(整理)《两角和与差的余弦公式》教学设计.

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六、教学过程1．导入新课(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.2．推进新课提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=? tan（α+β）=？⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+k过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.应用示例例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C.D.4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。

《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。

二、教学目标：1、知识目标：①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

2、能力目标：①、培养学生逆向思维的意识和习惯；②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标：①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。

三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。

教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。

四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。

给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。

从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。

由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。

(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。

)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。

五、教学过程cos(2-sin(2-六、板书设计。

一、学习目标1．知识目标： 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2．能力目标 ：通过让学生猜想、探索、发现并推导)(βα-C ，并能用赋值法求出)(βα+C ；初步学会运用公式进行简单的求值、化简。

培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.。

情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

二、教学重点：两角和与差的余弦公式的应用 三、教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。

四、教学过程（一） 新课引入通过非特殊角不能求，产生对公式的需求，让学生先求讨论“cos （450-300）=cos450-cos300是否成立？”。

（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值等途径解决问题）。

得出cos （450-300）≠cos450 -cos300。

进而得出cos （α-β）≠cos α-cos β这个结论。

此时提出那么cos （α-β）又等于什么呢？这正是我们今天要研究的内容。

揭示课题：两角和与差的余弦。

（二） 两角差的余弦公式推导通过观察分析表格中特殊角的三角函数值之间的关系，利用类比猜想对任意的cos()αβαβαβ-，，如何用，的三角函数来表示？cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+猜想是否成立？引入数学史，激发学生的探索精神。

sin30° sin30° cos30° cos30° cos (30°－sin30° sin120° cos30° cos120° cos (120°－30°)问题二： 生：利用向量的数量积转化为求两向量的夹角的余弦值。

案例名称两角差的余弦公式科目数学教学对象高二年级学生提供者课时1课时学号一、教材内容分析（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。

这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

（2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。

教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。

对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。

基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。

二、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）1、知识与技能：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。

2、过程与方法：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感、态度与价值：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

三、学习者特征分析本课时面对的学生是高二年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

两角和与差的余弦公式一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。

本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。

二、学情分析：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

三、教学目标：1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。

2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

四、教学重点和难点:教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。

五、教学工具：多媒体六、教学方法：讲授法，探究法七、教学过程：cos(120—60)。

cos120° cos60° si n120* sin 60°1 1 1灵22222猜想： cos (:; 『■) =cos ：. ・cos ，；' 1 sin ：・sin ： ?通过探究我们猜想得出cos （：. 一 ：）的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。

提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何 研究：.一 ■:的三角比呢？设〉、1是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图 1它们的终 边0A 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。

Q2 AOB 角度能用〉、1表示吗？Q3我们要研究• AOB 的三角比，必须要把• AOB 位置放在什 么地方？怎样达到目的？答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。

通过旋转达到目的。

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的。

在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(α—β）与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α—（—β)的关系，从而由公式C（α—β）推得公式C(α+β）,又如比较sin（α-β）与cos(α—β），它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β）、S(α+β）等。

2。

通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义。

3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的。

二、三维目标1.知识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

两角和与差的余弦公式教学设计【教学三维目标】1.知识与技能目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题；培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感、态度、价值观目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】C级【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【突破措施】先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。

【教材分析】这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。

教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【学具准备】小黑板圆规【学法设计】独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】诱导公式平面向量的数量积一、产生对公式的需求引入新课（1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos(α-β)=cosα-cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。

《两角和与差的余弦公式及其应用》学历案一、学习目标1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程。

2、掌握两角和与差的余弦公式，并能熟练运用公式进行三角函数的化简、求值和证明。

3、通过公式的应用，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的余弦公式的推导和记忆。

（2）运用两角和与差的余弦公式进行三角函数的化简、求值和证明。

2、难点（1）两角和与差的余弦公式的推导思路。

（2）公式的灵活运用，尤其是角的变换。

三、知识回顾1、任意角的三角函数定义在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，点 P 到原点的距离为 r，则有：sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x≠0）2、诱导公式（1）cos(α) ＝cosα（2）cos(π α) ＝cosα四、新课导入在实际生活和数学问题中，我们常常会遇到需要计算两个角的和或差的余弦值的情况。

