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高考数学一轮复习双曲线基础知识检测理

双曲线

基础热身

1．与椭圆x 2

4＋y 2

＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )

A.x 2

4－y 2

＝1 B.x 2

2－y 2

＝1 C.x 23－y 2

3＝1 D ．x 2

－y 2

2＝1

2．如图K49－1，已知点P 为双曲线x 216－y 2

＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右

焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )

A.58

B.45

C.43

D.34

3．设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 3

C.3＋12

D.5＋1

4．已知双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2

＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一

个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )

A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0

能力提升

5．若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a

2－y 2

＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右

支上的任意一点，则OP →2FP →

的取值范围为( )

A ．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞) C.??????－74，＋∞ D.????

??74，＋∞ 6．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物

线y 2

＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )

A.x 236－y 2108＝1

B.x 29－y 2

27＝1 C.

x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2

＝1

7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )

A.x 23－y 26＝1

B.x 24－y 25＝1

C.x 26－y 2

3＝1 D.x 25－y 2

4＝1

8．已知抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线x 2a －y 2

＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过两

曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )

A. 2 B ．1＋ 2 C. 3 D ．1＋ 3

9．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝

90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

10．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲

线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π

，则双曲线的渐近线方程为________．

11．双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支

于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．

12．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 2

＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，

AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________________________________________________________________________.

13．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为

________．

14．(10分) 双曲线E 经过点A (4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝2.

(1)求双曲线E 的方程；

(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．

15．(13分)已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →

，求m 的值和△ABC 的面积S .

难点突破

16．(12分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝a 2

c (c ＝

a 2＋

b 2)与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又OA →

＝2OB →，OA →2OC →

＝

2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．

(1)求双曲线的方程；

(2)证明：B 、P 、N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．答案解析

【基础热身】

1．B [解析] 椭圆x 2

4＋y 2

＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，

b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1

2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求

的双曲线方程是x 22

－y 2

＝1.

2．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝

λ2c ，即λ＝a c ＝4

3．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝b c

，而对应与之垂直的渐近线的斜率为

k ＝－b a ，则有b c ? ??

－b a ＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可得e 2

－e －1＝0，解得e ＝1±52，由于e >1，故e ＝1＋52

4．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，

代入抛物线方程得y 20＝24，代入双曲线方程得9a 2－24b

2＝1，结合4＝a 2＋b 2

，解得a ＝1，b ＝3，

故双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0.

【能力提升】

5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2

＝3，所以双曲线方程为x 2

3－y 2

＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 20

3－y 2

0＝1(x 0≥3)，解得y 20

＝x 20

－1(x 0≥3)．因

为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →2FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2

0＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 2

＋2x 0

－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－34

，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →2FP

→

取得最小值43

33＋23－1＝3＋23，故OP →2FP →

的取值范围是[3＋23，＋∞)．

6．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)

＝36①，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝3x ，∴b

a ＝3②，联立①②解得?

????

a 2＝9，

b 2＝27，所

以双曲线的方程为x 29－y 2

＝1.

7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率

k AB ＝1.

∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22

b 2＝1，∴两式相减，得 x 1－x 2 x 1＋x 2 a 2－ y 1－y 2 y 1＋y 2 b 2＝0，∴4b 2＝5a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2

＝5.

8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p

＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y

＝4cx ，根据题意c 2a 2－y 2b 2＝1，y 2＝4c 2c ，消掉y 得c 2a 2－4c 2b

2＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c

－5a 2)＝a 2(c 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2

＝6＋322＝3＋22，故e

＝1＋ 2.

9．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2

，由2|PF 2|

＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2

＋

|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2

＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝c a

＝5.

10．y ＝±2x [解析] 根据已知|PF 1|＝2b 2

a 且|PF 2|＝

b 2

a ，故2

b 2

a －

b 2

a ＝2a ，所以

b 2

a 2＝2，b

＝

11．4a ＋2m [解析] 由???

|AF 2|－|AF 1|＝2a ，

|BF 2|－|BF 1|＝2a

?|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又

|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a

＋2m .

12．6 [解析] 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝1

.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.

13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9

2＝1.又由于2c ＝4，

所以a 2＋b 2＝4.解方程组???

4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4

得a ＝1或a ＝4.由于a

e ＝c

＝2. 方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝c a

＝2.

14．[解答] 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)，c 2＝a 2＋b 2

(c >0)．

(1)由A 在曲线上及e ＝2得?????

16a 2

－36b 2

＝1，

a 2

＋b

2a 2

＝4

?????

b 2＝3a 2

，16a 2－12

2＝1??????

a 2

＝4，b 2

＝12，c 2＝16，

∴双曲线E 的方程为x 24－y 2

＝1.

