定积分应用方法总结(经典题型归纳)

积分与定积分应用总结在数学中，积分是一种基本概念，常用于求解曲线下的面积、求解变量间的相关关系等问题。

而定积分则是积分的一种特殊形式，用于求解曲线下的面积或者曲线的长度等特定问题。

以下是对积分与定积分应用的总结。

一、求解曲线下的面积积分与定积分最常见的应用之一是求解曲线下的面积。

当我们需要计算曲线所围成的图形的面积时，可以通过进行积分或定积分来实现。

例如，给定函数f(x)在区间[a, b]上的连续曲线，我们想要求解曲线与x轴之间的面积。

首先，我们需要确定曲线与x轴的交点，即求解方程f(x) = 0的解。

然后，我们可以将曲线所围成的图形划分为无数个微小的矩形，并计算这些微小矩形的面积之和。

最后，通过对这些微小矩形面积的积分或定积分，即可得到曲线下的总面积。

二、求解变量间的相关关系积分与定积分还可用于求解变量间的相关关系。

当我们已知两个变量之间的变化规律时，可以通过积分或定积分来获取它们之间的具体关系。

例如，假设我们知道一个物体在某一时间段内的速度变化规律，我们可以通过对速度函数进行积分或定积分，从而得到物体在这一时间段内的位移变化规律。

同样地，如果我们已知一个物体在某一时间段内的加速度变化规律，可以通过对加速度函数进行积分或定积分，得到物体在该时间段内速度的变化规律。

三、求解曲线的长度除了求解曲线下的面积外，定积分还可以用于求解曲线的长度。

当我们需要计算曲线的长度时，可以通过定积分来实现。

例如，给定曲线的参数方程x = x(t)和y = y(t)，我们可以使用勾股定理计算无穷小线段的长度Δs = √(Δx² + Δy²)。

然后，将这些无穷小线段的长度之和进行积分，即可得到整条曲线的长度。

在实际应用中，积分与定积分还有许多其他的应用，如概率统计、微分方程的求解等。

无论是求解曲线下的面积，还是求解变量间的相关关系，积分与定积分都是重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

总结起来，积分与定积分的应用十分广泛，涉及面积计算、相关关系求解以及曲线长度等问题。

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。

定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。

定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。

下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。

如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。

2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。

4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。

例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。

2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。

3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。

4. 计算定积分∫10x^2dx的值。

5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

积分知识点各种题型归纳方法总结一、定积分题型归纳方法1. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。

2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。

3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。

4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。

5. 换元积分法：对于特定的被积函数，可以通过合适的换元变量进行换元，使得积分变得更加简单。

二、定积分题型求解步骤1. 确定积分上下限：根据题目给出的条件，确定定积分的上下限。

2. 分析被积函数：仔细分析被积函数的形式和性质，确定可能适用的积分方法。

3. 选择合适的方法：根据被积函数的特点，选择适用的积分方法进行求解。

4. 进行换元或分解：如果需要进行换元或分解，根据题目要求进行相应的代换或分解。

5. 积分求解：根据选择的方法进行积分计算，注意求解过程中的每一步骤，避免计算错误。

6. 确定常数：如果题目中有未知常数，根据给出的条件确定常数的值。

7. 检查结果：对得到的积分结果进行检查，是否符合物理意义或题目要求。

三、不定积分题型归纳方法1. 函数求导法：对于某些函数，可以通过求导反过来求不定积分。

2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。

3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。

4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。

5. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。

以上是积分知识点各种题型归纳方法的总结，希望能对您的学习和应用有所帮助！。

定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将对定积分的应用公式进行总结，并举例说明其在实际问题中的应用。

1. 面积与定积分。

定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴之间的面积。

设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x) ≥ 0，则曲线y = f(x)与x轴所围成的图形的面积为。

