第二章 导数与微分 2.1导数的概念
01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ）
（A ）01lim
(1cosh)h f h →-存在 （B ）01
lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01
lim [(2)()]h f h f h h
→-存在
03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x
x f x g )
()(=
(A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0.
(C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x =1处连续，则0)1(=ϕ是f (x )在x =1处可导的 [ A ]
(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.
(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n
n x
x f 31lim )(+=∞
→，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ]
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )=
x
1
，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22
lim
1n f h h
→=,则 （ C ）
(A )()()'
000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在
(C)()()'
000f f +=且存在 (D)()()'
010f f +=且存在
07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =）
(A ) 若0()lim
x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()
lim x f x f x x
→+-存在，则f (0)=0.
(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()
lim x f x f x x
→--存在，则(0)f '存在
04.2) 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2
()(4)f x x x =-, 若对任
意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.
(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,
()(2)f x k f x =+2
(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++.
(Ⅱ)由题设知 (0)0f =.
200()(0)(4)
(0)lim lim 40x x f x f x x f x x
+++
→→--'===-- 00()(0)(2)(4)
(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x ---
→→-++'===-.
令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当1
2
k =-时, ()f x 在0x =处可导.
2.2导数的运算法则
06.2)设函数()g x 可微,1()
(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C]
（A ）ln31- （B ）ln31-- （C ）ln21--
（D ）ln21-
03.3) 已知曲线b x a x y +-=2
3
3与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6
4a .
03.3) 设,0,
0,
0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x
x x f 若若λ
其导函数在x =0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 04.1) 曲线y=ln x 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .
04.4) 设1
ln arctan 22+-=x x
x
e e e y ，则1
1
21+-==e e dx dy x .
05.2) 设x
x y )sin 1(+=，则π
=x dy
=dx π- .
09农）设2
()ln(4cos 2)f x x x =+，则()8
f π
'=
41
π+ 10.2)已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当
12cm l =，5cm w =时，它的对角线增加速率为3cm/s
2.3高阶导数
06.34) 设函数()2f x x =在的某领域内可导,且()()
(),21f x f x e f '==,则()2f '''=32e
（复合求高阶导） 07.234)设函数1,23y x =
+则()(0)n y =12
(1)!().33
n n n - 10.2)函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()
(0)n y =2(1)!n n --
2.4隐函数导数 由参数方程确定的函数的导数 01.2)设函数()y f x =由方程2cos()1x y
e xy e +-=-所确定，则曲线()y
f x =在点(0,1)处
的法线方程为220x y -+=
03.2) 设函数y =f (x )由方程4
ln 2y x xy =+所确定，则曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程是x-y =0 .
08.1)曲线()sin ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是1y x =+
02.1)已知函数()y y x =由方程2
610y
e xy x ++-=确定，则(0)y ''= -2
09.2) 设()y y x =是方程1y
xy e x +=+确定的隐函数，则2
02|x dy dx
== -3
06.2) 设函数()y y x =由方程1y
y xe =-确定，则
x dy dx
==e
-
02.2)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=-，求曲线上对应于6
πθ=处的切线与法线的直角
坐标方程.
07.2) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t
⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=
03.2) 设函数y =y (x )由参数方程)1(,
21ln 2112>⎪⎩
⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u
所确定，求.9
22=x dx y d
【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dt
dx
4=，
