甘肃省天水市一中2017-最新通用版学年高二下学期第二学段考试数学(理)试题(详解版)

甘肃省天水市一中2017-2018学年高二数学下学期第一学段考试试题文（满分：100分时间：90分钟）第I卷（选择题，共40分）一、选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）1.复数的虚部是（）A. B. C. D.2.下列极坐标方程表示圆的是（）A. B. C. D.3.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为（）A.21B.34C.52D.554.函数的单调增区间为（）A. B. C. D.5.点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A. B. C. D.6.在同一平面直角坐标系中，将曲线y=cos2x按伸缩变换变换为（）A.y′=cosx′B.y′=3cos′C.y′=2cos x′D.y′=cos3x′7.已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数的值为（）A. 16B. 18C. 20D. 228.已知，则（）A. B. C. D.9.已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为. 点是曲线上两点，点的极坐标分别为.则=（）A. 5B.C.D. 410.定义在上的函数的导函数为，对于任意的，恒有，，，则，的大小关系是（）A. B. C. D. 无法确定第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置.11.已知为虚数单位，若为纯虚数，则的值为________.12.如图，函数的图象在点处的切线方程是则______.13.在极坐标系中，设曲线和直线交于、两点，则。

2017-2018学年甘肃省天水一中高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）不等式23x﹣1﹣2＞0解集为（）A．x B．{x|x}C．x D．{x|x} 2．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x+6y﹣3＝0，则圆C的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣2，3），16B．（2，﹣3），16C．（﹣2，3），4D．（2，﹣3），4 3．（4分）某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n为（）A．9B．5C．3D．24．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝﹣x2B．y＝2﹣|x|C．y＝||D．y＝lg|x|5．（4分）已知角β的终边经过点P（1，﹣2），则sinβ＝（）A．﹣2B．C．﹣D．6．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于（）A．B．C．2D．38．（4分）已知f（x）＝ax2﹣x﹣c，若不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y＝f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．9．（4分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A．B．C．D．16π10．（4分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数f（x）＝a2x﹣1（a＞0且a≠1）过定点是．12．（4分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为．13．（4分）圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，则它的底面圆的半径等于cm．14．（4分）如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图所示．其中真命题的序号是．15．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共40分）16．（6分）（1）用分数指数幂表示下式（a＞0，b＞0）；（2）计算：lg12.5．17．（7分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示：（1）求a的值；（2）估计汽车通过这段公路时时速不小于60km的概率．18．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，P A⊥平面ABCD，CD⊥PC，（1）证明：CD⊥平面P AC；（2）若E为AD的中点，求证：CE∥平面P AB．19．（9分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得弦长为8，求直线l的方程．20．（10分）已知函数，函数x．（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．2017-2018学年甘肃省天水一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）不等式23x﹣1﹣2＞0解集为（）A．x B．{x|x}C．x D．{x|x}【解答】解：∵不等式23x﹣1﹣2＞0，∴23x﹣1＞2，∴3x﹣1＞1，解得x＞，∴不等式23x﹣1﹣2＞0解集为{x|x＞}．故选：D．2．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x+6y﹣3＝0，则圆C的圆心坐标和半径分别为（）A．（﹣2，3），16B．（2，﹣3），16C．（﹣2，3），4D．（2，﹣3），4【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+6y﹣3＝0，即（x﹣2）2+（y+3）2 ＝16，故圆C的圆心坐标和半径分别为（2，﹣3），4，故选：D．3．（4分）某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n为（）A．9B．5C．3D．2【解答】解：若果蔬类抽取4种，则由分层抽样得，即＝，则n＝9，故选：A．4．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝﹣x2B．y＝2﹣|x|C．y＝||D．