2017年吉林省延边州高考数学仿真试卷(文科)(解析版)

2017年吉林省延边州高考数学仿真试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣iB．﹣i C．i D．﹣i3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．124．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．26．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF 所成角的余弦值为（）A． B．C．D．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则=．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2a4=2，则S6=．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．16．已知抛物线y=x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|=24，则线段AB的中点P 离x轴最近时点的纵坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，sinB=2sinA．（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°．（1）求证：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为a，b，，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为．（1）求a，b的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动点B（m，n）（mn≠0）在椭圆上，点A（0，2），直线AB交x轴于点D，点B′为点B关于x轴的对称点，直线AB′交x轴于点E，若在y轴上存在点G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求点G的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣3|，∀x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范围．2017年吉林省延边州高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】利用交集性质求出a=﹣3，从而求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，∴，解得a=﹣3，∴A={﹣9，3}，B={3，4}，A∪B={﹣9，3，4}．故选：D．【点评】本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣﹣iB．﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=1﹣i，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）A．6 B．6C．12 D．12【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得||．【解答】解：∵||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），∴•（3﹣）=3﹣=3•12﹣2•||•cos=0，∴||=12，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．【点评】本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，a，n的值，当s=时，不满足条件，退出循环，输出n的值即可．【解答】解：s=0，a=2，n=1；s=2，a=，n=2；s=，a=，n=3；s=＞3，a=；输出n=3；故选：C．【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．6．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、以及回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算=×（2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4，=×（0.2+1.5+2.0+2.5+3.8）=2，∴=2﹣0.8×4=﹣1.2，∴回归直线方程为=0.8x﹣1.2，计算x=7时=0.8×7﹣1.2=4.4（亿元），即2017年该公司收入为7亿元时的支出为4.4亿元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b ＞c．即可得出．【解答】解：a=2﹣1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b ＞c．∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V几何体=V三棱柱+V三棱锥=××2+×××2=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．πB．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF 所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，可得2a≥[]min（x≥﹣2），构造函数g（x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解⇔2ae x≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解⇔2a≥[]min（x≥﹣2）．令g（x）==﹣，则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），∵x∈[﹣2，+∞），∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，∴2a≥﹣﹣，∴a≥．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．若（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则=﹣2．【考点】二项式系数的性质．=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，分别令r=3，r=2，即可得【分析】由通项公式可得：T r+1出．