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极限的求法总结

n2
11 lim (1 )
n2 n
1 2
.
例ln i m (1 133 15 ...4 n 1 2 1 )
拆项 :4 n 2 1 1 ( 2 n 1 ) 1 ( 2 n 1 ) 1 2 (2 n 1 1 2 n 1 1 )
lim( 1 1 ... 1 )
n 13 35
4n2 1
x 0
x
e e e e. 11 lim 1x x 0 2x
x lim1x x 02x
lim 1 x 02(1x)
1 2
14. 将数列极限转化成函数极限求解
例：求极限
lim
n
n
sin
1 n
n2
【说明】这是 1 形式的极限，由于数列极限不能使用
解：当0x1时，（积分不容易计算）
01xnssiinn33xx xn
故 01xnsin 3xd x1 xnd xxn 11, 01 sin 3x 0 n 10n 1
因为 lim0lim 1 0 x xn1
所以
lim 1xnsin3xdx0
x 01sin3x
10. 用等价无穷小量代换求极限
limx2( x2+93)3 x0 x2( x2+42) 2
9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限
说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的。
例求 li(m 11 1). n n 2 1 n 2 2 n 2 n
解
n1 1n, n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
(n1,2,3,)
（1）证明
lim
n
xn
存在；
（2）求
lim

2.3 极限的运算法则

= lim =0 x→0 x( 1 + x + 1) x→0 ( 1+ x2 +1)
2
x2
x
7
2.3.2 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为的变量的变量。在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，论价值，值得我们单独给出定义的某一变化过程中,函数极限为零,称定义1: 的某一变化过程中函数f(x)极限为零定义在x的某一变化过程中函数极限为零称 f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）. 为该过程的无穷小量（简称无穷小）为该过程的无穷小量无穷小例如 : ∵ lim x = 0, ∴ 函数 x是当 x → 0时的无穷小.
§2.3 极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍极限四则运算法则。先来介绍极限四则运算法则。
10
三、无穷小与无穷大的关系
定理3 在自变量的同一变化过程中, 定理3 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 为无穷大, 则若为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. 为无穷大. 为无穷小, 若为无穷小, 且f (x) ≠ 0, 则 f (x) 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为意义据此定理，关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. 关于无穷小的讨论 C 2x + 4 型 . 例6 求 lim 0 x→−1 x + 1 x +1 lim = 0 再利用无穷小与无穷大之间的关系, 解 ∵ x → −1 再利用无穷与无穷大之间的关系, 无穷小 2x + 4 2x + 4 =∞ 可得: 可得: lim 11 x → −1 x + 1

极限运算法则课件

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

大学数学极限ppt课件

完整最新ppt
22
y 1 x
时,函数f(x)的极限
y
ox
-∞
+∞
y 1 x
x y=f(x) →0
完整最新ppt
23
1. x时,函数f(x)的极限
定义2.2：设函数 y f(x) ，如果当X无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数 A,则称当X趋于正无穷时， f(x) 以A为极限，
记为
lifm (x ) A或 f(x ) A (x )
lim C C
xx0
lim x
x x0
x0
limsinx sin x0
xx0
limcosx cos x0
xx0
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38
小结
-、数列 xn的极限：
给定一个数列xn如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于
某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。
记作
lni mxn A
或 xnA(n )
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12
例：
2,4,8, ,2n,
xn 2n → ∞ (n)
lim2n 极限不存在
n
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13
1, 1, 1,, 1,
234 n
lim 1 0
收
2,1,4,n3 , n ,n(1)n 1,敛
234
n
n(1)n1 lim
1
n n
完整最新ppt
14
2,4,8, ,2n,
lim2n
通项 n n 1
→1
(n)
lim n 1 n n 1
数列收敛
完整最新ppt
17
2.1.2函数的极限
(limit of function)

归纳高数极限PPT.ppt

由图容易看出：
lim arctan x ,
x
2
2
y arctan x x
lim arctan x ,
x
2
由定理可知： lim arctan x 不存在. x
2
请同学们自己证一下.
.精品课件.
18
二. x x0 时, f (x) 的极限
x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x) 的变化趋势.
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
| f (x) a | a f (x) a
.精品课件.
5
lim f (x) a 的几何意义
x
y
y f (x)
y a ya
y a
O
X
x
当 x X 时, a f (x) a , 即函数的图
形夹在两条平行线 y a 和 y a 之间.
非
常
非
常
严
格
！
.精品课件.
24
例5
证明 lim 2(x2 4) 8 . x2 x 2
证 0, 要 2(x2 4) (8) ,
x2
x 2
只要 | 2(x 2) 8 | 2 | x 2 | 2 | x (2) |
故取 , 则当 0 | x (2) | 时, 有
第二章极限
数列的极限函数的极限无穷小量与无穷大量极限的运算极限存在定理两个重要极限无穷小量的比较
结束
.精品课件.
1
第二节函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限二. x x0 时, f (x) 的极限三. 函数极限的性质四. x x0 时, f (x) 的左、右极限