y＝lg|x|【解答】解：对于A，y＝﹣x2是定义域R上的偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；对于B，y＝2﹣|x|是定义域R上的偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；对于C，y＝||是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；对于D，y＝lg|x|是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，满足题意．故选：D．5．（4分）已知角β的终边经过点P（1，﹣2），则sinβ＝（）A．﹣2B．C．﹣D．【解答】解：∵角β的终边经过点P（1，﹣2），∴x＝1，y＝﹣2，r＝|OP|＝＝，则sinβ＝＝＝﹣，故选：C．6．（4分）要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y＝sin（2x+）＝sin2（x+），∴将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin（2x+）的图象，故选：B．7．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵a＝1，b＝2，C＝60°，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：c＝＝．故选：B．8．（4分）已知f（x）＝ax2﹣x﹣c，若不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y＝f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数f（x）的图象开口朝下，且有零点﹣2和1，函数y＝f（﹣x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，故函数y＝f（﹣x）的图象开口朝下，且有零点2和﹣1，故选：C．9．（4分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A．B．C．D．16π【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△P AF为直角三角形且AE⊥PF，∵底面边长为4，∴AE＝，PE＝6，∴侧棱长P A＝＝，PF＝2R，根据平面几何中的射影定理可得P A2＝PF•PE，即44＝2R×6，解得R＝，则S＝4πR2＝4π（）2＝，故选：B．10．（4分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣a＝0得f（x）＝a，做出f（x）的函数图象如图所示：∵g（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，则﹣＜x1＜0，0＜x＜，x2+x3＝1．且﹣2x1＝﹣x22+x2，∴x1＝，x3＝1﹣x2．∴x1x2x3＝•x2•（1﹣x2）＝﹣x24+x23﹣x22，令h（x2）＝﹣x24+x23﹣x22，则h′（x2）＝﹣2x23+3x22﹣x2＝﹣x2（2x2﹣1）（x2﹣1），∵0＜x2＜，∴h′（x2）＜0，∴h（x2）在（0，）上是减函数，又h（0）＝0，h（）＝﹣．∴﹣＜h（x2）＜0．另解：设﹣2x＝a，即x1＝﹣a，（0＜a＜），﹣x2+x＝a，可得x2x3＝a，则x1x2x3＝﹣a2∈（﹣，0）．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数f（x）＝a2x﹣1（a＞0且a≠1）过定点是（）．【解答】解：由2x﹣1＝0得x＝，此时f（）＝a0＝1，即函数f（x）＝a2x﹣1（a＞0且a≠1）过定点（，1），故答案为：（，1）．12．（4分）过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为2x+y﹣1＝0．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c＝0，把点P（﹣1，3）的坐标代入得﹣2+3+c＝0，∴c＝﹣1，故所求的直线的方程为2x+y﹣1＝0，故答案为2x+y﹣1＝0．13．（4分）圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，则它的底面圆的半径等于5 cm．【解答】解：设圆柱的底面圆半径为r（cm），它的表面积为：2πr2+2πr×8＝130π，即r2+8r﹣65＝0，解得r＝5，或r＝﹣13（舍去）；∴它的底面圆的半径为5cm．故答案为：5．14．（4分）如图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图所示；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图所示；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图所示．其中真命题的序号是①②③．【解答】解：存在正三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条件，故①为真命题；存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故②为真命题；对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故③为真命题；故答案为：①②③．15．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为﹣4．【解答】解：在坐标系中画出可行域，如图所示由z＝3x﹣2y可得y＝，则﹣表示直线z＝3x﹣2y在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线3x﹣2y＝0经过点A时，z最小，由可得A（0，2），此时最小值为：﹣4，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．三、解答题（本大题共5小题，共40分）16．（6分）（1）用分数指数幂表示下式（a＞0，b＞0）；（2）计算：lg12.5．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝．17．（7分）已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示：（1）求a的值；（2）估计汽车通过这段公路时时速不小于60km的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.01+0.03+a+0.02）×10＝1，解得a＝0.04．（2）由频率分布直方图得：汽车通过这段公路时时速不小于60km的频率为：1﹣（0.01+0.03）×10＝0.6．∴汽车通过这段公路时时速不小于60km的概率为0.6．