【全国百强校】北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科） 试题

2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得集合，又，，故选C.2.设实数满足约束条件，则的最小值是（）A. B. 1 C. 2 D. 7【答案】A【解析】由题意作约束条件表示的平面区域如图，由，解得，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最小，即的最小值是，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质转化为对数不等式的问题求解．【详解】由题意得，原不等式等价于且，所以且，解得且，所以．所以实数的取值范围是．故选C．【点睛】解对数不等式时，一般要根据对数的单调性进行，若对数的底数为参数，则需要注意对底数进行分类讨论，同时不要忽视真数大于零这一隐含条件．4.设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若取时，不成立，若，则，可得“”是“”的必要而不充分条件，故选B.5.已知双曲线，其中，双曲线半焦距为，若抛物线2的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得准线被双曲线截得的弦长为，化简即可求出.【详解】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的左焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为：，∴，∴，∴，∴，∴则双曲线的渐近线方程为，故选：．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.6.已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得，进而可得，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，为奇函数，则，又由，又由在上是增函数，则有；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的性质．7.用一块圆心角为240°、半径为的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出扇形围成的圆锥底面圆半径和高，再计算圆锥的体积.【详解】扇形的圆心角为240°＝，半径为；设扇形围成的圆锥底面半径为，高为；则，解得；，则该圆锥的体积为．故选：．【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）A. 三分鹿之一B. 三分鹿之二C. 一鹿D. 一鹿、三分鹿之一【答案】A【解析】分析：本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中，，要求，由等差数列的前项和公式易解得．详解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，则，解得．故选A．点睛：本题考查等差数列的应用，考查数学文化，《九章算术》是我国古代的数学名著，书中集成了许多数学问题，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。

2019北京市东城区高三一模数学（理）（18）（本小题13分）设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.2019北京市东城区高三一模数学（文）（20）（本小题14分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--. （Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）当01a <<时，求()f x 零点的个数.（20）（共14分）解：（I ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得'(1)0f =，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'()x x f x x+-=.所以'()001,'()01f x x f x x <⇔<<>⇔>. 所以()f x 减区间为(0,1)，增区间为(1,)+?.所以函数()f x 在1x =时取得极小值，其极小值为(1)0f =，符合题意 所以1a =. ……………………………………………………………………5分（II ）令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，由01a <<，得11x a=>.所以11'()00,'()0f x x f x x a a<⇔<<>⇔>. 所以()f x 减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a+?.所以函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11()ln 1f a a a=+-.因为01a <<，所以1ln 0,1a a<>.所以110a -<. 所以11()ln 10f a a a =+-<. 因为21(2)(2)(2)()11a a a a e f ee e e e---+=++>+=， 又因为01a <<，所以20a e -+>. 所以1()0f e>.根据零点存在定理，函数()f x 在1(0,)a上有且仅有一个零点. 因为ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-.令30ax a +->，得3ax a->. 又因为01a <<，所以31a a a->. 所以当3ax a->时，()0f x >. 根据零点存在定理，函数()f x 在1(,)a+?上有且仅有一个零点.所以，当01a <<时，()f x 有两个零点. ………………………………14分2019北京市西城区高三一模数学（理）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e x x x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点.即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分2019北京市西城区高三一模数学（文）19．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)eg g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点.即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. …… 13分2019北京海淀区高三一模数学（理） (18)（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.(I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a<时，求证：函数()f x 存在极小值；(Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数．2019北京海淀区高三一模数学（文） (19)（本小题满分13分）已知函数3215()132f x x x a x =-+-． (I)当6a =时，求函数()f x 在(0+)∞，上的单调区间； (Ⅱ)求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．19．（共13分）解：（Ⅰ）当6,0a x =>时，3215()6132f x x x x =-+-所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0,f x =得2x =，或3x =. 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3) (Ⅱ)当0a <时，若0x <，则3215()132f x x x ax =---， 所以2'()5(5)f x x x a x x a =--=-- 因为0,0x a <<，所以'()0f x >若0x >，则3215()132f x x x ax =-+-， 所以2'()5f x x x a =-+ 令'()0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x < 不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值2019北京朝阳高三一模数学（理） 18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．18． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x-'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分2019北京朝阳高三一模数学（文） 19. （本小题满分13分）已知函数()e 4xf x a x =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，求证：曲线()y f x =在抛物线21y x =--的上方.19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）求导得()e 4x f x a '=-.定义域x ∈R .当0a ≤时，()0f x '<,函数()f x 在R 上为减函数. 当0a >时，令()0f x '>得4lnx a>,()f x 为增函数； 令()0f x '<得4lnx a<,()f x 为减函数. 所以0a ≤时，函数()f x 减区间是(,)-∞+∞. 当0a >时，函数()f x 增区间是 4(ln,)a +∞；减区间是4(,ln )a-∞. ………5分 （Ⅱ）依题意，只需证2e 410x x x -++>.设2()e 41xF x x x =-++.则()e 42xF x x '=-+，设()()G x F x '=.因为()e 20xG x '=+>，所以()G x 在(,)-∞+∞上单调递增.又因为(0)30,(1)e 20G G =-<=->，所以()0G x =在(0,1)内有唯一解，记为0x 即00e42x x =-.当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；所以022min 000000()()e 4165,(0,1)xF x F x x x x x x ==-++=-+∈.设22()65(3)4g x x x x =-+=--，(0,1)x ∈.则()(1)0g x g >=.所以0()0F x >. 所以()0F x >，即曲线()y f x =在抛物线21y x =--上方.………13分2019北京丰台区高三一模数学（理）18．（本小题13分）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.18.（共13分）解：（Ⅰ）因为0a =，R x ∈所以()(2)e xf x x =-，故()(1)e xf x x '=-，令()0f x '>，得1x >，所以单调递增区间为(1,)+∞； 令()0f x '<，得1x <，所以单调递区间为(,1)-∞．（Ⅱ）由题可得()(1)(e )xf x x ax '=--.① 当0a ≤时，对任意(0,+)x ∈∞，都有e 0x ax ->恒成立， 所以当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设g()=e xx ax -，依然取(0,+)x ∈∞. 则g ()=e xx a '-，令g ()=0x '，得=ln x a ，所以g()x 在(0,ln )a 上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以min g()(ln )(1ln )x g a a a ==-.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）. 所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞U ，都有e 0x ax ->恒成立. 所以当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.2019北京丰台区高三一模数学（文）19．（本小题13分）已知函数e ()ln x af x a x x x=--．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 19．（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞，当0a =时， e ()xf x x=，2e (1)'()x xf x x -=，令'()0f x >得1x >，令'()0f x <得01x <<． 所以 ()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）2(e )(1)'()x a x f x x --=．（1）当e a ≤时，若(1,)x ∈+∞，则e e >0x x a e --≥．此时2(e )(1)'()0x a x f x x--=>， 函数()f x 在1x =处不可能取得极大值． （2）当e a >时，ln 1a >．函数()f x 在1x =处取得极大值． 综上可知，a 的取值范围是(e,)+∞.2019北京石景山区高三一模数学（理）18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．18．（本小题13分）解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(，a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a=满足题意。

