高中数学必修一函数的概念及其表示

第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设B A ,是非空的实数集，如果对于集合A 中的 x ，按照某种 f ，在集合B 中都有 y 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(，其中，x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的 ，值域是集合B 的子集．2函数的三要素： 、 、 ． 求函数定义域的原则：(1)若()f x 为整式，则其定义域是 ；(2)若()f x 为分式，则其定义域是 ；(3)若()f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是 ；(4)若()0f x x =，则其定义域是 ；(5)若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是 ；(6)若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则其定义域是 ；(7)若f (x )=sinx,g (x )=cosx ，则其定义域是 ；(8)若x x f tan )(=，则其定义域是 ；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数．6函数的单调性：(1)单调递增：设任意 ，当 时，有 .特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意 ，当 时，有 特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足: ,都有 ； 使得 ，那么称M 是函数的最大(小)值．10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；偶函数的图象关于 对称；奇函数：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数叫做 ；奇函数的图象关于 对称；若奇函数)(x f y =的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f =.11幂函数：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． 12幂函数()f x x α=的性质：①所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ； ①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是 ； ①如果0α<，则幂函数的图象在区间()0,+∞上是 ，①幂函数图象不出现于第四象限．。

3.1.1 函数的概念
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.
对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。

但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.
高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。

所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。

所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.
学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.
A.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;
B.用集合与对应的思想理解函数的概念;
C.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;
D.会求函数的定义域。

1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；
2.教学难点：函数的概念及符号()y f x 的理解。

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经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。

第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

2019新版高中数学人教A 版必修一 第1节 函数的概念及其表示一．知识点： 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f: A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A. 2．函数的定义域与值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．如果自变量x =a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f(a)或y|x ＝a .所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x ∈A}叫做这个函数的值域． 3．区间及表示设a ，b 是两个实数，而且a<b.（1） 满足不等式a≤x≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]； （2） 满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b)； （3） 满足不等式a≤x<b 或a<x≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别 表示为[a ，b)，(a ，b]；（4）实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞) 二．考点突破 考点一：函数的概念例1：下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③2y x =；④y =.A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C练习：下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：根据函数的定义知，一个x 有唯一的y 对应，由图象可看出，只有选项D 的图象满足这一点．故选：D ． 作业：1.下列式子中能确定y 是x 的函数的是________． ①x 2＋y 2＝1；②y ＝x －2＋1－x ； ③y ＝12gx 2(g ＝9.8 m/s 2)；④y ＝x.解析：①中每一个x 对应两个y ，故①不是函数． ②中满足式子有意义的x 取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0即x≤1且x≥2，∴为∅，故②也不是，而③④可以确定y 是x 的函数． 答案：③④考点二：函数的定义域 例2：求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x≥0，x －1≥0.解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}. 练习：求下列函数的定义域： (1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x|－x.解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足 |x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0.∴函数的定义域为{x|x<0}． 作业：2．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝1x ＋1；(2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1. 解：(1)要使函数有意义，即分式有意义，需x ＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x|x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x|x ∈R}．(4)因为当x 2－1≠0，即x≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x|x≠±1，x ∈R}．例3：已知函数y=f （x ）定义域是{x|-2≤x ≤3}，则y=f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．{x|0≤x ≤52}B ．{x|-1≤x ≤4}C{x|12-≤x ≤2} D ． {x|-5≤x ≤5} 解：∵函数y=f （x ）定义域是-2≤x ≤3， ∴由﹣2≤2x ﹣1≤3， 解得﹣≤x ≤2，即函数的定义域为12≤x≤2，故选：C ．练习：已知函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，则y=f（x2）的定义域是（）A．{x|-1≤x≤4} B．