例如，在三角形中，如果已知两个角的大小，要求第三个角的余弦值，就需要用到两角和与差的余弦公式。

那么，如何推导两角和与差的余弦公式呢？五、公式推导1、单位圆法在单位圆中，设角α的终边与单位圆交于点A(cosα, sinα)，角β的终边与单位圆交于点B(cosβ, sinβ)。

则向量 OA ＝（cosα, sinα)，向量 OB ＝（cosβ, sinβ)。

因为向量的数量积等于向量的模乘以它们夹角的余弦值，所以有：OA·OB ＝｜OA|·｜OB|·cos(α β)而 OA·OB ＝cosα·cosβ ＋sinα·sinβ ，｜OA| ＝｜OB| ＝ 1所以cos(α β) ＝cosα·cosβ ＋sinα·sinβ同理，可推导得cos(α ＋β) ＝cosα·cosβ sinα·sinβ2、余弦定理法在三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。

《3.1.1两角和与差的余弦》教学案●三维目标 1．知识与技能掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式． 教学方案设计●教学建议1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0＜α＜β＜π2探求出cos(α－β)的结果．2．关于公式C (α－β)证明的教学 教学时，建议教师：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式．●教学流程创设问题情境，引出问题：cos α－β＝cos α－cos β为什么错误？⇒引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？【提示】 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)． OA →与OB →的夹角是α－β.2．你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？【提示】 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. 3．根据上面的计算可以得出什么结论？ 【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.4．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？ 【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. cos(α＋β)＝cos__αcos_β－sin_αsin_β； cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 这两个公式分别记作C (α＋β)，C (α－β)．课堂互动探究运用公式求值例1 (1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°. 【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8° ＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 规律方法1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．变式训练求下列各式的值：(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°. 【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.给值求值例2 设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值． 【思路探究】 由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦．只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围．用两角和与差的三角函数公式展开即得结论．【自主解答】 ∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. 又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23. ∴sin(α－β2)＝1－cos 2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．变式训练α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2， ∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2， ∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求角例3 已知α，β均为锐角，cos α＝1，sin(α＋β)＝53，求角β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值．再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17. ∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴π2＜α＋β＜π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12. 又∵0＜β＜π2， ∴β＝π3. 规律方法解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．互动探究将本题条件改为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，如何求β的值？ 【解】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得 sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3. 易错易误辨析忽略角的范围限制的隐含条件致误典例 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 【错解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角，∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22， 又∵α，β∈(0，π2)， ∴－π2＜α－β＜π2， ∴α－β＝π4或α－β＝－π4.【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系． 【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解．【正解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α＜sin β，∴α＜β. ∴－π2＜α－β＜0. ∴α－β＝－π4.对公式C (α－β)的理解： (1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角．(2)公式C (α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加．当堂双基达标1．下列等式中，正确的个数为________． ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(π2＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；④cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 【解析】 由两角和与差的余弦公式可知②④正确． 【答案】 22．cos 105°＝________.【解析】 cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 【答案】2－643．计算：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝________.【解析】 原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝ cos 60°＝12. 【答案】 124．已知cos α＝－45，α∈(π，32π)，tan β＝－13，β∈(π2，π)，求cos(α＋β)． 【解】 ∵α∈(π，32π)，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵tan β＝－13，β∈(π2，π)， ∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010. 课后知能检测 一、填空题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】 322．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于________．35∴sin(α＋π3)＝35. cos α＝cos[(α＋π3)－π3] ＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】 4＋33103．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于________ 【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 344．已知sin α＝12，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解析】 cos(α－π4)＝cos α·22＋sin α·22＝32·22＋12·22＝6＋24. 【答案】6＋245．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32.【答案】 326．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________. 【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20° ＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3. 【答案】37．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.132∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226. 【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0. ∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝π2或－π2. 【答案】 ±π2 二、解答题9．设α∈(π2，π)，若sin α＝35，求2cos(α＋34π)的值． 【解】 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴2cos(α＋34π)＝2(cos αcos 34π－sin αsin 34π)＝2(－cos αcos π4－sin αsin π4)＝－cos α－sin α＝45－35＝15.10．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25，∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22. 又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. 【解】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a －b |＝255， ∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝35×1213－45×(－513)＝5665. 又0<α<π2，∴sin α＝1－cos 2α＝3365.教师备课资源备选例题在△ABC 中，若tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】 将切化成弦，变形后应用差角公式就可得到角A ，B ，C 之间的关系．【自主解答】 ∵tan A (sin C －sin B )＝cos B －cos C ，∴sin A cos A ＝cos B －cos Csin C －sin B ，∴sin A sin C －sin A sin B ＝cos A cos B －cos A cos C ，即cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos B ＋sin A sin B ，∴cos(A －C )＝cos(A －B )．∵0°＜A ，B ，C ＜180°，∴－180°＜A －C ＜180°，－180°＜A －B ＜180°，∴A －C ＝A －B 或A －C ＝－(A －B )，即B ＝C 或2A ＝B ＋C .若B ＝C ，则△ABC 为等腰三角形；若2A ＝B ＋C ，则2A ＝180°－A ， A ＝60°. 综上所述，△ABC 为等腰三角形或A ＝60°的三角形．规律方法 1．利用和、差角公式判断三角形的形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．2．记住常用结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tanC .备选变式在△ABC 中，已知tan A tan B ＜1，判断△ABC 的形状．【解】 ∵tan A tan B ＜1，∴sin A sin B cos A cos B ＜1，sin A sin B cos A cos B －1＜0，sin A sin B －cos A cos B cos A cos B＜0，－cos A ＋Bcos A cos B ＜0，cos Ccos A cos B ＜0，∴cos A ＜0或cos B ＜0或cos C ＜0，∴A 、B 、C 中有一个钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。