2019北京高三一模数学---函数理科1.2019东城一模理（13）已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________. 2.2019西城一模理11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___． 3.2019海淀一模理(2)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ 4.2019朝阳一模理4．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ． 5.2019丰台一模理5．下列函数中，同时满足：①图象关于y 轴对称；②1212,(0,)()x x x x ∀∈+∞≠，2121()()0f x f x x x ->-的是（A ）1()f x x -=（B ）2()log ||f x x =（C ）()cos f x x =（D ）1()2x f x +=13．已知函数()cos(2)(0)2f x x ϕϕπ=+-<<． ①函数()f x 的最小正周期为____；②若函数()f x 在区间4[,]33ππ上有且只有三个零点，则ϕ的值是____．6.2019石景山一模理7. 若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是A. x ya b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a b x y< 8.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为A. π6B.π3C.2π3D.4π37.2019怀柔一模理6．若函数()22-=-x x f x ，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数11．函数的最小正周期是________，的取值范围是__________．8.2019延庆一模理3. 已知(0,1)x ∈，令log 3x a =，sin b x =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c a b << 4．函数()=sin 22f x x x -在区间[,]22ππ-上的零点之和是 （A ）3π-（B ）6π- （C ）6π（D ）3π(f x ）12. 设()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0x R 使得0()1f x <”为假命题的一个函数是()f x =_____．9.2019平谷一模理2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y=B. y=lnxC. y=sinxD. y=8. 放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为（ ） A. 10小时B. 8小时C. 12小时D. 15小时13. 已知函数f(x)=sin(2x+ )（其中 为实数），若f （x ）≤对x ∈R 恒成立，则满足条件的 值为 （写出满足条件的一个 值即可）。

北京市一模统一考试高三数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21i i =+（ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） AC.25.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（4题图）2013201420151季度 2季度 3季度 4季度 1季度 2季度 3季度 4季度 1季度2013年 2014年 2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确．．．的是 （ ） A.2{}n n a a ++是等比数列 B.对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +> 7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是 （ ） A ．近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长 C ．该市生产总值2013年到2014年 为负增长，2014年到2015年为正增长 D.以上A 、B 、C 的判断都不正确8.已知偶函数()f x ，奇函数()g x 的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根的个数分别为,a b ，则a b += （ ）A ．3B ．7C ．10D ．14）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为 .（图2）x10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。

2019北京高考一模理数汇编2019北京高考一模理数汇编：选择填空压轴 (2)2019北京高考一模理数汇编：立体几何与空间向量 (8)2019北京高考一模理数汇编：概率与统计 (19)2019北京高考一模理数汇编：解析几何 (28)2019北京高考一模理数汇编：导数 (33)2019北京高考一模理数汇编：选择填空压轴选择压轴1.已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是【】A.0,2,a n ∀>∃≥使得n a <B.0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C.0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D.0,,a m *∃>∃∈N 总有m n na a +=2.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为【】B.3C. D.43.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有【】第一节第二节第三节第四节地理B 层2班化学A 层3班地理A 层1班化学A 层4班生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班生物B 层1班物理B 层1班物理A 层4班政治1班物理A 层3班政治2班政治3班A.8种B.10种C.12种D.14种4.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是【】A ．5B ．6C ．7D ．85.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为【】A.π6B.π3C.2π3D.4π36.在平面直角坐标系中,如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数）,那么称该多边形为格点多边形．若ABC △是格点三角形,其中(0,0)A ,(4,0)B ,且面积为8,则该三角形边界上的格点个数不可能为【】A.6B.8C.10D.127.《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长3尺，莞生一日，长1尺、蒲生日自半，莞生日自倍，问儿何日而长等?意思：是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高l 尺,，以后蒲毎天长高前一天的一半，莞毎天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为【】(结果精确到0.1.参考数据:2 0.3010,3 04771lg lg ==)A.2.8天B.2.6天C.2.4天D.2.2天8.5名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜负．设第i 位运动员共胜i x 场，负i y 场（1,2,3,4,5i =），则错误的结论是【】A.1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++B.22222222221234512345x x x x x y y y y y ++++=++++C.12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛的结果无关D.2222212345x x x x x ++++为定值，与各场比赛结果无关9.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是【】A.A B> B.A B<C.A B =D.A B 、的大小关系不确定10.放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T,该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A,B,开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等,已知物质4的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为【】A.10小时B.8小时C.12小时D.15小时11.若函数()f x 图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则点对(),A B 称为函数()f x 的“友好点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“友好点对”.若函数()f x =2221,0,0x ex m x e x x x ⎧++-≤⎪⎨+>⎪⎩（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）恰好有两个“友好点对”，则实数m 的取值范围为【】A.2(1)m e ≤-B.2(1)m e >-C.2(1)m e <- D.2(1)m e ≥-填空压轴12.设A B ，是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，∉⎧=⎨∈⎩01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆.则对任意x ∈R ，(1)m n ⋅-=_____；②若对任意x ∈R ，1m n+=，则A B ，的关系为__________.13.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c .例如，图中上档的数字和9a =.若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有种.14.已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >.若12[1,2],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得1()f x 2()f x 1()g x =2()g x 成立，则a =．15.