导数与微分 教学目的:1理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的 切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函 数的可导性与连续性之间的的关系。
2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等 函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数 的微分。
3、 4、 5、 教学重点：1导数和微分的概念与微分的关系；2、 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、 基本初等函数的导数公式；4、 高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、 复合函数的求导法则；2、 分段函数的导数；3、 反函数的导数4、 隐函数和由参数方程确定的导数。
第二章 第三章 第四章 第五章第六章了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。
会求分段函数的导数。
会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、 二阶导数，会求反函数的导数。
、引例1. 直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动、时刻t 质点的坐标为ss 是t 的函数:s=f(t)、求动点在时刻to 的速度. 考虑比值S —S)二f(t)-f(to) __no'这个比值可认为是动点在时间间隔t-to 内的平均速度.如果时间间隔选较短、这个 比值在实践中也可用来说明动点在时刻 应当这样：令t -t w 0 *取比值f ⑴一f(to ) v lim f(t)-f(t o ) v=lim气t =o t -t o 这时就把这个极限值V 称为动点在时刻2. 切线问题设有曲线C 及C 上的一点M '在点M 外另取C 上一点N *作割线MN .当点 N 沿曲线C 趋于点M 时.如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置 MT r 直线M T 就称为曲线C 有点M 处的切线.设曲线C 就是函数y-f(x)的图形.现在要确定曲线在点 M(x o , y o )(y o=f(x o ))处 的切线、只要定出切线的斜率就行了 .为此、在点M 外另取C 上一点N(x, yb 于是 割线MN 的斜率为里.1导数概念t o 的速度.但这样做是不精确的、更确地 的极限.如果这个极限存在.设为V .即t-t otan=——------------ .x—x o x-x o其中®为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时x o.如果当心o时*上式的极限存在 '设为k .即X F x-x o存在、则此极限k是割线斜率的极限、也就是切线的斜率.这里kUan a、其中G是切线MT的倾角.于是、通过点M(x o, f(x o))且以k为斜率的直线MT便是曲线C 在点M 处的切线.y—y o f(x)—f(x o)、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出、非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结 为如下的极限：f(X)-f(X o )l I m ------- .x ^^o X —X o 令也x=x-x o * 则A y =f(x o +A x)-f(x o) = f(x)-f(x o ) *4 x o 相当于 A X T 0* 于是 llm fg-fg)^^x o X —X o成为II 4 或 II 口仏+⑼-定义 设函数y 二f(x)在点x o 的某个邻域内有定义.当自变量x 在x o 处取得增 量也x(点x o +A x 仍在该邻域内)时、相应地函数y 取得增量也y=f(x o +也X)-f(x o )；如果 也y 与稣之比当A X T O 时的极限存在、则称函数y=f(x)在点x o 处可导、并称这个极 限为函数y#(x)在点x o 处的导数、记为yi x 爭，即(X 0巴喘姿f(X0S f(X0)或业)dx 函数f(x)在点x o 处可导有时也说成f(x)在点x o 具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式.常见的有f (xoHl IT hf(Xo) = lIm 咖一愀)■T o X —X o在实际中、需要讨论各种具有不同意义的变量的变化 “快慢”问题、在数学上 就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 .