2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次考试数学(理)试题

2021届甘肃省天水市第一中学上学期第一学段考试高三文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{log (4)}A x y x ==-，{0}B x =>，则AB =（ ）A ．(3,4)B ．(,1)-∞-C ．(,4)-∞D ．(3,4)(,1)-∞-2. “1a =”是“函数2()43f x x ax =-+在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3. 已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．16 C ．12 D ．234. 曲线ln y x =在点1(,2)2-处的切线方程为（ ）A ．23y x =-B ．2y x = C. 2(1)y x =+ D ．22y x =-5. 定义域为R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=+，且(1)1f -=，则(2017)f =（ ） A ．2 B ．1 C.-1 D ．-26. 已知函数2()xf x e x =+，（e 为自然对数的底数），且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)2+∞ B ．1(,)2-∞ C. 13(,)(,)24-∞+∞ D ．13(0,)(,)24+∞7. 在ABC ∆中，4B π=，若b =，则ABC ∆面积的最大值是（ ）A ．4+B ．4 C. D ．2+8. 已知函数()sin 2f x x x =-，且3(ln )2a f =，21(log )3b f =，0.3(2)c f =，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C. a b c >> D ．b a c >> 9.函数ln(1)y x =-的大致图象为（ ）10.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．1(0,)2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.命题“x R ∃∈，10x +≥”的否定为 ． 12. 若点(2,tan )θ在直线21y x =-上，则2sin cos 1sin θθθ=- ． 13. 已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ． 14. 已知点P 为函数()xf x e =的图象上任意一点，点Q 为圆222(1)1x e y --+=上任意一点（e 为自然对数的底），则线段PQ 的长度的最小值为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数23()sin 22f x x x =-（1）求函数()f x 的解析式及其最小正周期； （2）当[0,]3x π∈时，求函数()f x 的增区间.16. 已知函数2()3)2sin 12x f x x ωϕωϕ+=++-（0ω>，0ϕπ<<）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π. （1）当(,)24x ππ∈-时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原点的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126x ππ∈-时，求函数()g x 的值域.17. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且232cos cos a c bA B-=（1）若b B =，求a ；（2）若a =ABC ∆b c +. 18. 已知函数21()23ln 2f x x x x =--，211()322g x x x a =--（a R ∈） （1）若0x ∀>，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()2()F x f x g x =-，若()F x 在[1,5]上有零点，求实数a 的取值范围.2021届甘肃省天水市第一中学上学期第一学段考试高三文数试题参考答案一、选择题1-5: DAAAC 6-10: CDDCD 11、12：二、填空题11. x R ∀∈，10x +< 12. 3 13. 03k ≤< 14. 1三、解答题15.利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简1()sin(2)62f x x π=-++，T π=；（2）∵52666x πππ≤+≤，∴ 1sin(2)126x π≤+≤，∴1()02f x -≤≤，∴函数()f x 的增区间是[,]63ππ16.解：（1）由题意可得：())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻量对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k πϕπ=+，k Z ∈，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，函数()2sin 2f x x =，∵(,)24x ππ∈-，∴2(,)2x ππ∈-要使()f x 单调减，需满足22x ππ-<≤-，24x ππ-<≤-，所以函数的减区间为(,]24ππ--（2）由题意可得：()2sin(4)3g x x π=-∵126x ππ-≤≤，∴24333x πππ-≤-≤，∴1sin(4)32x π-≤-≤，∴()[g x ∈-即函数()g x 的值域为[- 17. 解：（1）由正弦定理得：2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C BA B A B--=⇒=， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，2(sin cos sin cos )2sin 3sin cos A B B A C C A +==，∵sin 0C ≠，∴2cos 3A =，则sin A =，∵b B =，∴由正弦定理得：5sin sin 3b a A B =•=（2）∵ABC ∆的面积为2，∴1sin 22bc A =，得3bc =，∵a =22463b c bc +-=，∴210()63b c bc +-=，即2()16b c +=∵0b >，0c >，∴4b c += 18.解：（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2'323(1)(3)()2x x x x f x x x x x--+-=--==，∵0x >，∴'()f x ，()f x 随x 的变化情况如下表所以min ()(3)3ln 32f x f ==--，∵()f x m ≥在(0,)+∞上恒成立，∴3ln 32m ≤--. （2）函数()()2()F x f x g x =-在[1,5]上有零点，等价于方程()2()0f x g x -=在[1,5]上有解，化简，得2143ln 2x x x a -+=，设21()43ln 2h x x x x =-+ 则'3(1)(3)()4x x h x x --=-+=，∵0x >，∴'()h x ，()h x 随x 的变化情况如下表：且(1)2h =-，(3)3ln 32h =-，(5)3ln 52h =- 34(5)(1)3ln 54ln 5ln 0h h e -=-=->作出()h x 在[1,5]上的大致图象，（如图所示）所以，当15153ln33ln522a-≤≤-时，2143ln2x x x a-+=在[1,5]上有解故实数a的取值范围是1515 [3ln3,3ln5]22--.。

