[精品]2019高中数学第三章.2两角和与差的正弦余弦正切公式同步优化训练新人教A版必修107

3.1.1 两角差的余弦公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.cos345°的值等于( ) A.462- B.426- C.462+ D.-462+ 解析：cos345°=cos(-15°+360°)=cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° =22×23+22×21=426+.答案：C2.cos75°cos15°-sin75°sin195°的值为( ) A.0 B.21 C.23 D.21-解析：原式=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=21. 答案：B3.若sin(2π+α)=54-，α∈(2π，π)，则cos(3π-α)=____________________. 解析：由诱导公式得sin(2π+α)=cos α=-54，又α∈(2π，π)，所以sin α=53.所以cos(3π-α)=cos 3πcos α+sin 3πsin α=21×(-54)+23×53=10433-.答案：10433- 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为( ) A.21-B.21C.23-D.23解：原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=21. 答案：B2.化简cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α得( )A.cos αB.cos βC.cos(2α+β)D.sin(2α+β)解析：cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos(α+β-α)=cos β. 答案：B3.sin33°cos27°+sin57°cos63°=_________________.解析：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 答案：23 4.已知cos α=71，cos(α+β)=1411-，且α、β∈(0，2π)，求cos β的值. 解：由于α、β∈(0，2π)，cos α=71，cos(α+β)=1411-，则sin α=734)71(1cos 122=-=-α. sin(α+β)=1435)1411(1)(cos 122=--=+-βα. 所以cos β=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=1411-×71+7341435⨯=21.5.已知sin α+sin β=53，cos α+cos β=54，求cos(α-β)的值. 解：sin α+sin β=53①，①式平方得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=259； cos α+cos β=54②，②式平方得cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=2516.以上两式相加，得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1， 即2+2cos(α-β)=1，得到cos(α-β)=21-. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.cos80°cos35°+cos10°cos55°的值为( ) A.22 B.426- C.23 D.21解析：cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°) =cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=22.答案：A 2.化简：︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2=_______________________.解析：320cos 20sin 20sin 20cos 320cos 20sin )2030cos(220cos 20sin 10cos 2=︒︒-︒+︒=︒︒-︒-︒=︒︒-︒.答案：33.已知sin α=53，cos β=1312，求cos(α-β)的值. 解：∵sin α=53＞0，cos β=1312＞0，∴α可能在第一、二象限，β可能在第一、四象限.若α、β均在第一象限，则cos α=54，sin β=135，cos(α-β)=54·1312+53·135=6563.若α在第一象限，β在第四象限，则cos α=54，sin β=-135，cos(α-β)=54·1312+53·(-135)=6533.若α在第二象限，β在第一象限，则cos α=-54，sin β=135，cos(α-β)=(-54)·1312+53·135=-6533.若α在第二象限，β在第四象限，则cos α=-54，sin β=-135，cos(α-β)=(-54)·1312+53·(-135)=-6563.4.已知cos(α-β)=-54，cos(α+β)=54，且(α-β)∈(2π，π)，(α+β)∈(23π，2π)，求cos2β的值.解：由cos(α-β)=-54，cos(α+β)=54，且(α-β)∈(2π，π)，(α+β)∈(23π，2π)，可得sin(α-β)=53，sin(α+β)=53-，所以cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=-cos(α+β)·cos(α+β)+sin(α+β)·sin(α-β)=54·(-54)+(53-)·53=-1.5.化简：153sinx+53cosx.解：原式=56(23sinx+21cosx)=56(sin60°sinx+cos60°cosx)=56cos(60°-x). 6.已知：sin α+sin β+sin γ=0，且cos α+cos β+cos γ=0.求证：cos(α-β)21-. 证明：由已知可得sin α+sin β=-sin γ，cos α+cos β=-cos γ. 两式平方相加得到2+2cos(α-β)=1， 所以cos(α-β)=21-，得证. 7.如图3-1-1的平面直角坐标系中，已知=(cos80°，sin80°)，=(cos20°，sin20°)，求||.若AB 中点是C ，那么||呢？图3-1-1解：=(cos20°-cos80°，sin20°-sin80°)， ||=22)80sin 20(sin )80cos 20(cos ︒-︒+︒-︒=︒+︒︒-︒+︒+︒︒-︒80sin 80sin 20sin 220sin 80cos 80cos 20cos 220cos 2222 =)2080cos(22)80sin 20sin 80cos 20(cos 211︒-︒-=︒︒+︒︒-+=︒-60cos 22=1.可知△AOB 是等边三角形，可求得||=23. 8.已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围. 解：由sin α+sin β=22，等式两边平方可知 sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=21. ① 设cos α+cos β=m.平方可知，cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2. ② ①+②得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β+cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2+21, 整理，有m 2=23+2cos(α-β)，又由于cos(α-β)∈［-1，1］，所以m 2∈［21-，27］，即得0≤m 2≤27. 解得214-≤m≤214. 9.已知0＜β＜4π,4π＜α＜43π，cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135，求sin(α+β)的值.解：∵4π＜α＜43π，∴-2π＜4π-α＜0.∴sin(4π-α)=-54,又∵0＜β＜4π,∴43π＜43π+β＜π.∴cos(43π+β)=-1312.∴sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=-cos ［2π+(α+β)］=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］=-［1312×53135-×(54-)］=6556. 快乐时光只到鸭子半身 一个骑马过路的人来到一条他不熟悉的河边. 他问一名少年这条河深不深. “不深.”男孩儿答道.骑马人就开始过河，但他很快就发现他和他的马要想活命就得游过去. 当这个游客到达河对岸时，转过身喊道：“我想你是对我说河不深吧？” “不深，”孩子答道，“它仅能到我爷爷养的鸭子半身.”。