A = ∫[a, b] f(x) dx。

这就是定积分的几何意义，它表示曲线与x轴之间的面积。

2. 物理学中的应用。

在物理学中，定积分常常用来计算曲线下方的面积，从而得到某一变量的总量。

例如，如果我们知道一个物体在 t 时刻的速度 v(t)（单位时间内的位移），则该物体在时间区间 [a, b] 内的位移为。

S = ∫[a, b] v(t) dt。

这里的 S 就表示了物体在时间区间 [a, b] 内的总位移。

3. 概率统计中的应用。

在概率统计中，定积分也有着重要的应用。

例如，如果我们知道某一随机变量X 的概率密度函数为 f(x)，则 X 落在区间 [a, b] 内的概率为。

P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。

这里的 P(a ≤ X ≤ b) 表示了随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率。

4. 工程中的应用。

在工程领域，定积分也有着广泛的应用。

例如，在计算流体的体积、质量、密度、压力等问题时，定积分常常是不可或缺的工具。

另外，在电路分析、信号处理、控制系统等领域，定积分也有着重要的作用。

5. 经济学中的应用。

在经济学中，定积分常常用来描述某一商品的总收益、总成本、总利润等。

例如，如果知道某一商品的需求函数为 D(p)，则该商品在价格区间 [a, b] 内的总收益为。

R = ∫[a, b] p D(p) dp。

这里的 R 表示了商品在价格区间 [a, b] 内的总收益。

总结。

定积分的应用远不止以上几个领域，它在数学、物理、工程、经济等众多领域都有着重要的作用。

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法······························ (1)2.2 分段积分法······························ (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则1122()()f x k g x k g x =()+,其中，是不全为零的任意常数，就可求1122()()bbba aaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+1k 2k 出积分，这就是分项积分法.()baf x dx ⎰例2-1[1] 计算定积分. 414221(1)dx x x π+⎰解 利用加减一项进行拆项得==414221(1)dx x x π+⎰2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dxx x π+-+⎰=+=++.41421dx xπ⎰-41221dx x π⎰412211dx x π+⎰-313x 412π4121xπarctan x412π=.364415arctan 323ππ-+-+例2-2 计算定积分.1⎰解 记J ==1⎰1⎰=+3221x dx ⎰21⎰再将第二项拆开得J=++=++3221x dx ⎰3221(1)x dx -⎰1221(1)x dx -⎰522125x 52212(1)5x -32212(1)3x -=+.52225232.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分.221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π=+221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰==.+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰23π+例2-4 计算定积分，其中.20(1)f x dx -⎰111,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩解 由于函数的分界点为，所以，令后，有()f x 01t x =-==+20(1)f x dx -⎰11()f t dt -⎰0111x dx e -+⎰1011dx x +⎰=+=+011xx e dx e---+⎰10ln(1)x +01ln(1)x e ---+ln 2=.ln(1)e +2.3 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3] 计算定积分.21sin tan dxx xπ+⎰解==21sin tan dxx x π+⎰21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰= =2211tan 2tan 22tan 2xx d x π-⎰2111(tan tan 222tan2x xd x π-⎰=2221111ln tan tan 2242x x ππ-=.21111ln tan tan 2424-+-例2-6 计算定积分.解==1()x x -+=1()x x -+= ⎡-⎣=.152.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法．① 三角替换例2-7[4] 计算定积分.31240(1)x x dx -⎰解 由于=，故可令，于是31240(1)x x dx -⎰3124201(1)2x dx -⎰2sin x t ===31240(1)x x dx -⎰arcsin1401cos 2tdt ⎰2arcsin11(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 42t dt +=arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t ++2arcsin10sin sin ))t -=2241(3arcsin 4(1216x x x x ++-=.21(3arcsin 5216x x x +-3arcsin116②幂函数替换例2-8 计算定积分.220sin sin cos xdx x xπ+⎰解 作变量代换，得到2x t π=-=，因此220sin sin cos x dx x xπ+⎰220cos sin cos t dt t t π+⎰==220sin sin cos x dx x x π+⎰2222001sin cos ()2sin cos sin cosx t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰=20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰.3441cos )sin x x ππ-+③倒替换例2-9 计算定积分.解=令得1t x====.1-1-6π2.4 分部积分法定理 3-1[5]若，在上连续，则()x μ'()x ν'[],a b 或.bb b a aa uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰bbba a a udv uv vdu =-⎰⎰利用分部积分求的解题方法()ba f x dx ⎰（1）首先要将它写成得形式．ba udv ⎰()ba uv dx '⎰或选择，使用分布积分法的常见题型：,u v 表一被积函数的形式所用方法，，()x n P x e α()sin n P x x α()cos n P x xα，其中为次多项式，为常数()n P x n α进行次分部积分，每次均取，n x e α，为，多项式部分sin x αcos x α()v x '为()u x ,，()n P x ln x ()n P x arcsin x α即多项式与对数函数或()n P x arctan x 取为，，，()n P x ()v x 'ln x arcsin x α等为．分部积分一次后被arctan x ()u x反三角函数的乘机积函数的形式发生变化，x e αsin x βx e αcos xβ取=（或），，x e α()v x '()u x sin x β为（或），进行两次分cos x β()u x ()v x '部积分（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出的方程，然后解出．()ba f x dx ⎰（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分.2220sin x xdx π⎰解 于，所以21sin (1cos 2)2x x =-==222sin x xdx π⎰2201(1cos 2)2x x dx π-⎰322211sin 264x x d x ππ-⎰连续使用分部积分得=222sin x xdx π⎰32220111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰=3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰=3221111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=.3488ππ+例2-11[7]计算定积分．220sin x x e xdx π⎰解 因为==20sin xe xdx π⎰20sin xxde π⎰20sin xe xπ-20cos xxde π⎰= 所以20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰= = 于是2sin xe xdx π⎰1220(sin cos )xe x x π-21(1)2e π+=+20cos xe xdx π⎰cos xe x20π20sin x e xdxπ⎰==201(sin cos )2x e x x π+21(1)2e π-从而=220sin xx e xdx π⎰2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dxπ--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-21(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdxπ-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=22201(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=.221(1)242e ππ-+例2-12[8] 计算定积分，其中为正整数．sin n x x dx π⎰n 解=(21)2sin k k x x dx ππ+⎰(21)2sin k k x xdxππ+⎰作变量替换得2t x k π=-=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰(2)sin t k tdtππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdtπππ+⎰⎰==0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰(41)k π+=(22)(21)sin k k x x dx ππ++⎰(22)(21)sin k k x xdxππ++-⎰作变量替换得2t x k π=-==-(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰2(2)sin t k tdt πππ-+⎰22sin 2sin t tdt k tdtπππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+当为偶数时，n =0sin n x x dx π⎰12(21)(22)2(21)0(sin sin )n k k k k k x x dx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑=(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2n π当为奇数时，n =0sin n x x dx π⎰32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x x dx x x dx x x dxππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑=324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=.2nπ2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4] 形如=的含参变量积分称为函数，或(,)p q B 1110(1)p q x x dx ---⎰Beta 第一类积分。

