高中数学必修一 函数的应用

第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1○24（1（2（356Eg7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

Eg ：求函数2)1lg(2)(-++=x x f x 的零点个数。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．Eg ：一元二次方程根的分布讨论一元二次方程根的分布的基本类型 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.表二：（两根与k的大小比较）k k k表三：（根在区间上的分布）Eg ：（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围？（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[0,4]内，求m 的取值范围？（3）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围？9)(x f10（1（2（3①若f ②若f ③若f （4~（41112① ② ③ ④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．13、函数的模型不符合14。

人教A版高中数学必修1第三章《函数
的应用》思维导图
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本文，我们主要梳理了人教版A版高中数学必修1（也就是高一数学）第三章《函数的应用》。

主要内容大纲如下：
其中重点在于零点问题、函数模型及函数的应用。

下面我们逐一展开回忆下。

一、函数与方程
二、函数模型及其应用
到本文为止，有关人教版A版高中数学必修一（也就是高一数学必修1）的内容，我们就在前面三篇文章给大家梳理完了，至于第一章《集合与函数的概念》及第二章《基本初等函数（I）》，请大家查阅我们前面两天的文章即可。

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2．向高为 H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
A
B
C
D
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B [题图反映随着水深 h 的增加，注水量 V 增长速度越来越慢， 这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]
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3．某人从 A 地出发，开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到 达 B 地，在 B 地停留 2 小时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位：千米) 是时间 t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
(2)每天的盈利额超过 1 000 元，则 x∈(200,300]，由 15x－2 500>1
000 得，x>7300，故每天至少需要卖出 234 张门票．
60 [设涨价 x 元，销售的利润为 y 元， 则 y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250 ＝－2(x－10)2＋450， 所以当 x＝10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值．]
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合作探究 提素养
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一次函数模型的应用
【例 1】 某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间
2．数学建模的过程图示如下：
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示， 判断下列说法的对错．
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(1)甲比乙先出发．( ) (2)乙比甲跑的路程多．( ) (3)甲、乙两人的速度相同．( ) (4)甲先到达终点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.

函数在实际中的应用举例(含解答)
函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题
目，注意实际问题和函数的转化。

例1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米。

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。

（2）该运动员身高 1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（ 1.5，3.05）用顶点式。

（2）已知横坐标－ 2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。

解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，
∴设y=a(x-0)2+3.5
即y=ax2+3.5，
将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5
2.25a=-0.45
a=-
∴y=-x2+3.5
（2）当x=-2.5时，
y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25
2.25-1.8-0.25=0.20(m)
答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。

说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位
置，确定坐标的符号。

第1页共8页。

高中数学常见函数及其应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而函数是数学中的基本概念之一。

在高中数学中，我们需要掌握并熟练运用一些常见函数及其应用。

本文将介绍一些常见的高中数学函数及其在实际问题中的应用。

一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。

线性函数的图像为一条直线，其斜率k代表直线的倾斜程度，而常数b代表直线与y轴的截距。

线性函数常见的应用有以下几种：1. 方程的解：在线性方程中，我们常常需要求解一元一次方程。

以y = 2x + 3为例，我们可以通过这个线性函数找到方程的解。

当x取特定的值时，我们可以求得对应的y值，从而得到该方程的解。

2. 直线的斜率和截距：线性函数的斜率和截距可以帮助我们分析直线的性质。

斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。

二、二次函数二次函数是一个非常常见的函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，常见的应用有以下几种：1. 抛物线的顶点问题：二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，在实际问题中可以用来寻找最优解，例如最大值或最小值。

2. 建模问题：二次函数可以用来建立实际问题的模型。

例如，通过分析苹果从树上掉落的过程，可以建立一个与时间相关的二次函数来描述苹果的运动轨迹。

三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数，变量为指数的函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0。

指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，常见的应用有以下几种：1. 指数增长问题：指数函数在自然界中的许多现象都有应用，例如人口增长、细胞分裂等。

通过分析指数函数的特点，我们可以预测未来的发展趋势。

2. 复利计算：指数函数在金融领域中有着重要的应用，特别是在计算复利方面。

通过利率和时间的指数函数关系，我们可以计算复利的收益。

四、对数函数对数函数是指以一个正常数为底数，另一个正数为真数的函数，其表达式为y = loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。

用二次函数模型 = 2 + + ( , , 为常数, > 0).
(3)幂函数模型: = + (, , 为常数, ≠ 0, ≠ 1).