《两角和与差的余弦》教学设计，15数值更是已经铭记于心了，求出哪些非特殊角的三角函数值呢？学生分工合作，汇报交cos55cos1035-cos 2cos152+行：顺用、构特征。

让后，再互相《两角和与差的余弦》教学设计说明一、设计理念课程标准下的公式教学，要求教师以学生为主体，尊重学生已有的知识经验，通过学生自主探索活动，让学生经历知识的发生发展过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹.数学是思维的体操，它应当在促进学生思维发展方面承担更多的责任.从而公式的教学除了关注公式的应用，还要关注公式产生的背景、公式的形式特点、公式的证明与记忆、以及公式与公式之间的关联.本教学设计以培养和发展学生的思维为教学着力点，努力把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态，强化学生对数学思想方法和思维方式的感悟. 二、教材内容解析《三角恒等变换》是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4中的第三章，由于考虑知识结构的连贯性，在教学过程中，选择第一章（三角函数）讲授结束后，讲授第三章（三角恒等变换）.《三角恒等变换》是前面所学三角函数知识的继续和发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材.“两角和与差的余弦”是本章的起始内容，既是本章节的重点，也是后继内容两角和与差的正弦、正切及二倍角公式的知识基础，化归思想是推导这些公式的主导思想，在教学中，不论是推导公式还是应用公式，都应该自始至终地贯彻这一思想.学习这部分知识，是完善学生知识结构、深化数学思想方法（化归、数形结合、特殊化等）、提升多种数学能力（运算能力、推理能力等）的重要载体.因此，本节课的教学重点是：两角和与差的余弦公式的掌握（证明、记忆、公式间的关联）与应用.由于学生没有学习向量，需借助于图形推导两角差的余弦公式，在此过程中，会遇到对角a b，任意性的说明，这点对于学生来说是一个难点，因而本节课采用从两角和的余弦公式着手证明，有效的避免了这一个难点，也顺应了运算的一般规律，先加后减.三、教学目标设置基于教材分析，本节课的教学目标确立如下：1.学生通过交流、探索，经历两角和的余弦公式的推导过程，体验数学发现和创造的快乐；2.了解公式与公式之间的关联，体会化归思想、特殊化思想，完善知识结构；3.把握公式结构，合理进行公式的顺用、逆用及变形用，提高学生灵活应用公式的能力；4.培养学生的逻辑推理能力、运算能力，促使学生思维的灵活性、深刻性、辩证性提升.四、学生学情分析授课对象：四星级高中高一年级普通班学生.学情分析：学生已经初步掌握了探究的基本程序（观察→提出问题→猜想假设→探究→归纳总结），有一定的推理能力、运算能力，初步体会了化归、数形结合的思想.通过同角三角函数公式、诱导公式的学习，学生也具备了借助三角函数定义、利用解析法推导公式的经验.要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，会运用化归、特殊化、“算两次”等数学思想，还需要具备较好地思考与质疑、交流与合作的学习习惯.五、教学策略分析基于学情分析，本节课的教学难点是：两角和与差的余弦公式的生成与证明过程；采用下面的教学策略突破教学难点：1.教师创设情境，学生提出问题，明确本节课的研究目标；2.教师以问题串为载体，分散难点，引领学生动手、独立思考，借助于图形和方程的思想推导公式；3.教师搭建平台，学生合作探究、汇报交流、展示结果，了解公式与公式之间的关联；4.教师分层设计应用，引导反思，学生深化理解，形成知识体系.六、教学设计感悟在教学设计时，尝试退到学生的角度去组织教学，让学生在行进的过程中知识与能力的获得，思想的渗透“水到渠成”.教材参与设计者之一仇炳生老师说：“苏教版《两角和与差余弦公式》的编排，先研究差的公式的原因是，为了可以使用向量法进行证明，而如果按照数学发展的规律，应该先研究和的公式顺利成章。