2．3 两角和与差的正切函数, )1．问题导航(1)公式T α±β中α，β的取值范围是什么？ (2)如何由公式T α－β推出公式T α＋β？ (3)公式T α－β和公式T α＋β有何不同？ 2．例题导读P 121例4.通过本例学习，学会直接运用公式T α±β求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 6你会吗？P 122例5.通过本例学习，学会运用公式T α±β化简求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 2(5)(6)你会吗？ P 122例6.通过本例学习，学会运用公式T α±β求值． 试一试：教材P 123习题3－2 A 组T 7你会吗？tan αtan β1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )(2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )解析：(1)正确．当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)正确．当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子，当tan αtan β＝1时，α＋β＝π2＋k π，k ∈Z ，tan(α＋β)无意义，所以后一个式子两边同除以1－tan αtan β可得前一个式子成立，两式等价．答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7C.17D ．7 解析：选D.因为cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35. 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝7.3．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________．解析：因为tan α＝3，tan β＝43，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.答案：134.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________． 解析：tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan(82°－22°)＝tan 60°＝ 3.答案：31．公式T α±β的结构特征和符号规律(1)结构特征：公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．两角和与差的正切公式的变形与特例(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(2)公式的特例： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.化简求值计算：(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°； (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°；(3)(3＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 50°＋tan 50°tan 60°)·tan 10°. (链接教材P 122例5)[解] (1)因为tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.所以sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－33（3－1）＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.(3)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°tan 60°)·tan 10°，因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝tan 40°－tan 30°1＋tan 40°tan 30°，所以1＋tan 40°tan 30°＝tan 40°－tan 30°tan 10°，同理，1＋tan 40°tan 50°＝tan 50°－tan 40°tan 10°，1＋tan 50°tan 60°＝tan 60°－tan 50°tan 10°，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 40°－tan 30°tan 10°＋tan 50°－tan 40°tan 10°＋tan 60°－tan 50°tan 10°·tan 10°＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50°＝－tan 30°＋tan 60°＝－33＋3＝233. 方法归纳解答此类问题应注意以下两点： (1)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 45°＝1，tan 30°＝33，tan 60°＝3等．特别要注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.(2)公式的变形运用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活变形应用公式T α±β的意识，从而不难获得解题思路．1．(1)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________．(2)tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝________． (3)求下列各式的值：①sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； ②tan 20°·tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°.解：(1)1－3tan 75°3＋tan 75°＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan （60°＋75°）＝1tan 135°＝1－1＝－1.故填－1. (2)因为tan 45°＝tan(19°＋26°)＝tan 19°＋tan 26°1－tan 19°tan 26°＝1，所以tan 19°＋tan 26°＝1－tan 19°tan 26°， 则tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝1.故填1.(3)①原式＝sin （15°－8°）＋cos 15°sin 8°cos （15°－8°）－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°co s 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.②原式＝33(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°·tan 20°＝33·tan 60°(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 40°·tan 20° ＝1－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1.给值求值(角)(1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2 2.求：①tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；②tan(α＋β)．(2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<π2，0<|β|<π2，求α＋β的值．(链接教材P 121例4，P 122练习T 4)[解] (1)①tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.②tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11－（－2）×1＝22－3.(2)由已知，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α<0，tan β <0，所以－π2<α<0，－π2<β<0，所以－π<α＋β <0，所以α＋β＝－23π.方法归纳解决给值求值(角)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．