北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一数学下学期期中试题(B)(含解析)

2019-2020 学年北京市首师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版(B)一、单选题1．已知集合 ={ | ＞2}， ={ （| -1）（ -3）＜0}，则 ∩ = A x x B x x x A B （）x x A ．{ | ＞1} B ．{ |2＜ ＜3}x x C ．{ |1＜ ＜3}x x D ．{ | ＞2 或 ＜3} x xx【答案】B【解析】求出集合 ，进而可求 ∩ . A B B 【详解】解：由已知得 ={ |1＜ ＜3}，B x x则 ∩ ={ |2＜ ＜3}， A B x x 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．已知命题 ：∃ ＞0，方 程 - + =0 有解，则¬ 为（ ） p cx 2 xc p A ．∀ ＞0，方程 - + =0 无解 B ．∀ ≤0，方程 - + =0 c x 2 x c c x 2 x c 有解C ．∃ ＞0，方程 - + =0 无解D ．∃ ≤0，方 程 - + =0 c x 2 x c c x 2 x c 有解 【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p：∃c＞0，方程x-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方2程x-x+c=0无解,2故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3．已知定义在上的函数（）的图像是连续不断的，R f x且有如下对应值表：1234x6.12.9-3.5-1（）f x那么函数（）一定存在零点的区间是（）f xA．（-∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知，f(1)f(2)0,f(2)f(3)0,f(3)f(4)0由零点存在性定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3），故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞） 上单调递减的（ ）3A ． =B ． =y y x 2 x C ． = +1y x D ． =-yx【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判 断. 【详解】对A. = 在（0,+∞）上单调递增，故排除；y x 23对B. = ，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单y x 调递减；对C. = +1，其为非奇非偶函数，故排除；y x 对D. =- ，其为非奇非偶函数，故排除， y x 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5．若 ＞ ，则下列四个不等式中必成立的是（）a bA ． ＞ ac bcB ．a ＞ b c cC ． ＞D ． ＞ b a 2 b 2 a 21 c21c【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成 立. 【详解】A.当 时，不等式不成立； c 0B.当 时，不等式不成立；c 0 C.当 时，不等式不成立；a1,b 2 D.因为 ，故不等式必成立，2 1 0 c 故选：D.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不 等式的基本性质，是基础题. 6．函数 ( )= 的最大值为 （ ） x f x x 125 12A ．B ．C ． 2D ．12【答案】Bx1 1 2(x)【解析】本小题主要考查均值定理．f1 x 1xx1 （当且仅 x，即 时取等号．故选B ． x 1x7． 是命题“， ”为真命题的(5 x 1,2 )a x 2 aA ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 【答案】AB ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】“ ， ”等价于 大于等于 的最大值，a2x1,2 x 2a 0 x 由 的范围求得 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充 x 2 x 分条件、必要条件的定义可得结果． 【详解】因为“ ， ”等价于 大于等于的最大值，a2xx 1,2 x 2 a 0 而 ，有 ，所以，a4 x1,2 x 2 1, 4 由 ，可得 成立，即 ，成立； a 4 a 5 x1,2 0 x 2a反之， ， 成立，可得，不能推出 ．a5x 1,2 4 x 2 a 0 a是命题“， x 1,2”为真命题的充分而不必要 a 5x 2 a条件，故选A ． 【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件 的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论分别是什么，然后直接依据定义、 q p 定理、性质尝试pq ,q p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利 用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为 判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系 来处理. 8．已知奇函数 的图像关于直线 对称，且 ，y f (x) 2 ( ) 3 f mx 则的值为（）f (m 4)1 3A ．3B ．0C ．-3D ．【答案】C【解析】由函数的图象关于直线 对称，可得y f (x)x2，再结合 为奇函数，求得 的值. f (m) f (4 m) f (x) f (m 4) y 【详解】 解：由函数的图象关于直线 对称，可得y f (x)x2 ，f (m) f (4 m)再结合 为奇函数，可得 (m) f (4 m) f (m4) 3，y f (x) 求得f (m4) 3，故选：C. f 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称 性，属于基础题. 9．已知函数 ,若对任意 ,且 ,不等f x ax x 2 x 1, x2,xx 212f xf x恒成立,则实数 的取值范围是a0 12 x x121 11 41 4A ．