数学极限ppt

称为数列的通项或一般项。
例如：
1, 1 2
,
1 3
,
1 4
,,
1 n
,
记作：
1
n
记作： (1)n1
1 2
1 , 22
,
1 23
1 , 24
,
1 2n
, 记作：
1
2
n
数列的极限
数列极限的实质：
随着项数n的变化,通项xn的变化趋势也就是
考察当n→∞时，通项xn的变化趋势。
例如, 1,
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包权
人书友圈7.三端同步
2.1 极限的概念
现代日常生活中人们常用这种变化趋势来判断事物的发展趋势。
2.1 极限的概念
【古代极限思想】庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，
记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
2.1 极限的概念
【古代极限应用】
三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”

函数的极限PPT幻灯片PPT

lnim xn a, 或xn a (n ).
如果数列没有极限,就称数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式刻x 划 n 与 a 的了无 ; 限 2.N与任意给定的有正关 . 数
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至有多限 N 个只 )个落有在 . 其外
N定义 : ln i x m na
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或.存在
一般我们用定义来证明数列的极限 P14 例1-----2
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 一般而言，求极限是相当困难的。
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
0xx 0 表 x 示 x 0 的.过程
x0 体x接现x0 近程.度
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x ,对应的函数值f (x) 都满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
函数的极限PPT幻灯片PPT
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一、数列的极限
（一）、数列极限的定义（二）、收敛数列的性质
（一）、数列极限的定义
1、由割圆术引入： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽(公元3世纪)
正六边形的面积 A 1
对于我们而言,目前用观察法找出极限 P40 EX16
说明:常数列的极限等于同一常数.
（二）、收敛数列的性质

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lim 1 (1 1 ) 1 n 2 2n 1 2
例
lim(
x1
1 x 1

2
x2

) 1
lim( 1 2 ) lim( x 1 2 ) x1 x 1 x2 1 x1 x2 1 x2 1

lim
x1
x 1 x2 1

lim
x1
x
1 1

1 2
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例求极限 lim ( x2 3 x2 1) x
lim (
x
x2 3

0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,

无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
练习1 练习2
求 lim 2x 2 5x 1. x1 x 2 4x 8
求 lim 2n 1 . n n2 n
练习3 练习4
lim (2x 3)20 (3x 2)30
x
(2x 1)50
lim (2x 1)4 (x 1)78
x
(x 1)82
lim x
x4
(2

1 x
)4

x78
(1
1 x
)78
x82 (1
1 x
)82
24
16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
sin x lim 0.
x x
y sin x x
练习1. 求 lim x2 sin 1 .
x0
x
练习2. 求 lim 1 sin x. x x
练习3. 求lim x sin 1 .
x0
x
练习4. 求 lim x sin 1 .
x
x
练习5. 求lim sin x . x0 x
方法总结：
对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极限;
2005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）
(15)
1 x
lim( x0 1

e
x

1 ). x
6.利用无穷小运算性质求极限
例求 lim sin x . x x
解当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.

1 3
5

...

1 4n2

) 1
拆项
:
1 4n2 1

(2n
1 1)(2n
1)

1 2
(1 2n 1

1) 2n 1
1 lim( n 1 3

1 3
5

...

1
4n2
) 1
lim 1 (1 1 1 1 ... 1 1 )
n 2 3 3 5
2n 1 2n 1
x2 1) lim ( x2 3 x2 1)( x2 3
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x2 3 x2 1
x2 1)
例求 lim x2 +4 2 . x0 x2 +9 3
(分子分母有理化消去零因子)
lim x2 +4 2 lim ( x2 +4 2)( x2 +4 2)( x2 +9 3) x0 x2 +9 3 x0 ( x2 +4 2)( x2 +9 3)( x2 +9 3)
求
4x 1
lim
x1
x2

2x

. 3
解 lim(x2 2x 3) 0 商的法则不能用 x1 又lim(4x 1) 3 0, x1 lim x2 2x 3 0 0. x1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
x2
4x 1 2x
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种求极限的方法和相关问题
1.代入法求极限
例1.lim(x2 x 2) x2
例2.设有多项式Pn (x) a0xn a1xn1 ... an ,
求
lim
xx0
Pn
(
x).
lim
xx0
Pn (x)

a0
(
lim
xx0
x)n
例
求
1
lim(
n
n
2

2 n2

n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2

2 n2

n n2
)

lim 1
n
2
n2
n
1

n(n 1)
lim 2
n
n2

1 lim (1 n 2
1) n

1. 2
例
lim( 1 n 1 3
7.利用左右极限求分段函数极限
例
设
f (x)
1 x,

x2

1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,

3x2 4x2

5 1

lim
x
2 7

3
x 4
x

5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim a0 x n x b0 x m
a1 x n1 an b1 x m1 bm
3

.
3.消去零因子法 ( 0 型 )
0
例4
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3

lim
x1
(x (x

1)( x 3)( x

a1
(
lim
xx0
x) n1

an
a0 x0n a1 x0n1 an Pn ( x0 ).
例3.
lim
x1
x
2 3x
5x 2
2
6
商的法则(代入法)
方法总结：多项式函数与分式函数(分母不为0)用代入法求极限;
2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限
例
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x
2x3 7x3

3x2 4x2

5 1
.
解
x

时,
分子,分母的极限都是无穷大.(型)先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3

极限的求法总结.ppt

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