18．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，P A⊥平面ABCD，CD⊥PC，（1）证明：CD⊥平面P AC；（2）若E为AD的中点，求证：CE∥平面P AB．【解答】证明：（1）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD．又∵CD⊥PC，P A∩PC＝P，∴CD⊥平面P AC．（2）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝．∵CD⊥平面P AC，∴CD⊥CA，∴AD＝2．又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴四边形ABCE是正方形，∴CE∥AB．又AB⊂平面P AB，CE⊄平面P AB，∴CE∥平面P AB．19．（9分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得弦长为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l的方程为x﹣y+＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．20．（10分）已知函数，函数x．（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）∵，∴，令u＝mx2+2x+m，则，当m＝0时，u＝2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；当m≠0时，若的定义域为R，则，解得m＞1，综上所述，m＞1 …（4分）（2）＝，x∈[﹣1，1]，令，则，y＝t2﹣2at+3，∵函数y＝t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t＝a为对称轴的抛物线，故当时，时，；当时，t＝a时，；当a＞2时，t＝2时，h（a）＝y min＝7﹣4a．综上所述，…（10分）（3），假设存在，由题意，知解得，∴存在m＝0，n＝2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分）。

2016-2017学年甘肃省天水一中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（每题4分，共40分）.1．（4分）设z=，则z 的共轭复数为（ ）A ．﹣1+3iB ．﹣1﹣3iC ．1+3iD ．1﹣3i2．（4分）用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3+ax +b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 3+ax +b=0没有实根B ．方程x 3+ax +b=0至多有一个实根C ．方程x 3+ax +b=0至多有两个实根D ．方程x 3+ax +b=0恰好有两个实根3．（4分）（1+2x ）n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开中各二项式系数的和为（ ）A ．64B ．128C ．38D ．2564．（4分）4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（ ）A ．12种B ．14种C ．16种D ．24种5．（4分）将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（ ）A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种6．（4分）已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜4）=0.8，则P （0＜ξ＜2）=（ ）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.27．（4分）国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（4分）某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分，命中次数为X，得分为Y，则EX，DY分别为（）A．0.6，60 B．3，12 C．3，120 D．3，1.29．（4分）已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球（有放回，每球取到的机会均等），共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P （B|A）=（）A．B．C．D．110．（4分）一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（）A．81πB．16πC．D．二、填空题（每题4分，共16分）11．（4分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则|a+2i|=．12．（4分）甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是．13．（4分）一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸得白球的个数X的方差D（X）=．14．（4分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．三、解答题（共44分）15．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．16．（10分）（1）的展开式中，求x3的系数；（2）已知的展开式中含的项的系数为30，求a的值；（3）的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中的常数项．17．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人数X的分布列和数学期望．18．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．2016-2017学年甘肃省天水一中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）.1．（4分）（2014•大纲版）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【解答】解：∵z==，∴．故选：D．2．（4分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．