在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC == ，0AB AC ⋅= ，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是．16.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A ,B 到x 轴距离之和的最小值为．17.已知数列{}n a 对任意的*n ∈N ,都有*n a ∈N ,且131,,2n n n nn a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数为偶数.①当18a =时,2019a =________;②若存在*m ∈N ,当n m >且n a 为奇数时,n a 恒为常数p ,则p =__________．18.已知曲线(,)0F x y =关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称..设集合{(,)|(,)0,,}S x y F x y x Z y Z ==∈∈，下列命题：①若(1,2)S ∈，则(2,1)S --∈；②若(1,2)S ∈则S 中至少有4个元素;③S 中元素的个数一定为偶数;④若2{(,)|4,,}x y y x x Z y Z S =∈∈⊆则2{(,)|4,,}x y x y x Z y Z S =-∈∈⊆其中正确的命题的序号为________19.已知集合{}121M x N x =∈≤≤，集合123,,A A A 满足①每个集合都恰有7个元素;②123A A A M = ．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则123X X X ++的最大值与最小值的和为____________________.20.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （,,,*∈a b cd N ），则++b da c是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知 3.14159π=⋅⋅⋅，令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为__________．21.如图，在菱形ABCD 中，,43B AB π∠==.（1）若P 为BC 的中点，则PA PB =_________.（2）点P 在线段BC 上运动，则||PA PB +=的最小值为____________.22.一半径为4m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点PP开始计算时间.从水中浮现时开始计时,即从图中点0 Arrayt 秒时点P离水面的高度；（Ⅰ）当5（Ⅱ）将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数，则此函数表达式为.2019北京高考一模理数汇编：立体几何与空间向量选择填空题1.正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为【】A .等腰三角形B .直角三角形C .平行四边形D .梯形2.3.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为【】A .32B .34C .38D .316正（主）视图 俯视图侧（左）视图4.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为【】A ．4B ．2C ．83D ．435..某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为【】A .2B .6C .10D .246.某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为【】A .12B .13C .16D.6主视图俯视图左视图7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为【】A .32B .34C.38D .3168.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是【】A .32BC.2D .19.．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为【】A .B .C .D .10.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为【】A .1B .2C .3D .411.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为【】A .36B .8C .38D .1212..已知一个正四面体的底面积为】A .B .C .D .13.已知两条直线,l m 与两个平面,αβ，下列命题正确的是【】A .若,l l m α⊥∥，则m α⊥B .若,l l αβ⊥∥，则αβ⊥C .若,l m αα∥∥，则l m∥D .若,m αβα∥∥，则m β∥14.已知α和β是两个不同平面,l αβ= ,12l l ,是与l 不同的两条直线,且1l α⊂,2l β⊂,12l l ∥,那么下列命题正确的是【】A .l 与12,l l 都不相交B .l 与12,l l 都相交C .l 恰与12,l l 中的一条相交D .l 至少与12,l l 中的一条相交15.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是【】A .B .C .D .16.若某四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是（只需写出一个可能的值）1解答题17.如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC AC 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1ACD 没有公共点，求1ADDB 的值.18.如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE⊥，112AF AD DE ===，AB =（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．C19.在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC ∥平面DEF （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．20.如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ?若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．HE1121.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE =∠︒，4AE =AB =，2AD =，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上(不包括端点)．(Ⅰ)求证：CD ∥平面FGH ；(Ⅱ)求证：平面DAF ⊥平面CEB ；(Ⅲ)是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6若存在，求BHBC；若不存在，说明理由．22.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为直角梯形,AB CD ∥,AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面11ABB A ,160BAA ∠=︒,1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证:1BC AA ⊥;（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值;（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ,使得CM ∥平面1DAA ？若存在,求1DMDB 的值;若不存在,请说明理由．'E DCBA图1图2图 2图 1CAEDCBA23.如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面 ' ⊥平面 ；（Ⅱ）求直线 ' 与平面 ' 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段 ' 上一点，若EF //平面 ' ，求DFFA'的值．24.如图1，在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为DC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)．（1）求证：EC ∥平面PAB ；（2）求证：BE PA ⊥；（3）对于线段PB 上任意一点M ,是否都有PA EM ⊥成立？请证明你的结论.D25.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===,,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面M EF 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设=PM PD λ，当λ为何值时，直线M E 与平面PBC λ的值.26.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA =AC =12AB =2，N 为AB 上一点，AB =4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值．27.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD上一点，PB∥平面ABC(1)求证：E为PD的中点(2)求证：CD⊥AE(3)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求AB的长2019北京高考一模理数汇编：概率与统计1.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）2.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰa 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”.设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s .在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）3.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642，184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？（Ⅲ）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）4.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40] 分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.5.某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．(Ⅰ)一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；(Ⅱ)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；(Ⅲ)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．6.随着经济全球化、信息化的发展,企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下,某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查,数据如下图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业,求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率;（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业,且2人的选择相互独立．