如果极限四f (X 0十史—f (X 0)不存在、就说函数y=f(x)在点X 0处不可导. 如果不可导的原因是由于J X L J ^A X — '也往往说函数y#(x)在点X 0处的导数为无穷大.dydx 也可记为y|x»o * f (X o +也x)-f(X o )二竺如果函数y#(x)在开区间I内的每点处都可导、就称函数f(x)在开区间I内可导*这时.对于任一 X 曰.都对应着f(x)的一个确定的导数值.这样就构成了一个 新的函数、这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数、记作(X)、5 r 或峻dX dX导函数的定义式：yim f (xF)—f (x)=iim f (x+h )—f(x).Z T h f '(x o )与f -(X)之间的关系：函数f(x)在点x o 处的导数f (x)就是导函数f lx)在点x=x o 处的函数值、即2.求导数举例例1.求函数f(x)=C (C 为常数)的导数. 解：f(X)=iim f (x 巴-f (x)=iim ¥ =Q .h “ h h j h即(C) 'O例2 •求f(X)J 的导数.Xf (X 0)=f(X) X Z X Q 导函数f '(X)简称导数、而f (x o )是f(x)在X 0处的导数或导数f '(X)在X 0处的值. 左右导数：所列极限存在.则定义f(x)在 X Q 的左导数：口X Qh -j Q —f(x)在 X Q 的右导数：f^X o )潮+ f (X Q中 h)—"力- 如果极限I i m f(X Q +h)—f(X Q)存在、则称此极限值为函数在 X 0的左导数.如果极限Hrm f (XQ +h)-f (X Q )存在,则称此极限值为函数在 X 0的右导数.导数与左右导数的关系 :f (X Q ) =A 口沧)=以沧)=A .1 ___ 1解flX)-^十 海咼一 __1 _____ 1■例3.求f （X ）挣的导数.=lim —f —1=^ =lim 』 —尸——尸 .T h (后h +V X) h T p Q^+V X 2 丘例2.求函数f(x)=x n(n 为正整数)在 x=a 处的导数. 解 f 2)= lim f(x)—f (a )=iim^^=lim f+ax^” …七心)=2心X -a ^3a X -a把以上结果中的a 换成x 得f Yx)=nx n 二即(x n )Fx n —1(CO .(仮)'总、(X 片7x 2 .更一般地*有*其中^^为常数.例3.求函数f(x)=sin x 的导数.解：f ・(x) = lim f(x+h )—f(x)=lim sin (x+m-si n x ^-P h h T1 h h =lim — "Zcosd +—)si n — h -P h2 2h sinh=lim cos(x 』)，一；~^ =cosx .T 2 h2即(sin x)' =cosx .用类似的方法*可求得(cosx )'ssin X.例4.求函数f （x ）=a x （a>0*aH1）的导数.解：帥悔^竿严H 吗忖持<忸罟令£壬尹忸詁两1=a x — =a x |na .log a e特别地有(e x )=e x.例 5.求函数 f(x)=log a x (a>0 .a -1)的导数.加.…、f(x+h)—f(x) log a (x+h)-log a X角军：f(X)=lim --- -- - =lim ------- —— h T h h T解f （x2緇今土器气h 1 1昶h lo ga（F）=Xhimo和gaO+f^Xhimogo+驴高等数学课程建设组解：f (x) dim ggx+hZog a X =lim 丄logad 』) T h T h 八 X=l|imlog a (1+^)hJlog a e=-^ . xh T X X xl na 特殊地(lx )+(log a x^-^，(1 nx)^1.xina x 3. 单侧导数： 极限lim f(x 加)—f(x)存在的充分必要条件是 M 0h f(x +h)-f(x)及 f(x+h)-f(x)h T+ h f(x)在 x o 处的左导数:fj(x o )=lim f(x+h]-f(x) h T — h f(x)在 x o 处的右导数:f 衣o )=h 哩+"x+hj"x)导数与左右导数的关系:函数f(x)在点X 0处可导的充分必要条件是左导数左导数 f Jx o )和右导数f ’^xo ) 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导、且右导数f '4<a)和左导数f'_(b)都存在、 就说f(x)有闭区间［a, b ］上可导.例6.求函数f(x)=x|在x=0处的导数.解：口0)譜 y+hjf® 譜甲=-1 -f 細譜苗軒八因为f '_(0)H f 岂0)*所以函数f(x)=xi 在x=0处不可导.