(2)设F 1(－4,0)，F 2(4,0)，由A (4,6)，∴AF 2⊥x 轴，设∠F 1AF 2的平分线所在直线交x 轴于点M (m,0)(|m |<4)，

则点M 到直线F 1A ，F 2A 的距离相等，直线F 1A ，F 2A 的方程分别为3x －4y ＋12＝0，x ＝4，

所以得|3m ＋12|5

＝4－m ，解得m ＝1，即M (1,0)，

故所求直线方程为y ＝6－0

4－1(x －1)，即y ＝2x －2.

15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，

且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，

故曲线E 的方程为x 2－y 2

＝1(x <0)．

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组?

???

y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，

消去y ，得(1－k 2)x 2

＋2kx －2＝0，

又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有

?????

1－k 2

≠0，

Δ＝ 2k 2

＋8 1－k 2

>0，x 1

＋x 2

＝－2k 1－k

<0，x 1x 2

＝－21－k 2

>0，

解得－2

又∵|AB |＝1＋k 2

2|x 1－x 2| ＝1＋k 22 x 1＋x 2 2

－4x 1x 2

＝1＋k 2

? ??

??－2k 1－k 22－43－21－k 2

＝2

1＋k 2

2－k 2

1－k 2

，依题意得2 1＋k 2

2－k 2

1－k 2

＝63，整理后得 28k 4－55k 2

＋25＝0，

∴k 2＝57或k 2

＝54，又－2

故直线AB 的方程为

x ＋y ＋1＝0. 设C (x c ，y c )，由已知OA →＋OB →＝mOC →

，得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，

∴(x c ，y c )＝? ??

??x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m (m ≠0)．

又x 1＋x 2＝2k k 2－1＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝2k 2

k 2－1－2＝2

k 2－1

＝8，

∴点C ?

－45m

，8m ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得80m 2－64m

2＝1，得m ＝±4，

但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，

C 点的坐标为(－5，2)，C 到AB 的距离为??????523 －5 ＋2＋1? ??

??522＋12

＝1

3，

∴△ABC 的面积S ＝1236331

＝ 3.

【难点突破】

16．[解答] (1)由题意得?????

a ＝2a 2

c ，a 3＝2c ，

解得?

????

a 2

＝4，

c 2

＝16，

∴b 2

＝c 2

－a 2

＝12，∴双曲线方程为x 24－y 2

＝1.

(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，

由?????

x 24－y 2

12＝1，x ＝ty ＋4，

可得(3t 2－1)y 2

＋24ty ＋36＝0.

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，所以?????

y 1

＋y 2

＝－24t

3t －1，y 1y 2

＝36

3t 2

－1，

所以BP →＝(x 1－1，－y 1)，BN →

＝(x 2－1，y 2)，

因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2 ＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)

＝2t 363t 2－1＋3－24t 3t 2－1

＝0，

所以向量BP →，BN →

共线．所以B ，P ，N 三点共线． (3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，

所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<1

3，

S △BMN ＝12|BF ||y 1－y 2|＝181＋t 2

|3t 2－1|＝633＋3t 2

1－3t

，令u ＝1－3t 2

，u ∈(0,1]，

S △BMN ＝634－u u ＝634u 2－1

＝63

4? ????1u －182－1

，由u ∈(0,1]，所以1

∈[1，＋∞)，

当1

＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

高考数学一轮复习重点攻略

2019高考数学一轮复习重点攻略一、高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 1.第一阶段，即第一轮复习，也称知识篇，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。(建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材)②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。 2.第二轮复习，通常称为方法篇。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方

法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：不怕难题不得分，就怕每题都扣分，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。 3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为策略篇。老师主要讲述选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对减缩思维的要求。②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。 4.最后，就是冲刺阶段，也称为备考篇。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以

高考数学双曲线

第51讲双曲线 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形． (2)如下图： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2 a ，即||FP 1＝||FP 2＝b 2 a . 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝ 1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝ 0.( √ ) 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线． (3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

2020高考数学第一轮复习全套讲义

第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】 1. 集合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=，可得A B ?. {0,2}

高考数学基础知识梳理

高考数学基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ；（2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注意：区分集合中元素的形式：如： } 12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。如：}012|{2 =--=x ax x A ，如果φ=+ R A I ，求a 的取值。二、集合间的关系及其运算（1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。（2）_}__________{_________ =B A I ；____}__________{_________=B A Y ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___；

高考数学双曲线

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线 1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a 2＋b2 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考

1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0b >0时，10时， e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0 2. 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22 ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，