级奥数-分数的速算与巧算

第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，

那么有1111()abbaab (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)nnn，1

(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：

1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn



1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn



裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11abababababba （2）2222ababababababba 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项

(1) 122334...(1)nn1(1)(1)3nnn

(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4nnnnnnn 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论：

纯循环小数 混循环小数

分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差 分母 n个9，其中n等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧

·0.9aa； ··0.99abab； ··10.09910990ababab； ··0.990abcaabc，„„

2、单位分数的拆分： 例：110=112020=11=11=11=11 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有： 11()()()()mnmnNNmnNmnNmn

=11AB

本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有： 11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015



本题具体的解有： 111111111

1011110126014351530

例题精讲 模块一、分数裂项 【例 1】 11111

123423453456678978910

【巩固】 333......1234234517181920



【例 2】 计算：

5719

1232348910 ．

【巩固】 计算：

5717191155234345891091011

（）

【巩固】 计算：

34512

12452356346710111314

【例 3】 12349223234234523410

【例 4】 111111212312100

234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)

2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)

【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)



（）

【例 5】 222222

111111

31517191111131 .

【巩固】 计算：

22222222

35715

12233478

【巩固】 计算：

22222

2222231517119931199513151711993119951





．

【巩固】 计算：

222212350

13355799101 ．

【巩固】 22446688101013355779911



【例 6】 111

319992

1111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999





【巩固】 计算：111112123122007

【巩固】 111133535735721

【例 7】 121231234123502232342350







【例 8】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226





【巩固】 222

1111112131991





【例 9】 计算：

222

2222399

2131991

【巩固】 计算：

222

2221299

11005000220050009999005000

【例 1】 





222222102112111121201541321

24



模块二、换元与公式应用 【例 10】 计算：3333333313579111315 【巩固】 132435911

【巩固】 计算：1232343458910

【例 11】 计算：234561111111333333

【例 12】 计算：22222222(246100)(13599)12391098321

【巩固】 ⑴2314159263141592531415927________；

⑵221234876624688766________．

【巩固】 计算：22222221234200520062007

【例 13】 计算：222222222212233445200020011223344520002001

【例 14】 20078.58.51.51.5101600.3

 ．

【巩固】 计算：53574743 ．

【巩固】 计算：1119121813171416 ．

【巩固】 计算：1992983974951 ．

【巩固】 看规律 3211，332123，33321236„„，试求33.36714

【例 15】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624

【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234

【巩固】 111111111111111111213141213141511121314151213141





【巩固】 1111111111111111())()5791179111357911137911（）（

【巩固】 计算

11111111111111111111234523456234562345



2123912391129239

12341023410223103410





21239123911239239()()(1)()23410234102234103410