首都师范大学附属中学2019-2020学年高一第一学期
期末考试数学试题
一、单选题 1．“6
π
θ=
”是“1
sin 2
θ=
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】根据6
π
θ=和1
sin 2
θ=
之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6
π
θ=
可得1sin 2
θ=
， 由1
sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526
k πθπ=
+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6
π
θ=”是“1
sin 2
θ=
”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v
的夹角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．135°
【答案】A
【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r
的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
由题意，可得()3,1a =r
，()1,2b =r ，
设向量a r ，b r
的夹角为θ
，则cos a b a b
θ?===?r r r r
又因为0180θ?≤≤?，所以45θ=?． 故选：A . 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设θ为第三象限角，3
sin 5
θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725
-
B ．
725
C ．2425
-
D ．
2425
【答案】D
【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】
∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，
∴4cos 5
θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525
θθθ==?-?-=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．
4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，
12log 3b f ??
= ???
，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
【答案】B
【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(]
,0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上
是减函数，又因为12log 3b f ??= ???
0.60.6
24422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，
所以c b a <<，选B.
5．函数cos tan y x x =?（
302x π
≤<
且2
x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】
依题意，3sin ,0,22
cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ?≤<≤
?-<
或.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v
,则λμ-的值为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．3-
【答案】D 【解析】【详解】
因为E 是DC 的中点，所以1()2
AE AC AD u u u r u u u r u u u r =+，∴2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r
，
∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算
7．已知函数()()sin f x x ω?=+（0>ω，0?π<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6
π
个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ω?=+（ ）
A ．有一个对称中心,012π??
???
B ．有一条对称轴6
x π
=
C ．在区间5,1212ππ??
-????
上单调递减
D ．在区间5,1212ππ??
-
????
上单调递增 【答案】B
【解析】由题()()2sin 2f x x ω?==+，，平移后得到的函数是sin(2)3
y x π
?=++，其图象
过点(0,1)P ,sin()13
π
?∴+
=，因为0?π<<，6
π
?∴=
，()sin(2)6
f x x π
=+
,故选B.
点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ω?ω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点
()0,1P 确定?的值时，要结合五点及0?π<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对
称性和单调性.
8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =
+，②f （x ）＝x 3
，③f （x ）＝
cos 2
πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．①②③ B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】A
【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）2
21
x
x =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；
②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]3
0,1x M ∈=，故满足；
③f （x ）＝cos 2
π
x ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，
故不满足； 故选：A .
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.
9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r
，下列判断正确的是（ ）
A ．满足2λμ+=的点P 必为C
B 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个
C ．λμ+的最小值不存在
D ．λμ+的最大值为3 【答案】D
【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为
(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r 设(,)AP a b =u u u r
，由
λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r 得
(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμ
μ
=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，
此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，
，此时
,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，
，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P
在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以
02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以
A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点
B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故
C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以
D 正确，故选D ．
【考点】向量的坐标运算．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．
二、多选题
10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2x
y = B ．23
y x
-
=
C ．1y x x
=
- D ．(
)
2
ln 1y x =+
【答案】AD
【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项. 【详解】
对于A 选项，2x
y =为偶函数，且当0x <时，1
22
x
x y -==
为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23
y x
-=在(),0-∞上递增，不符合题
意.
对于C 选项，1
y x x
=
-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，(
)
2
ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，(
)
2
ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD. 【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
三、填空题 11．函数()()
21
log 3f x x =
-的定义域为_________.
【答案】()()3,44,?+∞
【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】
依题意有30
31x x ->??-≠?
，解得()()3,44,x ∈?+∞.
故答案为：()()3,44,?+∞ 【点睛】
本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 4
5
=，则cosC ＝_____. 【答案】0
【解析】计算得到43
sin ,sin 55
A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】
34cos ,cos 55A B ==，则43
sin ,sin 55
A B ==.
()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.
故答案为：0. 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()
3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα????
-+-+--+ ? ?
????=--++_____.
【答案】2
【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1
α
α=-，计算得到答案.
【详解】
()tan 3tan 2παα+==.
原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1
αααααα
ααααα--++=
===---.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.
14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]
1,2
【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】
0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.
故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]
1,2. 【点睛】
本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.
15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：
mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204
t
C t =
+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2
【解析】C ＝2202020
44
4t t t t
=≤
++＝5 当且仅当4
t t
=且t ＞0，即t ＝2时取等号
【考点】基本不等式，实际应用
16．已知函数
π
()sin 2f x x
=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论： ①函数()h t 为偶函数；
②函数()h t
的值域为
[1；
③函数()h t 的周期为2；
④函数()h t 的单调增区间为13
[2,2],22k k k ++∈Z
.