B ．C ．D ．,,, ,22【答案】D 【解析】对不等式f xf x 进行化简，转化为a （x +x ） 2 11 2x x121﹣1＞0 恒成立，再将不等式变形，得到a ＞ 恒成立，x x121从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出ax x12的取值范围． 【详解】f xf x 212 x 不妨设x ＞x ≥2，不等式 = ax x ax 12 1 2 22 1 x xx x 1122a x xx xxx==a （x +x ）﹣1， 2121 2 11 2x x12f xf x ∵对任意x ，x ∈[2，+∞），且x ≠x ，不等式 ＞2 11 2 1 2 x x120 恒成立，1∴x ＞x ≥2 时，a （x +x ）﹣1＞0，即a ＞ 恒成立 2 1 1 2 x x12∵x ＞x ≥2 2 11 1 4＜ x x121 1 ∴a≥ ，即a 的取值范围为[ ，+∞）；44故选：D ． 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型， 本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范 围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化 为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为F xF x ，或是的形式，即求的形式，即求 0F x 0maxF x ，求参数取值.min 10．给定条件：①∃ ∈ ， （- ）=- （ ）；②∀ ∈ ， x Rx R f x f x 0 0 0 （1- ）=- （1+ ）.下列三个函数： = ， =| -1|， f x f x y x 3 y x1, 1 = x 2 x 中，同时满足条件①②的函数个数是 y4x 3, x 1 x2 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可 判断 = ；根 据 的解的情况，可判断=| -1|； y x 3 x x 1 0 1 y x 01,1= x 2x 满足①②. 最后验证y 4x 3, x 1x2 【详解】解：令g(x)f(1x)，则，g(x)f(1x)f(1x)g(x)所以为偶函数，关于对称，g(x)(0,0)将的图象向右平移一个单位可得的图象，故f x() g(x)f(1x)图象关于对称，故可排除；(1,0)f(x)x3y若存在一个使得x，即，该方x 1x10x1x 100000程无解，故不满足②，排除；y|x 1|1,1y x2x对于，4x3,x 1x2当时，f (1)(1)210,f(1)(143)0，其满足①，x1画出图象如下：由图象可知，满足②.故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于对称是关键，属于中档题.(1,0)二、填空题2711．计算+=____________.20.0001123()27348134【答案】【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】2原式 3 23 9 13，142 30.14310 9 4 43313 故答案为： .4【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题. 1 12．函数y=2x1+的定义域为____________.x 11 【答案】[ ，1）∪（1，+∞）2【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不 等式组，求出x 的范围. 【详解】2x 1 0 1解：要使函数有意义需要 解得 且， x x 1x 1 0 2 1 故答案为：[ ，1）∪（1，+∞）.2【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于 0；分母非0；对数的底数大于0 且不为1，真数大于0 等 方面考虑.．若函数 （ ） 在区间 ， 上的最大值为 [a a+2]13 f x =x -2x+1 2 ，则 的值为 a4 ____________.【答案】-1 或1【解析】对 分类讨论，利用函数 （ ）= -2 +1 在区间 a f x x 2 x [a ，a+2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值.【详解】 解：由题意，当 时，，即 f (a 2) 4， (a 2) 2(a 2) 1 4 a0 2 ；(a 1) 4,a 1 2 当 时，，即 f (a) 4，a 0 a22a 1 4 ；(a 1) 4,a 1 2 综上知， 的值为1 或−1. a 故答案为：1 或−1. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数 学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.1 ．如果关于 的方程 （ ） 有两个大于 的 14 + -1 - =0 x2 m x m x 2正根，则实数 的取值范围为 m____________.1 【答案】（-∞，- ）21【解析】方程有两个大于 的根，据此可以列出不等式组2求得 的取值范围即可. m 【详解】解：根据题意， 应当满足条件m( 1)2 4 0m m 2 1 0 m 2 m1 m 1 1 即： ，解得： ， m0 m 2 2 2 1 2 1 1 m(m 1) m 04 2 1 实数 的取值范围：（-∞，- ）. m21 故答案为：（-∞，- ）.2【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正 确的运用判别式及韦达定理，是中档题. ．能说明“若 对任意的都成立，则 在15 f (x)g(x) x [0, 2]( ) f x上的最小值大于 在 上的最大值”为假命题的一[0,2] g (x ) [0,2] 对函数可以是f (x) ____， _______。