(4)反比例函数模型: = + (, 为常数, ≠ 0 ).
(5)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规
得最大纯利润,并求出最大纯利润.(均精确到0.1万元)
解析
以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,画出散点图,如图所示:
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
解析
据此,可考虑用函数 = − − 4
2
+ 2( > 0)
①表示投资A种商品的
金额与其纯利润的关系,用函数 = ( > 0)
每辆每月要维护费50 元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为(3600 − 3000) ÷ 50 = 12,所以这
时租出了100 − 12 = 88辆车.
1200.
由①②知 = 1225.故该种商品的日销售额的最大值为1225元.
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品
各多少万元才最合算.请你帮他制订一个资金投入方案,使得该经营者能获
5
2
1
2 ,即

人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。

我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。

注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。

例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。

利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。

为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。

例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。

2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。

由此概括得到函数零点存在的判定方法。

如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。

在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02

通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。

人教a版高中数学必修一函数的应用(一)教学设计课程名称：高中数学必修一-函数的应用（一）适用对象：高中一年级学生课时数：8课时教学目标：1.理解函数的概念及其应用领域；2.掌握函数的应用方法，解决有关函数的实际问题；3.培养学生解决实际问题的数学建模能力；4.培养学生合作学习和探究精神。

教学重点：1.函数的概念及其应用领域；2.函数应用问题的转化和解决方法。

教学难点：1.实际问题的数学建模，将问题转化为函数应用问题；2.函数应用问题的解决方法及其灵活运用。

教学准备：1.教师准备：教学课件、教学素材、实际问题应用案例；2.学生准备：教材、笔、纸等。

教学过程：第一课时：函数的概念及其应用1.导入新课：教师出示一张世界各国人均寿命表格，引导学生思考：为什么有些国家的人均寿命较短而有些国家的人均寿命较长？这背后是否存在着某种规律或关系？2.介绍函数的概念：-教师简要介绍函数的概念，引导学生了解自变量、因变量和函数值的概念；-学生展示函数的图象，让学生感受函数与图象之间的关系。

3.探究函数的应用领域：-教师列举一些函数的应用领域，如物理学中的速度函数、经济学中的利润函数、人口统计学中的增长函数等；-学生小组讨论一个他们感兴趣的应用领域，并展示出来。

第二课时：函数应用问题的转化1.复习函数的概念与应用领域：老师复习第一课时的内容，让学生能够回答与函数相关的问题。

2.引入实际问题：教师提供一个实际问题，如某电商公司销售额与广告费用的关系问题，带领学生思考如何用函数来描述与解决这个问题。

3.讨论与转化：学生自由讨论如何将实际问题转化为函数应用问题；教师引导学生讨论并总结出问题转化的关键点。

第三课时：函数应用问题的解决方法1.引导学生思考解决问题的方法：教师提问：如何找到函数的解析式？如何求解函数的最值？如何解决在一定条件下的函数问题？2.示范解决实际问题：教师提供一个实际问题，带领学生使用已学方法解决；学生分组完成解决问题的过程。

第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不行干脆求出零点的较困难的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把困难的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