记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数,求X 的分布列和数学期望()E X ;（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21s ,月平均期望薪资对应数据的方差为22s ,判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）7.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABC DE批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%（市场份额亦称“市场占有率”，指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.）（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地A 的市场份额将增加5%，产地C 的市场份额将减少5%，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）8.2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位：平方米.（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.89.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位:元)月套餐流量(单位:M)A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？10.随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越来越多，随之而来的交通事故也增多．据有关部门调查，发生车祸的驾驶员中尤其是21岁以下年轻人所占比例居高，因此交通管理有关部门，对2018年参加驾照考试的21岁以下学员随机抽取10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分.作为该名学员的抽测成绩，记录的数据如下：学员编号1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号科目三测试成绩92909291929089939291科目四测试成绩94888690908794898991（1）从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率（2）根据规定，科目三和科目四測试成绩均达到90分以上（含90）才算測试合格①从抽测的1号至5号学员中任取两名学员，记X 为学员测试合格的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）②记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩的方差分别为12,S S ，试比较1S 与2S 的大小A B C D四所高中校按各校人数分层抽样调11.在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,查，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.O W2019北京高考一模理数汇编：解析几何选择题1..“01k <<”是“方程22112x y k k -=-+表示双曲线”的【】A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的.若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为【】A.，7-B.，-C.7，-D.7，7-3.已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为【】A.83 B.3C.163D.64.椭圆221:14x C y +=与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为【】A.6π，6π-B.3π，3π-C.6π，56π D.3π，23π5.已知12,F F 为椭圆22212x y M m +=：和双曲线2221x N y n-=：的公共焦点,P 为它们的一个公共点,且112PF F F ⊥,那么椭圆M 和双曲线N的离心率之积为【】A. B.1C.2D.126.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为【】B.3C. D.4填空题7.已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．8.设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为．9.双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是．10.双曲线22:21C x y -=的渐近线方程是.11.设双曲线C 经过43（，），且与22149x y -=具有相同渐近线，则C 的方程为______,离心率为_______.12.已知点(2002())A B -，，，，若点P 在圆22(3)(1)2x y -++=上运动，则ABP 面积的最小值为______.13.过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为____．14.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A ,B 到x 轴距离之和的最小值为．解答题15.已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.16.已知椭圆W :2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时，求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.17.已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A B ，两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q .（Ⅰ）求抛物线的方程和F 的坐标；（Ⅱ）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由．18.已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20.已知抛物线2:2C y px =过点(2,2)M ,,A B 是抛物线C 上不同两点,且AB OM ∥（其中O 是坐标原点）,直线AO 与BM 交于点P ,线段AB 的中点为Q .（Ⅰ）求抛物线C 的准线方程;（Ⅱ）求证:直线PQ 与x 轴平行.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，12,F F 是椭圆C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过动点(1)P t ，作直线交椭圆C 于A B ，两点，且PA PB =，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．22.已知椭圆G :22212x y a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．23.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程．24.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线与此椭圆相交于,D E 两点，且2F DE △的周长为8,椭圆C 的离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)P 与点(0,2)Q ，过P 的动直线l （不与x 轴平行）与椭圆相交于,A B 两点，点1B 是点B 关于y 轴的对称点.求证：（i ）1,,Q A B 三点共线.（ii ）QA PA QB PB=.25.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程.（2）设椭圆上顶点A，左、右顶点分别为B,C，直线//l AB 且交椭圆雨E、F 两点，点E 关于y 轴的对称点为点G，求证：//CF AG .2019北京高考一模理数汇编：导数1.已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________.2.设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x .（Ⅰ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（Ⅱ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.3.设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．4.已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值；（Ⅲ）请直接写出函数()f x 的零点个数．5.已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．6.设函数()1x f x e ax =-+，0a >．(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；(Ⅱ)当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．。

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。

2019年北京市各区高三一模试题分类汇编01三角函数(理科)1 (2019年东城一模理科)2 (2019年西城一模理科)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ D ）（A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x（B ）()sin cos =f x x x （D ）22()cos sin =-f x x x3 (2019年朝阳一模理科) 在ABC △中，π4A =，BC =AC =”是“π3B =”的（B ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条4 (2019年丰台一模理科)已知tan 2=α，则sin cos sin cos -+αααα的值为_______________.5 (2019年顺义一模理科)已知函数()cos(2)cos 23f x x xπ=+-，其中x R ∈，给出下列四个结论 ①.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②.函数()f x 图象的一条对称轴是23x π=；③.函数()f x 图象的一个对称中心为5(,0)12π；④.函数()f x 的递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 则正确结论的个数是(C)(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 ( D) 4 个 6 (2019年延庆一模理科)同时具有性质“①最小正周期是π， ②图像关于3π=x 对称，③在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是(C)A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y7 (2019年东城一模理科)8 (2019年西城一模理科)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积. 9 (2019年海淀一模理科)已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t ．（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围．