北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一数学下学期期中试题(C)(含解析)

北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一数学下学期期中试题（A ）（含解析）一、单选题1.已知,2sin cos R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ）A.43B. 7-C. 34-D.17【答案】B 【解析】 【分析】将条件中所给的式子的两边平方后化简得23tan 8tan 30αα--=，解得tan α后再根据两角差的正切公式求解．【详解】条件中的式子两边平方，得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即233sin 4sin cos 2ααα-=， 所以()22233sin 4sin cos sin cos 2ααααα-=+， 即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-， 所以22tan 3tan21tan 4ααα==--，故21tan 27412tan tan πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭． 故选B ．【点睛】解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到tan α后再根据公式求解，考查变换能力和运算能力，属于基础题．2.已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（ ）A.12B. 1 D.14【答案】A【分析】 化简xy =12（2x •y ），再利用基本不等式求最大值得解. 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号， 故则xy 的最大值为12，故选A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3.设{}1,2,3,4,5U =，{}2,5A =，{}2,3,4B =，则()UA B ⋃=（ ）A {}5B. {}1,2,3,4,5C. {}1,2,5D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】 先求出UB ，再求出()UA B ⋃即可．【详解】∵{}{}1,2,3,4,5,2,3,4U B ==， ∴{}1,5UB =，∴(){}1,2,5UA B ⋃=．故选C ．【点睛】本题考查补集与并集的混合运算，求解时根据集合运算的定义进行求解即可，属于基础题．4.已知函数2log ,0(){3,0x x x f x x >=≤，则1[()]4f f 的值是（ ）A. 14 B. 4 C. 19【答案】C试题分析：根据分段函数解析式可知211()log 244f ==-，()21239f --==，所以11[()]49f f =，故选C.考点：分段函数.5.已知a b 、为实数，则22a b >是22log log a b >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别解出22a b >，22log log a b >中a ，b 的关系，然后根据a ，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件． 【详解】解：22a b >，a b ∴>当0a <或0b <时，不能得到22log log a b >，反之由22log log a b >即：0a b >>可得22a b >成立． 故22a b >是22log log a b >的必要不充分条件 故选：B ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．6.已知集合{}{}2|120,|45M x x x N x x =-->=-<<，则MN =（ ）A. RB. ()3,4-C. (4,5)D.(4,3)(4,5)--⋃【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得M N ⋂【详解】由()()212430x x x x --=-+>，解得3x <-或4x >，即{3M x x =-或}4x >.所以(4,3)(4,5)M N --⋃⋂=. 故选：D.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A. 1x ，2x ，…，n x 的标准差B. 1x ，2x ，…，n x 的平均数C. 1x ，2x ，…，n x 的最大值D. 1x ，2x ，…，n x 的中位数【答案】A 【解析】 【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.8.集合A ={x |2230x x --≥}，B ={x |240x ->}，则()R A B = ( )A. [-2,-1]B. [-1,2）C. [-1,1]D. [1,2）【答案】A 【解析】{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x x =-或，{|22}RB x x =-≤≤,∴()R A B ⋂=[-2,-1].9.某位居民站在离地20m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为( )A. 3201m 3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B. ()2013m +C. ()1026m +D.()2026m +【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形【详解】依题意作图所示：AB 20m =，仰角DAE 60∠=，俯角EAC 45∠=， 在等腰直角ACE 中，AE EC 20m ==， 在直角DAE 中，DAE 60∠=，DE AEtan60203m ∴==，∴小高层的高度为()()CD 202032013m =+=+．故选B ．【点睛】解决解三角形实际应用问题注意事项： 1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题10.关于函数()sin f x x x =+，下列说法错误的是（ ） A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是周期函数C. ()f x 有零点D. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可判断选项A 正确；依据周期性定义，选项B 错误；()00f =，选项C 正确；求()f x '，判断选项D 正确.【详解】()()sin f x x x f x -=--=-， 则()f x 为奇函数，故A 正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数， 故B 错误；因为()00sin00f =+=，()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，故C 正确；由于()'1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞ 上单调递增，故D 正确. 故选B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题. 二、填空题11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____ 【答案】()(),40,-∞-+∞【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >， 即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞，故答案为()(),40,-∞-+∞；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 12.设1sin 3sin αβ+=，不等式2sin cos 0m αβ--≤对满足条件的α，β恒成立，则实数m 的最小值为________．【答案】43【解析】 【分析】将不等式2sin cos 0m αβ--≤对满足条件的α，β恒成立，利用1sin 3sin αβ+=，转化为不等式21sin cos 03m ββ---≤对满足条件的β恒成立，即不等式22sin sin 3m ββ--≤对满足条件的β恒成立，然后用二次函数的性质求22()sin sin 3βββ=--f 的最大值即可。

2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，则tan A的值为()A. 5B. 6C. −4D. −62.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√2，b=4，B=45°，则A=()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°3.方程√3sin2x+cos2x=2k−1，x∈[0,π]有两个不等根，则实数k的取值范围为()A. (−12,32) B. (−12,1)∪(1,32) C. [−12,32] D. [−12,1)∪(1,32]4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 23C. 4D. 435.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，则∠DEF的余弦值为()A. 1665B. 1965C. 1657D. 17576.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①m⊥n，m//α，α//β⇒n⊥β；②m⊥n，m⊥α，α//β⇒n⊥β；③m ⊥α，n//β，α//β⇒m ⊥n ；④m ⊥α，m//n ，α//β⇒n ⊥β．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④ 7. 若0<x ，y <π2，且sinx =xcosy ，则( ) A. y <x 4B. x 4<y <x 2C. x 2<y <xD. x <y8. 已知△ABC 的面积为，则角C 的度数为( ) A. B. C. D.二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）9. 已知3sin 2θ=5cosθ+1，则cos(π+2θ)=______．10. α是第二象限角，，则tanα=________．11. 在平行四边形ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A −BD −C ，且|√2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为______． 12. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，c =√3，A +B =2C ，则sinB =______．13. 已知函数f(x)=asinx +cosx 的一条对称轴为x =π3，则a =______．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，线段BC 上的点Q ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体P −BCD 的体积的最大值是 (1) ；当P −BCD 体积取最大值时，|PQ|min = (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−π2,0]上的最大值和最小值．16.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，2sinAcos2C2+2sinC⋅cos2A2=3sinB(1)证明a、b、c成等差数列；(2)若∠B为锐角，且a=btanA，求a：b：c的值．17.如图所示，直三棱柱ABC−A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，D为底棱AC的中点．(1)求证：A′B⊥平面AB′C′；(2)过B′C′以及点D的平面与AB交于点E，求证：E为AB中点；(3)求三棱锥D−AB′C′的体积．18.已知函数．(1)求函f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π个单位后得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间4[0,π]上的值域．2【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查解三角形中的正弦定理及应用，同时考查两角和差的余弦公式，诱导公式，以及同角三角函数的关系式，这些都是三角中的基本公式，务必要掌握，注意公式的逆用．运用正弦定理，把边化成角得到sinA=5sinBsinC，再与条件cosA=5cosBcosC相减，运用两角和的余弦公式，再用诱导公式转化为cos A，由同角公式，即可求出tan A．解：∵a=5bsinC，由正弦定理得：sinA=5sinBsinC①，又cosA=5cosBcosC②，②−①得，cosA−sinA=5(cosBcosC−sinBsinC)，=5cos(B+C)=−5cosA，∴sinA=6cosA，∴tanA=sinAcosA=6．故选B．2.答案：A解析：解：∵a=2√2，b=4，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：2√2sinA=4sin45∘，∴解得sinA=12，∵a<b，∴A<B，∴A=30°．故选：A．由已知及正弦定理解得sinA=12，结合大边对大角可求A为锐角，进而由特殊角的三角函数值可求A 的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：B解析：解：cos2x+√3sin2x=2k−1，得2(12cos2x+√32sin2x)=2k−1，即2sin(2x+π6)=2k−1，可得：sin(2x+π6)=2k−12=k−12，由0≤x≤π，得π6≤2x+π6≤13π6，∵y=sin(2x+π6)在x∈[0,π]上的图象形状如图，∴当12<k−12<1和−1<k−12<12时，方程有两个不同的根，解得：1<k<32，−12<k<1．故选：B．利用辅助角公式化简，由x的范围求出这个角的范围，画出此时正弦函数的图象，根据函数值y对应的x有两个不同的值，由图象得出满足题意的正弦函数的值域，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．本题考查了辅助角公式，正弦函数的图象与性质，以及正弦函数的定义域与值域，利用了数形结合的思想，属于中档题．4.答案：D解析：本题考查由三视图还原几何体，锥体体积的有关计算，还原几何体是解决问题的关键，属于基础题．由已知三视图还原几何体，代入四棱锥的体积公式计算可得．解：构造棱长为2的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥P−ABCD，其中B，D分别为棱的中点，则其体积V=13×[2×2−2×(12×2×1)]×2=43．故选D．5.答案：A解析：解：如图所示，作DM//AC交BE于N，交CF于M．DF=√MF2+DM2=√302+1702=10√298(m)，DE=√DN2+EN2=√502+1202=130(m)，EF=√(BE−FC)2+BC2=√902+1202=150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF=DE2+EF2−DF22DF×EF =1302+1502−102×2982×130×150=1665．故选A分别在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF，DE再算出EF=150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cos∠DEF的值．本题给出实际应用问题，求∠DEF的余弦值．主要考查了运用解三角形知识解决实际应用问题，考查了三角形问题中勾股定理、余弦定理的灵活运用，属于中档题．6.答案：D解析：解：①应该是n⊥β或n//β或n⊂β，即①错误；②应该是n//β或n⊂β，即②错误；③由线面垂直、线面平行和面面平行的性质定理可知③正确；④∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵α//β，∴n⊥β，即④正确；故选：D．根据空间中线面的位置关系、平行与垂直的判定定理和性质定理，即可得解．本题考查了空间中线线、线面和面面的位置关系，需要熟记其判定定理和性质定理，考查了学生的空间立体感，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵0<x，y<π2，∴0<sinx<x<tanx，又∵sinx=xcosy，∴cosy=sinxx >sinxtanx=cosx，故y<x，又∵sinx=xcosy，即12sinx=12xcosy，∴sin x2⋅cos x2=12xcosy，即cosy=sin x2⋅cos x212x<cos x2，故y>x2，综上所述，x2<y<x，故选：C．根据已知中0<x，y<π2，可得0<sinx<x<tanx，进而可将已知sinx=xcosy变形为cosy=sinxx>sinx tanx =cosx和12sinx=12xcosy，即cosy=sinx2⋅cos x212x<cos x2，进而结合余弦函数的单调性，得到答案．本题考查的知识点是三角函数线，余弦函数的单调性，本题的变形思路比较难，特别是对已知两个式子的变形．8.答案：D解析：试题分析：解：∵ab sin C，∴absinC=即.又根据余弦定理得，∴−2absinC=−2abcosC，即sinC=cosC.∴C=.故选D．考点：解三角形点评：关键是对于已知中的面积关系式的表示，再结合余弦定理来求解得到角的值，属于基础题。