甘肃省天水市一中2021届高三数学上学期第一学段段考（期中）试题 理一．选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．已知等差数列的前项之和为，那么=++876a a a （）A.6B.9C.12D.18 2．以下命题的说法错误．．的是（） A ．命题“若则”的逆否命题为“若, 则”．B ．“”是“”的充分没必要要条件．C ．关于命题则D ．假设为假命题，那么均为假命题．3．将函数的图象上所有的点向右平行移动2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）．A ．y ＝sin （2xB ．y ＝sin （2xC ．y ＝sinD ．y ＝sin4．x ，y 知足约束条件，假设取得最大值的最优解不唯一，那么实数a 的值为( )-1 B.2 C.2或1 D.2或-15，在处取最小值，那么=（） C.3 D.4 6．假设曲线在点处的切线方程是，那么（）A ．B ．C ．D ．7．当时，不等式恒成立，那么的取值范围为（） A.B.C. D.a x a =zy ax=-20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩x y sin =q p ,q p ∧210.x x ++≤:,p x R ⌝∃∈210,x x ++>:,p x R ∀∈2320x x -+=1=x 2320x x -+≠1≠x 1=x 2320,x x -+=3913{}n a8，且α≠kk∈Z）A9．在正方体中，点，别离是线段，的中点，那么直线与所成角的余弦值是（）A D10．若，那么函数在区间上恰好有（）A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点11．如图，四面体中，，面平面，假设四面体的四个极点在同一个球面上，那么该球的体积为（）A B．C D．12．设奇函数在上是增函数，且，当时，对所有的恒成立，那么的取值范围是（）A．或或B．或C．或或D．二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知向量，且，那么．14．假设某几何体的三视图如下，该几何体的体积为，那么俯视图中的.15．数列的前项和记为，，，那么的通项公式为 .16．已知函数至少有一个值为正的零点，那么实数的取值范围_____________。

甘肃省天水市一中2021届高三数学一轮复习第一次模拟考试试题理（含解析）一、单选题（每小题5分，共60分）1.设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A. {}22x x -≤<B. {}2x x ≥-C. {}2x x <D.{}12x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<{}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.设函数23()x xf x e -=（e 为自然底数），则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 01x <<B. 04x <<C. 03x <<D.34x <<【答案】A 【解析】 【分析】由()1f x <可得：03x <<，结合充分、必要条件的概念得解. 【详解】()1f x <⇔ 231x xe -<⇔230x x -<解得：03x <<又“01x <<”可以推出“03x <<” 但“03x <<”不能推出“01x <<”所以“01x <<”是“()1f x <” 充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题。

3.已知命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (1,4]B. (0,1]C. [1,1]-D.(4,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】通过判断命题p 和q 的真假，从而求得参数的取值范围. 【详解】解：若命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >，为真命题， 则ln 1a e >=，若命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”为真命题， 则1640a ∆=-≥，解得4a ≤， 若命题“p q ∧”为真命题， 则p ，q 都是真命题， 则14a a >⎧⎨≤⎩， 解得：14a <≤． 故实数a取值范围为(1,4]．故选：A ．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．4.方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()ln 4f x x x =+-，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案。