（4分）（2017春•秦州区校级月考）（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开中各二项式系数的和为（）A．64 B．128 C．38D．256=，其第6项的系数【解答】解：由（1+2x）n的展开式中第6项为T5+1为．由（1+2x）n的展开式中第7项为T6=，其第7项的系数为．+1由题意：=，可得：n=8．展开中各二项式系数的和为2n，即28=256．故选：D．4．（4分）（2017春•秦州区校级月考）4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（）A．12种B．14种C．16种D．24种【解答】解：甲跑第四棒，则有A33=6种，甲不跑第四棒，则有C21C21A22=8种，根据分类计数原理可得共有8+6=14种，故选：B．5．（4分）（2017春•武城县校级月考）将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（）A．240种B．180种C．150种D．540种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙等5位同学分成3组：若分成1﹣2﹣2的三组，有=15种分组方法，若分成1﹣1﹣3的三组，有=10种分组方法，则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学，有A33=6种情况，则每所大学至少保送一人的不同保送方法25×6=150种；故选：C．6．（4分）（2011•湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故选C．7．（4分）（2014•岳麓区校级模拟）国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．∴他们不去北京旅游的概率分别为，，，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游∴至少有1人去北京旅游的概率为P=1﹣××=．故选B8．（4分）（2014春•东港区校级期末）某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分，命中次数为X，得分为Y，则EX，DY分别为（）A．0.6，60 B．3，12 C．3，120 D．3，1.2【解答】解：由题意，重复5次投篮，命中的次数X服从二项分布，即X～B（5，0.6），由二项分布期望与方差的计算结论有E（X）=5×0.6=3，D（X）=5×0.6×0.4=1.2．∵Y=10X，∴D（Y）=100D（X）=100×1.2=120．故选：C．9．（4分）（2014•修水县校级模拟）已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球（有放回，每球取到的机会均等），共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．1【解答】解：根据题意，可得事件A包含的基本事件有3×2×2×6=72个，事件B包含的基本事件有3×2×2×2=24个，而所有的基本事件有63个，∴事件A发生的概率为P（A）==，事件AB同时发生的概率为P（AB）==．因此P（B|A）=．故选：B．10．（4分）（2017•甘肃模拟）一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（）A．81πB．16πC．D．【解答】解：由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V=（S1×r+S2×r+S3×r+S4×r）=S×r∴内切球半径r===2，∴该三棱锥内切球的体积为π•23=．故选：C二、填空题（每题4分，共16分）11．（4分）（2017春•秦州区校级月考）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则|a+2i|=2．【解答】解：a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，∴4a+a2i=0，∴4a=a2=0，解得a=0．则|a+2i|=|2i|=2．故答案为：2．12．（4分）（2010•广州二模）甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是乙．【解答】解：根据出现废品数分别是两个随机变量ξ、η的分布列，得到甲生产废品期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，乙生产废品期望是1×0.5+2×0.2=0.9，∵甲生产废品期望大于乙生产废品期望，∴甲、乙两人中技术较好的是乙，故答案为：乙13．（4分）（2017春•秦州区校级月考）一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸得白球的个数X的方差D（X）=．【解答】解：根据题意，摸得白球的个数为X，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X=0）=×=，p（X=1）=×+×=，p（X=2）=×=；∴随机变量X的数学期望为：E（X）=0×+1×+2×=，方差为：D（X）=×+×+×=．故答案为：．14．（4分）（2016•新课标Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．三、解答题（共44分）15．（10分）（2016春•山阳县校级期末）已知数列{a n}的前n项和S n=1﹣na n（n ∈N*）（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【解答】解：（1）计算得；；；．（2）猜测：．下面用数学归纳法证明①当n=1时，猜想显然成立．②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即．=1﹣（k+1）a k+1，那么，当n=k+1时，S k+1=1﹣（k+1）a k+1．即S k+a k+1又，所以，从而．即n=k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．16．（10分）（2017春•秦州区校级月考）（1）的展开式中，求x3的系数；（2）已知的展开式中含的项的系数为30，求a的值；（3）的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中的常数项．=••25﹣r，【解答】解：（1）的展开式的通项公式为T r+1令5﹣=3，r=4，可得展开式中x3的系数为10；（2）根据所给的二项式写出展开式的通项，T r=+1展开式中含的项的系数为30，∴﹣r=，∴r=1，并且﹣5a=30，解得a=﹣6；（3）∵的展开式中各项系数的和为（a+1）（2﹣1）=2，∴a=1，（2x﹣）5的通项为T r=，+1故常数项为+=40．