{x|0≤x≤16} C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1≤x≤4} 解：∵函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，即﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为{x|-1≤x≤4}，由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．∴y=f（x2）的定义域是{x|-2≤x≤2}．故选：C．作业：3. 已知函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1} ，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A．{x|0≤x≤32} B．{x|-1≤x≤4} C．{x|-5≤x≤5} D．{x|-3≤x≤7}解：∵函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1}，∴-2≤x≤1，∴-1≤x+1≤2，∴-1≤2x﹣1≤2，∴0≤x≤3 2∴y=f（2x﹣1）的定义域为{x|0≤x≤32}．故答案为：A考点三：函数值例4：若f(x)＝1－x1＋x(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]．解：f(0)＝1－01＋0＝1；f(1)＝1－11＋1＝0；f(1－a)＝1－1－a1＋1－a＝a2－a(a≠2)；f[f(2)]＝1－f21＋f2＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.练习: 设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.解析：由题意知，f(a)＝41－a＝2，得a＝－1. 答案：－1作业：4.已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]，g[f(2)]的值． 解：(1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6； (2)f[g(2)]＝f(6)＝11＋6＝17，g[f(2)]＝g(13)＝(13)2＋2＝199. 考点四：简单的求函数的值域 例5：求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝－x 2－2x ＋3(－1≤x≤2)； (4)y ＝1－x21＋x2.解：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，即函数的值域为[1，＋∞)．(3)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9.∴－5≤－(x ＋1)2＋4≤4.∴函数的值域为[－5,4]．(4)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，∴函数的定义域为R.∵x 2＋1≥1，∴0<21＋x2≤2.∴y ∈(－1,1]． ∴函数的值域为(－1,1]．练习：（1）已知函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}，则该函数的值域为（ ） A ．{y|1≤y ＜7} B ．{y|1≤y ≤7} C ．{1，3，5，7} D ．{1，3，5} 解：函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}={0，1，2}． 当x=0时，y=1，当x=1时，y=3，当x=2时，y=5． ∴函数的值域为{1，3，5}．故选D ．（2）函数y=x 2﹣4x+1，x ∈[1，5]的值域是（ ） A ．{y|1≤y ≤6} B ．{y|-3≤y ≤1}C ．{y|y ≥-3}D ．{y|-3≤y ≤6}解：对于函数f （x ）=x 2﹣4x+1，是开口向上的抛物线． 对称轴x=，所以函数在区间[1，5]上面是先减到最小值再递增的．所以在区间上的最小值为f （2）=﹣3．又f （1）=﹣2＜f （5）=6，，所以最大值为6．故选D ．作业：5.求下列函数的值域：(1)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈R ； (3)y ＝1－x 2，x ∈R ； (4)y ＝2x ＋1x，x≠0. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， ∴这个函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，∵(x －1)2＋1≥1， ∴这个函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域为R ，∵1－x 2≤1， ∴函数y ＝1－x 2的值域为{y|y≤1}． (4)y ＝2x ＋1x ＝2＋1x ，∵x≠0，∴1x≠0， ∴y ＝2＋1x ≠2，∴函数的值域为{y|y≠2}．考点五：判断两函数是否相等例6：下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x≠0)与y ＝1(x≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应法则不同，C 中定义域与对应法则都相同．练习：下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝B ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝（）2C ．f （x ）＝，g （x ）＝x+1D ．f （x ）＝，g （x ）＝解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，B 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为R ，后面函数的定义域为[0，+∞），C 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为{x|x ≠1}，后面函数的定义域为R ，D 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为[1，+∞），后面函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A ． 作业：6. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．y ＝，y ＝（）2B ．y ＝|x|，y ＝C ．y ＝，y ＝x+1D ．y ＝x ，y ＝解：对于A ，y ＝＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝t （t ≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B ，y ＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝|t|（t ∈R ）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C ，y ＝＝x+1（x ≠1），与y ＝x+1（x ∈R ）的定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x （x ∈R ），与y ＝＝x （x ≠0）的定义域不同，不是同一函数．故选：B ．考点六：区间及其表示例7：集合{x|－12≤x<10，或x>11}用区间表示为________． 答案：[－12,10)∪(11，＋∞)练习：已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2，则其定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∪(－12，1)D ．(－∞，－12)∪(－12，1]解析：选D 要使式子1－x2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，2x 2－3x －2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠2且x≠－12，所以x≤1且x≠－12，即该函数的定义域为(－∞，－12)∪(－12，1]，故选D.作业： 7. 函数y=+1的值域为（ ） A ．（0，+∞） B ．（1，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞）解：函数y=+1，定义域为[1，+∞），当x=1时，函数y 取得最小值为1， 函数y=+1的值域为[1，+∞），故选D。

第4讲 函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯．(2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．考向一 相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ）A y =( x )2B y=x x 2C 33x y =D y=2x 【例2】x x y 2=与⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：（1）分式函数中分母不为0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；（4）0次幂的底数不为0。