甘肃省天水一中2021届高三上学期期末试题数学理天水市一中2021级2021―2021学年第一学期第四阶段考试数学问题（科学）命题、审核：蔡恒录一、多项选择题：本主题共有12个子题，每个子题得5分，共计60分。

在每个子问题中给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。

1．满足条件a?{1,2}?{1,2,3}的集合a有a．1个b、二,c．4个d、八,（）5.2.已知向量a=（1,2），B=（？2，？4），|c |=5。

如果（a？B）C=，则a 和C之间的夹钳2角为（）a．30°b．60°c．120°d、150°x)(x?r)的3．已知f(x)是定义在r上的奇函数，当x?0时，值域为[―2，3]，则y?f(值域为a、 [2,2]（）b．[―2，3]c、 [3,2]d．[―3，3]4.如果OP，2），opop2是直线L1:ax？是吗？A.0，1? （12？（？2,1）和OP1，那么a和B的值可以是（）L2:ax？4by？B方向向量为0，a．2，1b．1，2c．-1，2d．-2，15.已知函数y？F（x）在（a，b）上的导数y？F（x）如图所示，那么函数y？（a，b）上F（x）的极小值的个数是（）a.0b。

1C。

2D。

3.6.已知a、b为非零实数，且a2211b.>ab11c．2<2abab11>d.a-ba（）7.如果实数x、y满足(x?2)2?y2?3，则y的最大值为xc．答。

12b．3332d.38.若将函数f(x)?sinx?cosx的图象按向量a?(m,0)(m?0)平移后，所得图象恰好为函数Y辛克斯？Cosx图像，那么M的值可以是（）第1页，共9页a．4b。

3?4c．?d。

29.平面?∥平面?的一个充分条件是（）a．存在一条直线a，a∥?,a∥?b．存在一条直线a，a??,a∥?c、有两条平行线a，B，a？？，BA.∥?, B∥?d、有两行a，B，a？？，BA.∥?, B∥?10.已知数列{an}中,a1?1,nan?1?2(a1?a2an)(n?n*)，则数列{an}的通项（）a．an?nc．an?b、安？2n？一n?12nd、安？？（n？1）？一n?1(n?2)?11．△abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，则acosc+ccosa的值为()a、 .2cosb。