17．（12分）（2016•广元二模）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人数X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，频率为0.008×10=0.08，参赛人数为=50人，分数在[70，80）上的频数等于50﹣（4+14+8+4）=20人．（II）按分层抽样的原理，三个分数段抽样数之比等于相应频率之比．又[70，80），[80，90）和[90，100]分数段频率之比等于5：2：1，由此可抽出样本中分数在[70，80）的有5人，分数在[80，90）的有2人，分数在[90，100]的有1人．从中任取3人，共有种不同的结果．被抽中的成绩位于[70，80）分数段的学生人数X所有取值为0，1，2，3．它们的概率分别是：P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（x=3）==．∴X的分布列为∵EX=0×+1×+2×+3×=．18．（12分）（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A 1，A2相互独立，，，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）互斥，B=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：E（X）=3×=．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；左杰；whgcn；danbo7801；371146915；刘长柏；zlzhan；ywg2058；沂蒙松；涨停；742048；wkl197822；minqi5；lcb001（排名不分先后）菁优网2017年6月23日。

2017-2018 学年甘肃省天水一中高二 （下）第一次月考数学试卷 （理科）一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1．在复平面内，复数 z=的共轭复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．2z= ， 为 z的共扼复数，则?z的值为（） ．已知复数A ．﹣2B ．0C ．D ．23ax 15 的睁开式中 x 3的系数是 80，则实数 a 的值是（）．若（+ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．424．已知随机变量 X 听从正态散布P （ X ＞ 4）的值等于（ ）N （ 2，σ），P （ 0＜X ＜ 4）=0.8，则 A ．0.1 B ． 0.2 C ． 0.4 D ．0.6 5．用 1、 2、 3、4、 5、 6 构成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数 1、3、 5 有且只有两个相邻，则不一样的排法种数为（ ）A ．18B ． 108C ． 216D ．4326．已知函数 f （ x ） =x ﹣ 4lnx ，则曲线 y=f （ x ）在点（ 1， f （ 1））处的切线方程为（）A ．2x ﹣ y ﹣3=0B ． 2x+y ﹣ 3=0C ． 3x+y ﹣ 4=0D ．3x ﹣ y ﹣4=07．将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至 少保送一人的不一样保送的方法数共有（ ）种．A ．240B ． 180C ． 150D ．5408．同时投掷三颗骰子一次，设 A= “三个点数都不同样 ”， B= “起码有一个 6 点 ”则 P （B | A ）为（ ）A ．B ．C ．D ．9．用数学概括法证明 “”时，由 n=k 的假定证明 n=k 1时，假如从等式左侧证明右侧，则一定证得右侧为（）+ A ．B ．C ．D ．10．下边由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由 n 个正方形构成．经过察看能够发现第10 个图形中火柴棒的根数是（ ）A ．30B ．31C ． 32D ．3411．如图，用 4 种不一样的颜色对图中5 个地区涂色（ 4 种颜色所有使用） ，要求每个地区涂一种颜色，相邻的地区不可以涂同样的颜色，则不一样的涂色种数有（）A ．72 种B ．96 种C ．108 种D ． 120 种12．已知圆 C 1：x 2+2cx+y 2 =0，圆 C 2： x 2﹣ 2cx+y 2=0， c 是椭圆 C ：+=1 的半焦距，若圆 C 1， C 2 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A 1B 0 ， ） C． [ 1） D．（ 0 ，]．[ ，） ．（ ，二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13 ．二项式睁开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为．14 ．由曲线 y= ，直线 y=x ﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为．15 ．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 4，S 8﹣ S 4， S 12﹣ S 8， S 16﹣ S 12 成等差数列．类比 以上结论有：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，，，成等比数列．16 ．定义在 R 上的函数 f （x ）知足： f ′（ x ）＞ 1﹣ f （ x ）， f （ 0） =6，f ′（ x ）是 f （ x ）的导函数，则不等式 e x f （ x ）＞ e x +5（此中 e 为自然对数的底数）的解集为 ． 三、解答题（共 70 分） +n （ n+1）， n ∈ N *．17．数列 { a n } 知足 a1=1， na n +1=（ n+1）a n1 } 是等差数列； （ ）证明：数列 {（ 2）设，求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ．18 ．袋中装有 10 个大小同样的黑球和白球．已知从袋中随意摸出 2 个球，起码获得1 个白球的概率是．（ 1）求白球的个数；（ 2）从袋中随意摸出 3 个球，记获得白球的个数为X ，求随机变量 X 的散布列．19 ．某商场一号电梯从 1 层出发后能够在2、3、 4 层停靠．已知该电梯在1 层载有 4 位乘客，假定每位乘客在2、 3、 4 层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这 4 位乘客中起码有一名乘客在第 2 层下电梯的概率；（Ⅱ）用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 X 的散布列和数学希望及方差．