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2.2平方根 （解析）
知识点
一．平方根
定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．
表示 若2xa，则x就叫做a的平方根，例：25=25（），25的平方根就是5．
一个非负数a的平方根可用符号表示为“a”.
特征 1．正数有两个平方根，且互为相反数，和为0；
2．0的平方根只有一个，是它本身；
3．负数没有平方根．
二．算术平方根
概念 如果一个非负数x的平方等于a，即 2xa，那么非负数x是a的算术平方根．
表示 a的算术平方根用a表示．a叫做被开方数（0a）．
例：9=3 ，9叫做被开方数，3是9的算术平方根.
性质 双重非负性，在xa中有0x，0a．
三．开平方
概念 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
意义 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．
性质 1．当被开方数扩大(或缩小)2n倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n倍（0n）．例：1扩大100倍为100，它的平方根相应的变为10.
2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
若0a，则2()aa；
不管a为何值，总有2(0)||(0)aaaaaa注意二者之间的区别及联系．
四．易错点：
1．只有非负数才有平方根，负数没有平方根；
2．正数的平方根有两个，且互为相反数；
3．0的平方根和算术平方根都是0；
4．计算.例如，求 16的算术平方根，学生会错写为4，应该是2；
5．求一个带分数的平方根时，必须把带分数化为假分数.
重点、难点
2.2平方根
第1课时 算术平方根
教学目标
1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)
2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点)
教学过程
一、情境导入
填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________；(2)25的平方等于425，那么425的算术平方根就是________；(3)展厅的地面为正方形，其面积是49平方米，则边长为________米．
平方等于9，425，49的数还有吗？
二、合作探究
探究点一：平方根的概念及性质
【类型一】 求一个数的平方根
求下列各数的平方根：
(1)12425；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)81.
解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．
解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75；
(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01；
(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±（－4）2＝±4；
(4)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.
方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．
【类型二】 利用平方根的性质求数的值
一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0.即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．
探究点二：开平方及相关运算
1.1 探索勾股定理（二）
教学目标：
1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2． 掌握勾股定理和他的简单应用
重点难点：
重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理
难点：用面积证勾股定理
教学过程
一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题
我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？
（同学们回答有这几种可能：（1）)(22ba （2）2421cab ）
在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
22ba=2421cab 请同学们对上面的式子进行化简，得到：
22222cabbaba 即 22ba=2c
这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲例
1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的4000,90ACc米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB的长，由于直角△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得千米）(94522222ACABBC
知识点总结
平方根
1. 概念：若果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作+-√a（a≧0）（有些同学容易弄混，所以直接可以理解为，一个非负数开平方出来，其中的正数就是算术平方根，例：+-√36=+-6，其中6就是算术平方根，+-6整体就是平方根）
2. 平方根的性质：一、正数有两个平方根，它们互为相反数
注意：
一、根号下面的整体必须大于等于0（例子：√x-3（根号下x-3）中隐含着x-3≧0，）
二、0的平方根是0
三、负数没有平方根
知识点汇总
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基本概念
1、平方根
如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.
a（a≥0）的平方根的符号表达为±√a(a≥0)，其中√a是a的算术平方根。（根号电脑无法输入，此处仅为示意，请以授课中的根号表示方法为准）
【要点诠释】 当式子√a有意义时，a一定表示一个非负数，即√a≥0，a≥0。
平方根和算术平方根的区别
2、区别：
（1）定义不同；（2）结果不同；
3、联系：
（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
【要点诠释】
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
4.平方根的性质
5.平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：
今日练习
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1.计算的结果是：
A．2 B．±2 C．-2 D．4
【参考答案】
1.根据22=4，即可得出4的算术平方根.
考点：算术平方根
点评：此题考查了算术平方根。注意：一个正数的算术平方根为正数. 教学设计：