2021届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次模考数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1M =-，{}2N x x x =≤，则MN =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【答案】B【解析】先解不等式求出N ，再求M N ⋂即可. 【详解】 由2x x ≤， 解得01x ≤≤， 则{|01}N x x =≤≤. 又{1,0,1}M，所以{0,1}M N ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了列举法、描述法表示集合，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．属于较易题. 2．已知函数2()1xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称 B ．函数()f x 在(,1)-∞上是增函数 C ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称D ．函数()f x 的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB //x 轴 【答案】A【解析】由题意分离常数得2()21f x x =+-，结合函数图象的变换可画出函数的图象，数形结合逐项判断即可得解. 【详解】由题意22()211x f x x x ==+--， 则该函数的图象可由函数2y x=的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图，由图象可得：函数()f x 的图象关于点(1,2)中心对称，故A 正确； 函数()f x 在(,1)-∞上是减函数，故B 错误； 函数()f x 的图象不关于直线x ＝1对称，故C 错误；函数()f x 的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点A ，B ，使得直线AB //x 轴，故D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图象的变换及应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题. 3．已知函数1()f x x=的导函数为()'f x ，若12()()''<f x f x ，则12,x x 的大小关系不可能为（ ） A ．120x x << B ．210x x << C ．120x x << D ．210x x <<【答案】B【解析】根据函数1()f x x =求导的21()f x x'=-，得到()'f x 的单调性，然后再根据12()()''<f x f x ，利用函数的单调性定义求解.【详解】 因为函数1()f x x=， 所以21()f x x'=-， 所以()'f x 在(),0-∞是增函数，在()0,+∞上是减函数，当()12,0x x ∈-∞，时，因为12()()''<f x f x ，所以12x x <，当()120,x x ∈+∞，时，因为12()()''<f x f x ，所以21x x <， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的导数的求法以及函数单调性定义的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.4．已知2sin 1cos αα=+，其中α是第一象限角，则tan 2α=（ ）A ．12- B ．2 C ．12D ．13【答案】C【解析】由二倍角公式和平方关系可得22sin coscos 222ααα=，再由商数关系即可得解.【详解】因为2sin 1cos αα=+，所以224sin cos1cos sin 2222αααα=+-，所以22sincoscos 222ααα=，又α是第一象限角，所以cos02α≠，所以2sincos1222cos 2ααα=即1tan 22α=.故选：C. 【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5．已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线23x π=对称B ．关于直线6x π=对称 C ．关于点2-03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 【答案】D 【解析】由题意得22ππω=，故1ω=， ∴()cos(2)f x x ϕ=+， ∴()cos[2()]cos(2)cos 263g x x x x ππϕϕ=-+=-+=，∴3πϕ=，∴()cos(2)3f x x π=+． ∵2251()cos(2)cos 133332f ππππ=⨯+==≠±，21()cos(2)cos 166332f ππππ=⨯+==-≠±， ∴选项A,B 不正确． 又22()cos(2)cos()10333f ππππ-=-⨯+=-=-≠， 55()cos(2)cos()0121232f ππππ-=-⨯+=-=，∴选项C,不正确，选项D 正确．选D ．6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．已知在ABC 中，22tan tan A a B b=，判断ABC 的形状为（ ）.A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】22tan tan A a B b=左边切化弦，右边用正弦定理化边为角可解【详解】22tan tan A a B b =，22sin cos sin sin cos sin A B AB A B ∴=cos sin cos sin B AA B∴=，sin cos sin cos A A B B ∴= sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=或2+2=A B π A B ∴=或+=2A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ． 【点睛】判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A B C +＝这个结论．8．设a ，b 都是不等于1的正数，则“5a >5b ”是“log 5log 5a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】求解指数不等式以及对数不等式，等价求得,a b 范围，即可从充分性和必要性判断选择. 【详解】因为,a b 都是不等于1的正数，由5a >5b ，故可得1a b >>或10a b >>>或10a b >>>； 由log 5log 5a b <，故可得01b a <<<或01a b <<<或1a b >> 显然充分性和必要性均不成立. 故选：D. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，涉及指数函数和对数函数的性质，属综合基础题. 9．若2233x y x y ---<-，则（ ）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【解析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果. 【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 10．若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上A ．2470x y -=B ．2470x y +=C ．7240x y +=D ．7240x y -=【答案】B 【解析】【详解】由条件可知2724cos 2cos1,sin 2sin cos 2252225θθθθθ=-=-==， 24tan 7θ-=．又24tan 7y x θ==-， 所以247x y =-，即2470x y +=. 故选：B ．11．已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．1(,)2e+∞ C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞【答案】A【解析】函数()ln ||f x x =，2()g x mx =都是偶函数，方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需图象在[1,)x ∈+∞两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果. 【详解】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点，0m <不合题意，当0m >时，20mx >，当()ln 01f x x x =>⇒>， 即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切，即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线， 则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m =，则有()()20000111,ln ln222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =，因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点，则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点，方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】函数的性质以及函数零点问题是高考的高频考点，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点⇔函数y=f(x)-g(x)在x 轴的交点⇔方程f(x)-g(x)=0的根⇔函数y = f(x)与y = g(x)的交点.12．