四、导数的几何意义函数y=f(x)在点X 0处的导数f '(X 0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x o , f(x o ))处高等数学课程建设组lim - h -fi — h的切线的斜率.即其中a是切线的倾角.如果y=f(x)在点x o处的导数为无穷大、这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线X=x o为极限位置、即曲线y=f(x)在点M(x o, f(x o))处具有垂直于x轴的切线x=x o.:由直线的点斜式方程、可知曲线戸f(x)在点M(x o, y o)处的切线方程为y-yo=f (x o)(x—x o)|过切点M(x o, y o)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果f '(x o)#o、法线的斜率为-£、从而法线方程为f (X o)y-yo=-y^(x-xo).f (x o)例8.求等边双曲线yJ在点(1, 2)处的切线的斜率、并写出在该点处的切线x 2方程和法线方程.解：y =-4、所求切线及法线的斜率分别为xki=(£)l x gf k2+#所求切线方程为y-2=Y(xW)、即4x+y-4=0.所求法线方程为y-2#(x-2)、即2x-8y+15=o.例9求曲线y=x辰的通过点(0、-4)的切线方程.解设切点的横坐标为x o 则切线的斜率为3 3 1f (x o) =(X2)'=3X2于是所求切线的方程可设为y-xojx o=2、&(x-x o).根据题目要求、点(^-4)在切线上.因此0 =*i/~x 0(0 -x 0)r解之得Xo4.于是所求切线的方程为y 広 今74(X 旳即 3x-y-4=0四、函数的可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x o 处可导、即 鹦2x = f (X Q )存在-贝Ulim b y = lim 黑 Z= lim 学 ”lim K x = f '(x 0) 0=0 .这就是说*函数y=f(x)在点x o 处是连续的.所以、如果函数y=f(x)在点x 处可导. 则函数在该点必连续.另一方面* 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 .§2.2函数的求导法则、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x 具有导数r 那么它们的和、差、积、 商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数 并且[u(x)珊x)]W(x) V(x)[u(x) v(x)r=U(x)v(x)+u(x)V(x)：u(x)T3(x)v(x)-u(x)v'(x)Hv(x)」h严+2 —期土如?*)® Yx)±V(x).法则(1)可简单地表示为(u ±v)'p W例7. 为函数在点函数f(x)弘在区间(-,+x=0处导数为无穷大 f (0+h)-f(0)=|im 屈十 T h ■)内连续.但在点x=0处不可导.这是因limM 0 hv 2(x)证明⑴[u(x)执呵=四用+6±*+6] -阳土*)]=lim h T⑵[u(x) v(x)]耳m u(x +h)v(x+h) ^(xNx)=lim —[u(x +h)v(x +h) -u(x)v(x +h) + u(x)v(x +h)—u(x)v(x)] h_^ hlim 甲(x+h)-u(x) g+h)-*)]h T I J=limdim u(x+h)T(x) lim v(x +h)加(x)加呛加)一*) h jh h_j P ' ' ' '=u'(x)v(x)+u(x)V(x)、其中lim v(x+m=v(x)是由于v(x)存在、故v(x)在点x连续.法则(2)可简单地表示为(uv)T V切v'.u(x +h) u(x)v(x+h) v(x) _li m u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h) h T v(x +h)v(x)h=|im [u(x +h) —u(x)]v(x) —u(x)[v(x+h) —v(x)] ~hm0 v(x+h)v(x)h卄)一u(x+h) -u(x)v(x)^(x) Wxv(x) =lim h _____________T v(x+h)v(x)u(x)v(x) -u(x)v(x)v2(x)法则(3)可简单地表示为’u、' uv-uvP — v2(u±v)F3、(ugVuvl (步弋1皿-定理1中的法则⑴、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设u=u(x)、VF(X)、w=w(x)均可导则有(u+v-w) ‘ =u W-W(uvw) T( uv)w]' =(uv) W( uv)w'= (u V+uv)w+uvw" =u ’vwuv'w+uvw".