八年级数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
- 格式：doc
- 大小：2.80 MB
- 文档页数：59
八年级数学期末试卷（培优篇）（Word版 含解析）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．取一副三角板按图1拼接，固定三角板60,()30ADCDACD，将三角板45()ABCBACBCA绕点A依顺时针方向旋转一个大小为a的角00)45(a得到ABM，图2所示．试问：
1当a为多少时，能使得图2中//ABCD？说出理由，
2连接BD，假设AM与CD交于,EBM与CD交于F，当00)45(a时，探索DBMCAMBDC值的大小变化情况，并给出你的证明．
【答案】（1）15°；（2）DBMCAMBDC的大小不变，是105，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由//ABCD得到30BACC，即可求出a；
（2）DBMCAMBDC的大小不变，是105,由FEMCAMC，30C， EFMBDCDBM， 45M，即可利用三角形内角和求出答案.
【详解】
1当a为15时，//ABCD，
理由：由图2，若//ABCD，则30BACC，
453015aCAMBAMBAC，
所以，当a为15时，//ABCD．
注意：学生可能会出现两种解法：
第一种：把//ABCD当做条件求出a为15，
第二种：把a为15当做条件证出//ABCD，
这两种解法都是正确的．
2DBMCAMBDC的大小不变，是105
证明： ,30FEMCAMCC,
30FEMCAM,
EFMBDCDBM,
DBMCAMBDCEFMCAM,
180,45EFMFEMMM,
3045180BDCDBMCAM,
1803045105DBMCAMBDC,
所以，DBMCAMBDC的大小不变，是105.
【点睛】
此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.
2．如图1所示，已知点D在AC上，ADE和ABC都是等腰直角三角形，点M为EC的中点.
（1）求证：BMD为等腰直角三角形；
（2）将ADE绕点A逆时针旋转45，如图2所示，（1）中的“BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将ADE绕点A逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.
【解析】
【分析】
1根据等腰直角三角形的性质得出45ACBBAC，90ADEEBCEDC，推出BMDM，BMCM，DMCM，推出BCMMBC，ACMMDC，求出22290BMDBCMACMBCA即可．
2延长ED交AC于F，求出12DMFC，//DMFC，DEMNCM，根据ASA推出EDM≌CNM，推出DMBM即可．
3过点C作//CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出MDE≌MFC，求出DMFM，DEFC，作ANEC于点N，证BCF≌BAD，推出BFBD，DBACBF，求出90DBF，即可得出答案．
【详解】
1证明：ABC和ADE都是等腰直角三角形，
45ACBBAC，90ADEEBCEDC
点M为EC的中点，
12BMEC，12DMEC，
BMDM，BMCM，DMCM，
BCMMBC，DCMMDC，
2BMEBCMMBCBCE，
同理2DMEACM，
22224590BMDBCMACMBCA
BMD是等腰直角三角形．
2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC于F，
ADE和ABC△是等腰直角三角形，
45BACEAD，
ADED，
EDDF，
M为EC中点，
EMMC，
12DMFC，//DMFC，
45BDNBNDBAC，
EDAB，BCAB，
//EDBC，
DEMNCM，
在EDM和CNM中
DEMNCMEMCMEMDCMN
EDM≌CNMASA，
DMMN，
BMDN，
BMD是等腰直角三角形．
3BDM是等腰直角三角形，
理由是：过点C作//CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得MDE≌MFC，
DMFM，DEFC，
ADEDFC，
作ANEC于点N，
由已知90ADE，90ABC，
可证得DENDAN，NABBCM，
//CFED，
DENFCM，
BCFBCMFCMNABDENNABDANBAD，
BCF≌BAD，
BFBD，DBACBF，
90DBFDBAABFCBFABFABC，
DBF是等腰直角三角形，
点M是DF的中点，
则BMD是等腰直角三角形，
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．
3．（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．
【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN＝10．
【解析】
试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点
C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．
解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；
（2）EF＝BE＋FD仍然成立．
证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，
在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
又∵∠EAF＝12∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－12∠BAD＝12∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．
又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．
∴EF＝BE＋FD．
（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝12∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE＋FB成立．
∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.
答：此时两舰艇之间的距离为210海里；
（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，
在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，
则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，
∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，
∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，
又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，