其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】③④.
【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间
[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π
()sin 2
f x x =是最小正周期为
242
π
π
=的函数，
所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π
()sin
2
f x x =的图像（如下图（1）
）与性质可知
当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin
2
f t t π
=，此时
()sin
12
h t t π
=+
当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为
(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos 12
h t t π
=+；
当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin
2
f t t π
=，最大值为
(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos sin 22h t t t ππ
=-； 当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π
=，最大值为1，此时
()1sin
2
h t t π
=-；
当
112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22
f t t t ππ
+=+=，
最大值为1，此时()1cos
2
h t t π
=-；
当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[
(1)]cos
2
2
f t t t π
π
+=+=，最大值为
()sin
2
f t t π
=，此时()sin
cos
2
2
h t t t π
π
=-
作出()h t 的图像，如下图（2）所示
综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[1-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为1
3
[2,
2],22
k k k Z ++∈，故只有③④正确. 【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.
四、解答题
17．已知不共线向量a r ，b r 满足|a r |＝3，|b r |＝2，（2-r a 3b r ）?（2a b +r
r ）＝20.
（1）求a r ?b r
；
（2）是否存在实数λ，使λa b +r
r 与-r a 2b r 共线？ （3）若（k a +r 2b r ）⊥（-r r a kb ），求实数k 的值.
【答案】（1）1；（2）存在，1
2
λ=-
；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.
（2）假设存在实数λ，使λa b +r r
与-r a 2b r 共线，则()
2a b m a b λ+=-r r r r ，计算得到答案.
（3）计算（k a +r
2b r
）?（-r
r
a k
b ）＝0，展开计算得到答案. 【详解】
（1）向量a r ，b r 满足|a r |＝3，|b r |＝2，（2-r a 3b r ）?（2a b +r
r ）＝20，
所以42
-r a 4a r ?b -r 32=r b 4×
9﹣4a r ?b -r 3×4＝20，解得a r ?b =r 1； （2）假设存在实数λ，使λa b +r r
与-r a 2b r 共线，则()
2a b m a b λ+=-r r r r ，
故,12m m λ==-，12
λ=-
. 即存在λ12
=-，使得λa b +r r
与-r a 2b r 共线；
（3）若（k a +r
2b r
）⊥（-r
r
a k
b ），则（k a +r
2b r
）?（-r
r
a k
b ）＝0， 即k 2+r
a （2﹣k 2）a r ?
b -r
2k 2=r
b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k ?4＝0， 整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2. 【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3
π
）= （1）求a 的值；
（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，
2
π
]上的最小值及对应的x 的值.
【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ??++∈????；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.
（2）化简得到()cos 262
f x x π??
=+- ??
?，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.
（3）计算2x 6π+∈[6π，76
π
]，再计算最值得到答案.
【详解】
（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （
3
π
）=
∴f （
3π）12=（12a =解得a =
（2）由（1）可得f （x ）＝cosx ﹣sinx ）=2x ﹣
sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6
π+），
令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112
π
+，k ∈Z ，
可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512
π+，k π1112π
+]，k ∈Z ， （3）∵x ∈[0，2
π]，可得：2x 6π+∈[6π，
76π
]，
∴当2x 6π+=π，即x 512
π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣1. 【点睛】
本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以
保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．
(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；
(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？ 【答案】（Ⅰ43
； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(Ⅰ) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.
(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】
(Ⅰ)由已知可得1
40202
CD =?
=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311
cos 221207
BDC +-∠==-??，
∴3
sin 7
BDC ∠=
． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=?+?=?， ∴4311353
6027)(sin ABD sin BDC ??∠=∠-?=
--=
???． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD
AD BAD BAD
?∠?∠=
==∠∠，
∴15
6022.540
t =
?=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】
本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力. 20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒
有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()21
0f x x x
=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；
（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.
【答案】（1）()2
1f x x =是C 函数，()()21
0f x x x
=
<不是C 函数，理由见解析；
（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()21
0f x x x
=＜不
是C 函数，得到答案.
（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】
（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22
＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；
()()21
0f x x x
=
＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12
=
， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-
f 2（﹣3）1
2
-f 2（﹣1）111
262
=-++＞0，
即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∴()()21
0f x x x
=
＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ）， 记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m
T
--
，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），
这与f （m ）＜f （n ）矛盾；
（ii）若f（m）＞f（n），
记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1
n m
T
-
-，同理也可得到矛盾；
∴f（x）在[0，T）上是常数函数，
又因为f（x）是周期为T的函数，
所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾. 所以f（x）不是R上的C函数.
【点睛】
本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.