2024届首都师范大学附属中学高三年级第二学期期末数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞2．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R （ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞ B ．(,1][3,)-∞+∞ C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3)5．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．532D ．3166．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．10082 7．已知函数2,0()4,0x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,0]- C ．(1,)-+∞ D ．(,0)-∞8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．89．函数()2ln x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．12011．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±12．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）A ．10B ．23C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

首都师大附中2024—2025学年第一学期期中练习初三数学命题人：张彩萍刘宇航审核人：周素裹第Ⅰ卷（共16分）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，OA 交于点B ，AD 切于点D ，点C 在上．若，则为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（）A ．向左1个单位B ．向右1个单位C ．向上1个单位D ．向下1个单位5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BE ，于F ，若，，则线段BE 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．6．如图，AB 是的直径，弦AC ，AD 分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下2230x x +-=()212x +=-()214x +=()214x +=-()212x +=O O O 40A ∠=︒C ∠()21y x =-BF CE ⊥90CED ∠=︒2DE=O O 1AC =列结论中错误的是（）A ．的直径为2B ．连接OD ，则C ．D ．连接CD ，则7．二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，y 的取值范围是，则m 的取值范围是（ ）x...-3-11...y (8)n 8…A ．B ．C ．D ．8．已知内接于，．点A 从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A 运动的路线长为l ，的面积为S ，S 随l 变化的图象如图所示，其中．①点A 在运动的过程中，始终有;②点M；③存在4个点A 的位置，使得．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷（共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9．点关于原点的对称点的坐标是______．10．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为______．11．如图，将绕点A 逆时针旋转30°得到，点B 的对应点D 落在边BC 上，的度数为______．O OD AB⊥ 3BD CD =2AC CD=2y ax bx c =++3x m -≤≤8n y ≤≤3m ≥-31m -≤≤1m ≥-11m -≤≤ABC △O 2BC =ABC △21l l -=45BAC ∠=︒1+12S =()6,5-2x k =ABC △ADE △ADE ∠第11题图12．抛物线的顶点为，其部分图象如图所示，若，则x 的取值范围是______．第12题图13．如图，PA ，PB 分别切于点A ，B ．若的半径为1．，则的长度为______．第13题图14．小华利用网络平台帮助家乡小红销售农产品．8月份销售额为1000元，10月份销售额为1210元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意，可列方程为______．15．已知的半径为3，线段，若与线段AB 有两个交点，则点O 到直线AB 的距离d 的取值范围是______．16．对于函数（其中h 为常数，）和其图象上的一点．（1）若时，，则的取值范围是______;（2）若时，，则的取值范围是______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：．18．已知m 是方程的根，求代数式的值．23y ax bx =++()2,A m 3y <O O 60P ∠=︒AB O 2AB =O 22y x hx =+0h <()00,x y 0x x >0y y >0x 02x x >0y y >0x 210x x +-=2310x x -+=()2143m m m --+19．如图，和都是等边三角形，B ，C ，D 共线．求证：．20．已知：如图1，P 为上一点．求作：直线PQ ，使得PQ 与相切．作法：如图2，①连接OP ;②以点P 为圆心，OP 长为半径作弧，与的一个交点为A ，作射线OA ;③以点A 为圆心，OP 长为半径作圆，交射线OA 于点Q （不与点O 重合）；④作直线PQ ．直线PQ 就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：（2）完成下面的证明．证明：连接PA ．由作法可知，∴点P 在以OQ 为直径的上．∴______①______（______②______）（填推理的依据）．∴．又∵OP 是的半径，∴PQ 是的切线（______③______）（填推理的依据）．21．关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根：（2）若方程有一根为负数，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为半圆O 的直径．弦BC ，AD 相交于点E ．连接AC ，点C 是的中点．若，．ABC △ADE △60ECD ∠=︒O O O AP AO AQ ==A OPQ ∠=OP PQ ⊥O O ()2210x m x m -+++=AD 6OA =30CBA ∠=︒（1）求CE 的长：（2）M 为的中点，点P 在直径AB 上，直接写出的最小值为______．23．已知二次函数的图象经过（0，3），（3，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）一次函数，当时，总有，直接写出k 的取值范围．24．如图，在中，，AB 为的直径．AC 与相交于点D ．过点D 作于点E ，CB 延长线交于点F ．（1）求证：DE 为的切线；（2）若，，求AD 的长．25．为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的关系，测得几组数据如下表：滑行时间x /s024681012滑行距离y /m 0112208288352400432（1）根据上述数据，在平面直角坐标系xOy 中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离y 与滑行时间x 满足的是______函数关系（填“一次”或“二次”）；（2）求y 与x 的函数关系式；BDDP MP +212y ax x c =++21y kx =+2x >12y y <ABC △AB BC =O O DE BC ⊥O O 3BE =4BF =（3）飞机着陆后滑行______s 能停下来，此时滑行的距离是______m ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线，点，，是抛物线上不同的三点．（1）若，直接写出a 的值：（2）若对于任意的，都有，求a 的取值范围．27．已知在中，，CD ，BE 分别为AB ，AC 边上的高．（1）如图1，CD ，BE 交于点P ，若，求证：；（2）在线段CD 上取一点P ，使得，连接BP ，EP ．①在图2中补全图形；②用等式表示PB 与PE 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，的半径为1，MN 为的弦．对于平面内的一点P ，若点P 关于MN 的中点对称的点恰好在内，则称点P 为弦MN 的“内称点”．已知点，，．（1）以下各点中，是弦AB 的“内称点”的是______；①②③④（2）已知点D ，E 在上运动，且，若内的每一个点都能成为某一时刻弦DE 的“内称点”，求a 的取值范围；（3）点P 在上运动，若直线与x ，y 轴的交点所连线段上的每一个点都可以成为某一时刻弦CF 的“内称点”，则b 的取值范围为______．()()20y a x a c a =-+≠()12,A y ()23,B a y ()3,C t y 12y y =21t -<<-321y y y >>ABC △45ACB ∠=︒2CP DB =AD BD =2CP DB =O O O ()0,1A ()1,0B ()1,0C -130,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭211,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()31,1P 41P ⎛++ ⎝O DE a =O O y x b =+。

