h ，因此动滑轮重：G 轮=W h额=1001J m =100N ，拉力F 的大小：F=12（G 物+G 轮）=12（150N+100N ）=125N ；由以上计算可知，对物体做的有用功都是150J ，总功都是250J ，动滑轮重都是100N ，故A 、B 、C 都正确；但拉力不同，故D 错． 故选D ．4．如图所示，小丽分别用甲、乙两滑轮把同一桶沙从一楼地面提到二楼地面，用甲滑轮所做的总功为W 1， 机械效率为η1；用乙滑轮所做的总功为W 2， 机械效率为η2， 若不计绳重与摩擦，则A ．W 1 = W 2 η1 = η2B ．W 1 = W 2 η1 < η2C ．W 1 < W 2 η1 > η2D ．W 1 > W 2 η1 < η2【答案】C 【解析】 【分析】由图可知甲是定滑轮，乙是动滑轮，利用乙滑轮做的额外功多，由“小明分别用甲、乙两滑轮把同一桶沙从一楼地面提到二楼地面”可知两种情况的有用功，再根据总功等于有用功加上额外功，可以比较出两种情况的总功大小．然后利用100%W W 有总η=⨯即可比较出二者机械效率的大小． 【详解】因为用甲、乙两滑轮把同一桶沙从一楼地面提到二楼地面，所以两种情况的有用功相同；根据W W η=有总可知：当有用功一定时，利用机械时做的额外功越少，则总功越少，机械效率越高．而乙滑轮是动滑轮，所以利用乙滑轮做的额外功多，则总功越多，机械效率越低．即1212W W ηη＜，＞． 【点睛】本题考查功的计算和机械效率的大小比较这一知识点，比较简单，主要是学生明确哪些是有用功，额外功，总功，然后才能正确比较出两种情况下机械效率的大小．5．山区里的挑夫挑着物体上山时，行走的路线呈“S”形，目的是 A ．加快上山时的速度 B ．省力C．减小对物体的做功D．工作中养成的生活习惯【答案】B【解析】斜面也是一种简单机械，使用斜面的好处是可以省力．挑物体上山，其实就是斜面的应用，走S形的路线，增加了斜面的长，而斜面越长，越省力，所以是为了省力．故选B．6．用图中装置匀速提升重为100N的物体，手的拉力为60N，滑轮的机械效率为（）A．16.7% B．20% C．83.3% D．100%【答案】C【解析】【详解】由图可知，提升重物时滑轮的位置跟被拉动的物体一起运动，则该滑轮为动滑轮；∴拉力移动的距离s=2h，η=====≈83.3%．7．用如图所示滑轮组提起重G=320N的物体，整个装置静止时，作用在绳自由端的拉力F=200N，则动滑轮自身重力是（绳重及摩擦不计）A．120NB．80NC．60ND．无法计算【答案】B【解析】【详解】由图可知，n=2，由题知，G物=320N，F=200N，∵不考虑绳重和摩擦，，即：，∴动滑轮重：G轮=80N．8．为了将放置在水平地面上重为100N的物体提升一定高度，设置了如图甲所示的滑轮组装置。

DX
2
切比谢夫不等式给出了随机变量落在以期望 EX 为中心的对称区间（ EX , EX ）之外（以内） 的概率的上（下）界．
例1
若 DX 0 ，试证 P ( X EX ) 1 ．
证 由切比谢夫不等式知， 对于任意的 0 均有
P ( X EX )
5.1
切比谢夫不等式
切比谢夫不等式
一、切比谢夫不等式
定理1 设随机变量 X 的方差存在， 则对任意的 0 有 P ( X EX ) 证
DX

2
如果 X 是连续型随机变量， ~ p( x ) ，则 X
P ( X EX )

1

x EX
p( x )dx
EX np 200 0.5 100, DX npq 200 0.5 0.5 50 P (80 X 120 ) P ( X 100 20)
50 1 2 0.875. 20
x EX


( x EX )2

2
p( x )dx
DX
( x EX ) p( x )dx 2
2 2
当 X 是离散型随机变量，只需将上述证明中的概率 密度换成分布列，积分号换成求和号即可． 切比谢夫不等式可写成如下形式
P ( X EX ) 1
即 因此
DX