课题：两角和与差的余弦公式
授课教师：北京市陈经纶中学黎宁
授课时间：2007年11月21日
教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题。

2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的余弦公式的过程,简单体会特殊与
一般的思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等
变换中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力。

3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：两角和与差的余弦公式
教学难点：两角和与差的余弦公式的探究
教学方式：发现式、探究式
教学手段：计算机辅助教学、实物投影仪
教学基本流程：。

两角和与差的余弦教案(优质教案)第三章：三角恒等变换第一节：两角和与差的余弦一、三维目的：1.知识与技能：学生需要理解两角和与差的余弦公式的推导过程，并掌握它的初步应用（公式的正用和逆用）。

此外，教师需要着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。

2.过程与方法：教学过程中需要启发、讲练结合，合作交流，突破难点。

3.情感、态度与价值观：教师需要培养学生的探索与创新意识，激发学生研究兴趣，提高学生解题的灵活性。

教学重点：余弦的差角公式的推导和应用。

教学难点：余弦的差角公式的推导。

二、教学过程：一）问题情境问题一：我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，但如果不想查表，如何求诸如cos75°、cos15°的值？设问：cos75°=cos（45°+30°）与cos45°+cos30°是否相等？cosl5°=cos（45°-30°）与cos45°-cos30°是否相等？由于cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，所以我们需要研究这个问题。

问题二：一般地，cos(α-β)≠cosα-cosβ，那么cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？如何表示？我们可以把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。

在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）和P2（cosβ，sinβ）。

则∠P1OP2=α-β。

设向量a=OP1=（cosα，sinα）。

b=OP2=（cosβ，sinβ）。

则a•b=a·b·cosθ=cos(α-β)。

另一方面，a•b=x1x2+y1y2.因此，我们可以得到两角差的余弦公式。

两角和与差的余弦教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN两角和与差的余弦一、教学目标1.知识目标：经历两角和与差的余弦公式的推导过程，了解两角和与差的余弦公式，并初步运用两角和与差的余弦公式，解决较简单的相关数学问题。