北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一数学下学期期中试题（C）（含解析）一、单选题1.已知变量,x y满足430{140x yxx y-+≤≥+-≤，则x y-的取值范围是（）A.6[2,]5- B.[2,0]- C.6[0,]5D. [2,-1]-【答案】A【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设目标函数z x y=-，当z x y=-过点137(,)55A时，目标函数取得最大值，此时最大值为max1376555z=-=；当z x y=-过点()1,3B时，目标函数取得最小值，此时最小值为min132z=-=-，所以x y-的取值范围是62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选A.考点：简单的线性规划求最值.2.若实数a，b满足3412a b==，则11a b+=（）A.12B.15C.16D. 1【答案】D【解析】【分析】先将指数式化成对数式，求出,a b，再利用换底公式的推论log log1a bb a⋅=以及对数的运算法则即可求出．【详解】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，121212341111log 3log 4log 1211212a b log log +=+=+==． 故选D ．【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论log log 1a b b a ⋅=的应用以及对数的运算法则的应用．3.已知集合{}(6)(4)0A x x x =-+<，{B x y ==，则A B =（ ）A. [1,6)-B. (1,6)-C. (4,1]--D. (4,1)--【答案】A 【解析】()(){}640A x x x =-+<解得46x-<<，即()46A =-， {)1B x y ⎡===-+∞⎣，A B ⋂= [)1,6-故选A4.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC 的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题目,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos b c A =⋅可知，利用边化角的方法，将式子化为sin sin cos B C A =，利用三角形的性质将sin B 化为sin()A C +，化简得cos 0C =，推出90C ∠=︒，从而得出ABC 的形状为直角三角形． 【详解】由题意知，cos b c A =⋅∴由正弦定理得sin sin cos B C A =又()B A C∴sin()sin cos A C C A +=展开得，sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C =又角A ，B ，C 是三角形的内角sin 0cos 0A C ∴>∴=又0<C<π2C π∴=综上所述，ABC 的形状为直角三角形，故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意A B C π++=的应用．5.已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A 14 B. 14-C. 240D. 240-【答案】C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解．【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr nT Cx -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()3 66216221rrn r rr r rr nT C x C xx---+⎛=-=-⎪⎝⎭令3632r-=，解得：2r，所以3x的系数为()2262621240C--=故选C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．6.函数2x241(0)()2(0)ex x xf xx⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩的图像上关于原点对称的点有（）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个【答案】B【解析】【分析】作出函数2x241(0)()2(0)ex x xf xx⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩的图象如图所示，再作出2241y x x=++关于原点对称的图象，根据交点个数得解.【详解】作出函数2x241(0)()2(0)ex x xf xx⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩的图象如图所示，再作出2241y x x=++关于原点对称的图象，记为曲线C.容易发现与曲线C有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B就是符合题意的点.故选：B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的图象及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.解答本题的关键是作出函数()f x 位于y 轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作2241y x x =++关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点. 7.下列说法错误的是( )A. 若OD ＋OE ＝OM ，则OM －OE ＝ODB. 若OD ＋OE ＝OM ，则OM -OD ＝OEC. 若OD ＋OE ＝OM ，则OD －EO ＝OMD. 若OD ＋OE ＝OM ，则DO ＋EO ＝OM 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的减法就是向量加法的逆运算判断,A B ，由相反向量的定义判断,C D . 【详解】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知,A B 正确； 由相反向量的定义可知OE EO =-，所以若OD ＋OE ＝OM ，则OD －EO ＝OM ，C 正确； 若OD ＋OE ＝OM ，由相反向量定义知，DO ＋EO ＝OD --OE ＝OD -（＋OE OM ）=- ，故D 错误，故选D ．【点睛】本题主要考查向量的运算，以及相反向量的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.8.已知实数,x y 满足4030x y y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则11y z x -=+的最大值为（ ）A. 1B.12C.13D. 2【答案】A 【解析】分析: 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．详解: 作出不等式组对应的平面区域如图，z 的几何意义是区域内的点到定点P （﹣1，1）的斜率，由图象知当直线过B （1,3）时，直线斜率最大，此时直线斜率为1， 则11y z x -=+的最大值为1， 故选A ．点睛: 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 9.若1,01a b c >><<，则下列不等式错误的是（ ） A. c c a b >B. c c ab ba >C. log log a b c c >D.log log b a a c b c >【答案】D 【解析】试题分析：由题意得,此题比较适合用特殊值法，令，那么对于A 选项，正确，B 选项中，可化简为，即成立，C 选项，成立，而对于D 选项，，不等式不成立，故D 选项错误，综合选D.考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.特殊值法. 【思路点晴】本题主要考查是利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小问题，属于难题，此类题目的核心思想就是指数函数比较时，尽量变成同底数幂比较或者是同指数比较，对数函数就是利用换底公式将对数转换成同一个底数下，再利用对数函数的单调性比较大小，但对于具体题目而言，可在其取值范围内，取特殊值（特殊值要方便计算），能够有效地化难为易，大大降低了试题的难度，又快以准地得到答案.10.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度D. 向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f （x ）的解析式，再利用y=()sin A x ωϕ+的图象变换规律，得出结论．【详解】由函数f （x ）=()()sin 0,0,0A x A ωϕωπϕ+>>-<<的部分图象，可得A=2，∵2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴T=π，ω=2，f （x ）=2sin （2x+φ）， 将23π⎛⎫⎪⎝⎭，代入得213sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵﹣π＜φ＜0， ∴()22226612f x sin x sin x πππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故可将函数y=f （x ）的图象向左平移12π个单位长度得到的图象，即为()sin g x A x ω=的图象， 故选B ．【点睛】由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+ ()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 二、填空题11.定义运算(){()a ab a b b a b ≤*=>，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为 . 【答案】352【解析】【详解】由22151||100x x x x x -+≤-⇔+-≤∴≤≤151522x --+≤≤； 所以21515,()2215(){1,()2151,(2x x f x x x x x -≤≤-+=-<-+<， 此函数图象如图所示，35；12.函数1()424xf x x =-+-的定义域为______． 【答案】[2,2)- 【解析】 【分析】根据二次根式及分式成立的条件,即可求得函数的定义域.【详解】函数1()24x f x =- 所以自变量x 的取值满足240240x x ⎧-≥⎨-≠⎩解不等式组可得22x -≤< 即[)2,2x ∈- 故答案为: [)2,2-【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.13.设集合{}|1,A x x a x R =-<∈，{}|15,B x x x R =<<∈，若A B ≠⊂，则a 的取值范围为________． 【答案】24a ≤≤. 【解析】 【分析】先化简集合A,再根据A B ≠⊂得到关于a 的不等式求出a 的取值范围. 【详解】由1x a <－得11x a －－<<，∴11a x a <<－＋，由A B ≠⊂得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴24a <<．又当2a ＝时，{}A |13x x <<＝满足A B ≠⊂，4a ＝时，{}|35A x x ＝<<也满足A B ≠⊂，∴24a ≤≤. 故答案为24a ≤≤【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．14.已知关于x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，则m 的取值范围是______．【答案】4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点()00,P x y 满足0022x y -=，则平面区域内必存在一个C 点在直线22x y -=的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围．【详解】作出x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩对应的平面如图：交点C 的坐标为(),2m --， 直线22x y -=的斜率为12，斜截式方程为112y x =-， 要使平面区域内存在点()00,P x y 满足0022x y -=， 则点(),2C m --必在直线22x y -=的下方， 即1212m -≤--，解得2m ≤，并且A 在直线的上方；(),12A m m --，可得11212m m -≥--，解得43m ≤， 故m 的取值范围是：4,.3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 故答案为4,.3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.已知函数()()1,421,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则f （log 23）＝_____． 【答案】124【解析】由已知得222(log 3)(log 31)(log 32)f f f =+=+22(log 33)(log 24)f f =+=122log 24log (24)1()22-==124= 三、解答题16.已知函数()412x f x a a=-+（0a >且1a ≠）是定义在(),-∞+∞上的奇函数. （1）求a 值；（2）当(]0,1x ∈时， ()22xtf x ≥-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2 ；（2）0t ≥.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，(0)0f =，即可求出a 的值；（2）由（1）得函数()f x 的解析式，当(]0,1x ∈ 时，220x +>，将不等式转化为()()221220x x t t -+⋅+-≤.利用换元法：令2x u =，代入上式转化为(]1,2u ∈时， ()2120u t u t -+⋅+-≤恒成立，根据二次函数的图象与性质，即可求出t 的取值范围.【详解】解：（1）∵()f x 在(),-∞+∞上奇函数，即()()f x f x -=-恒成立，∴()00f =.即04102a a-=⨯+， 解得2a =. （2）由（1）知()22112121x x x f x -=-=++， 原不等式()22xtf x ≥-，即为22222x x x t t ⋅-≥-+.即()()221220x x t t -+⋅+-≤. 设2x u =，∵(]0,1x ∈，∴(]1,2u ∈，∵(]0,1x ∈时， ()22x tf x ≥-恒成立， ∴(]1,2u ∈时， ()2120u t u t -+⋅+-≤恒成立， 令函数()()212g u u t u t =-+⋅+-,根据二次函数的图象与性质，可得 (1)0(2)0g g ≤⎧⎨≤⎩，即2211120,21220,t t t t ⎧-+⨯+-≤⎨-+⨯+-≤⎩解得0t ≥.【点睛】本题考查奇函数的定义与性质，二次函数的图象与性质，考查不等式恒成立含参数的取值范围，考查转化思想和换元法17.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x 2﹣12x+20＜0}，C={x|x ＜a}．（1）求A∪B；（∁R A ）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a 的取值范围．【答案】（1）A∪B={x|2＜x ＜10}；（C R A ）∩B={x|2＜x ＜3或7≤x＜10}．（2）a ＞3．【解析】试题分析：（1）先通过解二次不等式化简集合B ，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出C R A ，进一步利用交集的定义求出（C R A ）∩B；（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a ＞3．解：（1）B═{x|x 2﹣12x+20＜0}={x|2＜x ＜10}；因为A={x|3≤x＜7}，所以A∪B={x|2＜x ＜10}；（1分）因为A={x|3≤x＜7}，所以C R A={x|x ＜3或x≥7}；（1分）（C R A ）∩B={x|2＜x ＜3或7≤x＜10}．（1分）（2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x ＜a}．A∩C≠∅，所以a ＞3．（2分）考点：交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．18.已知函数1()3sin()126f x x π=+-. 求：（1）函数的最值及相应的x 的值；（2）函数的最小正周期.【答案】（1）见解析（2）4π【解析】试题分析：（1）由11sin()126x π-≤+≤，可推得143sin()1226x π-≤+-≤，即可求解函数的最值及其相应的x 的值.（2）利用三角函数的周期公式，即可求解函数()f x 的最小正周期.试题解析：（1）因为11126sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以133326sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以143i 1226s n x π⎛⎫-≤+-≤ ⎪⎝⎭， 所以()2max f x =，此时12262x k πππ+=+，即24,3x k k Z ππ=+∈； 所以()4min f x =-，此时12262x k πππ+=-，即44,3x k k Z ππ=-∈. （2）函数()f x 的最小正周期24T ππω==. 19.已知向量a ，b ，c ，求作a b c -+和()a b c --.【答案】详见解析【解析】【分析】根据向量加减法的三角形法则作图即可.【详解】由向量加法的三角形法则作图：a b c-+由向量三角形加减法则作图：()a b c--【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题.20.设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2+⋯+ a15x15求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+ ⋯+ a15(2) a1+ a3+ a5+ ⋯+ a15【答案】(1) -1 (2) -214【解析】试题分析：(1)利用赋值法，令0x =可得01a =，再令1x =即可求得121501a a a a ++=-=-；(2)利用赋值法，令1x =，1x =-，所得的两式做差计算可得14135152a a a a ++++=-. 试题解析：(1)题中的等式中，令0x =可得：1501a =，即01a =，令1x =可得：15012150a a a a =+++，据此可得：121501a a a a ++=-=-.(2)题中的等式中，令1x =-可得：150123152a a a a a =-+-+-，① 令1x =可得：15012150a a a a =+++，②①-②可得：()151351522a a a a =-++++，则：14135152a a a a ++++=-.点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为0，1，－1.21.化简求值（1）07log 23(9.8)log lg25lg47+-++（2）())121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】（1）132；（2）45-. 【解析】 试题分析：根据实数指数幂和对数的运算公式，即可求解上述各式的值.试题解析：（1）原式()323log 3lg 25421=+⨯++ 3313lg100323222=++=++=；（2）原式=()()1122313250.3719---⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=154910.33-+-=45-。