即(uvwr =u Vw+uv wuvw".在法则⑵中如果v€(C为常数b则有(CupCu\例1. y=2x 3-5X 2+3X-7*求y'解：yW2x 3—5x 2+3X—7)' = (2x 3)飞5x 2)飞3X)L( 7)' = 2 (x 3)'-5( x 2)' + 3( x)'=2 3x 2-5 2x+3=6x 2-10x+3.例 2 . f(X)=x 3 +4C0SX -sin_2 、求 f (x)及 f (岁. 解：f(X)=(x 3) '+(4cosx)'-(sin 岁'=3x 2 4 sinx 、f (岁 dh 2-4.例 3. y=eX(sin x+cosx)、求ylxx解：y 千e )'(sin x+cosx)+ e (sin x + cosx)， =e x(sin x +cosx)+ e x(cosx-sin x) =2e cosx . 例 4. y=tan x ，求 y'.加、，，sin X 、，(sin x)'cosx —sin x(cosx)解：y =(ta nxTcos^) =~~I'~~- - 2 =—^sec 2x .cos 2x cos 2 x即(tan x)'=secx .例 5. y=secx 、求 y\解：y =(secx)=( ---- )----- 戸 --- =__厂=secx tan x .cosxcos 2xcos 2x即 (secx) ‘ =secx tan x .用类似方法、还可求得余切函数及余割函数的导数公式：(cot x)Jcscx .(cscx) ‘ 亠cscx cot X .二、反函数的求导法则定理2如果函数x#(y)在某区间l y 内单调、可导且f'(y)H0*那么它的反函数 y#'(x)在对应区间i x={xx#(y) y 引y }内也可导、并且[fj(x)l'=—或业=丄 [f (x)]f(y)或 dx dxdy简要证明：由于xh(y)在I y 内单调、可导(从而连续) 所以x=f(y)的反函数 y# '(X)存在且f'(x)在I x 内也单调、连续任取X 引X 给x 以增量△ x(AxH0 x +A x 引x ) 由y=f '(X)的单调性可知1 1cos 2xcos 2x +s in 2xAy-f (x+Ax)—f (x)H0于是函数x-tan y 在区间(-才，2(tan y)'=sec y 丸因此 由反函数的求导法则 在对应区间1111内单调、可导I x=(Y 母)内有(arctxa'n —— ■(t ay) s eby 1+t a 务y 1 +x 2类似地有：(arccotx)'=-#x?- 例8设x=a y(a>0a =1)为直接函数y在区间l y^Y畑)内单调、 (a y)F yIn a 和因此由反函数的求导法则(log a x^—_1=■(a y ) a yl na xl na可导 且在对应区间 1则y=loga X 是它的反函数 函数x=aI x=(0 址)内有勿=11因为y=f(X)连续故鸣创=0从而[f 」(x)]=lim 理= lim 丄=_^ .以j p & 屆P £x f (y)上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6.设x=sin yy 司一2, -2]为直接函数则y=arcsin x 是它的反函数 函数x=sin y 在开区间(号(sin yf =cosy>0因此由反函数的求导法则在对应区间lx=(-11)内有(a r c sx) n —1i =—1— = . 1= . 1(s iyn coy / _s i Fiy 』1—x 2类似地有：(arccosx)'=- 1.J 1—X 2例7.设xNan y声(一2, y)为直接函数 则y=arctan x 是它的反函数内单调、可导且三、复合函数的求导法则定理3如果u=g(x)在点X 可导*函数y=f(u)在点u=g(x)可导.则复合函数 y 甘[g(x)]在点X 可导.且其导数为字f(u)g(x)或半罟半.dxdx du dx证明：当u=g(x)在x 的某邻域内为常数时.y=fp(x)]也是常数、此时导数为零、 结论自然成立.当u=g(x)在x 的某邻域内不等于常数时 30 此时有曲 _f[g(x +&)]-f[g(x)] _f[g(x +^)]-f[g(x)] g(x +3-g(x)Z& g(x +A x)-g(x) Z二f(u 林u)-f(u) g(x + A x)—g(x)"s uz x'孚= lim dx£x 也 T10y=si n^函数y =sin 畚是由y=sin u 因此 dy dy du :、 ，、 dx du dx (1 +x 2)2对复合函数的导数比较熟练后 例 11. Insin X* 求一. dx2(1 +x 2) -(2x)2 u 复合而成的2(1—/) 2x (1+x 2)2 COS 1+x 2 、就不必再写出中间变量、 解 黔(|nsinx)'喘x (sinx)J 1——COSXPOtX . sinx构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数Intan x 、e x 3、的导数怎样求?f(U +加)-f(u)伽 g (x 电)-g(x)= f -(u)g ・(x).