2
0
P ( X EX ) 0
P ( X EX ) 0 P ( X EX ) 1

即
例2 200个新生婴儿中，估计男孩多于80个且少于120
个的概率（假定生男孩和女孩的概率均为0.5）． 解 设 X 表示男孩个数，则 X ~ B( 200,0.5). 用切比谢夫不等式估计：

切比雪夫不等式估计概率 前言：切比雪夫不等式是概率论中一条重要的不等式，它用于估计随机变量与其均值之间的偏离程度。

本文将介绍切比雪夫不等式的概念、推导过程以及应用场景，并通过实例说明其实用性。

一、切比雪夫不等式的概念 切比雪夫不等式是数学上关于随机变量分布的一种重要不等式。

它可以用来估计随机变量与其均值之间的偏离程度。

切比雪夫不等式的数学表述如下：对于任意一个随机变量X和正数ε，有：P(|X - μ|≥ε)≤σ^2 / ε^2 其中，P表示概率，X表示随机变量，μ表示X的均值，σ^2表示X的方差，ε表示给定的正数。

切比雪夫不等式的实质是通过随机变量的方差来描述随机变量与其均值之间的偏离程度。

方差越小，随机变量与均值之间的偏离越小，概率也就越高。

二、切比雪夫不等式的推导过程1. 根据随机变量X的定义，我们知道E(X) = μVar(X) = σ^22. 根据方差的定义，我们可以得到Var(X) = E((X- μ)^2)3. 根据概率的定义，我们可以得到 P(|X - μ|≥ε) = 1 - P(|X - μ| < ε) 4. 由于对于任意的ε，X - μ的绝对值小于ε的概率范围是[0, ε]，所以我们可以将其改写为 P(|X - μ| < ε) = P(-ε < X - μ < ε)5. 再将上式展开，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(-ε < X - μ) - P(X - μ > ε) 6. 根据概率的性质，我们知道 P(-ε < X - μ) = 1 - P(X - μ < -ε) P(X - μ > ε) = 1 - P(X - μ≤ε)7. 将上述两个概率代入第5步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 1 - P(X - μ < -ε) - (1 - P(X - μ≤ε))8. 继续简化上式，我们可以得到 P(-ε < X - μ < ε) = P(X - μ≤ε) - P(X - μ < -ε) 9. 根据对称性，我们知道P(X - μ < -ε) = P(X - μ > ε)10. 将第9步的结果代入第8步的等式中，我们得到 P(-ε < X - μ < ε) = 2P(X - μ≤ε)三、切比雪夫不等式的应用场景 切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛的应用场景。

切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2设随机变量X 有数学期望μ及方差2σ，则对任何正数ε，下列不等式成立{}22()P X E X σεε-≥≤证明：设X 是离散型随机变量，则事件()X E X ε-≥表示随机变量X 取得一切满足不等式()i x E X ε-≥的可能值i x 。

设i p 表示事件i X x =的概率，按概率加法定理得{}()()i i x E X P X E X p εε-≥-≥=∑这里和式是对一切满足不等式()i x E X ε-≥的i x 求和。

由于()i x E X ε-≥，即()22()i x E X ε-≥，所以有()22()1ix E X ε-≥。

又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以()22()ix E X ε-，则和式的值将增大。

于是得到{}()()2222()()()()1()()i i i i i i iix E X x E X x E X x E X P X E X p p x E X p εεεεεε-≥-≥-≥--≥=≤=-∑∑∑因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量X 的一切可能值i x 求和，则只能增大和式的值。

因此{}()221()()ii iP X E X x E X p εε-≥≤-∑上式和式是对X 的一切可能值i x 求和，也就是方差的表达式。

所以，{}22()P X E X σεε-≥≤。

定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
或 成立， P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε 成立，
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P(6800< X <7200) =
用切比雪夫不等式
7200 K 10 C104 0.7K0.3 −K ∑
K=6800 =
2100 =0.95 P(6800< X <7200) = P( X −7000 < 200) ≥1− 2 200
练习 随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现的点数
之和在10至18之间的概率。 之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
证明：设X为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x). 证明： 为连续性（离散型类似），其密度为 ），
P{| X −µ |≥ε}
≤
|x− |≥
∫ε µ
1
2
|x−µ |
2
ε
2
f (x)dx ≤ ∫
2
|x−µ |2
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布