（5）正切函数2ππ+≠k x【例1】►求函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域。

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

高中数学必修一《函数的概念及其表示》优质教案教材分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．教学目标与素养课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。

重难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a ，b为实数，且a <b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b]2.其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )考点四：函数的表示方法考点五：分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同；⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·高一）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021·江苏淮安·高一期中）设集合{}{}|02|03M x x N y y =≤≤=≤≤，.下列四个图象中能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的有（）①②③④A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题型二：区间的表示4．（2022·全国·高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（）①{0,1,5,10}A =；②{}210,x x x N <∈ ；③∅；④{}x x 是等边三角形；⑤{}03x x x ≤≥或；⑥{}1,x x x Q >∈．A ．2B ．3C ．4D ．55．（2021·全国·高一专题练习）已知22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则实数a 的取值范围是（）A ．()21-，B ．()12-，C ．[]21-，D ．[]12-，6．（2021·广东·中山中学高一期中）集合{}01x x x <≥或用区间表示为（）A ．()(),01,-∞⋃+∞B ．()[),01,-∞+∞C ．()[),01,-∞⋂+∞D ．(]0,1题型三：具体函数的定义域7．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数2311y x x =-+的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()()1,00,1-UC ．[)(]1,00,1-D ．(]0,18．（2022·全国·高一单元测试）函数32x y x+=的定义域是（）A ．[)3,∞-+B ．[)()3,00,-⋃+∞C ．()3,-+∞D ．()0,∞+9．（2022·全国·高一单元测试）函数11y x x=++的定义域为（）A ．{}1x x ≥-B ．{}0x x ≠C ．{1x x >-且}0x ≠D ．{1x x ≥-且}0x ≠题型四：抽象函数的定义域10．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31f xg x x =-的定义域为（）A ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（2021·全国·高一课时练习）已知()21f x -的定义域为3,3⎡⎤-⎣⎦，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．3,3⎡⎤-⎣⎦12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为()A ．3[,1]2-B ．3[,1)(1,1]2--⋃-C ．[3,7]-D ．[3,1)(1,7]--⋃-题型五：求函数的值域13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )2263x x =-+，[]12x ∈-，，则函数的值域是（）A ．3[112-，）B ．3[ 112，）C ．[] 111-，D ．3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，14．（2022·全国·高一课时练习）函数2()23g x x x =--在区间[]0,4上的值域为（）A ．[]3,5-B ．()3,5-C ．[]4,5-D ．()4,5-15．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[0,)+∞的是（）A ．y x=B ．y x=C ．16y x=D ．21y x x =++题型六：复杂（根式、分式）函数的值域16．（2022·全国·高一课时练习）函数2()1xf x x =+的值域是（）A ．(),1-∞-()1,+∞B ．(),2-∞C ．(),2-∞()2,+∞D ．[)1,-+∞17．（2021·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）函数y 243xx+=-的值域是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，12-）∪（12，+∞）C ．（﹣∞，13-）∪（13，+∞）D ．（﹣∞，13-）∪（13-，+∞）18．（2021·全国·高一课时练习）函数()2211x x f x x x --=++的最大值与最小值的和是（）A ．53B ．23C ．1D ．23-题型七：函数相等问题19．（2022·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（）①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与01()g x x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④20．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（）A ．32y x =-与2y x x =-B ．2()y x =与y x=C ．()221f x x x =--与()221g t t t =--D ．11y x x =+-与()()11y x x =+-21．（2022·全国·高一单元测试）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A ．()1f x x =-，()()21g x x =-B ．()3f x x =-，()()23g x x =-C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()(1)(3)f x x x =--，()13g x x x =-⋅-题型八：已知函数类型求解析式（待定系数法）22．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+23．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数()f x 满足()()2211075f x f x x x +-=-+，则()()1f f =（）A ．1B ．7C ．8D ．1624．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 为二次函数,且满足()01f =,()()14f x f x x --=,则()f x 的解析式为（）A ．()2221f x x x =--+B ．()2221f x x x =-++C ．()2221f x x x =---D ．()2221f x x x =-+题型九：换元法求函数解析式25．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥26．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（）A ．6B ．6或6-C ．6-D ．327．（2021·重庆南开中学高一阶段练习）若(1)1f x x x -=++，则()f x 的解析式为（）A ．2()1(1)f x x x x =++≥-B ．2()1(1)f x x x =-≥-C ．2()33(1)f x x x x =++≥-D ．2()(1)(1)f x x x =-≥-题型十：分段函数中的问题28．（2021·江苏宿迁·高一期中）设函数11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则满足() 1()2f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，29．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]1,2D ．[]2,330．