20 ．如图， 在三棱锥 P ﹣ ABC 中， PA=PB=AB=2 ，BC=3 ，∠ ABC=90 °，平面 PAB ⊥平面 ABC ，D 、E 分别为 AB 、 AC 中点．（ 1）求证： DE ∥平面 PBC ；（ 2）求证： AB ⊥PE ；（ 3）求二面角A﹣ PB﹣ E 的大小．21．已知椭圆=1（ a＞ b＞ 0）上随意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）若直线 l 的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△ PAB 的面积的最大值．22．已知函数．（ 1）若曲线y=f （x）在x=1处的切线方程为y=﹣ 2，求 f （ x）的单一区间；（ 2）若x＞ 0 时，恒成立，务实数 a 的取值范围．2017-2018 学年甘肃省天水一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（每题5 分，共 60 分） 1．在复平面内，复数 z= 的共轭复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 复数的基本观点．【剖析】 利用复数代数形式的乘除运算化简 z ，求出 ，则答案可求．【解答】 解： z==，∴，则复数 z=的共轭复数的虚部为．应选： D ．2．已知复数 z=， 为 z 的共扼复数，则?z 的值为（）A ．﹣2B ．0C ．D ．2 【考点】 复数代数形式的乘除运算．【剖析】 先化简复数 z ，再写出它的共轭复数，从而计算?z 的值．【解答】 解：∵复数 z=== 1 i，﹣ +∴ =﹣1﹣ i ，∴ ?z=（﹣ 1﹣ i ） ?（﹣ 1+i应选： D ．22） =（﹣ 1） ﹣ i =2 ．3ax 1） 5的睁开式中 x 3的系数是 80，则实数 a 的值是（ ）．若（+A ．1B ． 2C ． 3D ．4【考点】 二项式系数的性质．【剖析】 利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】 解：（ ax+1） 5 的睁开式的通项公式： T r +1= （ax ） r =a rx r，令 r=3，则 x 3的系数是=80 ，解得 a=2．应选： B ．4．已知随机变量 X 听从正态散布 N （ 2）2，σ），P （ 0＜X ＜ 4）=0.8，则 P （ X ＞ 4）的值等于（A ．0.1B ． 0.2 C． 0.4 D．0.6【考点】正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义．【剖析】依据随机变量ξ听从正态散布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 P（ X ＞ 4）．2【解答】解：∵随机变量ξ听从正态散布N（ 2，o ），P（ 0＜X ＜ 4） =0.8，∴P（X ＞ 4）= （ 1﹣ 0.8） =0.1，应选 A．5．用 1、 2、 3、4、 5、 6 构成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、 5有且只有两个相邻，则不一样的排法种数为（）A ．18B ． 108 C． 216 D．432【考点】摆列、组合的实质应用．【剖析】依据题意，分三步进行：第一步，先将1、 3、 5 成两组，第二步，将2、4、 6 排成一排，第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，由摆列组合公式，易得其状况数量，从而由分步计数原理，计算可得答案．1、3、 5 成两组，共 C32A 22种方法；【解答】解：依据题意，分三步进行：第一步，先将第二步，将 2、 4、 6 排成一排，共 A 33种方法；2种方法．第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共 A 4综上共有 C32A 22A 33A 42=3 ×2× 6× 12=432 ；应选 D．6．已知函数 f （ x） =x ﹣ 4lnx ，则曲线A ．2x﹣ y﹣3=0 B ． 2x+y﹣ 3=0y=f （ x）在点（C． 3x+y﹣ 4=01， f（ 1））处的切线方程为（D ．3x﹣ y﹣4=0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】由曲线方程求得 f（ 1） =1，求导，由切线方程的斜率 k=f ′（ 1） =﹣ 3，由直线的点斜式方程可知 y﹣1= ﹣ 3（ x﹣ 1），整理可得： y+3x ﹣ 4=0 ．【解答】解：由 f （ 1） =1 ﹣4ln1=1 ，f′（ x）=1﹣=，曲线 y=f （x）在点（ 1， f（ 1））处的切线斜率k=f ′（ 1） =﹣3，∴曲线的在（1 1）处的切线方程为：y﹣1=3x13x y﹣4=0，﹣（﹣），整理得：+应选： C．7．将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不一样保送的方法数共有（）种．A ．240B ． 180C． 150 D．540【考点】摆列、组合及简单计数问题．【剖析】每所大学起码保送一人，能够分类来解，当 5 名学生疏成 2，2，1 时，共有223，C5 C3 A 3当 5 名学生疏成3， 1， 1 时，共有 C53A 33，依据分类计数原理获得结果．【解答】解：当 5 名学生疏成2， 2， 1 或 3，1， 1 两种形式，当 5 名学生疏成2， 2， 1 时，共有C52C32A 33=90 种结果，当 5 名学生疏成3， 1， 1 时，共有33C5 A 3 =60 种结果，∴依据分类计数原理知共有90+60=150 种，应选： C．8A= “” B=“6” P B A）为．同时投掷三颗骰子一次，设三个点数都不同样，起码有一个点则（|（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【剖析】此题要求条件概率，依据P（ B | A ） =，需要先求出AB 同时发生的概率，除以 B 发生的概率，依据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式获得结果．【解答】解：∵P B A）=，（|同时投掷三颗骰子一次，每颗骰子出现的点数有 6 种状况，三颗骰子出现的点数组合有63种状况．三个点数都不同样且起码有一个 6 点，则三颗骰子中只有一个 6 点，共× 5× 4=60 种，∴P（AB ）==，∵A= “三个点数都不同样”，共有 6×5× 4=120 种，∴P（A ）=，∴P（B| A）===．应选 A．9．