提醒：在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小．2．已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值； (2)角α＋β的值．解：(1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝3π4.公式T α±β的综合应用(1)已知A ，B 是△ABC 的两个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，则tan C ＝________．(2)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．[解] (1)因为tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2.又A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.故填2. (2)由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )，因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以1－tan B tan C ≠0，所以tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝3，即tan(B ＋C )＝3，因为0<B ＋C <π，所以B ＋C ＝π3.由3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， 得3(tan A ＋tan B )＝－(1－tan A tan B )，因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以1－tan A tan B ≠0，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，即tan(A ＋B )＝－33.因为0<A ＋B <π，所以A ＋B ＝5π6.又A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝2π3，B ＝C ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形．本例(1)中的方程“3x 2＋8x －1＝0”改为“3x 2＋8x －m ＝0”，求tan C 的取值范围．解：由题意得Δ＝82＋12m ≥0，所以m ≥－163.因为tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －m ＝0的两个实根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tanB ＝－m3，则A ，B 中有一个为钝角，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3＝－8m ＋3，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝8m ＋3， 因为m ≥－163，所以tan C ≤－247或tan C >0.当tan C ≤－247时，C 为钝角，此时不能构成三角形，故tan C >0.方法归纳公式应用的常见问题类型及处理策略(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题．(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系．3．已知tan α，tan β是关于x 的方程x 2－4px －3＝0(p ∈R )的两个实数根，且α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )，求cos 2(α＋β)＋p sin(α＋β)cos(α＋β)的值．解：因为tan α，tan β是方程x 2－4px －3＝0的两实根， 所以根据根与系数关系，得 tan α＋tan β＝4p ， tan αtan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4p4＝p ，即sin(α＋β)＝p cos(α＋β)．原式＝(1＋p 2)cos 2(α＋β)＝1＋p 21＋tan 2（α＋β）＝1＋p 21＋p2＝1.已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．[解析] 由于tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）·tan β＝12－171＋12×17＝13，且α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4又由tan β＝－17，且β∈(0，π)，得β∈(π2，π)，所以2α－β∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝12＋131－12×13＝1，所以2α－β＝－34π.[答案] －3π4[错因与防范] (1)解答本题常会得到2α－β的值为π4，5π4这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．(2)为了防范类似的错误，应该 ①树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T α±β较方便快捷，且不易产生增解．②注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．4．(1)在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 必是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形(2)已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解：(1)选C.因为tan A ·tan B >1且A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以tan A >0，tan B >0，又因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0，所以A ＋B >π2，所以C 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形．(2)由tan α＝17，tan β＝13知，0<α<π4，0<β<π4，则0<α＋2β<3π4，又tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝34，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝17＋341－17×34＝1，所以α＋2β＝π4.1.3－tan 18°1＋3tan 18°等于( )A ．tan 42°B ．tan 3°C ．1D ．tan 24°解析：选A.3－tan 18°1＋3tan 18°＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°＝tan(60°－18°)＝tan 42°.2．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是( )A ．c ＝b ＋aB ．2b ＝a ＋cC ．b ＝a ＋cD ．c ＝ab解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝c a，所以tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋α＝－ba 1－c a＝1，所以－b a ＝1－ca，所以－b ＝a －c ，所以c ＝a ＋b .故选A.3．tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝________．解析：tan 27°＋tan 33°＝tan(27°＋33°)(1－tan 27°·tan 33°) ＝tan 60°(1－tan 27°tan 33°)＝3－3tan 27°·tan 33°， 所以tan 27°＋tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝3－3tan 27°tan 33°＋3tan 27°tan 33°＝ 3. 答案： 3, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析：选B.tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.2．设α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，则α－β等于( )A.