定积分典型例题
例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3).
n _.: ∏
分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限•若对题目中被积函数难以想到， 可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.
1 III 1 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n
n n n
n
各项•于是将所求极限转化为求定积分•即
n i ⅛^贰+痢+山+疔)=曲(£ +£ +川+晋)=MdX=扌•
例 2
£ J 2x 一 X d X __________ .
解法1由定积分的几何意义知，
°∙2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0)
与X 轴所围成的图形的面积•故 2∙ 2^x 2dx = _ •
■° 2
解法2本题也可直接用换元法求解•令 x_1 = sint (—巴2 2
1 1 x 2
1
例 3 比较 2e x dx ， I e dx ， ](1+x)dx •
分析对于定积分的大小比较，可以先算岀定积分的值再比较大小， 而在无法求岀积分值时则只能利用
定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小.
2
解法 1
在［1,2］上，有 e x _e x
.而令 f (x) =e x - (x • 1),则 f x) e X 1 .当 X 0 时，f (x) • 0，
f(x)在(0,；)上单调递增，从而 f(x) f (0),可知在［1,2］上，有e 1 X •又
1 2 1 1 x
1 x 2
2 f (x)dx
f (x)dx ,从而有 2(1 x)dx 、I e dx 、ι e dx •
t
2
e j O
解法2 在［1,2］上，有e x 乞e x .由泰勒中值定理e x =1 X X 2得e x 1 x .注意到 2!
1 2
［f(x)dx = -f f (x)dx •因此
1 1 1 2
2 (1 +x)dx
e x dx a ［ e x dx •
9
例4估计定积分2 e x JX dX 的值.
分析要估计定积分的值，关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.
2 2
1
解 设 f(x)=e xjx ,因为 f (x)=e x jx (2x-1),令 f'(χ)=0 ,求得驻点 X=丄，而
2
---------- 2
X -X — 二
dx = 2
_. 1 -sin 2
t COStdt X 2
3
---------- 2
— sin t COStdt X
2
Jl - Tr
2
COS 2 tdt X
0 2
X
因为
解法2利用积分不等式 n
十 Sin X --------- dx
' X
n 十
Sin X
X IL n
4p 1 n + p
dx
dx = ln Ln X n
叫
mn
n p
=0所以
n
n
im
n ps
⅛=0 •
n X f (0) =e =1, f (2) =e , f (2)=e"\
故
1
e^ _ f(x) _e 2, x ［0,2］,
从而
1
2e^ < θ2e^-d^i2e 2 ,
所以
1
2
χ2
x
—
-2e 2 乞 e x *dx *2e ∖
32
b . _
例 5 设 f (X) , g(x)在［a,b ］上连续，且 g(x) _0 , f(x) 0 •求 Iim ag(X)n f (x)dx •
解 由于f (x)在［a,b ］上连续，则f (x)在［a,b ］上有最大值 M 和最小值m •由f (x 0 知M . 0 ,
m 0 •又 g(x) _0 ,贝U
一 b
b
— 一 b
Vm a g(x)dx ≤ I a g(x)Vf (x)dx ≤*M ］ g(x)dx •
由于 Iim n m=Iim n M =1 ,故
n _” ’
ng ：
b
b
!1
i
m.a
g (X)
n
f
(χ)dχ= a
g(x)dx •
例 6 求 lim Γsin ^
dx ,
n ?. ∙n
分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难 ，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定
理与夹逼准则.
解法1利用积分中值定理
5
Sin X 设f (x)
,显然f(x)在［n,n - p ］上连续,由积分中值定理得
X
当 n r -,时，■ —■，,而 Sin _1,故
p, n 为自然数.
Sin n p
sin X , Sin 厂dx — P ,
［n, n p ］,
F 十 Sin X lim n j : -
n
x dx±p=0 •