有关定积分问题的常见题型解析题型一 利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二 利用定积分求平面图形的面积例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。

分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解：由方程组⎩⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x 。

故所求图形面积为：S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x）3323113313=---x 。

评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

定积分应用知识点总结1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，用于求解曲线下面积或者曲线围成图形的面积。

在实际问题中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质心、弧长、体积、工作、功等物理量。

2. 定积分的计算定积分的计算可以通过积分的定义或者牛顿-莱布尼茨公式来进行。

积分的定义是将一个曲线f(x)在区间[a,b]上分成无穷多段，每一段的面积为f(x)与x轴之间的面积的无限和，然后通过极限的方法求得。

而牛顿-莱布尼茨公式则是通过原函数的求导与积分的关系，直接求出定积分的值。

3. 定积分的性质定积分有很多重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。

这些性质在定积分的计算和应用中起到了非常重要的作用，可以简化定积分的计算过程。

4. 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用，例如可以用来求解曲线围成的图形的面积、计算质心、弧长、体积、工作、功等物理量。

在工程、物理、经济学等领域都有着重要的应用价值。

5. 定积分的计算技巧对于一些特定的函数，可以通过一些积分的技巧来简化定积分的计算，例如换元积分法、分部积分法等。

这些技巧可以帮助我们更快速、准确地求解定积分。

在实际问题中，我们经常会遇到需要利用定积分来计算一些物理量或者解决一些实际问题，下面我们通过一些实际例子来解释定积分的应用知识点。

1. 计算物体的质心在物理学中，质心是一个非常重要的概念，它可以帮助我们确定物体的平衡位置。

对于一个均匀密度的物体，我们可以通过定积分来计算它的质心位置。

假设物体在x轴上的密度分布函数为ρ(x)，则物体的质心位置可以通过如下公式计算得出：\[X=\frac{\int_{a}^{b}xρ(x)dx}{\int_{a}^{b}ρ(x)dx}\]其中，\(\int_{a}^{b}xρ(x)dx\)表示物体的动量矩，而\(\int_{a}^{b}ρ(x)dx\)表示物体的总质量。

通过这个公式，我们就可以求得物体的质心位置。

初中数学知识归纳定积分的计算和应用初中数学知识归纳——定积分的计算和应用定积分是数学中重要的概念之一，具体来说，它是用来计算曲线与x轴之间的面积的。

在初中数学中，我们通常不会涉及具体的计算过程，但是了解其基本原理和应用是十分重要的。

下面将介绍定积分的计算方法和应用。

一、定积分的计算方法1. 几何意义定积分的计算可以理解为曲线与x轴之间的面积计算。

对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算函数在区间[a, b]上的点与x轴之间的面积。

具体而言，这个面积可以被分成许多矩形的和，每一个矩形的高度为f(x)，宽度为dx。

当我们将这些矩形的面积相加，并让dx无限接近于0时，我们就可以得到一个近似的结果。

通过极限的推导，我们可以得到定积分的计算公式：∫[a, b] f(x)dx。

2. 基本计算方法在初中数学中，我们主要了解一些基础的函数的定积分计算方法，例如多项式函数、幂函数和三角函数等。

对于多项式函数，我们可以使用基本的求导公式来计算其定积分。

例如，对于函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用公式∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数，来计算其定积分。