π3 B ．π4C.34π D ．－π4解析：选D.tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1.因为tan α<tan β且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α<β.所以α－β＝－π4.3．直线l 1：x －2y ＋1＝0，倾斜角为α，直线l 2：x ＋3y －1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )A.π4 B ．3π4 C ．－π4 D ．－3π4解析：选B.由题意可知，tan α＝12，tan β＝－13，所以0<α<π2，π2<β<π.所以0<β－α<π，所以tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝－13－121－13×12＝－1.所以β－α＝3π4.4．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B ＝( ) A.14 B ．13 C.12 D ．53 解析：选B.C ＝120°，则A ＋B ＝60°，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ，故2331－tan A tan B ＝3，所以tan A tan B ＝13.5．在△ABC 中，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 为( )A.π3 B ．π4 C.π6 D ．3π4解析：选B.由sin A －3cos A ＝0得tan A ＝3.由sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0得tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1，当tan B ＝2时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝1，由C ∈(0，π)得C ＝π4；当tan B ＝－1时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－12，此时B 、C 均为钝角不合题意，舍去，综上所述C ＝π4.6．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________． 解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2.答案：27.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°＝________．解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°） ＝1tan 30°＝ 3. 答案： 38．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α＝________． 解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，所以1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13，所以12sin α·cos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin α·cos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 答案：239．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，求tan α·tan β的值．解：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②整理得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.10．若tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解：由根与系数的关系可得，tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－（－3）＝34. sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2（α＋β）－3sin （α＋β）cos （α＋β）－3cos 2（α＋β）sin 2（α＋β）＋cos 2（α＋β）＝tan 2（α＋β）－3tan （α＋β）－3tan 2（α＋β）＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342－3×34－3⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝－3.[B.能力提升]1．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D ．3tan 20°解析：选 A.原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋3tan 10°＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°，因为tan(10°＋20°)＝tan 10°＋tan 20°1－tan 10°·tan 20°＝33，故tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°·tan 20°＝33， 所以原式＝3×33＝1. 2．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β的值为( )A.91050B ．31010C ．－1010D ．131050解析：选A.因为α，β为锐角，且cos α＝45，所以sin α＝35，所以tan α＝34.又tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝34－tan β1＋34tan β＝－13，所以tan β＝139，即sin βcos β＝139，因为β为锐角，所以13cos β＝91－cos 2β， 整理得cos β＝91050.3．已知tan α＝13，cos β＝55且0<α<π2，3π2<β<2π则α＋β的值为________．解析：因为3π2<β<2π且cos β＝55，所以sin β＝－255，所以tan β＝sin βcos β＝－2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，又因为0<α<π2，所以3π2<α＋β<52π，所以α＋β＝74π.答案：74π4．设0<β<α<π2，且cos α＝17，cos(α－β)＝1314，则tan β的值为________．解析：由0<β<α<π2，可得0<α－β<π2，又cos α＝17，cos(α－β)＝1314，得sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314，则tan α＝43，tan(α－β)＝3313，所以 tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43－33131＋43×3313＝ 3. 答案： 35．如图，在矩形ABCD中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．解：由AB ＋BP ＝PD ，得a ＋BP ＝a 2＋（2a －BP ）2，解得BP ＝23a .设∠APB ＝α，∠DPC ＝β，则tan α＝AB BP ＝32，tan β＝CD PC ＝34，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－18，又∠APD ＋α＋β＝π，所以tan ∠APD ＝18.6．(选做题)是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解：若α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又因为tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－3，所以tan α2，tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根，所以x 1＝1，x 2＝2－ 3.由于α是锐角，所以0<α2<π4，故tan α2≠1，所以tan α2＝2－3，tan β＝1.因为0<β<π2，所以β＝π4，α＝2π3－2β＝π6，所以存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.。