=（﹣2x）r=（﹣2）r x r，令r=3，则a3==【解答】解：由通项公式可得：T r+1﹣80；令r=2，则a2==40．∴==﹣2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2a4=2，则S6=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2a4=2，∴q=，=2，解得a1=8．则S6==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知抛物线y=x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|=24，则线段AB的中点P 离x轴最近时点的纵坐标为8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，由三角形的性质丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨利用抛物线的性质可知y1+y2≥16，根据中点坐标可得线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标．【解答】解：抛物线的标准方程x2=16y，焦点F（0，4），设A（x1，y1）、B（x2，y2），由丨AB丨≤丨AF丨+丨BF丨=（y1+4）+（y2+4）=y1+y2，∴y1+y2≥16，则线段AB的中点P点的纵坐标y=≥8，∴线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标8，故答案为：8．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，三角形的两边之和大于第三条边，考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（2017•延边州模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，sinB=2sinA．（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得b=2a，利用余弦定理可求a的值，进而可求b；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，又b=2a，利用余弦定理可解得c=2a，从而可求a，b，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得：b=2a，…2分∵c=2，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：12=a2+4a2﹣2a2，∴解得：a=2，b=4…6分（2）∵cosC=，∴sinC==，又∵b=2a，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣a2=4a2，解得：c=2a，…9分∵c=2，可得：a=，b=2，=absinC==…12分∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）（2017•延边州模拟）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°．（1）求证：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CO⊥A1B1，A1C1=C1B1，C1O⊥A1B1，从而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能证明AB⊥平面CC1O．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．【解答】证明：（1）∵点C在平面内的射影点为A1B1的中点O，∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1，∵O为A1B1的中点，∴C1O⊥A1B1，∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O，∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面CC1O．解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=1，则CC1=1，C1O=，∵∠COC1=，∴CO==，则C（0，0，0），C1（﹣，），A（1，0，0），B（0，1，0），∴=（﹣，），=（1，0，0），=（0，1，0），设平面ACC1的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，），同理得平面BCC1的法向量=（），设二面角A﹣CC1﹣B的平面角为θ，则cosθ==．sinθ==，∴二面角A﹣CC1﹣B的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•延边州模拟）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为a，b，，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为．（1）求a，b的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得．（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，因为a＞b，解得．…（4分）（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…而；；；；；；．…（9分）所以X的分布列为：于是有…（12分）【点评】本题考查了相互独立及其对立事件的概率计算公式、分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2017•延边州模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动点B（m，n）（mn≠0）在椭圆上，点A（0，2），直线AB交x轴于点D，点B′为点B关于x轴的对称点，直线AB′交x轴于点E，若在y轴上存在点G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求点G的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，它的面积为4．建立方程关系，求出a，b，即可得椭圆方程．（2）设D（x1，0），E（x2，0）．由A，D，B，三点共线．得x1=．同理可得x2=．又∠OGD=∠OEG，得．由于，故．【解答】解：（1）由已知得，∴，∴椭圆C的方程：．（2）设D（x1，0），E（x2，0）．由A，D，B，三点共线．得，即x1=．同理可得x2=．又∵∠OGD=∠OEG，∴．