10 (2019年朝阳一模理科)已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间11 (2019年丰台一模理科)已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.12 (2019年石景山一模理科)在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，2sin b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =，求c 边的长和△ABC 的面积 13 (2019年顺义一模理科)已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别 为a ，b ，c，且满足3sin sin )2A A A +=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =，ABC S =V ，求b ，c 的值. 14 (2019年延庆一模理科)在三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2=a ，4π=C ，53cos =B ．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积2019年北京市各区高三一模试题汇编--三角函数(理科) 答案：1．D ；2．D ；3．B ；4．13；5．C ；6．C ； 7．8.（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==，…………… 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 5分（Ⅱ）解：因为cos =B ，(0,π)∈B ，所以sin B ==.…………7分由正弦定理 sin sin =a bA B ， ……………9分 得 sin 3sin ==b Aa B. ………………10分因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=c因为 0>c ，所以1=c . ………………11分 故△ABC的面积1sin 2S bc A ==……………13分 9.解：（Ⅰ）π()sin3f x x =———————————————2分 (1)(0)(0)1f fg -=——————3分πsin sin 03=-=．————5分（Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-——————————6分 πππsin cos cos sin sin 33333t t t ππ=+-—————————————————7分1ππsin 233t t =-+————————————————8分ππsin()33t =--————————————————10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-，————————————————11分 所以π1sin()[1,]332t π-∈-，———————————————12分所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2-————————————————13分10.解：()f x =sin2cos2x x-)4x π-．（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==．显然，函数()f x 的最小正周期为π……… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z ．又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦…13分11.解：（Ⅰ）()cos 2cossin 2sincos 233f x x x x ππ=++1cos 22cos 22x x x =+32cos 22x x =+13(sin 22)2x x =+2coscos 2sin )33x x ππ=+)3x π=+----------------------------------------------5分所以()f x 的最小正周期为π.----------------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知())3f x x π=+因为[0,]2x π∈，所以ππ4π2[,]333x +∈，当ππ232x +=，即π12x =时，函数()f x，当π4π233x +=，即π2x =时，函数()f x 取最小值32-. 所以，函数()f x 在区间[0,]2π32-.--------------13分 12.解：2sin b A =，2sin sin A B A =，……………2分 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin B =， …………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B =o ．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11333=sin 2322ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分 13.14.解：（Ⅰ）Θ53cos =B ，∴54sin =B ……………………1分∴)sin(sin C B A +=……………………2分C B C B sin cos cos sin +=……………………4分102722532254=⨯+⨯=……………………6分 （Ⅱ）ΘAaB b sin sin =……………………8分 1027254=∴b ，728=∴b ……………………10分C ab S ABC sin 21=∴∆，……………………11分22728221⨯⨯⨯=78=………………………………13分。

2019届北京师大实验中学高三数学（理科）一模试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}＝{x|﹣}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是（）A．B．1C．2D．7【解答】解：由题意作平面区域如下，，由解得，A（，），故z＝x+y的最小值是+＝，故选：A．3．（5分）若实数a满足，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝log a a，∴0＜a＜1，，∴．①，又，∴a．②，由①②得：．∴a的取值范围是（，1）．故选：C．4．（5分）设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由得x＜0或x＞1，由（）x＞1得x＜0，则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【解答】解：∵抛物线y2＝4cx的准线：x＝﹣c，它正好经过双曲线C：＝1（a ＞0，b＞0）的左焦点，∴准线被双曲线C截得的弦长为：，∴＝，∴3b2＝a2•＝c2＝a2+b2，∴2b2＝a2，∴＝，∴则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选：B．6．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若a＝﹣f（3），b＝f[log2（sin）]，c＝f（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则a＝﹣f（3）＝f（﹣3）＝f（log23），又由log2（sin）＜0＜0.20.3＜1＜log23，又由f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则有b＜c＜a；故选：D．7．（5分）用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：扇形的圆心角为240°＝，半径为R；设扇形围成的圆锥底面半径为r，高为h；则2πr＝R，解得r＝；h＝＝R，则该圆锥的体积为V＝πr2h＝••R＝．故选：A．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）A．三分鹿之一B．三分鹿之二C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一【解答】解：五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{a n}，d＜0．a1＝1+＝，S5＝5，∴+＝5，解得d＝﹣．∴a5＝﹣＝．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S3＝6，S6＝54，则公比q的值是2．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝6，S6＝54，∴，解得q＝2，∴公比q的值是2．故答案为：2．10．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a3a11+2a72＝4π，则tan（a1a13）的值为．【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得，a3a11＝a72，由a3a11+2a72＝4π，则3a3a11＝4π，则a3a11＝．则tan（a1a13）＝tan＝tan＝．故答案为：．11．（5分）已知曲线f（x）＝lnx+nx在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则f（1）+f'（1）＝3．【解答】解：由f（x）＝lnx+nx，得f′（x）＝，则f′（x0）＝＝2，∴．得f（）＝＝．∴，即n＝1．∴f（x）＝lnx+x，则f（1）＝1，f′（1）＝2．∴f（1）+f'（1）＝3．故答案为：3．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为﹣1．【解答】解：实数x，y满足约束条件，如图区域为开放的阴影部分，由解得B（5，3），函数z＝x﹣2y过点（5，3）时，z max＝x﹣2y＝﹣1．故答案为：﹣1．13．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f'（x），若对任意x∈R不等式f（x）≤f'（x）恒成立，则的最大值为．【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx+c，∴f′（x）＝2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≤2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≤0恒成立，故△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）＝b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴≥1，可令t＝，即t≥1，t＝1时，a＝c，b＝0；故t＞1时，≤＝＝＝＝≤＝2﹣2，当且仅当t＝1+时，取得最大值2﹣2．故答案为：2﹣214．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE＝3OF（O 为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为﹣1．【解答】解：由题意可得：F（0，1），E（0，3），由x2＝4y可得y＝，y′＝，∴直线l的斜率为y′|x＝x0＝，直线ME的斜率为．∵切线l⊥ME，∴．结合x02＝4y0．解得x0＝±2，不妨设M（2，1），则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1．∴直线l在y轴的截距为﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知f（x）＝12sin（x+）cos x﹣3，x∈[0，]．（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，CD＝2，求∠C．【解答】（1）f（x）＝12sin（x+）cos x﹣3＝12（sin x+cos x）cos x﹣3＝6sin x cos x+6cos2x﹣3＝3sin2x+3cos2x＝6sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）max＝6，f（x）min＝3；（2）由角平分线性质定理得：＝＝＝2，∴AD2＝4BD2，△BCD中，BD2＝17﹣12cos，△ACD中，AD2＝44﹣24cos，∴44﹣24cos＝68﹣48cos∴cos＝，∴C＝．