定积分在高考中的常见题型

3.4定积分的概念与微积分基本定理

考情分析

本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积。高考中多以选择、填空的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法。

基础知识

1、定积分的定义：如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点01axx

1iinxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，在每个小区间1[,]iixx上任取一点(1,2,)iin，当n时，和式1()niibafn无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记做：()bafxdx。记：()bafxdx=limn1()niibafn，,ab分别叫做积分下限和积分上限，区间[,]ab叫做积分区间。

2、定积分几何意义：如果函数()fx在区间[,]ab上连续且恒有()0fx ，那么定积分()bafxdx表示由直线,,0xaxby和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义。

3、定积分性质：(1)()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb

(2)()()(bbaakfxdxkfxdxk为常数）1212(3)[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx

4、微积分基本定理

一般地，如果函数()fx是区间[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么()()()bafxdxFaFb

注意事项

1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．

2. (1)常数可提到积分号外；

(2)和差的积分等于积分的和差；

(3)积分可分段进行． 3.由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

高三数学积分试题答案及解析

1. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，这是一个几何概型概率的计算问题.正方形的面积为，阴影部分的面积为，故选．

【考点】1.定积分的应用；2.几何概型.

2. 如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.

【答案】

【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同.

.所以落到阴影部分的概率为.

【考点】1.几何概型.2.定积分.

3. 二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( )

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，

当时，.

【考点】二项式定理、积分的运算.

4. [2013·江西高考]若S1＝，S2＝，S3＝，则S1，S2，S3的大小关系为( )

A．S1

【解析】S1＝＝x3＝，

S2＝＝lnx＝ln2，

S3＝＝ex＝e2－e＝e(e－1)>e>，

所以S2

5. [2014·琼海模拟]如图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．

【答案】

【解析】由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由得C(1，－1)．

同理，得D(2，－1)．

故所求图形的面积S＝2{[－－(－x2)]dx＋[－－(－1)]dx}＝2[－]＝2[－(－x)]＝.

6. 如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）

A． B． C． D．

【答案】Ｂ

【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与x轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，∴由函数的一段图象与轴围成的封闭图形的面积，，故选B．

【考点】定积分求面积。

7. 由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．

1 专练15 定积分与微积分基本定理

命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．

[基础强化]

一、选择题

1.12(x－2)dx的值为( )

A．－1 B．0

C．1 D．－12

2．若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝( )

A.－1B．－13

C．13D．1

3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )

A．22B．42

C．2D．4

4．若a＝02x2dx，b＝02x3dx，c＝02sinxdx，则a，b，c的大小关系是( )

A．a

C．c

5.－11(1－x2＋sinx)dx＝( )

A．π4B．π2

C．πD．π2＋2

6．设k＝0π(sinx－cosx)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝( )

A.－1B．0

C．1D．256

7．设f(x)＝1－x2，x∈[－1，1），x2－1，x∈[1，2]，则－12f(x)dx的值为( ) 2 A.π2＋43B．π2＋3

C．π4＋43D．π4＋3

8．如图是函数y＝cos (2x－5π6)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )

A．34B．54

C．32D．32－34

9．已知等差数列{an}中，a5＋a7＝0πsinxdx，则a4＋2a6＋a8的值为( )

A．8B．6

C．4D．2

二、填空题

10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝ex，则01[f′(x)＋2x]dx________．

11．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________.

12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a的值为________.

定积分的几何意义

【母题来源】2015陕西卷理–16

【母题原题】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．

【答案】1.2

【考点定位】1、定积分的计算；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．

【命题意图】本题考查抛物线的方程、定积分的几何意义和微积分基本定理等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和运算求解能力． 【方法、技巧、规律】在具有对称性的曲边形面积的计算中，要善于根据对称性表达所求的面积，以简化运算．使用微积分基本定理时，要注意检验得出的函数的导数是否等于被积函数．对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．

【探源、变式、扩展】对于某些定积分的计算，很难找到原函数，甚至没有原函数，此时需要用定积分的几何意义，将其转化为计算平面图形的面积．

【变式】【2015广东六校联考】0214xdx

．

【答案】323

1．【2015福建期末】曲线23yx与直线1x，2x及x轴围城的封闭图形的面积是（ ）

A．1 B．3 C．7 D．8

【答案】C

2．【2015江西月考】由直线12y，2y，曲线1yx及y轴所围成的封闭图形的面积是（ ）

A．2ln2 B．2ln21 C．1ln22 D．54

【答案】A

【解析】如图

3．【2015安徽联考】由直线0y，xe，2yx及曲线xy2所围成的封闭的图形的面积为（ ）

A．32ln2 B．3 C．223e D．e