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知函数(2)3,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．(0,2)D ．(2,1]-【双基达标】一、单选题31．（2022·全国·高一专题练习）函数符号()y f x =表示（）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．()f x 一定是一个式子C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 也不同32．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()()2f a f a -=，则2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．11B ．6C ．4D ．233．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（）A ．()22f x x x=+B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x=+D ．()286f x x x =++34．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1,101,01x x f x x x ---≤<⎧=⎨-+<≤⎩，则()()1f x f x -->-的解集为（）A ．111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．(]11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．111,,122⎡⎤⎛⎤--⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．()11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦35．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ，则a 的范围是（）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．(0,4]D ．(0,4)36．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.(1)()45-=-x f x x ；(2)()11232f x x xx=+-+-.37．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（2）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式.【高分突破】一：单选题38．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））设()f x 的定义域为R ，且满足()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．2023B ．2024C ．3033D ．303439．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．240．（2022·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A ．2()x x f x x-=，()1g x x =-B ．2()f x x =，()2()g x x=C ．()22f x x =-，()22g t t ＝－D ．()11f x x x =+⋅-，2()1g x x =-41．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()02f =B ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()1f x <的解集为()1,1-D ．若()3f x =，则x 的值是1或342．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，总有()()()x f x y y f f +=+，若()11f =-，则()3f =（）A ．－3B ．－2C ．－1D ．043．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y ＝f （x ＋1）定义域是[－2，3]，则y ＝f （x －2）的定义域是（）A ．[1，6]B ．[－1，4]C ．[－3，2]D ．[－2，3]44．（2022·全国·高一专题练习）已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．516C ．6D ．172二、多选题45．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数2y x =+不是同一个函数的是（）A ．()22y x =+B ．332y x =+C ．22x y x=+D ．22y x =+46．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B ．()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z C ．()24f x x =-，()22g x x x =+⋅-D ．()221f x x x =--，()221g t t t =--47．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =+D ．11y x =-48．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．149．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数1xy x=-的值域为()(),22,-∞+∞C ．函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]4,1250．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(],4∞-C ．若()2f x =，则x 的值是2-D ．()1f x <的解集为()1,1-51．（2022·重庆九龙坡·高一期末）德国者名数学家狄克雷（Dirichlet ，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“1,()0,R x Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩ð，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题，正确的为（）A ．对12,R x x Q ∀∈ð()()()1212,f x x f x f x +=+恒成立B ．对1x R ∀∈，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=C ．若0,1a b ，则()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣D ．存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC 为等边三角形三、填空题52．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()21f x +的定义域为______.53．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.54．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．55．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()22xf x x=+，则()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.四、解答题56．（2022·全国·高一）作出下列函数的图象：(1)()11f x x x =-++；(2)()2243,00,043,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪==⎨⎪++<⎩．57．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知()24fx x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()223f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．58．（2022·全国·高一单元测试）求下列函数的值域：(1)(){}()2212,1,0,1,2f x x x x =++∈--；(2)()213x f x x +=-(3)()223f x x x =-++；(4)()12f x x x =--．【答案详解】1．B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；根据函数的定义，可知③正确；对于任意一个函数，如果x 不同，那么y 的值可能相同，也可能不同，故④不正确；由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B ．