用数学概括法证明“”时，由 n=k的假定证明n=k 1时，假如从等式左侧证明右侧，则一定证得右侧为（）+A ．B．C．D．【考点】数学概括法．【剖析】当 n=k +1 时，右侧 =，由此可得结论．【解答】解：由所明的等式，当n=k+1 ，右==故D．10．下边由火柴棒拼出的一列形中，第10 个形中火柴棒的根数是（）n 个形由n 个正方形成．通察能够第A ．30B ． 31 C． 32 D．34【考点】推理．【剖析】由形的特色，只要看第10 个形中火柴棒的根数是在 4 的基上增添几个 3 即可．【解答】解：第 1 个形中有 4 根火柴棒；第 2 个形中有 4+3=7 根火柴棒；第 3 个形中有 4+3× 2=10 根火柴棒；⋯第 10 个形中火柴棒的根数有4+3× 9=31 根火柴棒，故 B．11．如，用 4 种不一样的色中 5 个地区涂色（ 4 种色所有使用），要求每个地区涂一种色，相的地区不可以涂同样的色，不一样的涂色种数有（）A ．72 种B．96 种 C．108 种D． 120 种【考点】摆列、合及数．【剖析】本是一个分步数，第一最左一涂色，有24 种果，再左第二涂色，最后涂第三，依据分步数原理获得果【解答】解：由意知本是一个分步数，第一步：涂地区1，有 4 种方法；第二步：涂地区 2，有 3 种方法；第三步：涂地区4，有 2 种方法（此前三步已用去三种色）；第四步：涂地区 3，分两：第一， 3 与 1 同色，地区 5 涂第四种色；第二，地区 3 与1 不一样色，涂第四种色，此地区 5就能够涂地区 1或地区 2或地区 3 中的随意一种色，有 3 种方法．所以，不一样的涂色种数有4× 3× 2×（ 1× 1+1× 3）=96 种．故 B．12．已知 C1：x22cx+y2x22cx y2+=1 的半焦距，若+=0， C2：+ =0， c 是 C：C1， C2都在内，离心率的范是（）A ．[ ，1） B．（0，） C．[， 1）D．（0，]【考点】的性．【剖析】 第一把圆的方程转变成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的右极点的距离与圆的半径的关系式，最后利用e 的范围求出结果．222 2 2转变成标准形式为： （ x+c ） +y =c ，圆 C 2： x 2﹣ 2cx+y 2=0，转变成标准形式为： （ x ﹣ c ） 2+y 2=c 2，圆 C 1， C 2 都在椭圆内，所以：（c ， 0）到（ a ， 0）的距离大于 c 则： | c ﹣a| ＞ c 解得： a ＞2c因为： e=所以： e ，因为椭圆的离心率 e ∈（ 0，1）则： 0＜e ＜ ． 应选： B ．二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13．二项式睁开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为70 ．【考点】 二项式系数的性质．【剖析】 .依据二项式系数中间项的最大求出 n ，利用二项睁开式的通项公式求出睁开式的通项，令 x 的指数为0 求出 r 的值，将其代入通项求出常数项．【解答】 解：依据题意二项式 睁开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则 n=8 ，所以二项式=睁开式的通项为rr 8﹣ 2rT r +1=（﹣ 1） C 8 x令 8﹣ 2r=0 得 r=44则其常数项为C 8 =7014．由曲线 y=，直线 y=x ﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ．【考点】 定积分．【剖析】 利用微积分基本定理即可求出．【解答】 解：如下图：联立解得，∴ M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．15．设等差数列{ a n} 的前n 项和为S n，则S4，S8﹣ S4， S12﹣ S8， S16﹣ S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{ b n } 的前n 项积为T n，则T 4，，，成等比数列．【考点】类比推理；等比数列的性质．【剖析】因为等差数列与等比数列拥有类比性，且等差数列与和差相关，等比数列与积商有关，所以当等差数列挨次每 4 项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为挨次每 4 项的积的商成等比数列．下边证明该结论的正确性．【解答】解：设等比数列{ b n} 的公比为 q，首项为b1，则 T4=b14q6， T8 =b18q1+2++7=b18q28，12 1 +2++1112 66T12=b 1 q=b1q ，∴=b14q22，=b14q38，即（）2=?T4，故 T4，，成等比数列．故答案为：16．定义在R 上的函数f（x）知足：x x【考点】导数的乘法与除法法例．f ′（ x）＞ 1﹣ f（ x）， f（ 0） =6，f ′（ x）是 f（ x）的导函e 为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．x xx ）的 性， 合原函数的性【剖析】 结构函数 g （ x ） =e f （ x ） e ，（x ∈ R ），研究 g （ 和函数 ，即可求解【解答】 解： g （ x ） =e x f （x ） e x，（ x ∈ R ），g ′（ x ） =e x x x x x x[ f （ x ）+f ′（ x ） 1 ] ，e f） e =e（ ） + ′（∵ f'（ x ）＞ 1 f （ x ），∴ f （ x ） +f ′（ x ） 1＞ 0， ∴ g ′（ x ）＞ 0，∴ y=g （ x ）在定 域上 增， ∵ e xf （ x ）＞ e x +5，∴ g （ x ）＞ 5，又∵ g （0） =e f （ 0） e =6 1=5，∴ g （ x ）＞ g （ 0），∴ x ＞ 0， ∴不等式的解集 （ 0， +∞）故答案 ：（ 0，+∞）．三、解答 （共70 分）*17．数列 { a n } 足 a 1=1， na n +1=（ n+1）a n +n （ n+1）， n ∈ N ．（ 2），求数列 { b n } 的前 n 和 S n ．【考点】 数列的乞降；等差关系确实定．1nan n 1 n N*，两 同除以n n 1=1，【剖析】（ ）由 n +1=（n+1 ）a n + （+），∈ （ +）可得： 即可 明．（ 2）由（1）可得：=n ，可得 b =，再利用 “裂 乞降 ”方法即可得出．n1na+ =n 1 n n 1nN * ，∴=1 ，【解答】（ ） 明：∵（ a n + （+）， ∈n 1+ ）∴数列 {} 是等差数列，首11．，公差（ 2）解：由（ 1）可得：2=1+（ n 1）=n ，∴ a n =n ．∴==，∴数列 { b n } 的前 n 和 S n =+⋯+=1 = ．18．袋中装有 10 个大小同样的黑球和白球．已知从袋中随意摸出 2 个球，起码获得 1 个白球的概率是．