对于幂函数和三角函数，我们可以使用换元法和分部积分法来计算其定积分。

通过合适的变量替换和部分积分，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而进行计算。

3. 数值计算方法在实际问题中，我们常常无法找到函数的原函数，无法直接计算定积分。

这时，我们可以使用数值计算方法来近似计算定积分的值。

常用的数值计算方法有矩形法和梯形法。

矩形法将区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为定积分的近似值。

梯形法则是将区间分成若干个梯形，计算这些梯形的面积之和作为定积分的近似值。

随着小矩形或梯形越来越多，近似值也会越来越接近真实值。

二、定积分的应用1. 几何应用定积分的最主要的应用之一就是计算曲线与x轴之间的面积。

例如，我们可以通过定积分来计算椭圆、抛物线和心形线等曲线的面积。

定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。

在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。

接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。

1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。

公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。

2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。

考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。

公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。

3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。

设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。

公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。

4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。

设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。

同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。

曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。

以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。

在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。

这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。

定积分的计算与题型总结本文内容是高等数学中积分相关内容的一个大总结，包括凌乱知识点的总结和一些附带的例子，以及一些常用的和容易出错的细节和结论。

内容主要涉及定积分的计算技巧、结论的运用、定积分的几何和物理应用；多重积分的计算技巧(包括排列和旋转等。

)及其在定积分中的应用；曲线和曲面积分的计算公式和定理总结，各种积分之间的关系，物理和几何的应用。

您现在浏览的内容是此系列的第一篇：定积分的计算与题型总结。

1.定积分的计算(1)直接先计算不定积分，然后使用牛顿-莱布尼茨公式。

这个非常简单，也是最基本的一种方法，不多赘述。

（注意：只适用于所有能简单积分出原函数的题，所以想做好定积分，不定积分首先要过关。

）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且存在原函数 F(x) ，则 \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_{a} ^{b}(2)利用定义计算。

若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，将区间分为 n 等分:\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\lim _{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n}f\left[a+\frac{i}{n}(b-a)\right] \frac{b-a}{n}特别注意，根据上述表达式有，当 [a, b] 区间恰好为 [0,1] 区间时，则 [0,1] 区间积分表达式为:\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)例1:用定义计算 \int_{0}^{1}x^2\mathrm{d}x解: \int_{0}^{1} x^2 \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2=\lim _{n \rightarrow\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2=\lim _{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}(3)利用奇偶性计算根据定积分的几何意义(图像和横轴围成的有向面积)，奇函数在正负对称区间的积分为0。

定积分的几何应用总结
对于定积分的几何应用，以下是一些常见的总结：
1.面积计算：定积分可以用于计算曲线与x轴之间的有界区
域的面积。

将曲线或曲线组合表示为函数，并将其积分，
可以得到该区域的面积。

2.弧长计算：曲线的弧长是曲线沿着x轴或y轴的长度。

通
过使用定积分，可以计算曲线的弧长，将其表示为函数，
并应用弧长的求和公式来获得结果。

3.体积计算：通过将曲线或曲面绕着轴旋转，可以使用定积
分来计算所得到的旋转体的体积。

例如，旋转一条曲线或
一个区域围绕x轴或y轴旋转，可以使用定积分来计算所
得到的圆柱体或圆锥体的体积。

4.重心和质心计算：通过将物体划分为无穷小的微元，并使
用定积分来计算每个微元的质量，可以计算出物体的重心
和质心。

这对于研究物体的平衡和运动以及静力学方面很
有用。

5.曲线长度计算：通过将曲线表示为参数方程或极坐标方程，
并使用定积分来计算微元曲线的长度，可以得到整个曲线
的长度。

这些是定积分的一些常见几何应用示例，但实际上，定积分在几何学中还有更多的应用。

它们在计算和描述曲线、平面和空间几何形状的属性时起着关键作用。

定积分证明题方法总结（精选5篇）定积分证明题方法总结篇11、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的'最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫ab A(x)dx,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)定积分证明题方法总结篇2一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<= <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法定积分证明题方法总结篇3《复变函数与积分变换》是电气技术、自动化及信号处理等工科专业的重要基础课，也是重要的工具性课程。