第2章函数概念与基本初等函数 (3)
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1．函数f(x)＝的定义域为( )
A． B．(2，＋∞)
C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞)
解析：选C．要使函数有意义，(log2x)2－1>0，
即log2x>1或log2x<－1，
所以x>2或0 即函数f(x)的定义域为(0，)∪(2，＋∞)． 2．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( ) A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1) C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定 解析：选A．由已知得0 断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)． 3．设a＝log510，b＝log612，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c解析：选D.因为a＝log510＝1＋log52，b＝log612＝1＋log62，c＝log714＝1＋log72， 又0 4．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( ) A．0 C．0 解析：选A．由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a＞1.函数图象与y轴的交点坐 标为(0，loga b)，由函数图象可知－1 5．若函数f(x)＝logax(0 )A． B．C． D．解析：选A．因为0 ＝1，f(x)min＝loga2a，所以1＝3loga2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝.故选A．6．lg ＋lg ＋20＋×＝________． 解析：lg ＋lg ＋20＋×＝lg＋1＋5×5＝＋5＝. 答案： 7．设函数f(x)＝则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为________． 解析：原不等式等价于或解得≤x≤1或1 答案： 8．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________． 解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－， 当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为－. 答案：－ 9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解：(1)因为f(1)＝2， 所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2. 由得x∈(－1，3)， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1. (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a＞1时，求使f(x)＞0成立的解集． 解：(1)要使函数f(x)有意义， 则解得－1＜x＜1. 故所求函数f(x)的定义域为(－1，1)． (2)f(x)为奇函数．证明如下： 由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1，1)内是增函数， 所以f(x)＞0⇔＞1， 解得0＜x＜1. 所以使f(x)＞0的x的解集是(0，1)． 1．已知函数f(x)＝－x＋log2＋2，则f()＋f(－)的值为( ) A．2 B．4 C．6 D．10 解析：选B．因为函数g(x)＝－x＋log2是奇函数，所以g()＋g(－)＝0，则f()＋f(－)＝g() ＋2＋g(－)＋2＝4.故选B． 2．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( ) A．0 C．1 解析：选C．当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0 中”<0，即a2－4<0，所以2>a>1. 当0 去．综上可知，故选C． 3．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(0，1) C． D．(3，＋∞) 解析：选D.由于a>0，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数， 所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，所以a>1. 又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3. 4．设函数f(x)＝|logax|(0 值为，则实数a的值为________． 解析：作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图，令|logax|＝1. 得x＝a或x＝，又1－a－＝1－a－＝＜0， 故1－a＜－1， 所以n－m的最小值为1－a＝，a＝. 答案：5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)＞－2. 解：(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log(－x)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|＜4， 解得－＜x＜， 即不等式的解集为(－，)． 6．已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0. (1)求函数f(x)的定义域； (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． 解：(1)由x＋－2>0，得>0. 因为x>0，所以x2－2x＋a>0. 当a>1时，定义域为(0，＋∞)； 当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)； 当0 (2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立， 即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立， 记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max. 而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.