∵﹣2，且n≠0，∴，由于，∴，∴t=±4，点G的坐标为（0，±4）．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想是解题的关键，属于中档题．21．（12分）（2017•榆林二模）已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f′（1），进一步求出f（1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其导函数g′（x）=．可知当a≤0时，g（x）是（0，+∞）上的递增函数．结合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）=．求其零点，可得g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．得到函数g（x）的最大值为g（）=≤0．令h（a）=．由单调性可得h（a）在（0，+∞）上是减函数，结合h（1）＜0，可得整数a的最小值为1．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，∴g′（x）=．当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）=．令g′（x）=0，得x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0．因此，g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．故函数g（x）的最大值为g（）=≤0．令h（a）=．则h（a）在（0，+∞）上是减函数，∵h（1）=﹣2＜0，∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1．【点评】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是高考试题中的压轴题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•延边州模拟）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4，即可求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8，直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0，利用弦长公式求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4，∴A、B两点的极坐标分别为（4，），（4，﹣）；（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2﹣y2=8，直线（t为参数），代入整理可得t2+4﹣8=0，∴|MN|==4．【点评】本题考查直线参数方程的运用，考查极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•延边州模拟）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣3|，∀x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=3时，由已知得|2x﹣3|+3≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，根据绝对值的性质通过讨论a的范围，去掉绝对值，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）a=3时，f（x）≤6等价于|2x﹣3|+3≤6，即|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集是{x|0≤x≤3}；（2）x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，故2|x﹣|+2|x﹣|+a≥5，故|﹣|+≥，故|a﹣3|+a≥5①，a≤3时，3﹣a+a≥5，无解，a＞3时，a﹣3+a≥5，解得：a≥4，故a的范围是[4，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

吉林省2017届高三年级第八次模拟考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若22iz i-=+，则||z =（ ） A ．15B ．1C ．5D ．252.设集合{}2|230A x x x =--<，{}||2|2B x x =-≤，则A B =（ ）A ．(1,0]-B ．[0,3)C ．(3,4]D ．(1,3)-3.已知平面向量(1,2)a =，(,1)b m =-，(4,)c m =，且()a b c -⊥，则m =（ ） A ．3 B ．3-C ．4D ．4-4.已知1sin()123πα-=，则5cos()12πα+的值等于（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3-5.函数sin ln ||xy x =（0x ≠）的部分图象大致是（ ）6.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2.4，则输出z 的值为（ ）A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．0.4-7.函数1()x f x e x=+（0x >），若0x 满足0'()0f x =，设0(0,)m x ∈，0(,)n x ∈+∞，则（ ）A ．'()0f m <，'()0f n <B ．'()0f m >，'()0f n >C ．'()0f m <，'()0f n >D ．'()0f m >，'()0f n <8.，则其表面积为（ ）A ．32π+B ．32π C ．34π+D ．34π+9.已知将函数21()cos cos 2f x x x x =+-的图象向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图象，则()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡-⎢⎣⎦10.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．3(1,)2B ．(1,2)C ．3(,)2+∞D ．(2,)+∞11.已知三棱锥S ABC -外接球的直径6SC =，且3A B B C C A ===，则三棱锥S ABC -的体积为（ ） A．4B．4C．2D．212.已知函数1()1|2|2f x x =--，则函数()()cos 2g x f x x π=-在区间[]6,6-所有零点的和为（ ） A ．6B ．8C ．12D ．