这个面积表示的含义是汽车在这5小时内 行驶的路程为360km.
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分段函数之里程表读数
【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系
如图所示. (2)假设开车前里程表读数为2020km，试
人教A版2019高中数学必修第一册
第3章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
分段函数之里程表读数
【例】一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系
如图所示. (1)求图中阴影部分的面积，并说明
所求面积的实际含义；
【解】阴影部分的面积为： 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
入与分享
【解】由题意
的定义域是[0，2]，
则对于
来说有：
解得：
所以
的定义域为[0，1)
【高考中的函数问题】
【5】[2019全国Ⅱ卷]设
为奇函数，且当
时，求
的表达式.
时，
【解】因为
是奇函数，且定义域为R，
所以当
时，有
，即此时有
所以此时的
，则当
【6】已知 【解】因为
所以 即 所以
【高考中的函数问题】 ，且
面积S为 配方， 所以当长为15米，宽为30-t=15米的时候， 它的面积最大，最大面积为225平方米.
利润问题
【例】某公司生产某种产品的固定成本(房租设备水电等)为150万元，每件产品的 生产成本为2500元，售价为3500元.若该公司生产的产品全部都能卖出去.

学习好资料 欢迎下载函数的应用一、方程的根与函数的零点1、零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．二，零点存在定理1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是()．A ．x 2＋x －3＝0B ．x 1＋1＝0C ．21x ＋ln x ＝0 D ．x 2－lg x ＝0 2.方程2x ＝2－x 的根所在区间是().A ．(－1，0) B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1) 3．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到( )．A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只4.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元 A ．2元 B ．2.5元 C ．1元D ．1.5元 5.用100米的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，应取矩形长米，宽米.6.某旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？7．A 市和B 市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C 市10台机器，D 市8台机器．已知从A 市调运一台机器到C 市的运费为400元，到D 市的运费为800元；从B 市调运一台机器到C 市的运费300元，到D 市的运费500元．(1)总运费不超过9000元，有几种方案？(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？。

函数在经济、医学和生态学等领域中 的应用。
2 科学研究
函数在物理学、化学和生物学等科学 领域的应用。
3 工程技术
函数在建筑、电子和计算机科学等工程领域的应用。
函数的导数概念及其意义
1 导数定义
函数在某一点的切线斜率。
2 导数与函数图像
导数的正负和大小对应于函数度等实际问题的描述。
函数在某一点的局部线性近似。
3 微分的性质
微分满足线性和可加性等运算性质。
2 微分与导数
微分是导数的一种形式。
微分的应用
1
极值问题
利用微分求解函数的最大值和最小值。
2
最优化问题
使用微分寻找函数的最优解。
3
变化率问题
用微分来描述一个量的变化率。
高中数学中的常见函数及其应用
一元二次函数
如y = ax^2 + bx + c，用于描述开口方向、顶点 坐标等。
高中数学必修一 课件： 函数及其应用
探索函数的定义和概念，学习显式和隐式函数的表示方法，以及常见函数的 性质和图像特征。函数不仅用于数学，还广泛应用在各个领域。
函数的定义和概念
1 什么是函数？
函数是一个映射关系，每 个自变量对应一个唯一的 因变量值。
2 函数的符号表示
用公式或图表来表示函数 的输入和输出关系。
导数的基本计算法则和导数表
基本计算法则
求导数时的常用法则和公式。
导数表
常见函数的导数公式总结。
导数的应用
函数图象的刻画
利用导数信息来绘制函数的图 像。
最值和单调性的讨论
通过导数的正负和零点来判断 函数的最值和单调性。
变化率问题
用导数描述一个量随另一个量 的变化情况。

函数模型的选择及简单应用知识集结知识元函数的单调性及单调区间知识讲解1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．例题精讲函数的单调性及单调区间例1.已知函数f（x）=x|x|-2x的单调增区间为________________。