学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+ sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错函数的值域是，B对在区间上单调递增，在单调递减，C错函数在上有2个零点，分别是，D对故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.二、填空题（共 4 小题；共 20 分.）13.如图所示，用三类不同的元件接成系统，若元件、、正常工作的概率分别为、、，那么系统正常工作的概率为________________.【答案】【解析】【分析】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，所以，系统正常工作的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.14.已知样本的平均数与方差分别是1和4，若，且样本的平均数与方差也分别是1和4，则________________.【答案】【解析】【分析】由样本的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4,得到a, b的关系式，由此能求出 .【详解】因为样本的平均数与方差分别是1和4，的平均数与方差也分别是1和4，所以，解得或，，故答案为：1【点睛】本题主要考查代数式求值，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，属于中档题.15.在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】【分析】由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1). 1 (2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.16.已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】【分析】取中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分.）17.己知向量是同一平面内的三个向量，其中（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且，求与的夹角.【答案】(Ⅰ)，或;(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）设向量的坐标为,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为，可求得，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.【详解】（Ⅰ）设，由，且可得所以或故，或（Ⅱ）因为，且，所以，即，所以，故，.18.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）时，取最大值；时，取最小值.【解析】(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成,再求周期.(2)按照左加右减，上加下减的原则先确定,再求特定区间上的最值即可.（Ⅰ）,所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）依题意,[]因为，所以.当，即时，取最大值；当，即时，取最小值.19.已知的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将边化角，利用两角和的正弦公式，简单计算即可得结果.（2）根据（1）条件，使用面积公式，可得，然后使用余弦定理可得，进一步可得结果.【详解】(1)由已知及正弦定理得,，即，故.可得，所以.（2）由已知.又，所以.由已知及余弦定理得，故，从而.所以的周长为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.20.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分；（2）用分层抽样的方法，在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）首先可以计算出除了之外的其他分数段的频率，然后计算出分数在内的频率，再用频率除以组距即可，然后用每一分数段的中间数乘以每一分数段的概率再相加即可得出平均分；（2）首先算出在以及两个分数段中抽取的人数，然后列出从中任取2个的所有可能的事件，并找出满足题目要求的事件，即可得出结果．【详解】（1）分数在内的频率为，（直方图略），平均分为：，（2）由题意，分数段的人数为：人，分数段的人数为：人，因为用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，抽样比，所以需在分数段内抽取人，并分别记为；在分数段内抽取人并分别记为；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件A，则基本事件有：共15种．事件A包含的基本事件有：（共种，所以．【点睛】本题考查了频率分布直方图以及概率，在计算频率分布直方图类的题目时要注意图表中所提供的信息，注意纵坐标是“频率除以组距”，考查计算能力与推理能力，是中档题．21.如图，在三棱锥中，平面平面，，．设，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，，的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）点是线段中点【解析】【分析】（1）通过证明，证明平面；（2）通过和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；（3）通过证明两个平面内的两条相交直线分别平行，证明平面平面即可.【详解】（1）因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面平面，所以平面；（2）因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，所以又因为，所以平面；（3）当点线段中点时，过点的平面内的任一条直线都与平面平行，证明如下：取中点，连.由（1）可知平面.因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行.考点：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，探索性问题；空间想象能力和逻辑推理能力.22.已知函数，.（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；（2）求函数的单调递增区间：（3）定义：对于任意实数、，设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解【详解】（1），，值域为；（2）令，解得，所以函数的单调递增区间为，;（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，当，即时，，当，即时，，故，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为 ,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+ sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为 ,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错。

