必修4第3章(第1课时)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角差的余弦公式

如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角,,它们的终边与单位圆O的交点分别为,AB,则(cos,sin),(cos,sin)OAOB.

由向量数量积的坐标表示,有(cos,sin)(cos,sin)coscossinsinOAOB.

设OA与OB的夹角为，则||||coscoscoscossinsinOAOBOAOB.

另一方面，由图（1）可知，2πk；由图（2）可知，2πk.于是2π,kkZ.所以cos()cos，也有cos()coscossinsin.学-科网

所以，对于任意角,有cos()____________________.此公式给出了任意角,的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作()C.

有了公式()C以后，我们只要知道cos,cos,sin,sin的值，就可以求得cos()的值了.

（1）注意公式中的,都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.

（2）要掌握公式的正用（从左至右，即展开）和逆用（从右至左，即化简）.

2．两角和的余弦公式

比较cos()与cos()，并注意到与之间的联系：()，则由公式()C，有cos()cos[()]coscos()sinsin()____________________.

于是，我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C.

3．两角和与差的正弦公式

（1）两角和的正弦公式

运用差角的余弦公式()C和诱导公式，得ππsin()cos[()]cos[()]22ππcos()cossin()sin22____________________.

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一.复习：

()C：cos()coscossinsin

()C：coscoscossinsin

二．新课

sincoscoscoscossinsin2222sincoscossin．

和角的正弦公式()S：sin()sincoscossin

sinsinsincoscossinsincoscossin

差角的正弦公式()S：sinsincoscossin

sinsincoscossintancoscoscossinsin

和角的正切公式()T：tantantan1tantan．

注意：,,()222kkkkz

tantantantantantan1tantan1tantan

差角的正切公式()T：tantantan1tantan

注意：,,()222kkkkz．

例1、已知3sin,5是第四象限角，求sin,cos,tan444的值. 解：因为3sin,5是第四象限角，得2234cos1sin155，

3sin35tan4cos45 ，

于是有 242372sinsincoscossin444252510

1 2009~2013年高考真题备选题库

第三章 三角函数、解三角形

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点 两角和与差的三角函数

1．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________．

解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12.又α∈π2，π，所以α＝2π3，tan 2α＝tan 4π3＝3.

答案：3

2．(2012山东，5分)若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )

A.35 B.45

C.74 D.34

解析：因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－18，所以sin2θ＝916，所以sin θ＝34.

答案：D

3．(2012辽宁，5分)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )

A．－1 B．－22

C.22 D．1

解析：由sin α－cos α＝2sin (α－π4)＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.

答案：A

4．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.

解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力． 2 法一：由θ在第二象限，且tanθ＋π4＝12，因而sinθ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos

第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时

教学过程

导入新课

思路1.(问题导入)播放多媒体，出示问题，让学生认真阅读课本引例．在用方程的思想

分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：①实际问题中存在

研究像tan(45°＋α)这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与

tan(45°＋α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要．在此基础

上，再一般化而提出本节的研究课题进入新课．

思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°＝2

2，cos30°＝3

2，由此我们能否得到cos15°

＝cos(45°－30°)＝？这里是不是等于cos45°－cos30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我

们的猜想是错误的．那么究竟是个什么关系呢？cos(α－β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，

由此展开新课：我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”．这是全章公式的基础．

推进新课

新知探究

提出问题

①请学生猜想cos(α－β)＝？

②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用α、β的三角函数来表示cos(α－β)

呢？

③利用向量的知识，又能如何推导发现cos(α－β)＝？

④细心观察C(α－β)公式的结构，它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？

⑤如何正用、逆用、灵活运用C(α－β)公式进行求值计算？

活动：问题①，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的

同学可能就首先想到cos(α－β)＝cosα－cosβ的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由

特殊角来验证它的正确性．如α＝60°，β＝30°，则cos(α－β)＝cos30°＝3

2，而cosα－cosβ

＝cos60°－cos30°＝1－3

2，这一反例足以说明cos(α－β)≠cosα－cosβ.

让学生明白，要想说明猜想正确，需进行严格证明，而要想说明猜想错误，只需一个反

例即可．