函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是不是同一个函数， 只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是不 是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
1．区间[1，＋∞)与集合{x|x≥1} 表达的意思一致吗？
2．若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数吗？ 3．函数 f(x)＝x2－x 与 g(t)＝t2－t 是同一个函数吗？ 提示：1.一致；2.不是；3.是．
20.因为 g(x)＝x＋1 2 ，所以 g(a)＋g(0)＝a＋1 2 ＋0＋1 2 ＝a＋1 2 ＋12 (a≠－2).g(f(2))＝g(10)＝
1 10＋2
＝112
.
(2)g(f(x))＝f（x）1 ＋2 ＝2x2＋12＋2 ＝2x21＋4 .
【备选例题】 已知函数 f(x)＝x＋x1 ， (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(－1)，f(2)的值；
（x－1）2 ＝x1－－1x，，xx≥＜11，， 当 x＜1 时，y＝ （x－1）2 与 y＝x－1 对应关系不同，所以 y ＝ （x－1）2 与 y＝x－1 不是同一个函数，故 D 不符合题意．
判断同一个函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断函数是否为同一个函数的三个步骤．
(2)两个注意点． ①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关． 微提醒：不能将函数的解析式变形后求定义域．
2．函数 f(x)＝ 1－x2 ＋2x1－1 的定义域为(
)
A．[－1，1]
B．－1，12 ∪21，1
C．－12，12
D．12，1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】选 B.要使函数有意义，则需 1－x2≥0 且 2x－1≠0，

高中必修一数学教案《函数的应用（一）》教材分析本节课是在学生学习了函数的概念和性质的基础上研究的，学生根据实际情境，构思数学模型，这让学生对数学实际应用问题有了深入的认识，并且深刻地认识到数学源于生活。

函数的应用反映了实际生活中的函数模型建立的过程，反映了数形结合的思想方法。

生活中除了一次函数、二次函数模型，更多的是分段函数模型，它能刻画很多生活现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中。

从形式上看，它属于函数的范畴，同时又是解决实际生活的基石，在学习函数概念和性质中占有重要的地位。

一方面，本节课内容为学生初步应用函数模型知识解决实际问题提供了理论依据，另一方面，函数模型具有许多良好的性质，因此在数学研究中，函数的应用占有重要的地位。

学情分析学生学习了函数的概念和性质，能够画出所给函数的图象，并根据图象写出函数解析式。

大部分学生会用数形结合的思想方法研究一些简单的数学问题，能够求出函数值。

教学目标1、通过运用函数的有关知识解决生活实际问题，加深对函数概念的理解。

2、会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题。

3、了解数学知识来源于生活，又服务于生活。

教学重难点会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、导入因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用。

下面我们通过例子来说明。

二、新知1、为了鼓励大家节约用水，自2013年后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。

记户年用水量为x m3应缴纳的水费为f（x）元。

（1）写出f（x）的解析式；（2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260m3，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？（1）f（x）是一个分段函数。

f（x） = 3.45x，0＜x≤220f（x） = 220×3.45 + （x-220）×4.83 = 4.83x-303.6，220＜x≤300 f（x） = 220×3.45 + （300-220）×4.83 + （x-300）×5.83= 5.83x - 603.6，x＞300。

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素养达成
解 (1)由已知可得：P＝t－＋t2＋0， 1000<，t<2255≤，t≤t∈3N0，＋，t∈N＋ (2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)， (3)由题意 y＝－ （（ t－t－ 701）0） 2－29＋009，002，5≤0<tt≤<2350，，t∈t∈NN＋＋，.
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素养达成
题型二 幂函数与二次函数模型 【例2】 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品
利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广 告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今 年药品利润为________万元.
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课前预习
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素养达成
解 (1)由图象可设 y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点 B(30，35)，C(30，
15)分别代入 y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得 k1＝16，k2＝12. ∴y1＝16x＋30(x≥0)，y2＝12x(x≥0).
(2)令 y1＝y2，即16x＋30＝12x，则 x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当0≤x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.
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课前预习
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素养达成
拓展深化 [微判断] 1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.( √) 2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算