2．B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】B 中，当0x >时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选：B 3．B【分析】根据函数的定义判断．【详解】A 中12x <≤中的x 没有对应的象，不符合；B 符合函数定义，C 也符合函数定义，D 中对于02x <≤的x 有两个象与之对应，不符合．所以有2个满足．故选：B ．4．D【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．⑥Q 是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为(][)3,-∞+∞，0，故答案为：D.5．A【分析】依题意得22a a <-，解不等式即可求解．【详解】因为22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则2222021a a a a a <-⇒+-<⇒-<<故选：A【解析】按照区间的定义写出区间即可.【详解】解：集合{|0x x <或}1x ≥用区间表示为：()[),01,-∞+∞.故选：B.7．C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题，函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈-.故选：C 8．B【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.【详解】依题意3030x x x +≥⎧⇒≥-⎨≠⎩且0x ≠，所以函数32x y x+=的定义域是[)()3,00,-⋃+∞．故选：B ．9．D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得10x +≥且0x ≠，所以函数的定义域是{1x x ≥-且}0x ≠，故选：D.10．C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.11．C【分析】由33x -≤≤求出21x -的范围，然后可得答案.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[3,3]-，所以33x -≤≤，所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【分析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．13．D【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】2233()263=2--22f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,对称轴3=2x ,当[]12x ∈-，,()min 33-,22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭又因为()()()()max -111,21,-111f f f x f ==∴==,所以函数的值域为3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选:D 14．C【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】22()23(1)4g x x x x =--=--，因此该函数的对称轴为：1x =，因为[]0,4x ∈，所以当1x =时，函数有最小值，最小值为4-，而(0)3,(4)5g g =-=，所以最大值为5，因此值域为[]4,5-，故选：C 15．B【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项.【详解】对于y x =,,x R y R ∈∈，故A 不正确；对于y x =，[)[)0,0x y ∈+∞∈+∞，，，故B 正确;对于16y x=，()()()()0,0,x y ∈-∞⋃+∞∈-∞⋃+∞，0，，0，故C 不正确；对于22131=44y x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，3,4x R y ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭，，故D 不正确；故选：B 16．C【分析】将函数2()1xf x x =+分离常数后可直接求解.【详解】22(1)22()2111x x f x x x x +-===-+++，从而可知函数2()1xf x x =+的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞.故选：C 17．D【分析】分离常数即可得出()1103343y x =-+-，从而得出13y ≠-，进而得出该函数的值域．【详解】解：()()1104321103343433343x x y x x x --++===-+---，∴y 13≠-，∴该函数的值域为1133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．故选：D ．18．B【分析】令2211x x y x x --=++，可得()()21110y x y x y -++++=，可知关于x 的方程()()21110y x y x y -++++=有解，分1y =、1y ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得y 的取值范围，即可得解.【详解】设2211x x y x x --=++，则有()()21110y x y x y -++++=，当1y =时，代入原式，解得1x =-．当1y ≠时，()()()()()21411135y y y y y ∆=+--+=+-+，由0∆≥，解得513y -≤≤，于是y 的最大值为53，最小值为1-，所以函数()f x 的最大值与最小值的和为23．故选：B.19．C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.【详解】①()32f x x =-与()2g x x x =-的定义域是{}|0x x ≤，而()322f x x x x =-=--，故这两个函数不是同一函数；②()f x x =与()2g x x =的定义域都是R ，()2g x x x ==，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③()0f x x =与()01g x x =的定义域是{}|0x x ≠，并且()()g 1f x x ==，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④()221f x x x =--与()221g t t t =--是同一函数；所以是同一函数的是③④.故选：C.20．C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A ．函数的定义域为{|0}x x ≤，322y x x x =-=--，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B ．2()y x x ==，定义域为{|0}x x ≥，函数的定义域不相同，不是同一函数C ．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D ．由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩得1≥x ，由()()110x x +≥－得1≥x 或1x ≤－，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C ．21．B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.【详解】对于A 中，函数()1f x x =-的定义域为R ，而函数()2(1)g x x =-的定义域为[1,)+∞，所以两个函数不是同一个函数；对于B 中，函数()()23,(3)|3|f x x g x x x =-=-=-的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C 中，函数()f x x =的定义域为R ，而函数()2x g x x x==的定义域为{}|0x x ≠，所以两个函数不是同一个函数；对于D 中，函数()(1)(3)f x x x =--的定义域为(,1][3,)-∞⋃+∞，而函数()13g x x x =-⋅-的定义域为[3,)+∞，所以不是同一个函数，故选：B 22．B【分析】设()f x kx b =+，根据已知条件可得出关于k 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，再结合()35f =-可得出k 、b 的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意；当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+.故选：B.23．B【分析】采用待定系数法先求解出()f x 的解析式，然后即可计算出()()1f f 的值.