北京市海淀区2019-2020学年度第二学期第二次月考试卷首师附中学校高一英语一、完形填空（共20道题，每小题1.5分，共30分）A friend of mine is a musician. He ____1____ seems to be learning new tunes, new ____2____, and new ways of making music in cool ways. At the weekends, he ____3____ to go into Central Park in the center of Nagoya during the daytime where lots of bands ____4____. Some of these bands are really good, but some of them are quite ____5____. One of the reasons why my friend likes ____6____ all the bands is that they are ____7____! And as he says to me, ''____8____ expensive things don't necessarily mean that they're good, free things don't necessarily mean they have no ____9____. You have to listen and look yourself and ______10______ what is valuable for you. And ______11______, as you listen and look, you may learn different things.''So my friend goes to the ______12______ every week when the weather is fine, and he says he learns______13______ from every single band! When he watches and listens to the really good bands, he learns new concertos (协奏曲) from the ______14______ and cool rhythms from the drummers. I guess that it's not______15______ that you can learn a lot by watching ______16______ performers. But what really ______17______ me are my friend's words — ''You can learn by watching and listening to the bad performers, too. When I watch a bad performer, I think to myself-wow, that's another thing that I'm going to ______18______.''So my friend makes ______19______ by learning from both good and bad performers. And he says he also finds ______20______ and pleasure in learning and improving in ways that he never even imagined!1. A. finally B. quickly C. seldom D. always2. A. games B. systems C. instruments D. languages3. A. loves B. wishes C. agrees D. affords4. A. compete B. perform C. study D. succeed5. A. poor B. shy C. unlucky D. fierce6. A. forming B. watching C. inspiring D. training7. A. right B. familiar C. famous D. free8. A. Since B. For C. While D. Unless9. A. price B. fault C. soul D. value10. A. find out B. wait for C. bring out D. call for11. A. in short B. of course C. at first D. as usual12. A. park B. club C. studio D. cinema13. A. nothing B. anything C. everything D. something14. A. listeners B. learners C. players D. dancers15. A. touching B. exciting C. surprising D. satisfying16. A. excellent B. strange C. energetic D. amateur17. A. embarrasses B. impresses C. comforts D. convinces18. A. come up with B. get hold of C. look down on D. get rid of19. A. time B. money C. progress D. way20. A. duty B. fun C. pride D. respect二、阅读理解（共5篇文章，为A、B、C、D、E文章，每个文章共4道题，共计20小题，每道题3分，共60分）AFor a herder (放牧人) in Africa, the hardest part of the job is searching for cattle lost in the bush. But for Andrew, a herder at a farm in Zimbabwe, it's not a problem. Once he spo ts Toro, he knows the rest of the herd is nearby. That’s because Toro isn’t an ordinary member of the herd. He's a giraffe. In hot weather, cattle rest in the shade under his belly. And because of his height, Toro can spot lions long before they come close to the herd.Toro's unusual situation came about after his mother was killed by lions. Toro survived the attack, but he was left with no one to protect him or give him milk. About two days later, some herders spotted and rescued him. With the permission of the Department of Wildlife, the herders moved Toro to Andrew's farm. Since giraffes and cattle are both plant-eating animals that live in groups, their behaviors are much the same. Toro was accepted into the herd and wandered among the cattle as they ate grass.Toro doesn't always behave like the other members of his new herd. Like many kinds of animals, cattle compete for dominance (支配). Standing more than 13 feet tall, Toro is more than three times taller than the biggest bull, But Toro never tries to be ''the boss. ''He is very used to their company, '' Andrew said. When the herd enters the kraal (家畜栏), the cows and bulls push each other. ''But thanks to his height, Toro does not need to join the mess, '' said Andrew.When asked if Toro would ever be returned to the wild, Munetsi, an officer of the Department of Wildlife said no. ''In the wild, he would find it difficult to be accepted into another herd or defend himself from predators (猎食者),'' he added. ''He seems very much at home and is respected by the cattle.''21. What was Toro like when the herders found him?A. He was left alone.B. He was seriously ill.C. He was lost in the bush.D. He was fighting with lions.22. What do we know about Toro in the cattle herd?A. He has fought to be the leader.B. He gets along well with the herd.C. He is pushed around by the bulls.D. He stays away from the herd most of the time23. What will happen to Toro according to Munetsi?A. He will be sent back to the wild.B. He will be put into another herd of giraffes.C. He will continue to live together with Andrew.D. He will be trained to fight with the big animals.24. What may be the best title for the text?A. Giraffes under threat in the wildB. A surprising new family for a giraffeC. A new way of herding appearing in AfricaD. Moments showing friendship between animalsBWhen Faith Wanjiku graduated from the Technical University of Kenya last year, she immediately enrolled (注册) at the Confucius Institute in Kenyatta University. She wanted to learn Chinese, as she believed that it would help her land a good job.She has just completed the hanyu Shuiping Kaoshi (HSK) 3 exam. HSK is a test of Chinese language level fornon-native speakers, organized by the Confucius Institute Headquarters.However, this level isn’t enough for Wanjiku, who plans to pass HSK 6. She wanted to increase her level of Chinese and improve her spoken Chinese. And Wanjiku isn’t alone. The number of people taking the HSK reached 6.8 million in 2018 and went up 4.6 percent from a year earlier, the Ministry of Education said on May 31.Chinese is becoming an increasingly popular choice of language to study around the world. Currently, middle school students in Russia can take Chinese as an elective language test in the country’s national colleg e entrance exam, Sputnik News reported.In May, Zambia became the fourth country in Africa-after Kenya, Uganda and South Africa—to introduce Chinese language to its schools.And many English-speaking countries have shown an interest in allowing their students to learn Chinese. The US government announced the launch of “1 Million Strong” in 2015, a plan that aims to bring the total number of learners of Chinese to l million by 2020.Behind the growing popularity of Chinese language learning is the internatio nal community’s positive attitude toward Chinas future development, as well as the people’s longing to learn about Chinese civilization and culture.Indeed, it’s as the former president of South Africa Nelson Mandela put it, “if you talk to a man in a lang uage he understands, that goes to his head. If you talk to him in his own language, that goes to his heart.”25. What did Wanjiku do after graduating from university?A. She went abroad.B. She learned Chinese.C. She found a job.D. She travelled to China.26. HSK is a test for ______.A. non-native speakersB. native speakersC. middle school studentsD. college students27. What does the underlined sentence mean?A. Wangjiku has lots of friends.B. Lots of people want to pass HSK6 exam.C. Wangjiku has passed HSK3 exam.D. Many people want to live in China.28. What may be the best title for the text?A. Chinese Language Study Takes OffB. Chinese Play an Important Role in EconomyC.People Share the Experience of Learning ChineseD. Different Opinions about the Function of Chinese C Australia and New Zealand’s health organizations have given their advice on when to use sunscreen (防晒霜),suggesting Australians apply it every day to avoid bad health effects.A Sunscreen Summit took place in the Australian State of Queensland. During the summit, representatives from some of Australia’s leading research, medical and public health organizations examined the evidence on sunscreen use and determined that in most parts of the country it is beneficial to apply sunscreen every day.“Up until now, public health organizations have recommended applying sunscreen ahead of planned outdoor activities but haven t recommended applying it every day as part of a morning routine (惯例),” professor Rachel Neale from QIMR Berghofer Medical Research Institute said. “In recent years, it has become clear that the DNA damage causes skin cancer and melanoma(黑色素瘤), which is caused by repeated small exposure to sunlight over a period of time,” Neale said. “In Australia, we get a lot of sun exposure from everyday activities such as alking to the bus stop or train station,” Neale said.A study showed that one in two Australians believed it was unhealthy and potentially dangerous to use sunscreen every day. However, Terry Slevin from the Public Health Association of Australia says it is wrong. “There is consistent and compelling evidence that sunscreens are safe,” Slevin said. “Importantly, medical trials have found that people who use sunscreen daily have the same levels of vitamin d as those w ho don’t,” Slevin added.Australia has one of the highest rates of skin cancer in the world which is made worse by the country’s close to Antarctica where there is a hole in the ozone layer (臭氧层), letting in higher numbers of UV rays.29. What made Australian health organizations advise Australians to use sunscreen?A. The makers of sunscreen.B. Australian government.C.The Sunscreen Summit.D. New Zealand’s researchers.30. What is not recommended before the Sunscreen Summit? A. Using sunscreen before outdoor activities. B. Using sunscreen as a morning routine. C. Reducing the use of sunscreen. D. Reducing outdoor activities.31. What is the misunderstanding of many Australians?A. People using sunscreen won’t have skin cancer.B.Sunscreen will never take effect.C. People using sunscreen have the same levels of vitaminD. D. Sunscreen is bad for people’s health.32. Which of the following best explains “compelling” underlined in paragraph 4?A.Interesting. B. Disappointing. C. Boring. D. Convincing. D Scientists blame greenhouse gases for being a major cause of climate change around the world. This is becausegreenhouse gases trap heat in the atmosphere and make the planet warmer.Now, a team of researchers has announced a successful experiment that turned carbon dioxide into useful liquid fuel. The researchers created a device, called a reactor, which changes bon dioxide into a pure form of formic acid(甲酸). Formic acid is a substance (物质) found in ants and some other insects, as well as in many plants. It is used as an antibacterial material and in the processing of some kinds of clothing.Haotian Wang led the research team. He said in a statement that the results of the experiment were important because formic acid is a major carrier of energy. So, the substance can provide a way to reuse carbon dioxide and prevent it from being released into the atmosphere. “It’s a fuel-cell fuel that can generate electricity and send out carbon dioxide which you can grab and recycle again,” Wang said.“Other methods for turning carbon dioxide into formic acid require intense purification processes,” Wang said. Such methods are very costly and require a lot of energy. The Rice University team said it was able to reduce the number of steps in the traditional process to create a low-cost, energy-saving method.The researchers reported the reactor device performed with a conversion rate (转化率) of 42 percent. This means that nearly half of the electrical energy can be stored in formic acid as liquid fuel. The team said the reactor was able to create formic acid continuously for 100 hours with little degradation (退化) of the device’s parts.Wang said the reactor could easily be used to produce other high-value products, including alcohol-based fuels. The researchers noted that the technology could also be a big help in solving another major energy problem—how to store large amounts of power in small places.33. What factor is the main cause of climate change?A. Greenhouse gases.B. Chemistry waste.C. Formic acid.D. Liquid fuel.34. What do we know about formic acid?A. It is a large amount of power.B. It can be found in ants.C. It is high- value equipment.D. It is a substance in clothing.35. What is Wang’s attitude towards his own research?A. Doubtful.B. Aggressive.C. Optimistic.D. Uncaring.36. In what magazine can you read this text?A. A travel magazine.B. A sports magazine.C. A music magazine.D. A science magazine.EThe 2016 Rio Olympic Games have come to an end. Without doubt, many Chinese sports fans sat in front of the TV and cheered our athletes on, hoping that they would get as many gold medals as possible.But sometimes our desire for gold medals can result in the sadness of failure. When Liu Xiang, China’s track hero, pulled out of the Beijing Olympics due to injury, he greatly disappointed many Chinese sports fans.But things are different now. In the 2016 Rio Olympic Games, we saw a healthier Chinese attitude towards the sports people, fully in line with the Olympic spirit.China didn’t win any gold medals o n the first day. But, instead of criticizing(批评) the athletes who failed to win, most of the fans were happy with their efforts. “Looking at the results in the right way when an athlete misses out on gold shows the maturity(成熟) of a person, and is also a challenge for a country to face up to in the process of development,” commented CRI.Swimmer Fu Yuanhui won fans’ hearts, even if she only won the third place in the 100m backstroke final. Her fans on her Sina Weibo have increased 100,000 to over 6 million. Many sports fans appreciated her straightforward character and attitude towards competitions.“The warm support from Internet users shows that public attitude towards competitive sports and the Olympics has gotten to a higher level”, said an article in the People’s Daily.37. What can we know from Paragraph 2?A. Gold medals can also cause sadness.B. Liu Xiang always disappoints his fans.C. Fans have high expectations of Liu Xiang.D. Liu Xiang got injured before the Olympics.38. What is people’s attitu de now towards the athletes who failed?A. Interested.B. Understanding.C. Angry.D. Disappointed.39. What makes people like Fu Yuanhui?A. Her Sina Weibo.B. Her kindness to the fans.C. Her attitude to competitions.D. Her winning a gold medal.40. What does the author mainly want to tell us in this passage?A. Winning gold medals is important.B. Changing attitude to athletes is a must.C. Results are not important in the competition.D. Peoples’ attitude towards competitive sports is healthier.三、七选五（共5小题，每道题2分，共10分）After a long day at work, coming home is a breath of fresh air. ____41____ However, is it as healthy as it can be? Below are a number of things we can do to create a healthy home environment that will help to case the workday stress and promote our physical and mental health.Cleaning the house regularly is the first thing we should do. It may seem like a tiring thing to clean but there is a reason for doing so. We can remove dust by cleaning the house. Leaving layers of dust everywhere means that there is a build-up of dust. ____42____ Into our lungs.Making sure the rooms are full of sunlight is also important. We may not realize it but sunlight is an important part of our growth. We all know that sunlight promotes better working conditions. ____43____ Think about using a Parans system where sunlight does not reach. This technology gathers the sunlight by using solar panels (板). It can send out sunlight wherever we are.____44____ Going green will help to remove toxins (毒素) in the air. They also give off oxygen, which can lower stress and improve our moods.Along the lines of being green, it can also be vital to think about what things we are bringing into the house. Try to avoid specific plastics that are harmful to health. ____45____ They may contain poisonous chemicals that can be breathed in, or simply absorbed through the skin.A. And where do these layers of dust go?B. Home is a comfortable place to sit back and relax.C. Is our home as safe as it used to be?D. The same thing applies to certain carpets and paint.E. It is also a good idea to add more plants in our house.F. Besides, it can reduce both stress and high blood pressure.G. It is acknowledged that a greener lifestyle is linked to better health.四、写作第一节提纲类作文共1题，共15分。