16．（13分）在多面体CABDE中，△ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE，AB＝2，∠DBA＝．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求点B到平面CDE距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结CO，DO，…..（1分）∵△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，…（2分）∵四边形ABDE为菱形，∠DBA＝60°，∴△DAB为等边三角形，∴DO⊥AB，…．（3分）又∵CO∩DO＝O，∴AB⊥面DOC，…..（5分）∵DC⊂面DOC，∴AB⊥CD．…..（6分）解：（Ⅱ）∵面ABDE⊥面ABC，CO⊥AB，面ABDE∩面ABC＝AB，CO⊂面ABC，∴CO⊥面ABDE，∵OD⊂面ABDE，∴CO⊥OD，…．…（8分）∵OD＝OC＝，在Rt△COD中，CD＝＝，由（1）得AB⊥CD，∵ED∥AB，ED⊥DC，∴＝＝，…（9分）S＝＝，…..…..（10分）△BDE设点B到面CDE的距离为h，∵，∴．…．（11分）即，∴h＝．…．…．（12分）17．（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】解：（1）由题意，填写2×2列联表，如下：对快递满意对快递不满意合计对商品满意8060140对商品不满意402060合计12080200计算K2＝＝≈1.59，由于1.59＜6.635，所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”；（2）根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A、B、C、D，其余6次不是都满意的交易记为1、2、3、4、5、6，那么抽取2次交易一共有45种可能：AB、AC、AD、A1、A2、A3、A4、A5、A6、BC、BD、B1、B2、 (56)其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种：12、13、14、15、16、 (56)所以，在抽取的2次交易中，至少一次对商品和快递都满意的概率是P＝＝．18．（13分）已知{b n}为正项等比数列，b2＝2，b4＝8，且数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和T n，并求使得（﹣1）nλ＜T n恒成立λ的取值范围．【解答】解：（I）设正项等比数列{b n}的公比为q，∵b2＝2，b4＝8，∴q＝＝2．∴b n＝＝2×2n﹣2＝2n﹣1．又数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．∴2n﹣1•a n﹣1＝n﹣1，可得a n＝．（II）T n＝1++……+，＝++……++，∴T n＝+……+﹣＝﹣，化为：T n＝4﹣．T n﹣T n＝＞0，因此数列{T n}为单调递增数列．﹣1（﹣1）nλ＜T n恒成立．n为偶数时，λ＜（T n）min＝T2＝2．n为奇数时，﹣λ＜（T n）min＝T1＝1，解得λ＞﹣1．综上可得：λ的取值范围为（﹣1，2）．19．（14分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝x+m（m≠0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC 为对角线作正方形ABCD，若|BP|＝．（i）求椭圆方程；（ii）若点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，求使得|EC|最长时，直线AC的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．∴＝，∴e＝＝＝＝，（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知椭圆方程为x2+4y2＝4b2，设A（x1，y1），C（x2，y2），线段AC中点Q则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2b2＝0，由△＝（2m）2﹣4×（2m2﹣b2）＝2b2﹣m2＞0，则x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2b2，y1+y2＝（x1+x2）+2m＝m，则Q（﹣m，m），由l与y轴的交点P（0，m），丨PQ|═＝|m|，∴|BP|2＝|BQ|2+|PQ|2＝|AC|2+|PQ|2＝（2b2﹣m2）+m2＝b2＝，∴b2＝1，即b＝1，∴椭圆方程为+y2＝1；（ii）由（i）可知|AC|＝•，∵直线MN的方程为y＝x+1，∴直线MN与直线L的距离为，∵点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，∴|AE|＝，∴|EC|2＝|AE|2+|AC|2＝（1﹣m）2+5（2﹣m2）＝﹣m2﹣m+，当m＝﹣时，此时|EC|最长，故直线直线AC的方程y＝x﹣20．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2lnx﹣x2，定义域为（0，+∞），＝，令f'（x）＝0，则x＝1，∵x∈（0，1）时，f'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，＝f（1）＝﹣1；无极小值．∴x＝1时，f（x）极大值（2）令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝2x3﹣2lnx+ax2，由题意，函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，等价于F（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即2x3+ax2﹣2lnx＞0恒成立，得到（x∈（0，+∞））．令（x＞0），，显然h'（1）＝0，又函数y＝2﹣2x3﹣4lnx在（0，+∞）上单调递减；所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，则h（x）≤h（1）＝﹣2，因此a＞﹣2，所以a∈（﹣2，+∞）．。

2019届北京市首都师范大学附属中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．若（是虚数单位），则的值为（）A．3 B．5 C．D．【答案】D【解析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】（是虚数单位）可得解得本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.2．在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3【答案】A【解析】由题意设出等比数列的公比，把、用和公比表示，然后利用基本不等式求得答案.【详解】设等比数列的公比为，当且仅当即时上式等号成立本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题.3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（）A．5 B．12 C．25 D．50【答案】C【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得：，，，满足进行循环的条件，，满足进行循环的条件，，满足进行循环的条件，，不满足进行循环的条件，退出循环，输出的值为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题.4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设正六棱柱的底面边长是，那么底面面积是，那么体积，所以，解得，那么左视图是矩形，矩形的高就是俯视图的宽，所以左视图的面积是．【考点】1．三视图；2．几何体的体积． 名师点睛：1．柱体的体积是；2．画三视图的原则是长对正，高平齐，宽相等．5．已知平面区域34180:{2x y x y +-≤Ω≥≥夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m ，若点(),P x y ∈Ω,则z mx y =-的最小值为（ ） A ．95 B ．3 C ．245D ．6 【答案】A【解析】试题分析：作出平面区域,可知此区域表示的是一个直角三角形,其直角边为,故其斜边上的高为,数形结合可得.当直线经过点时,取得最小值.故选A.【考点】线性规划. 6．如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（ ）A．17 B．13 C．5 D．1【答案】D【解析】由题意可知CE=3，∠BCE=60°，∴EB==，∴cos∠BEC==．∴cos∠BED=2cos2∠BEC﹣1=．∴==1．故选：D．7．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出基本事件总数，再求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率.【详解】从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择名参加志愿者服务工作根据工作特点要求甲、乙两人中至少有人参加，且列队服务基本事件总数甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率本题正确选项：【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.8．某公司有4家直营店，，，，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示:根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】D【解析】6箱货物的分配方法有：6,0,0,0；5,1,0,0；4,2,0,0；3,3,0,0；4,1,1,0；2,2,2,0；3,2,1,0；1,1,2,2；1,1,1,3；共9中方法，而6,0,0,0；5,1,0,0；4,2,0,0；3,3,0,0；4,1,1,0；2,2,2,0方法中获利的最大值不超过16；若分配方法为时，获利为，若分配方法为时，获利为，若分配方法为时，获利为，若分配方法为时，获利为；即该公司获得最大利润的运送方式有4种；故选D.【点睛】本题考查逻辑推理能力和分类讨论思想，解决本题的基本方法为列举法，先将6分解成四个自然数的和，再按所给表格中的数据一一求出相应最大值，比较其最大值即可求解.二、填空题9．若展开式中的二项式系数和为64，则等于_____，该展开式中的常数项为_____.【答案】615【解析】由题意可得，求得.在展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】由展开式中的二项式系数和为，可得由于展开式的通项公式为令，解得，故该展开式中的常数项为本题正确结果为：，【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题.10．椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____. 【答案】【解析】根据题意，的最大值为，则由题意知，由此能够导出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】的最大值为由题意知故椭圆的离心率的取值范围本题正确结果：【点睛】本题考查椭圆离心率取值范围的求解，能够通过焦半径公式得到的最大值为是正确解题的关键.11．在极坐标系中，过点(2)2M π，，且平行于极轴的直线的极坐标方程是 。