16第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若cos 2cos C a cB b-=，则B = ．14.已知变量x ，y 满足约束条件,2,6,x y y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩则2z x y =-的取值范围是 ．15.已知抛物线24y x =的焦点为F ，其准线与x 轴交于点H ，点P在抛物线上，且|||PH PF =，则点P 的横坐标为 ．16.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是56m =，那么可以估计π≈ ．（用分数表示）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)[80,90)，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[]90,100的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（Ⅱ）分数在[]90,100的学生设为一等奖，获奖学金500元；分数在[80,90)的学生设为二等奖，获奖学金200元．已知在样本中，获一、二等奖的学生中各有一名男生，则从剩下的女生中任取三人，求奖学金之和大于600的概率．18.已知正项等比数列{}n a 满足1a ，22a ，36a =成等差数列，且24159a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设(1)n n n b a a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，E ，F 分别是1CC ，BC 的中点，且1AB AA =．（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ；（Ⅱ）若2AB =，求点1A 到平面AEF 的距离 .20.已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22182x y +=的左、右焦点，点00(,)P x y 在椭圆C 上. （Ⅰ）求12PF PF ⋅的最小值； （Ⅱ）设直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点P 在第一象限，且121PF PF ⋅=-，求ABP ∆面积的最大值.21.已知函数()ln af x x x=+（a R ∈）. （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 在(1,)+∞上的单调性；（Ⅲ）若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()f x a ≤成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l cos()14πρθ+=-. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A 、B 两点，求点M 到A 、B 两点的距离之积.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=+++（0a >）. （Ⅰ）当2a =时，求不等式()3f x >的解集； （Ⅱ）证明：1()()4f m f m+-≥．吉林省2017届高三年级第八次模拟考试数学（文科）试卷答案 一、选择题1-5:BBCCA 6-10:DCABD 11、12：DC二、填空题13.3π 14.[]6,0- 15.1 16.7825三、解答题17.解：（Ⅰ）有题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=．（Ⅱ）剩下的女生中，一等奖1人，编号为A ，二等奖4人，编号为a ，b ，c ，d ．设事件M 为从剩下的女生任取三人，奖学金之和大于600人，则全部的基本事件为Aab ，Aac ，Aad ，Abc ，Abd ，Acd ，abc ，abd ，acd ，bcd ，共10个，符合事件A 的基本事件有Aab ，Aac ，Aad ，Abc ，Abd ，Abd ，共6个． 则63()105P M ==． 18.解：（Ⅰ）设正项等比数列{}n a 的公比为q （0q >），由24159a a a =239a =，故224239a q a ==，解得3q =±，因为0q >，所以3q =．又因为1a ，22a ，36a +成等差数列，所以132(6)40a a a ++-=， 解得13a =，所以数列{}n a 的通项公式为3nn a = . （Ⅱ）依题意得(21)3nn b n =+⋅，则123335373(21)3n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅…，①23413335373(21)3(21)3n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅…，②由②-①得12322(21)32(333)3n n n T n +=+⋅-⋅+++- (211)2133(21)3232313n n n n n +++-=+⋅-⋅-=⋅-，所以数列{}n b 的前n 项和13n n T n +=⋅．19.（Ⅰ）证明：连接AF ．∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，所以AF BC ⊥， ∵1AA ⊥平面ABC ，11//AA CC ，AF ⊂平面ABC ，1AF CC ⊥， 又∵1CC BC C =，∴AF ⊥平面11BB C C ，∵1B F ⊂平面11BB C C ，∴1AF B F ⊥．设11AB AA ==，则12B F =，2EF =，132B E =，∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥．又AFEF F =，∴1B F ⊥平面AEF ．（Ⅱ）解：取AC 中点D ，连接DF ，则//DF AB ，∴DF AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，1DF CC ⊥，又∵1CC AC C =，∴DF ⊥平面11A ACC ，11122AA E S AA AC ∆=⋅=，111233F AA E AA E V S DF -∆=⋅=，12AEF S AF EF ∆=⋅=11113A A EF AA E F AA E V S h V -∆-=⋅=，解得h =． 20.解：（Ⅰ）有题意可知1(F，2F ，则100(,)PF x y =-，200(6,)PF x y =， ∴2212006PF PF x y ⋅=+-，∵点00(,)P x y 在椭圆C 上，∴2200182x y +=，即220024x y =-， ∴22200120326444x x PF PF x ⋅=+--=-+（0x -≤≤， ∴当00x =时，12PF PF ⋅的最小值为4-． （Ⅱ）设l 的方程12y x b =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由221,2182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222240x bx b ++-=， 令2248160b b ∆=-+>，解得22m -<<．