数值分析课件第07章非线性方程求根

数值分析复习资料

一、重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法

1）二分法的基本原理，误差：~12kbax

2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c

3）单点迭代收敛定理：

定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；

定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，

②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有

则对任意初值0,xab迭代收敛，且：

110111iiiiixxxllxxxl

定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；

定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）

4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛

5）Newton迭代法收敛定理：

设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：

①：()()0fafb；

②：'()0,,fxxab；

③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；

则Newton迭代法收敛于根。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx

收敛阶：152P

7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改

①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）

②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。

1 第一章 绪论

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）

2 14159.3具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

3 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值，问ba，ba有几位有效数字？（有效数字的计算）

4 设0x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差？（误差的计算）

5测得某圆柱体高度h的值为cmh20*，底面半径r的值为cmr5*，已知cmhh2.0||*，cmrr1.0||*，求圆柱体体积hrv2的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）

6 设x的相对误差为%a,求nxy的相对误差。（函数误差的计算）

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）

8 设101dxexeIxnn，求证：

（1）)2,1,0(11nnIInn

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 2 第二章 插值法

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）

2 已知9,4,10xxxy，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

3 若),...1,0(njxj为互异节点，且有

)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl

试证明),...1,0()(0nkxxlxnjkjkj。（拉格朗日插值基函数的性质）

1 第一章绪论

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1若误差限为0.5x103那么近似数0. 003400有几位有效数字？（有效数字的计算）

2兀= 3.14159…具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

3已知cul.2031, b = 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a + b, axb有几位有 效数字？（有效数字的计算）

4设x>0, x的相对误差为5,求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）

5测得某圆柱体高度力的值为ir = 20cw ,底面半径厂的值为r* = 5cm ,已知 \h-h* |<0.2cm, |r-r*

|<0.1c/w,求圆柱体体积v = m^h的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算）

6设x的相对误差为c/%,求y = 的相对误差。（函数误差的计算）

7计算球的体枳，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多 人？（函数误差的计算）

1

8 设 lH=e~^xnexdx,求证：

0

（1） /„ = 1 - nl^ （n = 0,1, 2 - • ■）

（2） 利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增人；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择）2 第二章插值法

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插 值余项的计算和应甩

1己知/(—1) = 2,/(1) = 1,/(2) = 1,求/(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗口插值)

2已知y = 习=9,用线性插值求J7的近似值。(拉格朗口线性插值)

3若x.(y = O,Uw)为互异节点，且有

试证明土屮卫)三扌(k = 0,1,...//)o (拉格朗口插值基函数的性质) 7=0

4 已sill0.32 = 0.314567, sin 034 = 0333487, sin 036 = 0352274,用抛物线插值计

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精品.资料 第5章

复习与思考题

1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？

答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？

答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？

楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？

对角占优的三对角方程组

6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53，符合3个运算法则。

正定性

齐次性

三角不等式

设x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）

11||||||niixx

12221||||()niixx