2019届北京市首都师范大学附属中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．若（是虚数单位），则的值为（）A．3B．5C．D．2．在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值33．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（）A．5B．12C．25D．504．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧（左）视图的面积是（）A．B．C．D．5．已知平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，若点,则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】6．如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（）A．17B．13C．5D．17．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）A．B．C．D．8．某公司有4家直营店，，，，现需将6箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示:根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题9．若展开式中的二项式系数和为64，则等于_____，该展开式中的常数项为_____.10．椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是_____.11．在极坐标系中，过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程是。

12．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，17）建立模型①；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，7）建立模型②.利用这两个模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值分别为_____，_____；并且可以判断利用模型_____得到的预测值更可靠.13．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.14．定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.三、解答题15．已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知，是函数的两个零点，求的最小值.16．空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数级别类别户外活动建议Ⅰ优可正常活动Ⅱ良Ⅲ轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动．轻度污染Ⅳ中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动．中度重污染Ⅴ重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率．17．在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，点，分别在线段、上，且，，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.18．圆与轴交于、两点，为圆上一点.椭圆以、为焦点且过点.（Ⅰ）当点坐标为时，求的值及椭圆方程；（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求的椭圆交于、不同的两点，且点，，求直线在轴上截距的取值范围.19．已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论函数极值点的个数.20．已知集合为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有成立；②从中任取个集合都有成立．（Ⅰ）若，，，写出满足题意的一组集合；（Ⅱ）若，，写出满足题意的一组集合以及集合；（Ⅲ)若，，求集合中的元素个数的最小值．。

2019年北京高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合{|320}A x R x =∈+>，2{|230}B x R x x =∈-->，则(A B =I ) A ．{|1}x R x ∈<- B ．2{|1}3x Rx ∈-<<-C ．2{|3}3x R x ∈-<<D ．{|3}x R x ∈>2．（5分）若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()(2f -= )A ．23-B ．23C ．29-D ．293．（5分）已知平面向量a r ，b r 满足||3a =r ，||2b =r ，a r与b r 的夹角为120︒，若()a mb a +⊥r r r ，则实数m 的值为( ) A ．1B ．32C ．2D ．34．（5分）若某多面体的三视图（单位：)cm 如图所示，则此多面体的体积是( )A ．378cmB ．323cmC ．356cmD ．312cm5．（5分）若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是( ) A ．12z z g 是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．4212||2||z z =D ．22124z z i += 6．（5分）若28log (0x a y x a =->且1)a ≠在区间(0，1]3上无零点，则实数a 的取值范围是()A ．(1,)+∞B ．(0，1)(13⋃，)+∞C ．1(3，1)(1⋃，)+∞D ．(0，1)(4⋃，))+∞7．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为( ) A ．2B ．4C．D．8．（5分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为() A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）抛物线24x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为 ．10．（5分）圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是 ．11．（5分）已知实数x ，y 满足10101x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩…„„，若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个，则m 的值为 ．12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55，则sin θ= ，tan 2θ= ．13．（5分）已知点(,0)A a -，(B a ，0)(0)a >，若圆22(2)(2)2x y -+-=上存在点C 使得90ACB ∠=︒，则a 的最大为 ．14．（5分）如果函数()f x 满足：对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．在下列函数：①()2f x x =②()1f x x =+③2()f x x =④()2x f x =⑤()||f x ln x = 中所有“保等比数列函数”的序号为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最小值．16．（13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式： （Ⅱ）求和：13521n b b b b -+++⋯+．17．（13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下． 理科：79，81，81，79，94，92，85，89 文科：94，80，90，81，73，84，90，80 （1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-，其中x 为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．18．（13分）已知函数()f x lnx x a =-+，其中a R ∈． （Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值； （Ⅱ）若2a ln e =，证明：()f x x …； （Ⅲ）如果函数2()()f x g x x=在区间(1,)e 上不是单调函数，求a 的取值范围． 19．（14分）过椭圆22:12x W y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于A ，B 两点，其中(0,1)A ，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点(0,1)-重合．过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11||||EF FG =． 20．（14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：AD ⊥平面PCD ；（Ⅲ）若点M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行．2019年北京高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【解答】解：2{|}3A x R x =∈>-，{|1B x R x =∈<-，或3}x >；{|3}A B x R x ∴=∈>I ．故选：D ．【解答】解：0x >Q 时，2()3xf x =，且()f x 为奇函数；∴12112()()223f f -=-=-= 故选：A ．【解答】解：||3a =r Q ，||2b =r ，a r与b r 的夹角为120︒，∴1||||cos12032()32a b a b =︒=⨯⨯-=-rrr rg ．()a mbb a +⊥r r rQ ，22()330a mb a a ma b m ∴+=+=-=r rr r r r g g ，解得3m =． 故选：D ．【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱， 正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1111⨯⨯=，三棱柱的底面是腰长是12的直角三角形， 高是1，∴三棱柱的体积是111112228⨯⨯⨯= ∴几何体的体积是17188-= 故选：A ．【解答】解：11z i =+Q ，21z i =-，21212z z i ∴=-=g ，故A 正确；2121(1)1(1)(1)z i i i z i i i ++===---+，故B 正确； 4411||||4z z ==，222||4z =，故C 正确； 222212(1)(1)0z z i i +=++-=，故D 错误． 故选：D ．【解答】解：若28log (0x a y x a =->且1)a ≠在区间(0，1]3上无零点，即28log (0x a x a =>且1)a ≠在区间(0，1]3上无解，则函数()8x f x =与2()log 2log a a h x x x ==，(0a >且1)a ≠在区间(0，1]3上没有交点，则当1a >时，()h x 为增函数，此时两个函数在(0，1]3上没有交点，满足条件，当01a <<时，当13x =时，131()823f ==，即1(3A ，2)，要使两个函数在(0，1]3上没有交点，则只需要当13x =时，11()()233h f >=即可， 此时12log 23a>，得1log 13a >，得1log log 3a a a >，则113a <<， 综上113a <<或1a >，即实数a 的取值范围是1(3，1)(1⋃，)+∞，故选：C ．【解答】解：曲线2||2y x =-，等价于222,02,0y x y y x y ⎧=-⎨=-<⎩…，如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4， 那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为：4． 故选：B ．【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立，D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．【解答】解：抛物线的交点为(0,1)F ，双曲线2213y x -=的一条渐近线方程为：3y x =，30x y -=，F ∴到渐近线的距离为1231d =+． 故答案为：12． 【解答】解：圆的半径为点(1,0)到直线直线1y x =+的距离，即22r ==故圆的方程为22(1)2x y -+=， 故答案为：22(1)2x y -+=．