P{ X E ( X ) 3 D ( X )}
0.8889 ,
P{ X E ( X ) 4 D ( X )}
0.9375 .
例5.1
设X是掷一颗骰子所出现的点数，若给定 ε =1，2，实际计算
P X E( X )
，并验证切比雪夫不等式成立。
解 因为 X 的概率函数是
P{ X k } 1 6 (k 1 , 2 ,
量的算术平均
1
Yn
n
n
X ，则对于任意正数 ε 有
k 1
k
lim P{| Yn | } 1 (5.4)
n
定理 5. 3
(伯努利( Bernoulli)大数定律) 设 nA 是 n 次独立重复
试验中事件 A 发生的次数。p 是事件 A 在每次试验中发生的概
率，则对于任意正数 ε > 0，有
P{ X E ( X )
}

f ( x)dx
| x E ( X )|
1

2
| x E ( X ) |2


| x E ( X )|



2
[ x E ( X )] f ( x)dx
2
f ( x)dx
D( X )

2
请读者自己证明 X 是离散型随机变量的情况。
概率学与数理统计
大数定律
切比雪夫( Chebyshev )不等式
设随机变量 X 的数学期望 E ( X )和方差D ( X )都存在，
则对任意 ε > 0，有
P{ X E ( X )
}
D( X )
2
(5.1)

切比雪夫不等式和经验法则
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了有关
随机变量偏离其均值的概率的上界。

具体来说，对于任意具有有限
方差的随机变量X，切比雪夫不等式表明，随机变量X与其均值的
偏离超过k个标准差的概率不超过1/k^2，其中k是大于1的任意
实数。

这个不等式对于评估随机变量的离散程度和概率分布的尾部
情况非常有用。

接下来是经验法则，也称为正态分布的68-95-99.7法则。

这个
法则描述了正态分布的性质，即在一个正态分布中，大约68%的观
测值落在均值加减一个标准差的范围内，大约95%的观测值落在均
值加减两个标准差的范围内，大约99.7%的观测值落在均值加减三
个标准差的范围内。

这个法则对于理解正态分布的形状和分布情况
非常有帮助，也可以用来进行概率估计和异常值检测。

总的来说，切比雪夫不等式和经验法则都是概率论中重要的工具，它们可以帮助我们理解随机变量的分布特性和概率分布的规律。

通过这些工具，我们可以更好地分析数据和进行概率推断。

希望这
个回答能够全面地解释这两个概念。

随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1

切⽐雪夫不等式的证明
定理4.4 (切⽐雪夫不等式) 设随机变量 X 的期望和⽅差均存在，则对任意 ε>0，有
P (|X −WX |≥ε)≤DX
ε
2
等价形式为
P (|X −WX |<ε)≥1−DX
ε
2
证明 令
Y =
1ω∈{|X −EX |≥ε},0其他,
则 Y ≤
(X −EX )2
ε2
，根据期望的性质，有
P (|X −WX |≥ε)=EY ≤E
(X −EX )2
ε2
=DX ε2
.
以上是书本上的证明，我初读不理解，故在⽹上查阅其他形式的证明辅助理解，有效，如下：
命题 设随机变量具有数学期望 E (X )=µ，⽅差 D (X )=σ2，则对任意的正数 ε 有 P {|X −µ|≥ε}≤σ2
ε2 或 P {|X −µ|≤ε}≥1−σ2
ε
2
证明过程：
1. X 为连续型则有
P {|X −µ|>ε}=∫|X −µ|≥εf (x )dx ≤∫+∞
−∞
(x −µ)2
ε2
f (x )dx =σ2
ε
2
2. X 为离散型则有
P {|X −µ|≥ε}=∑k ∈|X −µ|≥εP k ≤∞
∑
k =1
(x −µ)2ε2
P k =σ2
ε
2
注：上⾯的离散型证明中的第⼀个求和符号下⾯的 k 后⾯的符号不确定是否是 ∈，原图有些不清晰，以后有时间会求证.参考：
{
[
]
Processing math: 100%。