2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

二、教学重点、难点重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用难点：两角和与差的余弦公式的推导过程三、教学方法学生独立思考，小组合作探究，师生共同交流。

四、教学过程1、回顾旧知sin=4530sin=3045cos=cos=2、问题引入问题1：150可以用哪两个特殊角表示？问题2：cos150需用两个特殊角的几个三角函数值表示呢分别是什么呢问题3：一般的)cos(βα-能否用βα,、的三角函数值表示3、合作探究一点P 是 45角的终边与单位圆的交点，点Q 是 30角的终边与单位圆的交点，试用两种形式表示表示OQ OP ⋅思考：从特例出发，你能推广得到)cos(βα-对任意的两个角βα,的关系式吗？设角βα,的终边分别与单位圆相交于点P 和点Q ，OQ OP ⋅=或OQ OP ⋅=5、形成新知=-)cos(βα =+)cos(βα（1）、公式中两边的符号正好相反（2）、式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后。

（3）、公式中βα,为任意角。

6、应用深化例1 求下列各式的值（1） 15cos （2） 75cos（3） 20sin 80sin 20cos 80cos +（4） 55cos 10cos 35cos 80cos +例2已知)2(54cos παπα<<-=，求)6cos(),6cos(απαπ+-例3利用βα+C 证明[]απαcos )12(cos -=++k7、变式练习（1）、已知)23,(,135cos ),,2(,53sin ππββππαα∈-=∈=，求)cos(βα+的值。

两角和与差的余弦公式教案【教学三维目标】1。

知识目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式,运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题.2能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3。

情感目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】 C 级【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。

【教材分析】 这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。

教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式"在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线,推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时,补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。

他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【学具准备】 小黑板 圆规【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】 诱导公式平面向量的数量积一、 产生对公式的需求 引入新课 （1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos （α—β)=cos α-cos β”的误解，说明两角和(差）的三角函数不能按分配律展开.并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索.二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论 (8分钟） 独立思考以下问题： （1)向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅ （2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：==→a OP 1（ ） , ==→b 2OP （ )则=⋅b a_____________a =→ _____________b =→问题1 ： =︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP问题2 :由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？ 问题3 :两角和与差的余弦公式推导(一）两角差的余弦公式设),sin ,cos a αα（=),sin ,cos b ββ（= βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θcos b a b a =⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-,那么βαθ-=故 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 实际上，当βα-为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

《两角和与差的余弦》教学设计
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能
力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
（四）教学过程
从知识、方法
３.1(２)
（一）教学目标
１．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．
２．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．３．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程
．围，三角函数值的正负．
（３）代入时，从左至右依次代入．
02,2π，再进一步参11
cos()14αβ+=-．确。

《两角和与差的余弦公式》教学设计【教学三维目标】（1）知识与技能：在学习三角函数线和平面向量数量积的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的余弦公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.（2）过程与方法：通过两角和与差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.（3）情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.【教学重点和难点】教学重点：两角和与差的余弦公式及其推导.教学难点：灵活运用余弦公式进行求值、化简、证明.【教材分析】这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重要考点，历年高考必考内容。

教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、三角函数线，向量的坐标和数量积的坐标表示的基础上，进一步研究两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【教学过程】知识回顾（1）特殊角的三角函数值（2）三角函数线（3）平面向量的数量积 θcos b a b a =⋅ 若),,a 11y x （=),b 22y x （= ，则 2121b a y y x x +=⋅提出问题：问题1 ：等式 cos(α一β)＝ cos α一cos β成立吗？请举例验证问题2 ：如果已知sin α, cos α, sin β, cos β, 如何计算cos(α一β)？两角差的余弦公式推导过程：如图所示：单位圆上，r = 1可设 ),sin ,cos a op 1αα（==),sin ,cos b op 2ββ（== 1a =→，1b =→则有βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θcos b a b a =⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴因为βαθ-=故 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 实际上，当βα-为任意角时，由余弦函数周期性，奇偶性和诱导公式，总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。