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由(0)z mx y m =+>得y mx z =-+， 0m >Q ，∴目标函数的斜率0k m =-<．平移直线y mx z =-+，由图象可知当直线y mx z =-+和直线10x y ++=平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 1m ∴=，故答案为：1．【解答】解：Q 以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55，35x ∴=，45y =，1r =，4sin 5y r θ∴==，4tan 3y r θ∴==，282tan 243tan 2161tan 719θθθ∴===---， 故答案为：45；247-． 【解答】解：设(22C α，22)α，∴(22AC a α=+u u u r ，22)α+，(22BC a α=+-u u u r，22)α， 90ACB ∠=︒Q ，∴222(22)(22)0AC BC a αα=-+=u u u r u u u rg ，21042(sin cos )108sin()108184a πααα∴=++=+++=„，(sin()14πα+=时取等）， 032a ∴<„故答案为：【解答】解：由等比数列性质知221n n n a a a ++=g ，对于①，222211()()22(2)()n n n n n n f a f a a a a f a ++++===g g ，∴①正确； 对于②，222222121()()(1)(1)()11()()n n n n n n n n n n n n f a f a a a a a a a a a a f a +++++++=++=+++=+++≠g g g ，∴②错误；对于③，222222211()()()()n n n n n n f a f a a a a f a ++++===g g ，∴③正确； 对于④，2221221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=g g ，④错误；对于⑤，222211()()||||||()n n n n n n f a f a ln a ln a ln a f a ++++=≠=g g ，⑤错误； 综上，正确的命题序号为①③． 故答案为：①③．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【解答】解：（Ⅰ）由图可得1A =，4233T πππ=-=， 所以2T π=，1ω=． 当3x π=时，()1f x =，可得sin()13πϕ+=，Q ||2πϕ<，∴6πϕ=．∴()sin()6f x x π=+．（Ⅱ）Q ()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-1cos sin()26x x x π=-=-． Q 02xπ剟，∴663x πππ--剟．当66x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值为12-． 【解答】解：（Ⅰ）Q 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．∴21614516a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a =，3d =，∴数列{}n a 的通项公式32n a n =-．（Ⅱ）Q 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．∴231451416b b q b b q ⎧==⎪⎨==⎪⎩， 解得211,4b q ==，22211211()4n n n n b b q q ----∴===，135211441143n n n b b b b ---∴+++⋯+==-． 【解答】解：（1）根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图，如图所示；（2）计算理科同学成绩的平均数是11(7979818185899294)858x =⨯+++++++=，方差是22222222211[(7985)(7985)(8185)(8185)(8585)(8985)(9285)(9485)]31.258s =⨯-+-+-+-+-+-+-+-=；计算文科同学成绩的平均数是21(7380808184909094)848x =⨯+++++++=，方差是22222222221[(7384)(8084)(8084)(8184)(8484)(9084)(9084)(9484)]41.758s =⨯-+-+-+-+-+-+-+-=；所以从统计学的角度分析，理科同学在此次模拟测试中发挥比较好；（3）成绩不低于90分的同学有理科2个，记为A 、B ，文科有3人，记为c 、d 、e ； 从中随机抽出3人，基本事件为ABc 、ABd 、ABe 、Acd 、Ace 、Ade 、Bcd 、Bce 、Bde 、cde 共10种，抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学是ABc 、ABd 、ABe 、Acd 、Ace 、Ade 、Bcd 、Bce 、Bde 共9种， 故所求的概率为910P =． 【解答】解：()I 求导．得11()1x f x x x -'=-= Q 曲线()y f x =与x 轴相切，∴此切线的斜率为0．由()0f x '=，解得1x =，又由曲线()y x =与x 轴相切，得f （1）10a =-+=解得1a =．证明()II 由题意，()2f x lnx x ln e =-+，令函数()()22F x f x x lnx x ln e =-=-+求导，得112()2x F x x x-'=-= 由()0F x '=，得12x =， 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示：∴函数()F x 在1(0,)2上单调递增，在1(2，)+∞单调递减，故当12x =时，11()()12022max F x F ln ln e ==-+=， ∴任给(0,)x ∈+∞，()()0F x f x x =-„，即()f x x „，（Ⅲ）由题意可得，2()lnx x a g x x-+=， 3212()x lnx a g x x -+-∴'=， 当()0g x '…时，在(1,)e 上恒成立，函数()g x 单调递增，当()0g x '„时，在(1,)e 上恒成立，函数()g x 单调递减，2120x lnx a ∴-+-…在(1,)e 上恒成立，或2120x lnx a -+-„在(1,)e 上恒成立， 221a x lnx ∴-+„在(1,)e 上恒成立，或221a x lnx -+…在(1,)e 上恒成立， 令()21h x x lnx =-+，22()1x h x x x-∴'=-=， 由()0h x '=，解得2x =，当(1,2)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当(2,)x e ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，h Q （1）2=，h （e ）211e e =-+=-，()max h x h ∴=（1）2=()min h x h ∴=（2）322ln =-，22a ∴…或2322a ln -„，1a ∴…或322a ln -„， Q 函数2()()f x g x x =在区间(1,)e 上不是单调函数， ∴3212ln a -<<， 故a 的取值范围为3(22ln -，1)． 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+．与椭圆方程联立，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --．⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）证明：当2l 与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，11||||EF FG =． 当2l 不与x 轴垂直时，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，2l 的方程为(1)(1)y k x k =+≠． 由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(21)4220k x k x k +++-=． 则2122421k x x k -+=+，21222221k x x k -=+． 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-， 得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=．把22(1)y k x =+代入得22(1)(1)E x k y x +-=． 由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++， 令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+． 把11(1)y k x =+代入得11(1)(1)34G x k y x +-=+． 2121(1)(1)(1)(1)34E G x k x k y y x x +-+-+=++ 212121(1)[(1)(34)(1)](34)k x x x x x x -++-+=+g 121221(1)[23()4](34)k x x x x x x -+++=+g 把2122421k x x k -+=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中， 2212122222423()423()402121k k x x x x k k --+++=⨯+⨯+=++． 即0E G y y +=，即11||||..EF FG =⋯⋯⋯⋯（14分） 【解答】证明：（Ⅰ）因为：//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ， 所以：//AB 平面PCD ．（Ⅱ）法一：因为：平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD 所以：AD ⊥平面PCD ．法二：在平面PCD 中过点D 作DH CD ⊥，交PC 于H ，因为平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ⋂平面PCD CD =，DH ⊂平面PCD ，所以DH ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以DH AD ⊥，又AD PC ⊥，PC DH H =I ，所以AD ⊥平面PCD ．（Ⅲ）法一：假设存在棱BC上点F，使得//MF PC，连接AC，取其中点N，在PACMN PC，∆中，因为M，N分别为PA，CA的中点，所以//因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合，所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证．法二：假设存在棱BC上点F，使得//MF PC，显然F与点C不同，所以P，M，F，C四点在同一个平面α中，所以FCα⊂，⊂，PMα所以B FCα∈⊂，∈⊂，A PMα所以α就是点A，B，C确定的平面ABCD，且Pα∈，这与P ABCD-为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证．。

2019届北京师范大学附属实验中学高三3月高考模拟考试
数学（理）试卷（一）
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由，得集合，又
，，故选C.
2.设实数满足约束条件，则的最小值是（）
A. B. 1 C. 2 D. 7
【答案】A
【解析】
由题意作约束条件表示的平面区域如图，由，解得，
平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最小，即的最小值是，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
3.若实数满足，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质转化为对数不等式的问题求解．
【详解】由题意得，原不等式等价于且，
所以且，
解得且，
所以．
所以实数的取值范围是．
故选C．
4.设，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】。