两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标
1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)
2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)
3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1两角和与差的余弦公式
阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．
【解析】逆用两角和的余弦公式可得
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.
【答案】0
教材整理2两角和与差的正弦公式
阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．
1．公式
2.重要结论－辅助角公式
y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ
sin θ
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()
(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()
解：(1)√.根据公式的推导过程可得．
(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.
(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．
【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√
教材整理3两角和与差的正切公式
阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．()
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
都成立．()
(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
等价于tan α＋tan β＝tan(α＋
β)·(1－tan αtan β)．()
解：(1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，
但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π
2(k ∈Z )．
(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π
2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[小组合作型]
灵活应用和、差角公式化简三角函数式
(1)(2016·济宁高一检测) sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°＝( ) A ．－3
2 B ．－1
2 C ．12 D ．32
(2)化简求值： ①1＋tan 75°1－tan 75°
； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；
③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°.
(1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
解：(1)sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17° ＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°
＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.
【答案】 C
(2)①原式＝tan 45°＋tan 75°
1－tan 45°tan 75°
＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. ∴原式＝－ 3. ②设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos α－1
2sin α－3cos α＝0. ∴原式＝0.
③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝ 3. ∴原式＝ 3.
1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan
β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知
二可表示出或求出第三个．
2．化简过程中注意“1”与“tan π4”、“3”与“tan π3”、“12”与“cos π
3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．
[再练一题] 1．化简求值：
(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°
. 解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝2
2. (2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝1
2.
(3)原式＝1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°＝－1tan （72°－12°）＝－3
3.
给值求值
(2016·普宁高一检测)已知π4<α<3π4，0<β<π4，
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝5
13，求sin(α＋β)的值. 【导学号：
00680069】