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()2211075f x f x x x +-=-+，所以()()22242111075ax bx c a x b x c x x +++-+-+=-+，化简可得：()2253221075ax b a x a b c x x +-+-+=-+，所以51032725a b a a b c =⎧⎪-=-⎨⎪-+=⎩，所以211a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()221f x x x =-+，所以()12112f =-+=，所以()()()1224217f f f ==⨯-+=，故选：B.24．A【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出()f x 的解析式.【详解】设()2(0)f x ax bx c a =++≠,因为()01f =,所以1c =.又()()14f x f x x --=,所以有2224(1)(1)1(1)4240a a x b x ax bx x ax a b x a b -=⎧-+-+-++=⇒-+-=⇒⎨-=⎩,解得2a b ==-.故选：A【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力.25．C【分析】将已知解析式配方，可得()2(1)11f x x +=+-，再通过换元法求得解析式．【详解】因为()2(1)211f x x x x +=+=+-令()11t x t =+≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.26．B 【分析】令1x t x+=，配凑可得()22f t t =-，再根据()4f m =求解即可【详解】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=±.故选；B 27．C【分析】利用换元法，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，可求出()f t 的解析式，从而得出()f x 的解析式.【详解】解：已知()11fx x x -=++，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，()()()22111331f t t t t t t ∴=++++=++≥-，()()2331f x x x x ∴=++≥-.故选：C.28．B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式() 1()2f x f x +<求其解.【详解】∵11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，∴2,1()1,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩，当11x +≤且21x ≤时，不等式() 1()2f x f x +<可化为2122x x --<-，∴0x ≤，当11x +≤且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为211x --<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为11<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x ≤时，不等式() +12()f x f x <可化为122x <-，∴102x <<，∴满足() +12()f x f x <的x 的取值范围是1(,)2-∞，故选：B.29．B【分析】先求出当10x -≤<时，()f x 的值域为(]1,2.由题意可知，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，故1a ≥，然后根据()1f x x =-的单调性对a 分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当10x -≤<时，()(]11,2f x x =-∈，又函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，所以1a ≥，当1a ≥时，()1,0111,1x x f x x x x a -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩在[]0,1上单调递减，在[]1,a 上单调递增，又()()()01,10,1f f f a a ===-，①若12a ≤≤，则11a -≤，所以()[]0,1f x ∈，此时[](][]1,20,20,1=，符合题意；②若2a >，则11a ->，所以()0,1f x a ∈⎡-⎤⎣⎦，要使(][]200,11,2,a ⎡-⎤⎣⎦=，只须12a -≤，即23a <≤；综上，13a ≤≤.故选：B.30．B【分析】先求出函数1,1y x x =-≥的值域，而()f x 的值域为R ，进而得20230a a a -<⎧⎨-+≥⎩，由此可求出a 的取值范围.【详解】解：因为函数1,1y x x =-≥的值域为[0,)+∞，而()f x 的值域为R ，所以函数()()23(1)g x a x a x =-+<的值域包含(),0∞-,所以()202130a a a ->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得12a -≤<，故选：B 31．C【分析】直接根据函数定义可判断.【详解】符号()y f x =，即“y 是x 的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”()f x 也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A 、B 错误；当2y x =时，1x =或1x =-时，1y =，故D 错误.故选：C 32．D【分析】分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出关于a 的等式，求出a 的值，代值计算可得2a f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】因为()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以，函数()f x 在(],0-∞和()0,∞+上均为增函数，因为()()2f a f a -=，所以20a a -≤⎧⎨>⎩，可得02a <≤，由题意可得()2526a a a +=-+，即2440a a -+=，解得2a =，合乎题意，所以，()211122a f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D.33．A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++，∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+，∴2()2f x x x =+.故选：A 34．B【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集.【详解】解：当01x <≤时，10x -≤-<，则()()1f x f x -->-可化为()111x x -+-->-，解得32x <，又01x <≤，所以01x <≤.当10x -≤-<时，01x <-≤，则()()1f x f x -->-可化为()111x x ---+>-，解得12x <-，又10x -≤<，所以112x -≤<-.综上，(]11,0,12x ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.35．A【分析】根据给定条件，可得210ax ax ++≥，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤，所以a 的范围是[0,4].故选：A36．(1){}45x x x ≥≠且(2)3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.（1）要使该函数有意义，只需4050x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥，且5x ≠，所以该函数的定义域为:{}45x x x ≥≠且（2）要使该函数有意义，只需230200x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得322x -≤<，且0x ≠，所以该函数的定义域为:3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且37．（1）()21f x x x =-+；（2）()23x f x x =+；（3）()21f x x x =++.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于()f x 与()f x -的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出()f x .（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =得：c ＝1.