2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+3(tan10°+tan20°)的值等于( ) A.31B.1C.3D.6 思路分析:∵3330tan 20tan 10tan 120tan 10tan =︒=︒∙︒-︒+︒，∴tan10°+tan20°=33(1-tan10°·tan20°). ∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1. 答案:B2.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.21m - B.21m -- C.12-mD.12--m思路分析:由条件，得sin ［(α-β)-α］=sin(-β)=-sin β=m ，∴sin β=-m. 又∵β为第三象限角，∴cos β=221sin 1m --=--β.答案:B3.若tan θ=31，则cos 2θ-21sin2θ的值等于( ) A.65- B.54- C.53 D.54思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sin θcos θ，tan θ=31，∴原式=53)31(1311tan 1tan 1sin cos cos sin cos 22222=+-=+-=+-θθθθθθθ. 答案:C4.若tan(α+β)=52，tan(β-4π)=41，那么tan(α+4π)等于( ) A.1613 B.223 C.2213 D.163思路分析:tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=∙+-=-∙++--+πββαπββα. 答案:B5.函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x),(x∈R )的最小值是__________. 思路分析:y=2sin 3πcosx-2cos 3πsinx-cos 6πcosx+sin 6πsinx=3cosx-sinx 23-cosx+21sinx=23cosx 21-sinx=cos(x-6π). 所以函数的最小值为-1.答案:-16.设tan α=71，tan β=31，α、β均为锐角，则tan(α+2β)=_________.思路分析:∵tan β=31，∴tan2β=tan(β+β)=43)31(1312tan 1tan 222=-⨯=-ββ. 又∵tan α=71，∴tan(α+2β)=14371143712tan tan 12tan tan =⨯-+=∙-+βαβα. 答案:1 综合•应用7.已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， (1)求证：tanA=2tanB ；(2)设AB=3，求AB 边上的高. (1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， ∴2tan tan 51sin cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A . ∴tanA=2tanB.(2)解：∵2π＜A+B ＜π,sin(A+B)=53,∴tan(A+B)=43-，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将tanA=2tanB 代入上式并整理得 2tan 2B-4tanB-1=0.解之,得tanB=262±,舍去负值得tanB=262+. ∴tanA=2tanB=62+.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD . 由AB=3，得CD=62+.所以AB 边上的高等于62+.8.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图3-1-8)，小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时，用力最小？图3-1-8思路分析:作出小车的受力分析如右图，由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可.解:由小车的受力分析可得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G f N f F μϕϕ 解得)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμμϕαϕαμμϕμϕμ-+=++=+=GG G F . 要使F 最小，分母应最大，即cos(α-φ)=1，α=φ. 又tan α=μ，所以当φ=arctan μ时，F 最小，最小值为F min =21μμ+G=Gsin α=Gsin φ.9.tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，试求sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β)的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用.在解题过程中，要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数.在解决三角函数问题里，常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明.解:由已知tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，根据韦达定理，有tan α+tan β=3，tan α·tan β=-3. 所以tan(α+β)=43)3(13tan tan 1tan tan =--=-+βαβα.所以sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β))(cos )(sin )(cos 3)cos()sin(3)sin(2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+=1)(tan 3)tan(3)(tan 22++-+-+=βαβαβα〔分子、分母同时除以cos 2(α+β)可得此式〕 31)43(3433)43(22-=+-∙-=. 10.如图3-1-9，扇形薄铁板的半径是1 m ，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS 的面积最大？图3-1-9思路分析:可以设∠POS=α，然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示，经过适当变形转化成一个三角函数，进而求出最大面积.解:令∠POS=α，在Rt△POS 中，PS=OP·sin α=sin α，OS=OP·cos α=cos α； 在Rt△ROQ 中，OR=QR·cot60°=33QR=33PS=33sin α. RS=OS-OR=cos α-33sin α. S 矩形=PS·RS=(cos α-33sin α)sin α=sin αcos α-33sin 2α632cos 632sin 212)2cos 1(332sin 21-+=-∙-=αααα 63)302sin(3363)2cos 212sin 23(33-︒+=-+=ααα. 当α=30°时，上式有最大值，最大值为63.回顾•展望11.(2006苏州统考) 是否存在锐角α、β，使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析:对于探索存在性问题，通常先假设存在，然后求解，如果能求出结果，则说明存在，否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=32-同时成立. 由①得2α+β=3π，所以tan(2α+β)=3tan 2tan1tan 2tan=-+βαβα. 又tan2αtan β=32-，所以tan 2α+tan β=33-. 于是tan 2α、tan β可以看成是方程x 2-(3-3)x+2-3=0的两个根.解得x 1=1，x 2=32-.若tan2α=1，则α=2π，这与α为锐角矛盾.所以tan 2α=32-，tan β=1.所以α=30°，β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°，β=45°. 12.(2006安徽高考) 已知0＜α＜2π,sin α=54, (1)求αααα2++2cos cos 2sin sin 2的值； (2)求tan(α-45π)的值. 思路分析:化复角为单角，利用公式展开. 解:(1)由0<α<2π,sin α=54，得cos α=53，所以201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++αααααααα. (2)∵tan α=34cos sin =αα，∴tan(α-45π)=71tan 11tan =+-a α.。