北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期
期中练习数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．5
B ．10
C ．13
D ．26
三、双空题
16．声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.
（1）若甲声波的数学模型为()1
sin 200f t t p =，乙声波的数学模型为
()()()2sin 2000f t t p j j =+＞，甲、乙声波合成后的数学模型为()()()12f t f t f t =+.要
使()0f t =恒成立，则j 的最小值为____________；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为()H t ，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分
（ⅱ）记()()()()()()s P M PA M PB M PC M PD M PE =++++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
.求()s P 的最小值及相应的
点P 的坐标.。

首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 下列函数中，既是偶函数又是周期为函数为（ ）．A. B. C. D.2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．A. B. C.D. 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）A.B.C.D.4. 已知点A （1，2），B （3，7），向量，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反5. 关于函数，则下列结论中：①为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线对称；③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④的πsin y x=cos y x=tan2y x=cos2y x=α(),6P x 3sin 5α=x =4-4±8-8±160002π3606000=︒=003-123-1000-π6π4π3π2(,1),//a x AB a =-25x =AB a25x =-AB a25x =AB a 25x =-AB a π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π-π3x =π63cos 2y x =ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数，，其图象如下图所示.为得到函数图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8. 若P 是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（ ）A.B.C. 1D. 29. 如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（ ）的a b a b()a ab ⊥+ 111()sin()f x A x ωϕ=+222()sin()g x A x ωϕ=+()g x ()f x 12π6π12π6π3ABC V AP xAB y AC =+xy 1412P O P 2rad /s 0P ()0y x x =-≥O e 012t ≤≤P y t s π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π11π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 4AB =6AC =AN AM ⋅=A. 5B. 10C. 13D. 26第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）11 _________.12. 已知是第四象限角，且，则______，______．13. 在正方形网格中的位置如图所示，则______，向量在向量上的投影的数量为______．14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.15 已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则；④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16. 如图，在平行四边形ABCD 中，，．设，．..sin 330︒=α5tan 12α=-cos α=πcos()2α+=,a b ,a b 〈〉=a b ()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()2sin πxf x x x=-()f x ()f x ()1,+∞()2023.7f a =()2022.7f a -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2AE AB = 13DF DE = AB a =AD b =（1）用，表示，；（2）用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线．17. 已知函数，其中，且的图象过点．（1）求的值；（2）求的单调减区间和对称中心的坐标；（3）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．18. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点．（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）求的最小值．19. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知，若______，则唯一确定．（1）求的解析式；（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 设（为正整数），对任意的，，定义（1）当时，，，求；a b AC DE()sin(2)f x x ϕ=-π||2ϕ<()y f x =π(,0)12ϕ()f x 0m >()f x []0,m 12-m xOy ()()()3,3,5,1,2,1A B P M OP PA PB -APBQ Q MA MB ⋅x ∈R ()π6f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()f x π()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()sin ,0,02πf x x ωϕωϕ=+>≤<,ωϕ()f x ()π216g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()210g x mg x --≤m (){}{}12,,,0,1,1,2,,n niS x x x x i n =⋯∈=⋯n ()12,,,nx x x α=⋅⋅⋅()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅1122n nx y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+3n =()1,1,0α=()1,0,1β=αβ⋅（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A 中元素个数的最大值；（3）集合，对于任意，，，均有，求A 中元素个数的最大值．3n =n A S ⊆αA β∈αβ⋅n A S ⊆αA β∈αβ≠0αβ⋅≠首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】C第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）【11题答案】【答案】【12题答案】12【答案】 ①.②.【13题答案】【答案】①②.【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②③三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【16题答案】【答案】（1），；（2）略【17题答案】【答案】（1）； （2），； （3）.【18题答案】【答案】（1）（2）； （3）.【19题答案】【答案】（1） （2）【20题答案】【答案】（1）1 （2）4（3）.12135133π43π5A C a b =+2DE a b =- π6ϕ=π5π[π,π](Z)36k k k ++∈()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2π(0,3(6,3)2-()π()sin 32f x x +=8[,)3+∞12n -。

北京首师附中2019-2020学年度第二学期期中考试试题高一数学C 卷13-20班用一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。

1.已知变量,x y 满足430{140x y x x y -+≤≥+-≤，则x y -的取值范围是（ ） A. 6[2,]5- B. [2,0]- C. 6[0,]5 D. [2,-1]-2.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b +=（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 13.已知集合{}(6)(4)0A x x x =-+<，{B x y ==，则A B =（ ） A. [1,6)- B. (1,6)- C. (4,1]-- D. (4,1)-- 4.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC 的形状为A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 5.已知二项式2(*)n x n N ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ）A. 14B. 14-C. 240D. 240-6.函数2x241(0)()2 (0)e x x x f x x ⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩ 的图像上关于原点对称的点有（ ）对 A . 0 B. 2 C. 3 D. 无数个7.下列说法错误的是( )A. 若OD ＋OE ＝OM ，则OM －OE ＝ODB . 若OD ＋OE ＝OM ，则OM -OD ＝OEC. 若OD ＋OE ＝OM ，则OD －EO ＝OMD. 若OD＋OE＝OM，则DO＋EO＝OM8.已知实数,x y满足403x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则11yzx-=+的最大值为（）A. 1B.12C.13D. 29.若1,01a b c>><<，则下列不等式错误的是（）A. c ca b> B. c cab ba> C. log loga bc c> D. log logb aa cb c>10.函数()()()sin0,0,0f x A x Aωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sing x A xω=的图象，只需将函数()y f x=的图象（）A. 向左平移3π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向右平移3π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度二、填空题11.定义运算(){()a a ba bb a b≤*=>，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x=*-最大值为 .12.函数21()424xf x x=--的定义域为______．13.设集合{}|1,A x x a x R=-<∈，{}|15,B x x x R=<<∈，若A B≠⊂，则a的取值范围为________．14.已知关于x，y的不等式组21020x yx my-+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y，满足0022x y-=，则m的取值范围是______．15.已知函数()()1,421,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则f （log 23）＝_____． 三、解答题16.已知函数()412x f x a a=-+（0a >且1a ≠）是定义在(),-∞+∞上的奇函数. （1）求a 的值； （2）当(]0,1x ∈时， ()22xtf x ≥-恒成立，求实数t 的取值范围. 17.已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={x|x 2﹣12x+20＜0}，C={x|x ＜a}． （1）求A∪B ；（∁R A ）∩B ；（2）若A∩C≠∅，求a 的取值范围．18.已知函数1()3sin()126f x x π=+-. 求：（1）函数的最值及相应的x 的值；（2）函数的最小正周期.19.已知向量a ，b ，c ，求作a b c -+和()a b c --.20.设 (1-x )15=a 0+ a 1x + a 2x 2+⋯+ a 15x 15求: (1) a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ ⋯+ a 15(2) a 1+ a 3+ a 5+ ⋯+ a 1521.化简求值（1）07log 227(9.8)log lg25lg47+-++ （2）())121023170.02722179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