2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B 【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】首先画出几何体，由线面垂直的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，属于基础题型.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若满足条件只需甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，写出概率；（2）甲队至少得3分包含甲队恰得3分，和甲队得6分，根据分值判断获胜情况，求得概率.【详解】（1）若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，即，即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是；（2）当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲，当甲恰得6分，即甲队胜了2场，即,那么该次比赛中甲队至少得3分的概率.【点睛】本题考查对立事件同时发生的概率，重点考查读题，抽象概括能力，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意.20.已知的内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解.（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.【详解】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，所以.因为，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以.①又的面积为，即，即，即.②由①②得，则，得.所以的周长为.【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,,垂足为，是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．所以AC PH,又AC BD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC BD,AB=.所以HA=HB=.因为APB=ADR=600所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；（2）求证：⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，连结，由题意得，利用中位线证明；（2）要证明线面垂直，根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线，利用面面垂直的性质定理，取棱中点，连结，再证明；（3）连结，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）连结，由题意得，，又由，得，平面，平面，平面．（2）取棱中点，连结，依题意得，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，又，，平面．（3）连结，由（2）中平面，知是直线与平面所成角，是等边三角形，，且为中点，，又，在中，．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题型.2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为。

2019-2020学年北京市首师大附中高一下学期期中数学试卷(A 卷)一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知sin(π6−α)=13，则cos(π3−2α)= ( ) A. −79 B. 4√29C. 79D. −4√29 2. 设x <0，y <0，且x +2y +1=0，则1x +1y 的最大值为( )A. −3−2√2B. 6C. −6D. 3+2√23. 设U ={1,2,3,4,5},A ={1,2},B ={1,4,5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {1}B. {2}C. {1,2,3}D. {1,2,4,5}4. 若函数f(x)={x 2,x >0π,x =00,x <0，则f{f[f(−2)]}=( )A. 0B. πC. π2D. 4 5. 已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“(12)a <(12)b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知集合M ={x|x ≥−1}，N ={x|−2<x <2}，则M ∩N =( )A. (−∞,−1]B. [−1,2)C. (−1,2]D. (2,+∞)7. 为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A. x 1，x 2，…，x n 的平均数B. x 1，x 2，…，x n 的标准差C. x 1，x 2，…，x n 的最大值D. x 1，x 2，…，x n 的中位数8. 已知集合A ={x|x <4}，B ={0,1，2，3，4，5，6}，则(∁R A)∩B 等于( )A. {0,1，2，3}B. {5,6}C. {4,5，6}D. {3,4，5，6}9. 在地面上点D 处，测得某建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m ，则建筑物高度为( )A. 20 mB. 40 mC. 30 mD. 60 m10. 