由()()12f x f x x +=+得：()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，则11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+.（2）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②×2－①得：()233f x x x =+，∴()23x f x x =+.（3）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++.38．A【分析】根据函数的性质由()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=【详解】因为()()2f x f x +-=，()12f =，所以(1)0f -=，(0)1f =由()()11f x f x -=+得()(2)f x f x -=+，所以()(2)2f x f x ++=，(1)(3)2f x f x +++=，即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=.故选：A.39．C【分析】根据函数的解析式求出(1)1f a -=+，结合10a +>即可求出[(1)]f f -，进而得出结果.【详解】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24a f f f a +-=+==，解得1a =.故选：C 40．C【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A ：2()x x f x x-=的定义域为{}|0x x ≠，()1g x x =-的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：2()f x x =的定义域为R ，()2()g x x =的定义域为{}|0x x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：()22f x x =-的定义域为R ，()22g t t =-的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：()11f x x x =+⋅-的定义域为{}|1x x ≥，2()1g x x =-的定义域为{|1x x ≤-或1}x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误.故选：C41．B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，函数图象如下所示：由图可知()00f =，故A 错误；()f x 的值域为(),4-∞，故B 正确；由()1f x <解得()(),11,1-∞--，故C 错误；()3f x =，即2312x x ⎧=⎨-<<⎩，解得3x =，故D 错误；42．A【分析】根据题设抽象函数的递推关系求函数值即可.【详解】由题设，()()()()312313f f f f =+==-．故选：A ．43．A【分析】根据定义域的定义求解即可.【详解】由题意知，－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，∴－1≤x －2≤4，得1≤x ≤6，即y ＝f （x －2）的定义域为[1，6]；故选：A.44．A【分析】根据分段函数，分02a <<，2a ≥，由()(2)f a f a =+求解.【详解】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，当02a <<时，()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得4a =-或1a =，当2a ≥时，()28228a a -+=-++，无解，综上：1a =，所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A45．ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：2y x =+的定义域为R ．对于A ，()22y x =+的定义域为[)2,-+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，3322y x x =+=+定义域为R ，与2y x =+定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+定义域不同，不是同一函数；对于D ，22,0222,0x x y x x x x +≥⎧=+=+=⎨-+<⎩，与2y x =+的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD ．【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；对于选项B ，()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B 错误；对于选项C ，()24f x x =-的定义域为(][,2)2,-∞-⋃+∞，()22g x x x =+⋅-的定义域为[2,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故C 错误；对于选项D ，()221f x x x =--，()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．故选：AD.47．BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A.函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC48．AB【分析】依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得10125a a a a -≥⎧⎪<⎨⎪++≥-⎩，解得21a -≤≤-，∴整数a 的取值为2-或1-．故选：AB49．AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A ；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B ；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C ；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为[]22-,，所以2212x -≤-≤，解得1322x -≤≤，即()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，11111111x x x y x x x x -+==-=-=------，所以1y ≠-，即函数1x y x =-的值域为()(),11,-∞--+∞，故B 不正确；对于C ，令1t x =-，则21x t =-，0t ≥，所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，0t ≥，所以当14t =时，该函数取得最大值，最大值为178，所以函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，()()222413f x x x x =-+=-+，其图象的对称轴为直线1x =，且()13f =，()212f -=，所以函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]3,12，故D 不正确．故选：AC ．50．BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分1≥x 、21x -£<两种情况令()2f x =求出x 可判断C ；分1≥x 、21x -£<两种情况解不等式可判断D.【详解】函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩的定义域是[)2,-+∞，故A 错误；当21x -£<时，()2f x x =，值域为[]0,4，当1≥x 时，()2f x x =-+，值域为(],1-∞，故()f x 的值域为(],4∞-，故B 正确；当1≥x 时，令()22f x x =-+=，无解，当21x -£<时，令()22f x x ==，得到2x =-，故C 正确；当21x -£<时，令()21f x x =<，解得()1,1x ∈-，当1≥x 时，令()21f x x =-+<，解得()1,x ∈+∞，故()1f x <的解集为()()1,11,-+∞，故D 错误．故选：BC ．51．BCD 【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.