【高中精练】2018北师版数学必修4：6余弦函数的图像 余弦函数的性质 Word版含解析

最低点： ( , 1)
与x轴的交点：
( , 0) (3 , 0)
2
2
观察图像正余弦函数图像上五个关键点，完成下表 y 关键五点 (y=sinx，x[0,2])
1-
-
-1
o
6


3
2
2 3
5

7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
y 关键五点 (y=cosx，x[0,2] )
3、余弦函数的性质
余弦曲线：y=cosx,x∈R
定义域：R 值域：【-1,1】
单调性： [(2k 1)π，2kπ](k Z)，函数是增加的
[2kπ, (2k 1)π](k Z)，函数是减少的
奇偶性：偶函数
周期性： 2
对称轴：y 轴
对称中心：
(
2

k
,0)k

z
提升总结：正弦和余弦函数的性质对比
五点法
y 1

o
2
2

3 2
-1 sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx ， x[0,2]
f(x+2yk)=f(x),利用图像平移
2
x
y=sinx，xR
-4 -3
-2
1
-
o
-1

2
3
4
5 6 x
正弦曲线
二、合作探究
1、余弦函数的图像（图像平移）
由y= sin x
3
5 2
2 3 2
2
2
性质 函数
y=sinx

6 余弦函数的图像与性质[核心必知]余弦函数的图像与性质[问题思考]1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，并且方法不唯一．2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝32.却有cos 60°<cos 390°.所以函数y ＝cos x 在第一象限内不是减函数．3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．讲一讲1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表：如图所示：1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像． 练一练1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表(2)描点，连线，如图所示：讲一讲2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝32－cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)．(2)求函数y ＝3－2cos(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有32－cos x ≥0， ∴cos x ≤32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x >22，故所求定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)∵π6≤x ≤π2，∴0≤2x －π3≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π3)≤1，∴1≤3－2cos(2x －π3)≤4，故函数的值域为[1，4]．1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域．练一练2. 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最值．解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.讲一讲3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )的奇偶性．(2)求函数y ＝cos(π6－x )的单调减区间．[尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )＝－cos x －x sin x ，∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π6)，令2k π≤x －π6≤π＋2k π(k ∈Z )，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z .1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性．2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．练一练3．比较下列各组值的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 7π6；(2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8 ＝－cos π8.而cos 7π6＝－cos π6∵0<π8<π6<π2.∴cos π8>cos π6.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6.(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°.∵0°<20°<76°<90°，∴cos 20°>cos 76°，∴－cos 20°<－cos 76°，∴sin 194°>cos 160°.函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A．4 B．8C．2π D．4π[解析] 法一：作出函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.法二：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC的面积(如图(2))．∵|AC|＝2π，B到AC距离等于4.∴S平面图形＝S△ABC＝1×2π×4＝4π.2法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3.2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的C ．先增加后减少D ．先减少后增加解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的．4．函数y ＝cos x1＋cos x 的定义域是________．解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________． 解析：在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π4.答案： {π4，5π4}6．比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的． 所以cos π4>cos 3π5即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点 答案：C2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．(－32，12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．MP B ．M PC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴MP .二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．比较大小：sin 3π5________cos π5.解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．函数y ＝11－cos x 的值域是________．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题9．求函数y ＝cos(3x －π4)的单调减区间．解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z .- 11 - ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合． 解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]．∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12.①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34.②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。

8
推广到整个定义域可得 当 x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z 时，余弦函数 y＝cos x 是增函数，函 数值由－1 增大到 1； 当 x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z 时，余弦函数 y＝cos x 是减函数， 函数值由 1 减小到－1.
9
1．用五点法作出函数 y＝3－cos x 的图像，下列点中不属于五点
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x
1
0 －1
0
1
－cos x －1 0
1
0
－1
14
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如右图． 法二：作函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，然 后将其作关于 x 轴对称的图像，即得 y＝－cos x， x∈[0,2π]的图像．
15
所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最 低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替.五点法是 画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来. 函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为： 0，1，π2，0，π，－1，32π，0，2π，1.
∴当 cos x＝12时，ymax＝14.
当 cos x＝－1 时，ymin＝－2.
∴函数 y＝－cos2x＋cos x 的最大值为14，最小值为－2.
32
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1＝3cos
x－232－13.
∵x∈π3，23π，cos x∈－12，12，
从而当 cos x＝－12，即 x＝23π时，ymax＝145；
作图中的五个关键点的是( )
A．(π，－1)
B．(0,2)

明目标、知重点
明目标、知重点
x∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点为 (0,1) ,
π (2,0) ,
(π,－1),
3 (2π,0) ,
(2π,1) .
2.余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
明目标、知重点
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性 单调性 最大值与最小值
2π为最小正周期 当x∈ [2kπ－π,2时kπ],递(k∈增Z；)
观察图像知 x∈π4，54π.
明目标、知重点
4.(1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cos x)的定义域； 1 2 3 4 解 (1)0≤cos x<1⇒2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2,且 x≠2kπ(k∈Z). ∴所求函数的定义域为 x∈[2kπ－π2,2kπ)∪(2kπ,2kπ＋π2),k∈Z. (2)求函数y＝lg sin(cos x)的定义域.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1.设函数 f(x)＝sin2x－π2,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数
B.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数
1234
)
明目标、知重点
1234
解析 ∵sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos 2x, ∴f(x)＝－cos 2x. 又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x), ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 答案 B
明目标、知重点
(2)－21≤y≤ 23时 x 的集合. 解 过(0,－12)、(0, 23)点分别作 x 轴的平行线,从图像中看出它们分 别与余弦曲线交于(－23π＋2kπ,－12),k∈Z,(23π＋2kπ,－12),k∈Z 点和