2019-2020学年北京市首师大附中高一下学期期中数学试卷(A 卷)一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知sin(π6−α)=13，则cos(π3−2α)= ( ) A. −79 B. 4√29C. 79D. −4√29 2. 设x <0，y <0，且x +2y +1=0，则1x +1y 的最大值为( )A. −3−2√2B. 6C. −6D. 3+2√23. 设U ={1,2,3,4,5},A ={1,2},B ={1,4,5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {1}B. {2}C. {1,2,3}D. {1,2,4,5}4. 若函数f(x)={x 2,x >0π,x =00,x <0，则f{f[f(−2)]}=( )A. 0B. πC. π2D. 4 5. 已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“(12)a <(12)b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知集合M ={x|x ≥−1}，N ={x|−2<x <2}，则M ∩N =( )A. (−∞,−1]B. [−1,2)C. (−1,2]D. (2,+∞)7. 为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A. x 1，x 2，…，x n 的平均数B. x 1，x 2，…，x n 的标准差C. x 1，x 2，…，x n 的最大值D. x 1，x 2，…，x n 的中位数8. 已知集合A ={x|x <4}，B ={0,1，2，3，4，5，6}，则(∁R A)∩B 等于( )A. {0,1，2，3}B. {5,6}C. {4,5，6}D. {3,4，5，6}9. 在地面上点D 处，测得某建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m ，则建筑物高度为( )A. 20 mB. 40 mC. 30 mD. 60 m10. 已知函数f(x)=(1−cosx)sinx ，则( )A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)既是奇函数也是偶函数D. f(x)既不是奇函数也不是偶函数二、单空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 已知定义在R 上的函数f(x)在[−3,+∞)上是增函数，且y =f(x −3)是偶函数，则f(−5)，f(−3)，f (0)的大小关系为______．12. 函数y =3cos 2x −4sinx +1的值域为 ．13. 已知a ⃗ =(−12,y 0)是单位向量，则y 0=______． 14. 已知线性回归方程y ̂=0.75x +0.7，则x =11时，y 的估计值为________． 15. 若函数f(x)={3x +1,x ≥0ax +a,x <0在R 上单调递增，则a 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16. 从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女生的个数，求ξ的分布列与数学期望．17. 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠B =π12，c =b(1+2cosA)，求角A ．18. 在△ABC 中，D 在边BC 上，且BD =2，DC =1，∠B =60°，∠ADC =150°，求AC 的长及△ABC的面积19. 已知cosα=−√55，tanβ=13,α∈(π,32π)，β∈(0,π2)．求sin (α−β)的值．20. 已知定义在R 上的奇函数f(x)=4x −14x +a ，(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(3)解不等式f(x +1)+f(1)>0.21.设函数f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为A．(1)若1∈A，−3∉A，求实数a的取值范围；(2)若函数y=f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查二倍角公式的应用，属于简单题．依题意，cos(π3−2α)=1−2sin 2(π6−α)，即可求得结果．解：因为sin(π6−α)=13，所以cos(π3−2α)=1−2sin 2(π6−α)=79，故选C ． 2.答案：A解析：本题考查了利用基本不等式求最值，由题意得−x −2y =1，所以1x +1y =−(1x +1y )(x +2y)=−(3+2y x +x y )，利用基本不等式求最值即可． 解：由x +2y +1=0得−x −2y =1，∴1x +1y =−(1x +1y )(x +2y)=−(3+2y x +x y ) ≤−(3+2√2y x ·x y )=−3−2√2， 当且仅当2y x =x y 时，等号成立，故选A ．3.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，是基础题．根据集合的补集、并集运算求解即可．解：U ={1,2，3，4，5}，A ={1,2}，B ={1,4，5}，∁U B ={2,3}则A ∪(∁U B)=A ={1,2}∪{2,3}={1,2，3}，故选：C ．4.答案：C解析：解：函数f(x)={x 2,x >0π,x =00,x <0，则f(−2)=0，f(f(−2))=f(0)=π．f{f[f(−2)]}=f(π)=π2．故选：C ．直接利用分段函数求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：A解析：此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．根据对数函数的性质由“log 3a >log 3b ”可得a >b >0，然后根据指数函数的性质由“(12)a <(12)b ，可得a >b ，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解：∵a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”∴a >b >0，∵(12)a <(12)b ，∴a >b ，∴“log 3a >log 3b ”⇒“(12)a <(12)b ，反之则不成立，∴“log 3a >log 3b ”是“(12)a <(12)b 的充分不必要条件，故选A ． 6.答案：B解析：本题考查了交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．先分别求出集合M，N，由此利用交集运算，即可求出M∩N．解：∵集合M={x|x≥−1}，N={x|−2<x<2}，∴M∩N={x|−1≤x<2}．故选B．7.答案：B解析：本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选B．8.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础，根据集合的基本运算进行求解即可．解：∵A={x|x<4}，∴∁R A={x|x≥4}，∵B={0,1，2，3，4，5，6}，∴(∁R A)∩B={4,5，6}，故选C．9.答案：B解析：本题主要考查了解三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解三角形的计算，属于基础题．根据已知及解三角形的计算，求出建筑物高度．解：如图，设O为顶端A在地面的射影．在Rt△BOD中，∠ODB=30°，OB=20，BD=40，OD=20√3．在Rt△AOD中，OA=OD·tan60°=60，∴AB=OA−OB=40(m)．10.答案：A解析：姐姐：∵函数f(x)=(1−cosx)sinx，它的定义域为R，关于原点对称，且满足f(−x)=[1−cos(−x)]·sin(−x)=(1−cosx)·(−sinx)=−(1−cosx)sinx=−f(x)，故该函数为奇函数，故选：A．根据函数的定义域关于原点对称，且满足f(−x)=−f(x)，可得它为奇函数．本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．11.答案：f(−3)<f(−5)<f(0)解析：解：根据题意，y=f(x−3)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=−3的对称，则f(−5)=f(−1)，又由函数f(x)在[−3,+∞)上是增函数，有−3<−1<0，则有f(−3)<f(−1)<f(0)，又由f(−5)=f(−1)，则f(−3)<f(−5)<f(0)，故答案为：f(−3)<f(−5)<f(0)．根据题意，由y =f(x −3)是偶函数分析可得函数f(x)的图象关于直线x =−3的对称，进而可得f(−5)=f(−1)，结合函数的单调性可得f(−3)<f(−1)<f(0)，据此分析可得答案． 本题考查抽象函数的性质以及应用，注意分析函数的对称性，属于基础题．12.答案：[−3,163]解析：本题考查了换元法求三角函数的最值问题，涉及换元法和二次函数在闭区间上的最值问题，是基础题．化简函数y ，利用换元法设sinx =t ，再结合二次函数的图象与性质，即可求出函数y 的值域． 解：化简可得y =4−3sin 2x −4sinx ，设sinx =t ，则t ∈[−1,1]，换元可得y =−3t 2−4t +4=−3(t +23)2+163，由二次函数的性质得，当t =−23时，函数y 取得最大值163，当t =1时，函数y 取得最小值−3，所以函数y 的值域为[−3,163].故答案为[−3,163].13.答案：±√32解析：本题考查了单位向量的概念，属于基础题．根据单位向量的模为1即可求出．解：∵a ⃗ =(−12,y 0)是单位向量，∴14+y 02=1， 解得y 0=±√32， 故答案为：±√32． 14.答案：8.95解析：本题考查线性回归方程的应用，属于基础题．把x =11代入y ̂=0.75x +0.7计算，得到y ^的值即可．解：因为线性回归方程ŷ=0.75x +0.7， 当x =11时，ŷ=8.95． 故答案为8.95．15.答案：(0,2]解析：解：函数f(x)={3x +1,x ≥0ax +a,x <0在R 上单调递增， 可得x ≥0时，f(x)=3x +1递增，当x <0时，f(x)=ax +a ，可得a >0且30+1≥a ，解得0<a ≤2，故答案为：(0,2]．由指数函数的单调性和题意可得a >0且30+1≥a ，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的单调性和运用，考查指数函数的单调性，不等式的解法，属于基础题． 16.答案：解：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3P(ξ=0)=C 53C 83=528，P(ξ=1)=C 52C 31C 83=1528，P(ξ=2)=C 51C 32C 83=1556，P(ξ=3)=C 33C 83=156， ∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 P 5281528 1556 156 Eξ=1×1528+2×1556+3×156=3928．解析：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型． 17.答案：解：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠B =π12，c =b(1+2cosA)， 由正弦定理可得：sinC =sinB(1+2cosA)=sin π12(1+2cosA)，∴sin(π12+A)=sin π12(1+2cosA)，即sin π12cosA +cos π12sinA =sin π12+2sin π12cosA ，∴cos π12sinA −sinπ12cosA =sin π12， ∴sin(A −π12)=sin π12． 解得A −π12=π12．∴A =π6．解析：利用已知条件，通过正弦定理以及B 的大小，化简方程为A 的三角函数的形式，求解即可． 本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，基本知识的考查． 18.答案：解：由题意，∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可知ABD 是直角三角形，∴AB =1，AD =√3在△ADC 中，由余弦定理：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DCcos150°=7∴AC =√7；△ABC 的面积为S =12AB ⋅BC ⋅sin60°=12×3×1×√32=3√34． 解析：在△ABC 中，根据∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可得AB =1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式S =12AB ⋅BC ⋅sin60°求△ABC 的面积．本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题． 19.答案：解：因为α∈(π,32π)，， 所以sinα=−2√55， 又β∈(0,π2)，， 所以sinβ=√1010，cosβ=3√1010， 所以．解析：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式．求出sinα=−2√55，sinβ=√1010，cosβ=3√1010，利用两角差的正弦即可求得sin(α−β)的值．20.答案：解：(1)因为f(x)为R 上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，即4−x −14−x +a =−4x −14x +1， 解得a =1;(2)函数f(x)为增函数；由(1)知：f (x )=4x −14x +1=1−24x +1， 由指数函数的性质和复合函数的单调性可得函数f(x)为增函数；(3)由题意及(2)可得f(x +1)>f(−1)，所以x +1>−1，解得x >−2．解析：解析：本题考查了函数的奇偶性的应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的值域的求法，属于中档题．(1)f(−x)=−f(x)，求出a，并验证；可得答案，并验证；(2)化简f(x)=4x−14x+1=1−24x+1，利用定义可判断f(x)在(−∞,+∞)上为增函数，从而求函数的值域，(3)由奇偶性化f(x+1)>f(−1)，从而利用函数的单调性解答．21.答案：解：(1)由题意{1∈A−3∉A，得{1+a+1>0 9−3a+1≤0,所以a≥103．故实数a的取值范围为．(2)由题意，得x2+ax+1>0在R上恒成立，则Δ=a2−4<0，解得−2<a<2．故实数a的取值范围为(−2,2)．解析：本题考查了求函数的定义域以及不等式恒成立求参数的取值范围问题，属于基础题．(1)根据条件列式即可{1+a+1>09−3a+1≤0；(2)问题转化为x2+ax+1>0在R上恒成立，借助Δ=a2−4<0求解即可．。