简要证明：字=lim A 学dx 心T A x 应T 加d例9 yd 、求律.=鹦筈蚪瞥口皿(X) 函数yqx 3可看作是由uywu=x 3复合而成的因此dx du dx3x 2 =3x 2e x 3例 12. y-2x 2 求学.dx1 2解；2x 2)飞(1—2X 2)'_3J …. dx3 4 5 6 7 8 9 1011 33(1—2x 2 )2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形u= (v) v= (X)贝 Udy 少 du 竺 du dv dx —du dx ~du dv dx例 13. Bncos"求5,解誉1 nc昨心為㈣的r四、基本求导法则与导数公式1. 基本初等函数的导数：2 (d3 (sin X)Nosxr4 (cosx)'Kin X 、25 (tan X)‘ =secx 、6 (cot X)‘hscx 、7 (secx) ‘ =secx tan x . 8 (cscx) ‘ hscx cot X 、 9 (a XE X In a.10 (e X)Q X*11 (iog a X)'=_^、xl na-4x 例如 设y=f(u)1二COSe^Z n(e x)](e x )・y x t anx). 例14.yw 叫，求字. dx解：譽=(評2)dx 1 sin- 1 =——2 e X cos —. x 2 x例15设x>0 (Xr=1日证明幕函数的导数公式-Jln Xln XX 解因为X =(e ln x ) =e In x所以(X y=(e ln x)' = eln x( In x)' = eln x-J x -Jx(15) (arccot x)'=—去-2. 函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x) ;v=v(x)都可导-则 (1)(u ±v)'勺’如 ⑵(C u)，£ul⑶(u v)'=u'v 切 v\ (4)(»』^評.vv 23. 反函数的求导法则设X#(y)在区间l y 内单调、可导且f '(y)H0、则它的反函数y=f'(x)在l x=f(l y )内也可导、并且4.复合函数的求导法则设y#(x)r 而U 电(X)且f(u)及g(x)都可导-则复合函数y=f ［g(x)］的导数为diX 喘製或 y(x )f (u)gg 例16.求双曲正弦sh X 的导数. 解：因为sh ^1(e x-e^).所以(s hx)号⑥-e j)号(e x +e j) =c hx .即 (sh x)'=ch X. 类似地*有(ch x)'=sh x.例17.求双曲正切th x 的导数.解：因为th x¥、所以ch x(th x)，_ch 2x -sh 2x _ 1(x)—而^c^ - 例18.求反双曲正弦arsh x 的导数.(12) (13) (14)(arcsin x) ——j ―,—X 2(arccosx)'=— 1: -x 2(16) 1［户(X)心帀或dHdych 2x解：因为arsh x=ln(x+J +x2)、所以(a r Sx)'=x+』+x2 (1F曰-由 a r chrn nx+J x2 _1)、可得(arch x)'= 1.J x2—1由arth x^ln 巳-可得(arth x：!* -类似地可得(arch X)亠J 1, (arth x) ‘ _—7x2-1 1 一X例19. y=sin nxsiJx (n为常数几求y.解：yWsin nx)' sin n x + sin nx - (sin n x)'=ncosnx sin n x+sin nx n” sin n^ x (sin x )‘■ n丄■ n」■ n」-J丄八=ncosnx sin x+n sin x ” cosx=n sin x ” sin(n+1)x .§2. 3高阶导数一般地、函数y#(x)的导数y# '(X)仍然是x的函数.我们把y# '(x)的导数叫做函数y#(x)的二阶导数、记作y '、f "(x)或gj.dx2即y=y)f(x)f(x)「需总(孰相应地-把y#(x)的导数f '(X)叫做函数y=f(x)的一阶导数.类似地、二阶导数的导数、叫做三阶导数、三阶导数的导数叫做四阶导数、一般地、(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数、分别记作V- V⑷…V (n)或业也…”业y、y、'V或dx3 ' dx4 ' ' dx n■函数f(x)具有n阶导数、也常说成函数f(x)为n阶可导.如果函数f(x)在点x 处具有n阶导数、那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y'称为一阶导数⑷「jy(n［都称为高阶导数.