（ 1）求白球的个数；（ 2）从袋中随意摸出 3 个球，记获得白球的个数为X ，求随机变量X 的散布列．【考点】失散型随机变量及其散布列；古典概型及其概率计算公式．【剖析】（ 1）设黑球的个数为x，则白球的个数为10﹣x，记两个都是黑球得的事件为起码有一个白球的事件与事件 A 为对峙事件，由此能求出白球的个数．（ 2）失散型随机变量X 的取值可能为：0， 1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出散布列．【解答】解：（ 1）设黑球的个数为x，则白球的个数为10﹣ x．记两个都是黑球得的事件为 A ，则起码有一个白球的事件与事件 A 为对峙事件A ，则X 的所以p（A ）=1﹣=，解得x=5 ，所以白球的个数为5．（2）失散型随机变量 X 的取值可能为： 0， 1， 2， 3，=，，，，所以 X 的散布列为X0123P．19．某商场一号电梯从 1 层出发后能够在2、3、 4 层停靠．已知该电梯在假定每位乘客在2、 3、 4 层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这 4 位乘客中起码有一名乘客在第 2 层下电梯的概率；1 层载有 4 位乘客，（Ⅱ）用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 X 的散布列和数学希望及方差．【考点】失散型随机变量的希望与方差；古典概型及其概率计算公式；失散型随机变量及其散布列．【剖析】（Ⅰ）由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是，由此利用对峙事件概率计算公式能求出这 4 位乘客中起码有一名乘客在第 2 层下电梯的概率．（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，且，由此能求出X 的散布列和数学期望及方差．【解答】解：（Ⅰ）4 位乘客中起码有一名乘客在第 2 下梯的事件 A ，由意可得每位乘客在第 2 下梯的概率都是，．⋯．（Ⅱ） X 的可能取0， 1， 2， 3， 4，由意可得每一个人在第 4 下梯的概率均，且每一个人下梯互不影响，所以，，P（ X=0 ）==，P（ X=1 ）==，P（ X=2 ）==，P（ X=3 ）==，P（ X=4 ）==，X的散布列：X01234P∵X～B（4，），∴．⋯．20．如，在三棱 P ABC 中， PA=PB=AB=2 ，BC=3 ，∠ ABC=90 °，平面 PAB ⊥平面 ABC ， D 、E 分AB 、 AC 中点．（1）求： DE ∥平面 PBC ；（2）求： AB ⊥PE；（3）求二面角 A PB E 的大小．【考点】用空向量求平面的角；直与平面平行的判断；直与平面垂直的判断；二面角的平面角及求法．【剖析】（Ⅰ）由三角形中位定理可得DE ∥BC ，而由面平行的判断定理获得DE∥平面 PBC（ II ）接 PD ，由等腰三角形三合一，可得PD⊥ AB，由DE∥ BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，而由面垂直的判断定理获得AB ⊥平面 PDE ，再由面垂直的性获得（Ⅲ）以 D 原点成立空直角坐系，分求出平面PBE 的法向量和平面代入向量角公式，可得二面角 A PB E 的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵ D、 E 分 AB 、AC 中点，AB ⊥ PE；PAB 的法向量，∴ DE∥ BC．∵DE?平面 PBC， BC? 平面 PBC，∴ DE∥平面 PBC．⋯（Ⅱ）接 PD，∵PA=PB，DAB 中点，∴PD⊥ AB ．⋯．∵DE∥ BC，BC ⊥ AB ，∴DE⊥ AB ⋯又∵ PD∩DE=D ， PD， DE ? 平面 PDE∴ AB ⊥平面 PDE⋯PE PDE，∵ ?平面∴AB ⊥PE⋯（Ⅲ）∵ AB ⊥平面 PDE， DE ⊥ AB ⋯如，以 D 原点成立空直角坐系，由PA=PB=AB=2 ， BC=3 ，B（ 1， 0， 0）， P（ 0， 0，），E（ 0，，0），∴ =（1， 0，）， =（0，，）．平面 PBE 的法向量，∴令得⋯∵DE⊥平面 PAB，∴平面 PAB 的法向量．⋯二面角的 A PB E 大小θ，由知，，所以θ=60 °，即二面角的 A PB E 大小 60°⋯21．已知椭圆=1（ a＞ b＞ 0）上随意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）若直线 l 的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△ PAB 的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（ 1）由椭圆定义，椭圆上随意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△ PAB 的底，由点线距离公式求出△PAB 的高，而后用基本不等式求最值．【解答】解：（ 1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（ 2）设 l 的方程为，点 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），由消去 y 得 x 2+2mx+2m 2﹣ 4=0．令△ =4m 2﹣ 8m216 0 m2．+ ＞，解得|| ＜ ，由韦达定理得则由弦长公式得 | AB | = ?= ?．又点 P 到直线 l 的距离，∴，当且仅当 m 2=2，即时获得最大值．∴△ PAB 面积的最大值为2．22 ．已知函数．（ 1）若曲线 y=f （x ）在 x=1 处的切线方程为 y=﹣ 2，求 f （ x ）的单一区间；（ 2）若 x ＞ 0 时，恒成立，务实数 a 的取值范围．【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】（ 1）由已知得，则 f' （ 1） =0，f （1） =﹣ 2，解得 a ．分别解出 f' （ x ）＞ 0， f'（x ）＜ 0，即可得出单一区间．（2）若，得 ，即在区间（ 0，+∞）上恒成立． 设，利用导数研究其单一性极值与最值即可得出．【解答】 解：（ 1）由已知得，则 f'（ 1） =0，而，∴函数 f （ x ）在 x=1 处的切线方程为．则，解得 a=2，那么，由 ，得或 x ＞ 1，因则由f （ x）的单一递加区间为，得与（ 1， +∞）；，因此 f （ x）的单一递减区间为．（ 2）若，得，即在区间（0， +∞）上恒成立．设，则，由 h'（ x）＞ 0，得由 h'（ x）＜ 0，得，因此 h（ x）在，因此 h（ x）在上单一递加，上单一递减．∴ h（ x）的最大值为，因此，从而实数 a 的取值范围为．2017-2018 学年 10 月 20 日。