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设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐步 收缩有根区间,最后得出所求的根。具体过程如下
① 取有根区间[a,b]之中点, 将它分为两半,分点
x0
ab 2
,这样就可缩小有根区间
y
y=f(x)
y=f(x)
a
x1
x* x0
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a1
b1
a2
b2
x*
a
x0
x1
b
a1
1b31
a2
b2
二分法求根过程
根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在
(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确
起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区
间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间
缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度
x0 , x1 , x2 ,, xk , 该序列以根x*为极限
只要二分足够多次(即k足够大),便有 x* xk
上述每个区间都是前一个区间的一半,因此 ak ,bk
的长度
bk
ak
1 2
(bk
1
ak 1 )
1 2k
(b
a )
14
二分法求根过程
当k→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x* 即为 所求的根 。
每次二分后,取有根区间 ak ,bk
的中点
1 xk 2 (ak bk )
作为根的近似值,得到一个近似根的序列
7
画图法
• 画出y = f (x)的略图,从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。
• 也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式,1(x) 与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根 区间。 例如 xlogx-1= 0 可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交 点的横坐标位于区间[2,3]内
在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1) 当且仅当
f (x* ) f (x* ) f (m1) (x* ) 0, f (m) (x* ) 0
2
非线性方程的概念
当f(x)不是x的线性函数时,称对应的函数方程 为非线性方程。如果f(x)是多项式函数,则称为代数 方程,否则称为超越方程(三角方程,指数、对数方 程等)。一般称n次多项式构成的方程
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画图法
y y1 x
y gx
0
2 3
x
9
搜索法
对于给定的f (x),设有根区间为[A,B],从x0=A出 发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定 节点:xi=x0+ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi) 的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个 缩小的有根子区间[xi-1,xi]。
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有根区间的确定
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单值 连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少有一个实根。 如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减,则仅有 一个实根。
y
y=f(x)
a
x b
大体确定根所在子区间的方法有:
(1) 画图法
(2) 逐步搜索法
y
0 A a1 b1a2 b2
Bx
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例题
例7.1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解:用试凑的方法,不难发现
f(0)<0 f(2)>0 在区间(0,2)内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 搜索,列表如下
0 0.5 1.0 1.5 2
x
f(x) – –
第7章 非线性方程与方程组 的数值解法
§7.1 方程求根与二分法 §7.2 不动点迭代法及其收敛性 §7.3 迭代收敛的加速方法
§7.4 §7.5 §7.6
牛顿法 弦截法与抛物线法 求根问题的敏感性与多项式的零点
§7.7 非线性方程组的数值解法
1
§7.1 方程求根与二分法
在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类 问题是非线性方程
an x n an1 x n1 a1 x a0 0 (an 0)
为n次代数方程,当n>1时,方程显然是非线性的
一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,
很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解
非线性方程的近似根的几种数值解法
3
求根步骤
通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 ① 判定根的存在性。即方程有没有根?如果有
–
+
+
可以看出,在[1.0,1.5]内必有一根
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搜索法
• 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h • 要选择适当h ,使之既能把根隔离开来,工作量
又不太大。 • 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的
基础上采用对分法继续缩小该含根子区间
二分法可以看作是搜索法的一种改进。
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二分法求根过程
根,有几个根? ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔
离开来,这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。 ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法 逐步精确化,直到满足预先要求的精度为止
4
二分法
二分法又称二分区间法,是求解方程(7.1)的近
似根的一种常用的简单方法。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,
② 对压缩了的有根区间 a1,b1 施行同样的手法,
即取中点
x1
a1
b1 2
,将区间 a1, b1
再分为两半,然
后再确定有根区间 a2 ,b2 ,其长度是 a1, b1 的
二分之一
③ 如此反复下去,若不出现 f (xk ) 0 ,即可得出一 系列有根区间序列:
a, b a1 , b1 a2 , b2 ak , bk
要求的近似根。
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有根区间的确定
• 为了确定根的初值,首先必须圈定根所在的范围, 称为圈定根或根的隔离。
• 在上述基础上,采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。
• 对于代数方程,其根的个数(实或复的)与其次数 相同。至于超越方程,其根可能是一个、几个或无 解,并没有什么固定的圈根方法
• 求方程根的问题,就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。
f(x)=0
(7.1)
的求根问题,其中f(x)为非线性函数。
方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点
如果f(x)可以分解成 f (x) (x x* )m g(x) ,其中m为正 整数且 g(x* ) 0 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方 程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存