例1. y=ax +b '求y ■ 解：yFV'O例 2. s=sin oU 求 s".2解：s Q cos ©t S'=© sin o t.例3.证明：函数y =72口2满足关系式y V F =0. 证明：因为y 'TS 厂;-J 2x —X 2—(1 —X)c2「2x 2 (2X-X 2)J(2X-X 2)(2X -X 2)号2x-x 22x+x 2—(1-x)2所以 y 3y'F=0. 例4.求函数 解y 事寸全y=e x一般地.可得 (n) xy =e .即 (e x)(n)v x.例5.求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解：y=sin X 、y ‘ =c 0 s =s i rx^-2-)、y^x 的 n y ”=c 0 sx^y^s i nx 埠+寺)=s i nx 广2 ■2)^=c 0 sx 佗 ”2)=s i n<(+2 y 号)=s i nx 旷3y) * y (4)=co 5X(^3 y) =s i rxM 号)、一般地.可得y (n)=si rx^n ‘2)、即(sinx)(n)=sin(x +n寺). 用类似方法-可得(cosx)(n) =cos(x +n y) ■ 例6.求对函数ln(1+x)的n 阶导数 解：y=ln(1+x)V=(1+x)= y’^l+x)"2、 y 化(-1)( -2)(1+x) .ySq -1)(-2)(-3)(1+x)二 一般地*可得yj-1)(-2)…(-n+1)(1+x)%(T)n/nT)!(1 +x)n[In(l+x)](n)-例6 .求幕函数y=x hP是任意常数)的n阶导数公式.解:y7x巴y7(»—1)x2*1)(4—2)x3*y ( 4)=艸卩―1)(卩—2)(卩7)xZ、一般地、可得y (n)=4(4—1)(4—2)…(4—"1)x1、即(X节)=4(卩-1)(卩-2)…(4-n+1)xP』.当卩=n时、得到(x n)(n)=出4—1)(卩—2)…3 - 2 - 1=n!.而(x n)(申=0 .如果函数u=u(x)及vi(x)都在点x处具有n阶导数、那么显然函数u(x) v(x) 也在点x处具有n阶导数.且(u v)(n)=u(n)W(n)■(uv)，=u V切V(uv)''=u"vH2uVPvS(uv)'iu”VH3u"V£uV'^V".用数学归纳法可以证明n(UV)(n)=送上)v(k)rk=0这一公式称为莱布尼茨公式.例8. ^x2e2x、求y(20).解：设u=e2x*v=x2* 则(u)(k)=2k e2x(k=1, 2,…,20)、v=2x 7、么(v)(k) =0 (k=3, 4,…，20).代入莱布尼茨公式.得(20) (20) (20) S 1 (19) 2 (18) “y =(u v) =u vP 20 u v 七20 u v=220e2x”x2+20 - 219e2x・ 2^20^ 218e2x■ 22!^20 2x - 2," s»-\=2 e (X +20x+95).里.4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化一、隐函数的导数显函数：形如y斗（X）的函数称为显函数■例如y=sin x ry=ln x^+e x. 隐函数：由方程F(x*y)=0所确定的函数称为隐函数. 例如、方程x^3—4=0确定的隐函数为y y=y i M .如果在方程F(x* y)=0中*当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在、那么就说方程F(xyT在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数、叫做隐函数的显化.隐函数的显化有时是有困难的、甚至是不可能的.但在实际问题中.有时需要计算隐函数的导数、因此、我们希望有一种方法、不管隐函数能否显化、都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例4 .求由方程e y+xyY=0所确定的隐函数y的导数.解：把方程两边的每一项对x求导数得(e y)Txy)Te)yO八e y y 勺+xy'=O *从而y 亠占(x+e y 0)-例2.求由方程y5+2y-X-3X7=O所确定的隐函数y=f(x)在x=0处的导数yl x』.解：把方程两边分别对x求导数得5yy'^y'—4—24x ^0.由此得y丄1t21X6.y 5/ +2因为当x=0时、从原方程得y=0*所以y心一5y4+2 心"2 -例3.求椭圆刍+"^2=1在(2,弓薦)处的切线方程.16 9 2解：把椭圆方程的两边分别对x求导、得X+2yy'=0 .8 9^ y从而y丄一916y当x=2时.3=泸.