北京首都师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列各式：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2∈；④{}{}0,1,22,0,1=，其中错误的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．命题“2x ∃<,220x x -<”的否定是（）A ．2x ∃≤,220x x -≥B ．2x ∀≥,02x <<C ．2x ∃<,220x x -≥D ．2x ∀<,0x ≤或2x ≥3．将下列多项式因式分解，结果中不含因式()2x +的是（）A ．224x x +B ．2312x -C ．26x x +-D ．()()228216x x -+-+4．若集合{}{3},21,Z A xx B x x n n =<==+∈∣∣，则A B = （）A ．()1,1-B ．()3,3-C ．{}1,1-D ．{}3,1,1,3--5．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()M P SD ．()M P S6．已知p ：111x <+，q ：()10x x +<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列结论成立的是（）A ．若ac bc <，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则11a b<D ．若110a b<<，则0b a <<8．设集合11,Z ,,Z 3663k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||，则（）A ．M N=B ．MN C ．N MD ．M N ⋂=∅9．若,,A B C 为三个集合，A B B C ⋃=⋂，则一定有（）A ．A C⊆B ．C A⊆C ．A C¹D ．A ≠∅10．设()C M 表示非空集合M 中元素的个数，已知非空集合,A B .定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧⊗=⎨-<⎩，若{}1,2A =，()(){}2220B x x ax x ax =+++=且1A B ⊗=，则实数a 的所有取值为（）A ．0B ．0，-C ．0，D ．-，0，二、填空题11．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为.12．若“25x m >-”是“|x |<1”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是13．设a ，b ∈R ，集合{}2,0,1{,,0}a a b -=，则a b +的值是.14．已知集合{}|3A x a x =≤≤，{}|0B x x =<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．15．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a ==|.若A 与B 构成“全食”，则a 的取值范围是；若A 与B 构成“偏食”，则a的取值范围是.三、解答题16．已知全集R U =，集合{R |211}A x x =∈-≤，集合{R |12}B x x =∈-<≤．(1)求集合A B ⋂及()U A B ⋃ð；(2)若集合{|2,0}=∈≤<>C x R a x a a ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +-+=有两个实数根1x ，2x .(1)求实数m 的取值范围；(2)若12126x x x x +=-，求m 的值.18．已知全集R U =，812x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x mx m =-+-<，{}14C x x =-<<，在①U x A ∈ð；②x A C ∈ ；③x A C ∈⋃；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设p ：______，q ：x B ∈，是否存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件？若实数m 存在，求m 的取值范围；若实数m 不存在，说明理由.19．已知集合{}1,2,,A n =⋅⋅⋅（3n ≥），A 表示集合A 中的元素个数，当集合A 的子集i A 满足2i A =时，称i A 为集合A 的二元子集，若对集合A 的任意m 个不同的二元子集1A ，2A ，…，m A ，均存在对应的集合B 满足：①B A ⊆；②B m =；③1i B A ≤ （1i m ≤≤），则称集合A 具有性质J .(1)当3n =时，若集合A 具有性质J ，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值；(2)当6n =，4m =时，判断集合A 是否具有性质J ？并说明理由.参考答案：题号12345678910答案ADCCCDDBAD1．A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈正确，{}{}10,1,2∈不正确，由集合之间的关系知{}0,1,2∅⊆正确，由集合中元素的无序性知{}{}0,1,22,0,1=正确，故错误的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.2．D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.【详解】命题“2x ∃<,220x x -<”是存在量词命题,又22002x x x -<⇒<<,所以其否定为全称量词命题,即为“2x ∀<,0x ≤或2x ≥”.故选:D.3．C【分析】利用提取公因式法判断A ，利用公式法判断B ，利用十字相乘法判断C 、D.【详解】对于A.原式()22x x =+，不符合题意；对于B.原式()()()234322x x x =-=+-，不符合题意；对于C.原式()()23x x =-+，符合题意；对于D.原式()()22242x x =-+=+，不符合题意.故选：C.4．C【分析】解绝对值不等式得A ，根据交集的定义计算即可.【详解】解3x <得33x -<<，即()3,3A =-，B 为奇数集，故{}1,1A B =- .故选：C 5．C【分析】根据Venn 图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合,M P 的公共部分，但不在集合S 内，表示为()⋂⋂M P S ，故选：C ．6．D【分析】分别求出,p q ，再分析出,p q 的推导关系.【详解】()11110010111x x x x x x -<⇒-<⇒<⇒+>+++，所以:0p x >或1x <-，而:10q x -<<，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，故选：D 7．D【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.【详解】选项A ：当0c >时，若ac bc <，则a b <，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故A 说法错误；选项B ：若1a =，2b =-满足a b >，此时22a b <，故B 说法错误；选项C ：当0a b >>或0a b >>时，11a b<，当0a b >>时，11a b >，故C 说法错误；选项D ：当110a b<<时，0ab >，所以不等式同乘ab 可得0b a <<，故D 说法正确；故选：D 8．B【分析】根据集合,M N 的表达式，可求出集合M 是16的奇数倍，N 是16的整数倍，即可得出,M N 的关系.【详解】由()11,Z 21,Z 366k M x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合M 表示的是16的奇数倍；由()11,Z 2,Z 636k N x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合N 表示的是16的整数倍；即可知M 是N 的真子集，即M N .故选：B 9．A【分析】由已知等式可推导得到A B C ⊆⊆，由此可依次判断各个选项得到结果.【详解】A B B C ⋃=⋂ ，A B B ∴⊆ ，B B C ⊆ ，A B ∴⊆，B C ⊆，即A B C ⊆⊆；对于A ，A B C ⊆⊆ ，A C ∴⊆，A 正确；对于B ，当且仅当A B C ==时，C A ⊆，B 错误；对于C ，当A B C ==时，满足A B C ⊆⊆，C 错误；对于D ，当A =∅时，满足A B C ⊆⊆，D 错误.故选：A.10．D【分析】由题意可得集合B 中的元素个数为1个或3个，分集合B 中的元素个数为1和集合B 中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.【详解】解：由()()2220x ax x ax +++=可得20x ax +=或220x ax ++=，又因为{}1,2A =，1A B ⊗=，所以集合B 中的元素个数为1个或3个，当集合B 中的元素个数为1时，则20x ax +=有两相等的实数根，且220x ax ++=无解，所以22080a a ⎧=⎨-<⎩，解得0a =；当集合B 中的元素个数为3时，则20x ax +=有两不相等的实数根，且220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax +=的根的解，所以20Δ80a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =a =-综上所述，0a =或a =a =-故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合B 中的元素个数为1个或3个.11．(){}3,7-【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）.【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以37x y =⎧⎨=-⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7-.故答案为(){}3,7-.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y .12．(],2-∞【分析】根据题意得到(1,1)-(25,+)m -∞，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.【详解】||<1,1<<1x x ∴- >25x m - 是||1x <的必要不充分条件,(1,1)∴-(25,+)m -∞,251,2m m ∴-≤-∴≤,∴实数m 的取值范围是(,2]-∞,故答案为：(,2]-∞.13．0【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可.【详解】由集合元素互异性：0a ≠，又{}2,0,1{,,0}a a b -=，则21a a b ⎧=⎨=-⎩或21a ba ⎧=⎨=-⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，故0a b +=故答案为：014．0a ≥【分析】分别讨论A =∅和A ≠∅两种情况求解.【详解】因为A B =∅ ，若3a >，则A =∅，满足题意；若3a ≤，则应满足0a ≥，所以03a ≤≤，综上，0a ≥.故答案为：0a ≥.15．{|0a a <或}1a =14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】分情况解集合B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.【详解】由{}2B x x a ==|可知，当0a <时，B =∅，此时B A ⊆；当0a =时，{}0B =，此时A B =∅ ，当0a >时，{B =；又11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆，当0a <时，满足题意；当0a =时，不合题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =-1=，解得1a =；综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值范围是{|0a a <或}1a =；若A 与B 构成“偏食”时，显然0a ≤时，不满足题意，当0a >时，由A B ≠∅ ，所以11,22B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭12=，解得14a =，此时a 的取值范围是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：{|0a a <或}1a =；14⎧⎫⎨⎬⎩⎭16．(1)(1,1]A B ⋂=-，(1,)U A B ⋃=-+∞ð；(2)(0,1]【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求A B ⋂及()U A B ⋃ð.（2）由集合的包含关系可得2a ≤2，结合已知即可得a 的取值范围．【详解】（1）由211x -≤得：1x ≤，所以(,1]A ∞=-，则(1,)U A =+∞ð，由(1,2]B =-，所以(1,1]A B ⋂=-，(1,)U A B ⋃=-+∞ð．（2）因为C B ⊆且0a >，所以2a ≤2，解得1a ≤．所以a 的取值范围是(0,1]．17．(1)34m ≤(2)1m =-【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；（2）根据韦达定理得到1223x x m +=-+，212x x m =，然后代入求解即可.【详解】（1）因为有两个实根，所以()222341290m m m ∆=--=-+≥，解得34m ≤.（2）由题意得()122323x x m m +=--=-+，212x x m =，所以2236m m -+=-，整理得()()310m m -+=，解得3m =或-1，因为34m ≤，所以1m =-.18．答案见解析【分析】分别求解集合,A B ，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解.【详解】不等式8831100222x x x x x x +++>⇔->⇔<---，即()()320x x +-<，解得：32x -<<，即=−3<<2，()()22240220x mx m x m x m -+-<⇔---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得：22m x m -<<+，即{}22B x m x m =-<<+，若选①，{3U A x x =≤-ð或2}x ≥，:p {3U x A x x ∈=≤-ð或2}x ≥，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则BU A ð,即23m +≤-或22m -≥，解得：5m ≤-或4≥m ；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的范围为5m ≤-或4≥m ；若选②，{}12A C x x ⋂=-<<，:p {}12x A C x x ∈⋂=-<<，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B()A C ,则2122m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解集为∅；所以不存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件；若选③，{}34A C x x ⋃=-<<，:p {}34x A C x x ∈⋃=-<<，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B()A C ,则2324m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：12m -≤≤；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的取值范围为12m -≤≤；19．(1)答案见解析(2)不具有，理由见解析【分析】（1）根据集合A 具有性质J 的定义即可得出答案；（2）当6n =，4m =时，利用反证法即可得出结论.【详解】（1）当3n =时，{}1,2,3A =，集合A 的所有二元子集为{}{}{}1,2,1,3,2,3，则满足题意得集合B 可以是{}1或{}2或{}3，此时1m =，或者也可以是{}1,2或{}1,3或{}2,3，此时2m =；（2）当6n =，4m =时，{}1,2,3,4,5,6A =，假设存在集合B ，即对任意的()1234,,,,4,114i A A A A B B A i =⋂≤≤≤，则取{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====，（4A 任意构造，符合题意即可），此时由于4B =，若121,1A B A B ≤≤ ，则B 中必有元素5,6，此时32A B = ，与题设矛盾，假设不成立，所以集合A 是不具有性质J .【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一下学期期中考试数学（B ）试题题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题 本大题共10道小题。

1.已知x ∈[－π，π]，则“x ∈”是“sin （sin x ）＜cos （cos x ）成立”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件答案及解析：1. C试题分析：当x ∈时，sinx ＋22π所以0≤sinx ＜2π－cosx≤2π 于是sin （sinx ）＜sin （2π－cosx ）＝cos （cosx ），充分性成立.取x ＝－23π，有sin （sinx ）＝sin 330 cos （cosx ）＝cos （－12）＝cos 12＞0 所以sin （sinx ）＜＜cos （cosx ）也成立，必要性不成立 故选C考点：三角函数的性质，充要条件 2.答案第2页，总16页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………已知函数()()tan 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭,()y f x =的部分图象如图所示,则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭( )A. 3B.3C. 1D.3答案及解析：2. A 【分析】 由124T π=可求得ω，由512k πωϕπ+=可求得ϕ，再由()01f =可求得A ，从而可得()y f x =的解析式，进而可求12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】15,212642T T ππππ=-=∴=Q， 2T πω∴==，代入512k πωϕπ+=得6π=ϕ，()tan 26f x A x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又()0tan16f A π==，3A =()326f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，33312663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出,A ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键. 3.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………如图所示，已知OA a =u u u v v ，OB b =u u u v v ，OC c =u u u v v ，OD d =u u u v v ，OE e =u u u vv，OF f =u u u v v ，试用a v 、b v 、c v 、d u v 、e v、f u v表示下列各式：（1）AD AB -u u u v u u u v； （2）AB CF +u u u v u u u v； （3）EF CF -u u u v u u u v.答案及解析：3.（1）d b -v v ；（2）b f a c +--v v v v ；（3）c e -v v .【分析】将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点O 的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.【详解】（1）()()AD AB OD OA OB OA OD OB d b -=---=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u r r ；（2）()()AB CF OB OA OF OC b a f c b f a c +=-+-=-+-=+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r u r r r u r r r ；（3）()()EF CF OF OE OF OC OC OE c e -=---=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r .【点睛】本题考查平面向量减法的三角形法则，以及平面向量的加减法运算，解题时要将问题的向量利用共起点的向量加以表示，属于基础题. 4.322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A. 12B. ﹣12C. 6D. ﹣6答案及解析：答案第4页，总16页4. A 【分析】在二项展开式的通项公式中,令x 的幂指数等于0,求出r 的值,进而求得常数项.【详解】解:展开式中的通项公式为()()6216313322rrr rr r r T C x x C x ---+=⋅-=-⋅⋅,令630r -=,解得2r =,故展开式中的常数项为()223212C -⨯=,故选:A【点睛】本题考查二项式展开式的常数项,属于基础题. 5.已知函数()cos (sin )(0)f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（ ）A. 14032πB.12016πC.14032D.12016答案及解析：5. C试题分析： 因为()cos (sin )(0)f x x x x ωωωω=+>sin 232x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，则12016,24032T πω≤∴≥，所以ω的最小值为14032，故选C. 考点：三角函数的周期和最值． 6.设集合A.=}{}{}{1,2,1,2,3,2,3,4B C ==,则()A B ⋂C ⋃=( )A. {1,2,3}B. {1,2,4}C. {1,2,3,4}D. {2,3,4}答案及解析：6.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C 【分析】直接利用交集、并集的定义求解即可. 【详解】Q 集合{}{}1,2,1,2,3A B ==,{}1,2A B A ∴⋂==,又{}2,3,4C =Q ,{}()1,2,3,4A B C ∴⋂⋃=故选C.【点睛】考查的是集合交、并、补的简单基本运算.属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出错. 7. 函数21y x =-的定义域是（ ）A. 1(,)2+∞ B. 1[,)2+∞C. 1(,)2-∞D. 1(,]2-∞答案及解析：7. B试题分析：，故选B.考点：函数的定义域. 8.已知cos 2522)4απα=-，则1tan =tan αα+（ ） A. 1-8B. -8C.18D. 8答案及解析：8. D答案第6页，总16页【详解】根据题意，22cos 2cos sin cos sin sin cos 2)4αααααπααα-==+=--， 从而得到1sin cos 8αα⋅=， 而1sin cos 1tan tan cos sin sin cos αααααααα+=+= 8=， 故选D. 9.不等式tan 1x <的解集是（ ） A. ,34x k x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZB. 2,43x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z C. 22,34x k x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZD. 222,43x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 答案及解析：9. A 【分析】 先得到,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭内满足不等式的x 的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案. 【详解】tan 1x << 当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， tan 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 14π=○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………且tan y x =单调递增， 所以34x ππ-<<，因为tan y x =的周期为π， 所以不等式的解集为,34x k x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z . 故选：A.【点睛】本题考查解三角函数不等式，正切函数周期性，属于简单题. 10.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4答案及解析：10. D【详解】试题分析：抽样方法为系统抽样，总数是35人，抽7人，也就是5个人抽一个，[]139,151有20人，包含第3、4、5四个组，所以抽取4个． 考点：1、茎叶图；2.系统抽样． 评卷人 得分一、填空题 本大题共5道小题。