由韦达定理得122x x b +=-，21224x x b =-，由弦长公式得||AB ==， 又点P到直线l的距离d ==∴11||22PABS AB d∆===22422b b +-≤=， 当且仅当b = ∴PAB ∆面积最大值为12.21.解：（Ⅰ）∵21'()af x x x =-，函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=， ∴'(1)12f a =-=，∴1a =-． （Ⅱ）221'()a x af x x x x-=-=，若1x >，当1a ≤时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增；当1a >时，'()0f x =，解得x a =，1x a <<，'()0f x <；x a >，'()0f x >，则()f x 在(1,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（Ⅲ）当1a ≤时，()(1)f x f a >=，则不存在0(1,)x ∈+∞，使得0()f x a ≤成立， 当1a >时，min ()()ln 1f x f a a ==+，若ln 1a a +≤，则ln 10a a +-≤，设()ln 1g a a a =+-， ∴1'()10g a a=-<，则()g a 在(1,)+∞单调递减，()(1)0g a g <=， ∴此时存在0x a =，使得0()f x a ≤成立． 综上所述，1a >．22.解：（Ⅰ）曲线C 化为普通方程2213x y +=，由cos()124πρθ+=-，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（Ⅱ）直线1l的参数方程为1,x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入2213x y +=化简得2220t --=， 设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则121t t =-， ∴12||||||1MA MB t t ⋅==．23.解：（Ⅰ）当2a =时，1()|2|||2f x x x =+++，原不等式等价于 2,1232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或12,21232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或1,212 3.2x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得114x <-或x ∈∅或14x >， 所以不等式的解集为111|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （Ⅱ）11111()()||||||||f m f m a m a m a m m a +-=++++-++-+ 1111||||||||m a a m m a m a =++-++++-+112||2(||||)4m m m m≥+=+≥．。

延边州2017年高考温习质量检测文科数学注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真查对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案利用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案利用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请依照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．维持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题前，考生依照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。

1、已知集合{}{}2,2,4,a B a A ==，且{}4=B A ，则=B AA ．{}4,2B ．{}4,2- C ．{}4,2,2- D ．{}4,2,4-2、若复数z 知足5z )i 43(=+,则z 的虚部为A ．4-B ．54-C ．54D ．4 3、下列说法中正确的是A. 命题“q p ∧”为假命题，则q p ,均为假命题；B. 命题“12,),0(>+∞∈∀xx ”的否定是“12,),0(≤+∞∈∃ x x ”；C. 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若22b a <，则b a <”； D. 设R x ∈，则“21>x ”是“0122>-+x x ”的必要而不充分条件. 4、已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m∪∩ooB ．n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβαC ． αα//,n n m m ⇒⊥⊥D ．αα⊥⇒⊥m n n m ,//5、执行如图所示的算法程序框图，输出的结果是 A.2-211 B. 1-211 C.2-210D. 1-2106、已知向量)7,1(,)1,2(=-=b a ,则下列结论正确的是A ．)(b a a +⊥ B ．)(b a a -⊥C ．b a ⊥D ． b a //7、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的直径为 A. 10 B. 34 C. 5 D. 2348、已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,3a a a 成等差数列，则等比数列{}n a 公比q 等于A ．3B ．9C ．27D ．819、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品进程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，依照下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程为35.07.0+=∧x y ，则下列结论错误的是A ．线性回归直线必然过点（，）B ．产品的生产能耗与产量是正相关C ．