【详解】A ：当1222x x ==-、时，显然12,R x x Q ∈ð，而(22)(0)1f f -==，(2)(2)000f f +-=+=，所以()()()1212f x x f x f x +=+不成立，故本选项不正确；B ：当1x Q ∀∈时，1()1f x =，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，所以1x Q ∀∈时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=；当1R x Q ∀∈ð时，1()0f x =，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当1R x Q ∀∈ð时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=，所以本选项正确；C ：当x Q ∈时，()1f x =，所以此时{}()x f x a Q >=，{}()x f x b Q <=，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立；当R x Q ∈ð时，()0f x =，所以此时{}()R x f x a Q >=ð，{}()R x f x b Q <=ð，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立，因此本选项正确；D ：当123,,x x x 三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有123()()()0f x f x f x ===，此时三点共线，不构成三角形；当123,,x x x 三个数都是有理数时，此时123()()()1f x f x f x ===，因此三点共线，构不成三角形；当123,,x x x 三个数有二个数是有理数时，不妨设12,x x 是有理数，则3x 为无理数，所以有123()()1,()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213231212312()1()1()()2()AC CB x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然12x x ≠，于是有1232x x x +=，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；当123,,x x x 三个数有一个数是有理数时，不妨设1x 是有理数，则23,x x 为无理数，所以有123()1,()()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213123232132()1()1()()2()AC BA x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然32x x ≠，于是有3212x x x +=，取10x =，设23x x <，如下图所示：13tan 333OA OB OB OB π=⇒=⇒=，即2333,33x x =-=，所以存在三点33(0,1),(,0),(,0)33A B C -，使得ABC 为等边三角形，因此本选项正确，故选：BCD 【点睛】关键点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.52．{}0【分析】根据抽象函数定义的求法，得到2011x ≤+≤，即可求得函数()21f x +的定义域.【详解】因为函数()f x 的定义域为[]0,1，所以2011x ≤+≤，即210x -≤≤，解得0x =，所以函数()21f x +的定义域为{}0.故答案为：{}0.53．()1,+∞【分析】先求出()()()2111f x x x =-+≠，再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解：令1x t x +=，则111t x =+≠，所以11t x =-，所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.54．2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】将m 分为000m m m =><，，三种情况讨论：当0m =时，()210f x x =-≥满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+-=-，值域是[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+-，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0，∴232333m -≤≤，又0m >，所以2303m <≤综上，2303m ≤≤，∴实数m 的取值范围是：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故答案为：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.55．40434##1010.75【分析】观察所求结构，考察()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后可得.【详解】因为()111112222222x x xf x f x x x x +⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+⋅，()114f =，所以()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1140432021244=⨯+=.故答案为：4043456．(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可；（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.（1）因为函数()2,12,112,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出其图象如图①所示．（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示，57．（1）()221441f x x x +=++；（2）()24(2)f x x x =-≥；（3）()21f x x x =-+；（4）()21f x x =-+【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，（2）利用换元法或配凑法求解，（3）利用待定系数法求解，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，然后根据已知条件列方程求出,,a b c即可，（4）利用方程组法求解，用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，将得到的式子与原式子联立可求出()f x .【详解】（1）因为()2f x x =，所以()()222121441f x x x x +=+=++．（2）方法一设2t x =+，则2t ≥，2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24(2)f x x x =-≥．方法二因为()()2224f x x +=+-，所以()24(2)f x x x =-≥．（3）因为()f x 是二次函数，所以设()2(0)f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得c ＝1．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x x =-+．（4）用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，得()()223f x f x x -+=-+，由()2()232()()23f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨+-=-+⎩，解得()21f x x =-+．58．(1){}0,1,4,9(2)(,2)(2,)-∞⋃+∞(3)520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(4)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将2,1,0,1,2--代入()f x 求解即可；（2）形如()0,ax b y ac ad bc cx d +=≠≠+的函数常用分离常数法求值域，ad b ax b a c y cx d c cx d-+==+++，其值域是a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如(0)y ax b cx d ac =+++≠的函数常用换元法求值域，先令t cx d =+，用t 表示出x ，并注明t 的取值范围，再代入原函数将y 表示成关于t 的二次函数，最后用配方法求值域．（1）因为()21f -=，()10f -=，()01f =，()14f =，()29f =，所以函数()f x 的值域为{}0,1,4,9．（2）因为()f x =212(3)772333x x x x x +-+==+---，且703x ≠-，所以()2f x ≠，所以函数()f x 的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞．（3）因为()2212523248f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤524≤，所以函数()f x 的值域为520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（4）设12t x =-（换元），则0t ≥且21122x t =-+，令22111(1)1222y t t t =--+=-++.因为0t ≥，所以12y ≤，即函数()f x 的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。