切比雪夫判别法是一种常用的统计学方法，它可以用来判断一个随机变量与其均值之间的距离有多远。

该方法基于切比雪夫不等式，是一种非常简单但有效的方法。

一、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的一条重要不等式，它给出了任意随机变量与其均值之间距离的上限。

具体地说，对于任意的随机变量X和任意的正数k，有如下不等式：P(|X-μ|≥kσ) ≤ 1/k²其中，μ表示X的均值，σ表示X的标准差。

这个不等式说明，当k越大时，X与其均值之间距离超过k倍标准差的概率就越小。

例如，当k=2时，有至少75%的概率X与其均值之间的距离不超过2倍标准差；当k=3时，有至少89%的概率X与其均值之间的距离不超过3倍标准差。

二、切比雪夫判别法基于切比雪夫不等式，我们可以得到切比雪夫判别法。

该方法可以用来判断一个随机变量X是否属于某个分布。

具体地说，假设我们有一个随机变量X，它的均值为μ，标准差为σ。

现在我们要判断X是否服从某个分布，例如正态分布N(μ,σ²)。

根据切比雪夫不等式，我们可以得到以下结论：如果X服从N(μ,σ²)，那么P(|X-μ|≥kσ) ≤1/k²，其中k>0。

如果X不服从N(μ,σ²)，那么至少存在一个k>0，使得P(|X-μ|≥kσ) > 1/k²。

基于这个结论，我们可以设计如下的切比雪夫判别法：1. 假设X服从N(μ,σ²)，则计算样本均值x和样本标准差s。

2. 对于任意的k>0，计算区间[x-ks, x+ks]的概率。

如果该概率大于1/k²，则认为X服从N(μ,σ²)；否则，认为X不服从N(μ,σ²)。

该方法的优点是简单易用，不需要对样本分布做出假设，适用于各种类型的数据。

但是，它只能提供二元判断结果，不能给出具体的分布参数估计。

此外，当样本量较小时，误判率可能较高，需要谨慎使用。

则称序列Y1,Y2 ,,Yn
依概率收敛于a, 记为
Yn P a
依概率收敛序列的性质: 设 Xn Pa, Yn Pb, 又设函数 g( x, y) 在点(a,b) 连续, 则 g( Xn , Yn ) P g(a, b). 证明 因为 g( x, y) 在 (a,b) 连续,
0, 0, 使得当 x a y b 时,
g(a,b)
}
1.
[证毕]
例1 设随机变量 X1, X2 , , Xn ,
Xn na 0
如下分布律：
1
1
P 2n2 1 n2
问是否满足切比雪夫定理 ?
相互独立, 具有 na 1 2n2
解 独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？
E(Xn)
na
2
1 2n2
0
1
1 n2
na
2
1 2n2
0,
1 ε2
(x
μ)2
f
(x)d
x
1 ε2
σ2.
得
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
.
P{ X
μ
ε}Leabharlann σ2 ε2P{ X μ
ε}
1
σ2 ε2
.
切比雪夫大数定律（特殊情况）
实例 频率的稳定性
随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数.
启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值有 稳定性.
定理（切比雪夫定表理达的式特的殊意情义况）
定理的另一种叙述:
有相机设设同Y变1随的,量Y机2数序,变学列,Y量期,na是是望X一1一和, X个个方2随,差常：, XEn(,Xk
相互独立, 且具

第一章 绪论概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。

随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。

这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。

而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。

历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。

因其遗著《猜度术》于1713 年出版，故概率史家称1713 年为伯努利大数定律创立年。

伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。

1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。

之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。

切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。

切比雪夫在1866年发表的《论均值》中，提出了著名的切比雪夫大数定律。

该给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则对任何α， +++z y x 落在----+++++++222111c b a c b a c b a α和----+++-+++222111c b a c b a c b a α之间的的概率总小于211α-定理1.2：若以 ,,,c b a 表示 ,,,z y x 的数学期望，用 ,,,111c b a 表示相应的平方,,,222z y x 的数学期望，则不论t 取何值，N 个量 ,,,z y x 的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过Nc b a N c b a t+++-+++2221111 的概率对任何t 都将大于Nt 21-。