t 的取值是D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加吨10、若是圆8)()(22=-+-a y a x 上存在一点P 到直线x y -=的最短距离为2，则实数a 的值为俯视图A ．3-B ．3C ．23 D.3-或311、设21,F F 别离是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右核心，P 是双曲线右支上一点，知足021=⋅PF PF，且=，则双曲线的离心率为A ．2 B. 3 C. 2 D. 512、已知概念在R 上函数[)[)⎩⎨⎧-∈-∈=0,1,1,0,)(22x x x x x f ，且21)(),()2(+==+x x g x f x f ，则方程)()(x g x f =在区间[]3,7-上的所有实根之和为( )A ．9-B ．10-C ．11-D ．12-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部份，第13题－21题为必考题，每一个试题考生都必需作答，第22题、23题为选考题，考生依照要求作答。

2017高考仿真卷·文科数学(四)(考试时刻:120分钟 试卷总分值:150分)第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.已知集合A={-1,0,1},集合B={x|1≤2x ≤4},那么A ∩B=( )A.{-1,0,1}B.{1}C.{-1,1}D.{0,1}2.设i 是虚数单位,假设复数4-k i1+i 为纯虚数,那么实数k 的值为( ) A.-4B.4C. D.-3.已知向量a 与b 的夹角为π3,且|a |=1,|b |=2,假设(3a +λb )⊥a ,那么实数λ的值为( ) A.2B.3C.-3D.-24.设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和,假设S 1,S 2,S 4成等比数列,那么a 1=( ) A.2B.-2C.D.-5.要取得函数y=√3sin 2x+cos 2x 的图象,只需将函数y=2sin 2x 的图象( ) A.向左平移π6个单位 B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位 D .向右平移π12个单位6.执行如下图的程序框图,假设输入x=9,那么输出的y 的值为( )A.-239B.1C.D.-7.直线y-1=k (x-3)被圆 (x-2)2+(y-2)2=4所截得的最短弦长等于( ) A.√3 B.2√3 C.2√2 D.√58.假设正实数m ,n 知足3m+4n=5mn ,那么m+3n 的最小值是( ) A.4B.5C.245D.2859.已知四棱锥P-ABCD 的三视图如下图,那么此四棱锥外接球的半径为( )A .√3B .√5C .√2D .210.已知函数f (x )={2x 2-1,0<x ≤4,|x -7|,x >4,假设方程f (x )=kx+1有三个不同的实数根,那么实数k 的取值范围是( )A .(-17,12)B .(-∞,-17)∪(12,+∞)C .[-17,12)D .(-17,12]11.数列{a n }知足a 1=1,且a n+1=a 1+a n +n (n ∈N *),那么1a 1+1a 2+…+1a2 016等于( )A .2 0152 016B .4 0282 015C .4 0322 017D .2 0142 01512.设函数f (x )=x ln x-(k-3)x+k-2,当x>1时,f (x )>0,那么整数k 的最大值是( )A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.已知f (x )是概念在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=1+lo g 12x ,那么f (-4)= .14.在一次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中,研究人员取得如下一组样本数据:年龄x21 24 34 41 脂肪百分比y9.5 17.5 24.9 28.1由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程y ^=0.6x+a ^,假设年龄x 的值为50,那么脂肪百分比y 的估量值为 .15.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (4,0),点B (2,4),点C (0,2),动点M 在△ABC 区域内(含边界)运动,设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ+μ的取值范围是 . 16.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p>0)的准线别离交于A ,B 两点,O 为坐标原点,假设双曲线C 的离心率为2,且△AOB 的面积为√3,那么△AOB 的内切圆的半径为 . 三、解答题(本大题共6小题,总分值70分,解答须写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(本小题总分值12分)在△ABC中,角A,B,C的对边别离为a,b,c,知足b2-(a-c)2=(2-√3)ac.(1)求角B的大小;(2)假设BC边上的中线AD的长为3,cos∠ADC=-,求a的值.18.(本小题总分值12分)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA⊥底面ABCD,M为AB的中点.(1)证明:平面PMD⊥平面PAB.(2)N为PC上一点,且AC⊥BN,PA=AB=2,求三棱锥N-BCD的体积.19.(本小题总分值12分)某学校为了引导学生树立正确的消费观,对某班50名学生天天的零用钱(单位:元)进行了调查,将他们的零用钱分成5段[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22],取得如右频率散布直方图.(1)求频率散布直方图中x的值,并估量此班50名同窗天天零用钱的众数和平均数;(2)假设从天天零用钱在[14,22]中任取2人,求这两人在[18,22]中恰有一人的概率(视频率为概率).20.(本小题总分值12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)通过点A (0,-1),其左、右核心别离为F 1,F 2,过点F 2的一条直线与椭圆交于M ,N 两点,△MF 1N 的周长为4√2.(1)求椭圆C 的方程;(2)通过点B (1,1)且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),证明直线AP 与AQ 斜率之和为定值.21.(本小题总分值12分)已知函数f (x )=1-x ln x-ax 在(1,f (1))处的切线与2x+y+2=0平行, (1)求实数a 的值和f (x )的单调区间;(2)已知函数g (x )=-x 2+2kx (k>0),假设对任意x 2∈[0,1]总存在x 1∈(0,+∞)使得g (x 2)<f (x 1),求k 的取值范围.