定积分在高考中的常见题
型
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定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中(555200) 王代鸿
定积分作为导数的后续课程,与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一,同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看,定积分是高考命题的一种新方向,在高考复习中要求学生了解定积分的定义,几何意义,掌握解决问题的方法。
一、利用微积分基本定理求定积分
1、微积分基本定理:一般地,如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数,并且)()(x f x F =',那么?-=b
a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。
2、例题讲义
例1、计算?+e dx x x
1)21( 解:因为
x x x x 21
)ln 2+='+( 所以?+e dx x x
1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+)( 【解题关键】:计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。
跟踪训练:1计算?+2
0)cos (π
dx x e x
二、利用定积分的几何意义求定积分。
1、定积分的几何意义 :设函数y=f(x)在
[]b a ,上y=f(x)非负、连续,由直线x=a,x=b,
y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积
S=?b
a dx X f )(
2、例题讲义: 例2、求由曲线12+=x y ,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________
解: 联立方程组 (如图所示)
?
??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++?
=dx x x dx x )1(11112
14210--++++????)()( = 412231023|)22
132(|)3221x x x x x +-+++( =3
8
【解题关键】:将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形,再求面积
和
例3、求dx x ?+402)2-4(
的值 解:令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42
2≥+-=y x y
及)()(04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆(
【解题关键】:将被积函数转化为熟悉的曲线方程,利用曲线图形的特点
求其定积分。
练习:由直线21=x ,x=2,曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为( )
A. 415
B. 417
C. 2ln 21
D. 2ln 2
三、利用变换被积函数求定积分
1、从积分变量x 分割的几何图形较多,不容易求其定积分时,就变换被积函数求其定积分。
2、例题讲义
例4、求抛物线x y 22=与4-=x y 直线所围成的图形的面积。
解:方法1分割如右图
如图所示联立方程组
?
??-==422x y x y 解得???==???-==4822y x y x 或 =18
方法2:由x y 22
=得22
y x =, 由4-=x y 得4+=y x
所以S=18)24(4
2-2
=-+?dy y y 【解题关键】:改变被积函数求面积比分割求面
积简单
四、定积分与几何概型知识的交叉应用
例5、如图,四边形OACB 是AB=1,AD=2的矩
形,阴影部分是由直线x=1与抛物线x y 22=围成
的区域,在矩形ABCD 内(含边界)任意取点,
则这点取自阴影部分(含边界)的概率是多少
解:如图所示本题是古典概型
【解题关键】:求曲边梯形OACBD 面积
练习:设区区域{}31,20|),(≤≤-≤≤=y x y x D ,在区域D 内任取一点,则此点落在区域{}11,20|),(2-≤≤-≤≤=x y x y x M 内的概率是多少 参考文献
1、《人教版数学选修2-2》
2、《新教材完全解读2-2》
3、《历年高考试题》