代入上式得所求切线的斜率k=y|x 孑-所求的切线方程为y-3J3 =-^(x—2)、即73x+4y-8岛=0 .2 4解：把椭圆方程的两边分别对x 求导*得廿9八八0・将X=2、y =3 J 3 '代入上式得21 14V 3于是 k=y"|xA = -—.4所求的切线方程为— (^2)、即 73x +4y —873 =0 .4dy 二 2dx 2 -cos y '上式两边再对x 求导、得d 2y 29n ydX = _4sjn ydx 2(2-cosy)2 (2-cosy)3'对数求导法：这种方法是先在y=f(x)的两边取对数.然后再求出y 的导数. 设y#(x) r 两边取对数.得In y = In f(x)、两边对x 求导、得1/4ln f(x)]' r yyT(x)[ln f(x)]l对数求导法适用于求幕指函数y=[u(x)]v(x)的导数及多因子之 积和商的导数..例5 .求y=x sinx(x>0)的导数. 解法一：两边取对数.得In y=sin x - In x.上式两边对x 求导、得y -3 扌 3 =-2例4.求由方程x —y+^s in y=0所确定的隐函数y 的二阶导数.解：方程两边对x 求导、得1 导 Tcosyd y=0、 dx 2 dx 于是1 1—y'=cosxl nx+si nx—、y x1 于是y'=y(cosxl nx+si nx —)x=X si nx(C0SX l.x解法二：这种幕指函数的导数也可按下面的方法求sin x sin x In xy=x =e 、^^e sinxlnx(sin x In x^x sinx(cosx Inx例6 .求函数y严恥一2)的导数. V(X d)(X*)解：先在两边取对数(假定x>4) *得In y 弓［ln(x—1)+ln(x—2)—ln(x—3)—ln(xr)h上式两边对x求导、得ly J(丄+ 1匚y 2 x7 X—2 X—3 x*于是y号(古+是"肖"士)-当XV1 时r y=J(1-x)(2-X);当2<x<3 时，y=J(x-1)(x-2)；V(3-x)(4-X) y Y(3-x)(4-X)用同样方法可得与上面相同的结果.注：严格来说 '本题应分x>4*x<1* 2<x<3三种情况讨论.但结果都是一样的.、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程卩霧⑴确定的.则称此函数关系所表达的l y (t)函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中、需要计算由参数方程所确定的函数的导数.但从参数方程中消去参数t有时会有困难.因此、我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.设x/(t)具有单调连续反函数t=w」(x)、且此反函数能与函数y理(t)构成复合函数尸屮严J(x)］、若x/(t)和y4(t)都可导.则dy =dy .dt =dy 丄dx dt dx dt dx W'(t) 'dtdy dy _屮(t)或些=虽 灵―药)或dx —dx ■ dt若x/(t)和yA(t)都可导.则业=弹. dx 理(t)例7.求椭圆=a co s t 在相应于T 点处的切线方程.y=bsi nt4解：^Jbsint)\j^ = _bcott .dx (acost) -asl nt a 所求切线的斜率为 孚|t 』=dx =4切点的坐标为 x o=acos-4 =a 普* y o =bs 泊乡二匕芈 切线方程为小警一a(x —a 即bx+ay —运 ab=0.例8.抛射体运动轨迹的参数方程为1 y Ft "2 gt求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向.y-V 2t-gt 2解：先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x (t)=v i y(t)=v 2-gt 、所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为v =』x(t)]2+[y(t)]2 =J v 2+ (V 2—gt)2.再求速度的方向、设a 是切线的倾角、则轨道的切线方向为tan 。
1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
第二章 导数与微分教学要求:正确理解导数概念及其几何意义.知道导数值与导数的联系与区别.熟练掌握求导方法,记住求导的基本公式及求导法那么(四那么运算法那么,反函数、复合函数、隐函数、参数式函数的求导法那么，对数求导法).知道利用定义求导数的方法,会求分段函数分界点处的导数.会计算较简单的导数应用题.会求曲线在某点的切线和法线方程;会求一些物理量的变化率;会计算一些简单的相关变化率问题.理解高阶导数的定义,熟练掌握求二阶导数的方法.会求一些简单的初等函数(如1,,sin ,ln ,ln(1)x e x x x x). 正确理解微分的定义及其与导数的关系.理解微分与函数增量的关系,会用微分近似计算函数改变量和函数值的近似值.理解一阶微分形式不变性.明确可微(可导)与连续之间的关系.