请考生在第2二、23两题中任选一题做答,若是多做,那么按所做的第一题评分. 22.(本小题总分值10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =-12t ,y =2+√32t (t 为参数),以原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,成立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ,(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)设点M (0,2),曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,求|MA|·|MB|的值.23.(本小题总分值10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x-3|+|x+4|, (1)求f (x )≥11的解集;(2)设函数g (x )=k (x-3),假设f (x )>g (x )对任意的x ∈R 都成立,求实数k 的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(四)1.D 解析 由1≤2x ≤4,得20≤2x ≤22,因此0≤x ≤2,那么B={x|0≤x ≤2},又集合A={-1,0,1},因此A ∩B={0,1}, 应选D. 2.B 解析 复数4-ki1+i =(4-ki )(1-i )(1+i )(1-i )=4-k -(4+k )i2为纯虚数, 则{4-k2=0,-4+k2≠0,解得k=4.应选B.3.C 解析 依照题意,可得a 2=1,a ·b =1.∵(3a +λb )⊥a ,∴(3a +λb )·a =3a 2+λa ·b =3+λ=0.∴λ=-3.应选C.4.D 解析 ∵{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和,∴S 1=a 1,S 2=2a 1-1,S 4=4a 1-6.由S 1,S 2,S 4成等比数列,得S 22=S 1·S 4,即(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1=-12,应选D. 5.C 解析 函数y=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6)=2sin 2(x +π12),故把函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位,可得函数y=√3sin 2x+cos 2x 的图象,应选C. 6.A 解析 第一次执行循环体后,y=1,不知足退出循环的条件,x=1;第二次执行循环体后,y=-53,不知足退出循环的条件,x=-53; 第三次执行循环体后,y=-239,知足退出循环的条件, 故输出的y 值为-239,应选A. 7.C 解析 由圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4,可知圆心C (2,2),半径为2.易知直线y-1=k (x-3)恒过定点(3,1).当圆被直线截得的弦最短时,圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦,现在弦心距为√(2-3)2+(2-1)2=√2.因此所截得的最短弦长为2√22-(√2)2=2√2.应选C. 8.B 解析 ∵正实数m ,n 知足3m+4n=5mn ,∴4m +3n =5.∴m+3n=15(4m +3n )(m+3n )=15(13+12n m +3mn )≥15(13+3×2×√4n m ·m n) =15(13+12)=5,当且仅当m=2n=2时取等号. ∴m+3n 的最小值是5.应选B. 9.B 解析三视图恢复的几何体是如下图的四棱锥P-ABCD ,极点P 在底面矩形ABCD 上的射影是AD 边的中点,底面边长别离为4,2,知足侧面PAD ⊥底面ABCD ,△PAD 为等腰直角三角形,且高为2,由此可知外接球球心为底面对角线的交点,可求得球半径为12√42+22=√5.应选B. 10.A 解析 作出f (x )与y=kx+1的图象如下,由题意,可知点A (7,0),点B (4,3),点C (0,1), 故k AC =0-17-0=-17,k BC =3-14-0=12, 结合图象可知,方程f (x )=kx+1有三个不同的实数根时,实数k 的取值范围是(-17,12).应选A.11.C 解析 ∵a 1=1,a n+1=a 1+a n +n (n ∈N *),∴a n+1-a n =n+1.∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n -1=n ,累加得a n -a 1=2+3+4+…+n , ∴a n =1+2+3+…+n=n (n+1)2, 1a n =2n (n+1)=2(1n -1n+1). ∴1a 1+1a 2+…+1a 2 016=2(1-12+12-13+…+12 016-12 017) =2(1-12 017)=4 0322 017.应选C.12.C 解析 由已知得,x ln x>(k-3)x-k+2在x>1时恒成立,即k<xlnx+3x -2x -1, 令F (x )=xlnx+3x -2x -1,那么F'(x )=x -l nx -2(x -1)2,令m (x )=x-ln x-2, 则m'(x )=1-1x=x -1x>0在x>1时恒成立. 因此m (x )在(1,+∞)上单调递增,且m (3)=1-ln 3<0,m (4)=2-ln 4>0, 因此在(1,+∞)上存在唯一实数x 0∈(3,4)使m (x )=0, 因此F (x )在(1,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增. 故F (x )min =F (x 0)=x 0ln x 0+3x 0-2x 0-1=x 0(x 0-2)+3x 0-2x 0-1=x 0+2∈(5,6).故k<x 0+2(k ∈Z ),因此k 的最大值为5.应选C.13.1 解析 f (-4)=-f (4)=-(1+lo g 124)=-1+2=1.14.32 解析 x =21+24+34+414=30,y =9.5+17.5+24.9+28.14=20. 代入线性回归方程得20=0.6×30+a ^,解得a ^=2.因此线性回归方程为y ^=0.6x+2. 当x=50时,y ^=0.6×50+2=32.15.[1,52] 解析 如图,设M (x ,y ).由题意,可得(x ,y )=λ(4,0)+μ(0,2),那么λ=x4,μ=y2,因此λ+μ=x4+y2,问题等价于当M 在△ABC 内(含边界)运动时,求z=x 4+y 2的取值范围. 