2绝密★启用前2019-2020 学年北京市首都师范大学附属中学高一下学期期中考试数学（ A ）试题两角差的正切公式求解．点评： 解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到 考查变换能力和运算能力，属于基础题．2．已知 x 0,y 0,2x y 2, 则 xy 的最大值为（）答案： A条件中的式子两边平方，得224sin 4sin cos cos 即 3sin 24sin cos32，所以 3sin 24sin cos3 2 2sin cos2，即 3tan 28tan 3 0，解得 tan3 或 tan1，32tan3，所以tan221 tan 24tan21故 tan 27．4 1 tan2解：5 2故选 B ． 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2 、请将答案正确填写在1．已知R, 2sincos 10 ，则 tan(224 43A ．B ． 7C ．34答案： B1D ．723tan 28tan3 0 ，解得 tan 后再根据tan 后再根据公式求解，A ．B ．1C ．D ．14注意事项： 答题卡上 、单选将条件中所给的式子的两边平方后化简1 0B．4化简 xy = （ 2x ?y ），再利用基本不等式求最大值得解2解：解：∵ x>0， y>0，且 2x +y =2， 1 2x y 1 112（ 2x2 y）2=21，当且仅当 x =12，y =1 时取等号，故选： A 点评：本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平A 2,5 ，B 2,3,4 ，则 A e U B (答案： C故选 C ． 点评：本题考查补集与并集的混合运算， 求解时根据集合运算的定义进行求解即可， 属于基础题． 4． 已知函数f (x)log 2 x,x 3x,x，则 f[ f的值是（ ）A ．C ．．3∴ xy = 1( 2x ?y)≤2故则 xy 的最大值为1，23．设 U 1,2,3,4,5 ， A ． 5B ．1,2,3,4,5 C ． 1,2,5D ．先求出 e U B ，再求出 A e U B 即可．解： ∵U 1,2,3,4,5 ,B 2,3,4 ，∴ e U B 1,5 ，∴Ae U B1,2,5 ．答案： C1 12 1 试题分析：根据分段函数解析式可知 f( ) log 22， f 2 3 2 ，所以f[ f(14)] 19，故选 C.【考点】分段函数 .5．已知 a 、b 为实数，则 2a2b 是 log 2 a log 2 b 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案： B分别解出 2a 2b， log 2 a log 2 b 中a ， b 的关系，然后根据 a ，b 的范围，确定充 分条件，还是必要条件． 解： 解：Q2a 2b， ab当 a 0或 b 0时，不能得到 log 2a log 2 b ， 反之由 log 2a log 2 b 即： a b 0可得 2a2b成立． 故 2a2b是log 2a log 2 b 的必要不充分条件 故选： B ． 点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础 题．答案： D解：6．已知集合 x|x 2x 12 0 ,N x| 4 x 5 ，则 M I N ( )A ． RB ． 3,4)C ． (4,5)D ．4, 3) (4,5)解一元二次不等式求得集合，由此求得2由 x 2x 12 x 4 x 30，解得 x 3或 x 4，即M所以M N ( 4, 3) (4,5) .故选：D.点评：本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/ 天) 分别为x1，x2 ，⋯，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A．x1，x2 ，⋯，x n的标准差B．x1，x2，⋯，x n的平均数C．x1，x2 ，⋯，x n的最大值D．x1，x2，⋯，x n的中位数答案：A 利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 解：表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定故选：A点评：本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.8．集合 A={ x| x2 2x 3 0}，B={ x| x2 4 0}，则AI (e R B) = ( )A．[-2,-1] B．[-1,2 ) C．[-1,1] D．[1,2 )答案：AA {x|x 1或x 3}，B {x|x 2或x 2}，e R B {x| 2 x 2},∴ A e R B =[-2,-1].9．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60o，小高层底部的俯角为45o，那么这栋小高层的高度为( )C．10 2 6 mA．20 B．20 1 3 mD．20 2 6 m答案：B3根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形解：依题意作图所示：AB 20m，仰角DAE 60o，俯角EAC 45o，在等腰直角VACE 中，AE EC 20m ，在直角VDAE 中，DAE 60o，DE AEtan60 o 20 3m，小高层的高度为CD 20 20 3 20 1 3 m ．故选B．点评：解决解三角形实际应用问题注意事项：1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题10．关于函数f x x sin x ，下列说法错误的是（）C．f x 有零点D．f x 在0, 上单调递增2答案：B根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；f 0 0，选项C 正确；求f x ，判断选项D 正确.解：x sinx f x则f x 为奇函数，故A正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B 错误；A．f x 是奇函数B．f x 是周期函数因为f 0 0 sin0 0 ，f x 在,22上有零点，故C正确；由于f ' x 1 cosx 0 ，故f x 在, 上单调递增，故D正确.故选B.点评：本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.二、填空题11．设函数f ( x)是定义在R上的偶函数，记g(x) f (x) x2，且函数g x 在区间2[0, )上是增函数，则不等式f (x 2) f (2) x2 4 x的解集为 _____________________答案：, 4 U 0,根据题意，分析可得g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为g x 2 g 2 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得x 2 2，解可得x 的取值范围．解：2根据题意g x f x x2，且f (x)是定义在R上的偶函数，则g x f x x f x x2 g x ，则函数g x 为偶函数，22f x 2 f 2 x2 4x f x 2 x 2 f 2 4g x 2 g 2 ，又由g x 为增函数且在区间[0, ) 上是增函数，则x 2 2，解可得：x 4或x 0，即x 的取值范围为, 4 U 0, ，故答案为, 4 U 0, ；点评：55中档题．则实数 m 的最小值为4 答案： 43解：故答案为： 点评： 本题主要考查二次函数的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于中档题13．在平面直角坐标系 xOy 中，a 在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是– 3、4，则与 a 平行的单位向量是34 答案：±3，4本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g x 的奇偶性与单调性，属于12 ．设 sinsin1，不等式 sin cos 230 对满足条件的恒成立，将不等式sin 2cos m 0 对满足条件的恒成立，利用 sinsin1，3转化为不等式sin2cos 2m 0 对满足条件的恒成立，即不等式sin2sin2m 对满足条件的 恒成立，然后用二次函数的性质求 3f( ) sin 2sin2的最大值即可。

北京市海淀区首师附中2019-2020 学年度第二学期入学考试高三英语试卷（4.28 ）（考试时间 120 分钟满分 120 分）第二部分：知识运用（共两节，45 分）第一节语法填空（共 10 小题；每小题 1.5 分，共 15 分）阅读下列短文，根据短文内容填空。

在未给提示词的空白处仅填写 1 个适当的单词，在给出提示词的空白处用括号内所给词的正确形式填空。

AWhich sea animal is 1 (good) at escaping? The answer may be the octopus(章鱼). An octopus’ body is very soft. There are no bones in it. The small animal has just two little hard parts in 2 (it) mouth. So it can go into very small spaces. An octopus weighing about 230g can pass 3 a 2.5cm-wide hole.BI lost my wallet after going shopping last Friday evening. But I didn’t realize it was missing until five hours later. I couldn’t remember 4 I lost it. I stayed up all night and worried about my wallet. The next day, I went back to the shops that I 5 (visit) and asked about my wallet. A manager at one store came over and said, “Someone turned this in last night. We thought you might come back to look for it, 6 we kept it for you.”CWhen I was a child, I was a picky eater. There were many 7 (food) that I didn’t like to eat. But there is one meal I have always loved: grilled（烤的）cheese and tomato soup. It’s just two pieces of toasted bread with cheese in the middle, 8 (serve) with a bowl of tomato soup. This kind of food 9 (call) “comfort food”. “Comfort food” is simple, easy-to-make and delicious. It always 10 (taste) great. Your parents might make meals like this for you when you are not feeling well.第二节完形填空(共 20 小题;每小题 1.5 分，共 30 分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的 A、B、C、D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑.Dale Carnegie rose from the unknown of a Missouri farm to international fame because he found a way to fill a universal human need.It was a need that he first 11 back in 1906 when young Dale was a junior at State Teachers College in Warrensburg. To get an 12 , he was struggling against many difficulties. His family was poor. His Dad couldn't afford the 13 at college, so Dale had to ride horseback 12 miles to attend classes. Study had to be done 14 hisfarm-work routines. He withdrew from many school activities 15 he didn't have the time or the 16 . He had only one good suit. He tried 17 the football team. but the coach turned him down for being too 18 . During this period Dale was slowly 19 an inferiority complex (自卑感) , which his mother knew could 20 him from achieving his real potential. She 21 that Dale join the debating team, believing that 22 in speaking could give him the confidence and recognition that he needed.Dale took his mother's advice, tried desperately and after several attempts 23 made it. This proved to be a 24 point in his life. Speaking before groups did help him gain the 25 he needed. By the time Dale was a senior. he had won every top honor in 26 . Now other students were coming to him for coaching and they. 27 , were winning contests.Out of this early struggle to 28 his feelings of inferiority, Dale came to understand that the ability to an idea to 29 an audience builds a person's confidence. And, 30 it, Dale knew he could do anything he wanted to do-and so could others.11.A. admitted B. filled C. recognized D. supplied12.A. assignment B. instruction C. advantage D. education13.A. board B. training C. teaching D. equipment14.A. during B. between C. over D. through15.A. while B. once C. though D. because16.A. permits B. preparation C. clothes D. exploration17.A. for B. on C. in D. With18.A. flexible B. light C. Optimistic D. cautious19.A. gaining B. achieving C. obtaining D. developing20.A. protect B. prevent C. promote D. predict21.A. demanded B. suggested C. inspected D. insisted22.A. practice B. presence C. passion D. potential23.A. hopefully B. immediately C. naturally D. finally24.A. key B. breaking C. turning D. basic25.A. progress B. experience C. confidence D. competence26.A. speech B. football C. horse-riding D. farming27.A. in return B. in turn C. in brief D. in fact28.A. overcome B. convey C. approach D. possess29.A. recommend B. stress C. contribute D. express30.A. besides B. beyond C. with D. around第三部分：阅读理解（共两节，40 分）第一节（共15 小题；每小题2 分，共30 分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。