已知函数f(x)=(1−cosx)sinx ，则( )A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)既是奇函数也是偶函数D. f(x)既不是奇函数也不是偶函数二、单空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 已知定义在R 上的函数f(x)在[−3,+∞)上是增函数，且y =f(x −3)是偶函数，则f(−5)，f(−3)，f (0)的大小关系为______．12. 函数y =3cos 2x −4sinx +1的值域为 ．13. 已知a ⃗ =(−12,y 0)是单位向量，则y 0=______． 14. 已知线性回归方程y ̂=0.75x +0.7，则x =11时，y 的估计值为________． 15. 若函数f(x)={3x +1,x ≥0ax +a,x <0在R 上单调递增，则a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16. 从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女生的个数，求ξ的分布列与数学期望．17. 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠B =π12，c =b(1+2cosA)，求角A ．18. 在△ABC 中，D 在边BC 上，且BD =2，DC =1，∠B =60°，∠ADC =150°，求AC 的长及△ABC的面积19. 已知cosα=−√55，tanβ=13,α∈(π,32π)，β∈(0,π2)．求sin (α−β)的值．20. 已知定义在R 上的奇函数f(x)=4x −14x +a ，(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(3)解不等式f(x +1)+f(1)>0.21.设函数f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为A．(1)若1∈A，−3∉A，求实数a的取值范围；(2)若函数y=f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查二倍角公式的应用，属于简单题．依题意，cos(π3−2α)=1−2sin 2(π6−α)，即可求得结果．解：因为sin(π6−α)=13，所以cos(π3−2α)=1−2sin 2(π6−α)=79，故选C ． 2.答案：A解析：本题考查了利用基本不等式求最值，由题意得−x −2y =1，所以1x +1y =−(1x +1y )(x +2y)=−(3+2y x +x y )，利用基本不等式求最值即可． 解：由x +2y +1=0得−x −2y =1，∴1x +1y =−(1x +1y )(x +2y)=−(3+2y x +x y ) ≤−(3+2√2y x ·x y )=−3−2√2， 当且仅当2y x =x y 时，等号成立，故选A ．3.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，是基础题．根据集合的补集、并集运算求解即可．解：U ={1,2，3，4，5}，A ={1,2}，B ={1,4，5}，∁U B ={2,3}则A ∪(∁U B)=A ={1,2}∪{2,3}={1,2，3}，故选：C ．4.答案：C解析：解：函数f(x)={x 2,x >0π,x =00,x <0，则f(−2)=0，f(f(−2))=f(0)=π．f{f[f(−2)]}=f(π)=π2．故选：C ．直接利用分段函数求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：A解析：此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．根据对数函数的性质由“log 3a >log 3b ”可得a >b >0，然后根据指数函数的性质由“(12)a <(12)b ，可得a >b ，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解：∵a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”∴a >b >0，∵(12)a <(12)b ，∴a >b ，∴“log 3a >log 3b ”⇒“(12)a <(12)b ，反之则不成立，∴“log 3a >log 3b ”是“(12)a <(12)b 的充分不必要条件，故选A ． 6.答案：B解析：本题考查了交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．先分别求出集合M，N，由此利用交集运算，即可求出M∩N．解：∵集合M={x|x≥−1}，N={x|−2<x<2}，∴M∩N={x|−1≤x<2}．故选B．7.答案：B解析：本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选B．8.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础，根据集合的基本运算进行求解即可．解：∵A={x|x<4}，∴∁R A={x|x≥4}，∵B={0,1，2，3，4，5，6}，∴(∁R A)∩B={4,5，6}，故选C．9.答案：B解析：本题主要考查了解三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解三角形的计算，属于基础题．根据已知及解三角形的计算，求出建筑物高度．解：如图，设O为顶端A在地面的射影．在Rt△BOD中，∠ODB=30°，OB=20，BD=40，OD=20√3．在Rt△AOD中，OA=OD·tan60°=60，∴AB=OA−OB=40(m)．10.答案：A解析：姐姐：∵函数f(x)=(1−cosx)sinx，它的定义域为R，关于原点对称，且满足f(−x)=[1−cos(−x)]·sin(−x)=(1−cosx)·(−sinx)=−(1−cosx)sinx=−f(x)，故该函数为奇函数，故选：A．根据函数的定义域关于原点对称，且满足f(−x)=−f(x)，可得它为奇函数．本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．11.答案：f(−3)<f(−5)<f(0)解析：解：根据题意，y=f(x−3)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=−3的对称，则f(−5)=f(−1)，又由函数f(x)在[−3,+∞)上是增函数，有−3<−1<0，则有f(−3)<f(−1)<f(0)，又由f(−5)=f(−1)，则f(−3)<f(−5)<f(0)，故答案为：f(−3)<f(−5)<f(0)．