运用线性计划知识可知当M 在点B 时z max =52,当M 在AC 上任意一点时z min =1, 因此λ+μ取值范围是[1,52].16.2√3-3 解析 由e=c a =√a 2+b 2a2=2,得ba =√3,即双曲线渐近线为y=±√3x. 联立x=-p 2,解得{x =-p 2,y =√32p 或{x =-p2,y =-√32p .不妨令点A (-p 2,√32p),点B (-p 2,-√32p), 因此S △AOB =12×√3p ×p2=√3, 解得p=2,因此A (-1,√3),B (-1,-√3), 因此△AOB 三边长为2,2,2√3,设△AOB 内切圆半径为r ,由12(2+2+2√3)r=√3,解得r=2√3-3. 17.解 (1)在△ABC 中,∵b 2-(a-c )2=(2-√3)ac ,∴a 2+c 2-b 2=√3ac ,由余弦定理,得cos B=a 2+c 2-b22ac =√3ac 2ac =√32,又B 为△ABC 的内角, ∴B=π6.(2)∵cos ∠ADC=-14, ∴sin ∠ADC=√154.∴sin ∠BAD=sin (∠ADC -π6)=3√5+18. 在△ABD 中,由正弦定理,得AD sinB =BDsin∠BAD ,即312=BD 8,解得BD=9√5+34,故a=9√5+32. 18.(1)证明 连接BD.∵PA ⊥平面ABCD ,DM ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥DM ,又四边形ABCD 为菱形,∠BAD=60°,∴△ABD 为等边三角形. ∵M 为AB 中点, ∴DM ⊥AB.又PA ∩AB=A ,PA 在平面PAB 内,AB 在平面PAB 内, ∴DM ⊥平面PAB ,又DM 在平面PMD 内, ∴平面PMD ⊥平面PAB.(2)解 设AC 与BD 的交点为O ,连接NO.∵四边形ABCD 为菱形, ∴AC ⊥BD.又AC ⊥BN ,NB ⊂平面BON ,BO ⊂平面BON ,BO ∩BN=B , ∴AC ⊥平面BON , ∵NO ⊂平面BON , ∴AC ⊥NO.∵PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴PA ⊥AC.又PA ,NO 在同一平面PAC 内, ∴PA ∥NO.又O 为AC 中点, ∴N 为PC 中点.∴NO=12PA=1,NO ⊥平面ABCD.∴V 三棱锥N-BCD =13S △BCD ·NO=13×12×2×2×sin 60°×1=√33.19.解 (1)由题图知五段的频率别离为0.08,0.32,4x ,0.12,0.08,因此0.08+0.32+4x+0.12+0.08=1, 解得x=0.1.由题图知众数的估量值为12,平均数估量值为4×0.08+8×0.32+12×0.4+16×0.12+20×0.08=11.2. (2)设事件A 为这两人在[18,22]中恰有一人,由已知得在[14,18)内有6人,在[18,22]内有4人,从10人中取2人的结果有45种,事件A 的结果有24种,故在[18,22]中恰有一人的概率P (A )=2445=815.20.(1)解 由已知可知△MF 1N 的周长为4a ,因此4a=4√2,解得a=√2,又椭圆通过点A (0,-1),得b=1,因此椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)证明 由题设可设直线PQ 的方程为y-1=k (x-1),k ≠2,化简,得y=kx-k+1,代入x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-4k (k-1)x+2k (k-2)=0, 由题意可知Δ>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1x 2≠0, 则x 1+x 2=4k (k -1)1+2k2,x 1x 2=2k (k -2)1+2k2,从而直线AP ,AQ 的斜率之和k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1-k+2x 1+kx 2-k+2x 2=2k-(k-2)(1x 1+1x 2) =2k-(k-2)x 1+x2x 1x 2=2k-(k-2)4k (k -1)2k (k -2)=2k-2(k-1)=2,故直线AP 与AQ 斜率之和为定值2.21.解 (1)由已知在(1,f (1))处的切线的斜率为-2,又f'(x )=-ln x-1-a ,∴f'(1)=-ln 1-1-a=-1-a=-2, ∴a=1,∴f (x )=1-x ln x-x ,f'(x )=-ln x-2,由f'(x )=-ln x-2>0,解得0<x<1e2, 由f'(x )=-ln x-2<0,解得x>1e 2, ∴f (x )的单调递增区间为(0,1e 2),单调递减区间为(1e 2,+∞). (2)对任意x 2∈[0,1]总存在x 1∈(0,+∞)使得g (x 2)<f (x 1), ∴g (x )max <f (x )max .又由(1)知当x=1e 2时,f (x )max =f (1e 2)=1+1e2. 关于g (x )=-x 2+2kx ,其对称轴为x=k ,又k>0,①当0<k ≤1时,g (x )max =g (k )=k 2, ∴k 2<1+1e2,从而0<k ≤1;②当k>1时,g (x )max =g (1)=2k-1, ∴2k-1<1+1e2, 从而1<k<1+12e 2. 综上可知,0<k<1+12e 2. 22.解 (1)曲线C 1的参数方程为{x =-12t ,y =2+√32t(t 为参数),由代入法消去参数t ,可得曲线C 1的一般方程为y=-√3x+2; 曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√1+3sin θ,得ρ2=41+3sin 2θ,即为ρ2+3ρ2sin 2θ=4, 整理可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24+y 2=1;(2)将{x =-12t ,y =2+√32t (t 为参数), 代入曲线C 2的直角坐标方程x 24+y 2=1,得13t 2+32√3t+48=0, 利用根与系数的关系,可得t 1·t 2=4813,因此|MA|·|MB|=4813.23.解 (1)∵f (x )=|x-3|+|x+4|={-2x -1,x ≤-4,7,-4<x <3,2x +1,x ≥3,∴f (x )≥11可化为{x ≤-4,-2x -1≥11或{-4<x <3,7≥11或{x ≥3,2x +1≥11.解得{x|x ≤-6}或⌀或{x|x ≥5}.∴f (x )≥11的解集为{x|x ≤-6或x ≥5}.(2)作出f (x )={-2x -1,x ≤-4,7,-4<x <3,2x +1,x ≥3的图象,而g (x )=k (x-3)图象为恒过定点P (3,0)的一条直线. 如图,由题意,可得点A (-4,7),k PA =0-73+4=-1,k PB =2.∴实数k 的取值范围应该为(-1,2].。