第六章-非线性方程求根

(2) 如果将原方程化为等价方程 x = 仍取初值
x0 = 0
3
3
x+1 2
x1 =
x0 + 1 = 2
3
3
1 ≈ 0 .7937 2
1 .7937 ≈ 0 .9644 2
x2 =
依此类推,得 依此类推, x3 = 0.9940 同样的方程 x4 = 0.9990 不同的迭代格式 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 有不同的结果 x7 = 1.0000 已经收敛, 已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000
用一般迭代法求方程x lnx＝ 在区间（ 例：用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间（2，∞） 内的根，要求|x 内的根，要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 f(x)=x-lnx解：令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0,f(4)>0,故方程在 2,4） 故方程在（ f(2)<0,f(4)>0,故方程在（2,4）内至少有一个根
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
p1 x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x* x1
y=g(x)
x
y=x
p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x
f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 f(x)=0化为等价方程x=g(x)的方式是不唯 化为等价方程x=g(x) 一的,有的收敛,有的发散. 一的,有的收敛,有的发散. example： For example：2x3-x-1=0
1 3 ( x + 1 ) = g ( x ) 进行迭代，则在 进行迭代，则在(1, 3

第六章非线性方程的数值解法习题解答
填空题：
1. 求方程 x = f (x) 根的牛顿迭代格式是__________________。
Ans:
xn+1
=
xn
-
xn - f (xn ) 1 - f ﾢ(xn )
2.求解方程
在(1, 2)内根的下列迭代法中，
(1)
(2)
(3)
(4)
收敛的迭代法是（A）.
A．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)
3、试分别用 Newton 法和割线法求以下方程的根
x - cos x = 0
取初值
x0
=
0.5, x1
=
p 4
，比较计算结果。
解： Newton 法： x1 = 0.75522242,x2 =0.73914166,x3 =0.73908513 ； 割线法： x2 = 0.73638414,x3 =0.73905814,x4 =0.73908515,x5 =0.73908513 ；
由 j (x) = 4 - 2x , j '(x) = -2x ln 2 > 2 ln 2 ﾻ 1.36829 > 1, 故不能用 xk+1 = 4 - 2xk 来迭
代。
将原方程改写为 x = ln(4 - x) / ln 2, 此时， j (x) = ln(4 - x) / ln 2,
j '(x)
对 x = tgx � x = p + arctgx � xk +1 = p + arctgxk 用搜索法知在[4.45, 4.50]内有根，取x0 = 4.45迭代，x(5) = 4.49341。

得到一个迭代序列： x0，x1，x2，. . . ，xn，. . .
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
18:28:03
Numerical Analysis
9
y p0 x0 y
18:28:03
y=x
p1
y= (x)
✓
y p0
y=x
✓
p1 y= (x)
x x1 x2 x*
x0
(x) ( y) L x y
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
证明：P216
18:28:03
Numerical Analysis
12
收敛性分析
不动点迭代的收敛性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
性质：若
lim
k
xk
x *，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
18:28:03
Numerical Analysis
11
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足

设方程f(x)=0有近似根xk（f `(xk)0），将f(x)在xk 展开： （在x和xk之间）
f ( ) 2 f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2!
可设
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk )
x
f (x ) x f ( x )
例：采用切线法求方程在区间[0.5，2]上的一个根。
x x 20
3
>> r=NewtonRoot('sqrt(x)-x^3+2',0.5,2)
r= 1.4759
弦截法（割线法） 在Newton迭代格式中，用差商近似导数，
f ( xk ) f ( xk 1 ) f ( xk ) xk xk 1
function r=FindRoots(f,a,b,eps) f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值 f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值 if(f_1*mf>0) t=(a+b)/2; r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归 else if(f_1*mf==0) r=(a+b)/2; else if(abs(b-a)<=eps) r=(b+3*a)/4; else s=(a+b)/2; r=FindRoots(f,a,s,eps); %左递归 end end end 注：SUBS：Symbolic substitution. Also used to evaluate expressions numerically. SYM ； Construct symbolic numbers, variables and objects. FINDSYM：Finds the symbolic variables in a symbolic expression or matrix.