教学重点:导数与微分的概念;导数的几何意义和作为变化率的各种实际意义及其应用;函数连续、可导、 可微相互之间的关系；各类函数的求导法那么与求导方法;基本初等函数的导数与微分公式. 教学难点:复合函数求导法那么与高阶导数求导方法的应用.数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.内容分布图示★ 引言★ 变速直线运动的瞬时速度★ 平面曲线的切线★ 导数的定义 ★ 关于导数的几点说明★利用定义求导数与求极限 ★例1★例2★ 例3★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 左右导数★ 例8 ★ 例9★ 导数的几何意义 ★ 例10 ★ 例11★ 导数的物理意义★ 可导与连续的关系★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结★ 课堂练习★返回内容要点：一、引例： 引例1: 变速直线运动的瞬时速度； 引例2: 平面曲线的切线二、导数的定义：xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值x y ∆∆是函数y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='那么是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：1． 求函数的增量： );()(x f x x f y -∆+=∆2． 求两增量的比值：x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; 3． 求极限 .lim0xy y x ∆∆='→∆ 三、左右导数定理1 函数)(x f y =在点0x 处可导的充要条件是：函数)(x f y =在点0x 处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数五、导数的几何意义六、函数的可导性与连续性的关系定理2 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么它在0x 处连续.注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数3x y =在1=x 处的导数)1(f '.例2试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在).(1);)2()2(lim ax a f x f a x --→ (2) ,)(lim 0xx f x → 其中.0)0(=f 用定义计算导数例3 求函数C x f =)((C 为常数)的导数.例4设函数,sin )(x x f = 求)(sin 'x 及4|)(sin π='x x . 例5 求函数n x y =(n 为正整数)的导数.例6 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.例7 求函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数.左右导数例8 求函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处的导数. 例9 设)(x f 为偶函数，且)0(f '存在. 证明.0)0(='f例10求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 例11 求曲线x y =在点)2,4(处的切线方程.例12 讨论函数||)(x x f =在0=x 处的连续性与可导性.例13 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性. 例14设函数⎩⎨⎧<≤+<=,10,10,)(2x x x a x f 问a 取何值时，)(x f 为可导函数. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子(如第十一章第一节的Koch 雪花曲线描述的函数)，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.课堂练习1. 函数)(x f 在某点0x 处的导数)(0x f '与导函数)(x f '有什么区别与联系?2. 设)(x ϕ在a x =处连续, )()()(22x a x x f ϕ-=, 求)(a f '.3. 求曲线32x x y -=上与x 轴平行的切线方程.莱布尼茨 （Friedrich , Leibniz ，1597~1652）-----博学多才的数学符号大师出生于书香门第的莱布尼兹是德国一们博学多才的学者。
第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