根据题意，由y =f(x −3)是偶函数分析可得函数f(x)的图象关于直线x =−3的对称，进而可得f(−5)=f(−1)，结合函数的单调性可得f(−3)<f(−1)<f(0)，据此分析可得答案． 本题考查抽象函数的性质以及应用，注意分析函数的对称性，属于基础题．12.答案：[−3,163]解析：本题考查了换元法求三角函数的最值问题，涉及换元法和二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题．化简函数y ，利用换元法设sinx =t ，再结合二次函数的图象与性质，即可求出函数y 的值域． 解：化简可得y =4−3sin 2x −4sinx ，设sinx =t ，则t ∈[−1,1]，换元可得y =−3t 2−4t +4=−3(t +23)2+163，由二次函数的性质得，当t =−23时，函数y 取得最大值163，当t =1时，函数y 取得最小值−3，所以函数y 的值域为[−3,163].故答案为[−3,163].13.答案：±√32解析：本题考查了单位向量的概念，属于基础题．根据单位向量的模为1即可求出．解：∵a ⃗ =(−12,y 0)是单位向量，∴14+y 02=1， 解得y 0=±√32， 故答案为：±√32． 14.答案：8.95解析：本题考查线性回归方程的应用，属于基础题．把x =11代入y ̂=0.75x +0.7计算，得到y ^的值即可．解：因为线性回归方程ŷ=0.75x +0.7， 当x =11时，ŷ=8.95． 故答案为8.95．15.答案：(0,2]解析：解：函数f(x)={3x +1,x ≥0ax +a,x <0在R 上单调递增， 可得x ≥0时，f(x)=3x +1递增，当x <0时，f(x)=ax +a ，可得a >0且30+1≥a ，解得0<a ≤2，故答案为：(0,2]．由指数函数的单调性和题意可得a >0且30+1≥a ，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的单调性和运用，考查指数函数的单调性，不等式的解法，属于基础题． 16.答案：解：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3P(ξ=0)=C 53C 83=528，P(ξ=1)=C 52C 31C 83=1528，P(ξ=2)=C 51C 32C 83=1556，P(ξ=3)=C 33C 83=156， ∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P 5281528 1556 156 Eξ=1×1528+2×1556+3×156=3928．解析：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型． 17.答案：解：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠B =π12，c =b(1+2cosA)， 由正弦定理可得：sinC =sinB(1+2cosA)=sin π12(1+2cosA)，∴sin(π12+A)=sin π12(1+2cosA)，即sin π12cosA +cos π12sinA =sin π12+2sin π12cosA ，∴cos π12sinA −sinπ12cosA =sin π12， ∴sin(A −π12)=sin π12． 解得A −π12=π12．∴A =π6．解析：利用已知条件，通过正弦定理以及B 的大小，化简方程为A 的三角函数的形式，求解即可． 本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，基本知识的考查． 18.答案：解：由题意，∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可知ABD 是直角三角形，∴AB =1，AD =√3在△ADC 中，由余弦定理：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DCcos150°=7∴AC =√7；△ABC 的面积为S =12AB ⋅BC ⋅sin60°=12×3×1×√32=3√34． 解析：在△ABC 中，根据∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可得AB =1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式S =12AB ⋅BC ⋅sin60°求△ABC 的面积．本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题． 19.答案：解：因为α∈(π,32π)，， 所以sinα=−2√55， 又β∈(0,π2)，， 所以sinβ=√1010，cosβ=3√1010， 所以．解析：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式．求出sinα=−2√55，sinβ=√1010，cosβ=3√1010，利用两角差的正弦即可求得sin(α−β)的值．20.答案：解：(1)因为f(x)为R 上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，即4−x −14−x +a =−4x −14x +1， 解得a =1;(2)函数f(x)为增函数；由(1)知：f (x )=4x −14x +1=1−24x +1， 由指数函数的性质和复合函数的单调性可得函数f(x)为增函数；(3)由题意及(2)可得f(x +1)>f(−1)，所以x +1>−1，解得x >−2．解析：解析：本题考查了函数的奇偶性的应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的值域的求法，属于中档题．(1)f(−x)=−f(x)，求出a，并验证；可得答案，并验证；(2)化简f(x)=4x−14x+1=1−24x+1，利用定义可判断f(x)在(−∞,+∞)上为增函数，从而求函数的值域，(3)由奇偶性化f(x+1)>f(−1)，从而利用函数的单调性解答．21.答案：解：(1)由题意{1∈A−3∉A，得{1+a+1>0 9−3a+1≤0,所以a≥103．故实数a的取值范围为．(2)由题意，得x2+ax+1>0在R上恒成立，则Δ=a2−4<0，解得−2<a<2．故实数a的取值范围为(−2,2)．解析：本题考查了求函数的定义域以及不等式恒成立求参数的取值范围问题，属于基础题．(1)根据条件列式即可{1+a+1>09−3a+1≤0；(2)问题转化为x2+ax+1>0在R上恒成立，借助Δ=a2−4<0求解即可．。