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ）A ．(,2ln 2)-∞-B ．(],2ln 2-∞-C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C【解析】先求导得221()ax x f x x-+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.二、填空题13．命题“0x R ∃∈，00x ex <”的否定是______．【答案】x R ∀∈，x e x ≥【解析】利用特称命题的否定需将存在量词改为全称量词，同时否定结论，即可得出结果. 【详解】特称命题的否定需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 所以命题“0x R ∃∈，00x e x <”的否定为：“x R ∀∈，x e x ≥”.故答案为：x R ∀∈，x e x ≥. 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于容易题. 14．曲线sin (0)y x x π=≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积为__________. 【答案】－【解析】做出如图所示：，可知交点为151,,,6262ππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此封闭图形面积为：55666611sin cos |3223S x dx x x πππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰点睛：定积分的考察，根据题意画出图形，然后根据定积分求面积的方法写出表达式即可求解15．曲线2ln y x x =+在点()1,b 处的切线方程与直线10ax y --=垂直，则a b +=______．【答案】23【解析】由点在曲线上，即可求出b ，再求出曲线在点()1,b 的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为1-，求出a ，即可得解； 【详解】解：∵()1,b 是2ln y x x =+的点，则1b =，12y x x'=+，显然在点()1,b 处的斜率3k =，则切线方程为32y x =-，∵直线32y x =-与直线1y ax =-垂直，则31a =-，显然13a =-， 则12133a b +=-=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度，属于基础题．16．设x 、y 是常数，且满足()()()()3312018*********x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，则x y +的值是________. 【答案】2【解析】构造函数()32018f x x x =+，分析该函数的奇偶性与单调性，结合题意得出()()1111f x f y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，进而得出()()()111f x f y f y -=--=-，从而可得出x y +的值. 【详解】构造函数()32018f x x x =+，该函数的定义域为R ，且()()()()3320182018f x x x x x f x -=-+⋅-=--=-， 则函数()32018f x x x =+为奇函数，且在定义域R 为增函数.由()()()()3312018111201811x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，可得()()1111f x f y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，()()()111f x f y f y ∴-=--=-，11x y ∴-=-，因此，2x y +=.故答案为2. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性求参数值，根据等式结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题17．已知函数()()22sin cos f x x x x =++（1）求它的单调递增区间；（2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）(1⎤⎦. 【解析】（1）化简()f x ，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可． （2）根据（1）的结果()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出23x π+的范围结合sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为2⎛⎤- ⎥⎝⎦，即可求出结果． 【详解】（1）())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈. 故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）由02x π<<，得42333x πππ<+<.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为2⎛⎤- ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦，故此函数的值域为(1⎤-⎦ 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题．18．已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是21a -，4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*11n n n b n N a a +=∈.求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；（2）()323n nT n =+.【解析】（1）利用等差数列的基本量结合等比中项的应用，转化已知条件，求得首项和公差，即可容易得到结果；（2）根据（1）中所求，求得n b ，再用裂项求和法即可求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵6336a a d -==，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+，∴3113a a -=+，2111a a -=+，416a a =+， ∵31a -是21a -，4a 的等比中项，∴()()232411a a a -=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a = ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+ （2）由（1）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭∴1212n n T b b b =++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭。

甘肃省天水市第一中学2021届高三数学上学期12月月考试题 理（含解析）一、选择题. 1.已知集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =（ ） A. ∅ B. [3,5]C. [2,3]-D. (3,5)【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B 。

【详解】解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5AB =，故选：B 。

【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

2.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a c b c +≥-B. ac bc >C. 20c a b>-D.2()0a b c -≥【答案】D 【解析】试题分析：A 、B 、C 三个选项的关系无法判断或错误，而所以,故选D 。

考点：比大小（或者不等式证明）。

3.下列命题的说法错误的是（ ）A. 对于命题p ：∀x∈R，x 2+x+1＞0，则¬p：∃x 0∈R，x 02+x 0+1≤0．B. “x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．C. “ac 2＜bc 2“是“a＜b“的必要不充分条件．D. 命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”． 【答案】C 【解析】对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题；若c =0时，不成立，是假命题；命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题；故选：C.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，则()11S =A. 140B. 70C. 154D. 77【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式11111=112a a S +⋅，及等差数列的性质11157=a a a a ++，即可求出结果. 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为5714n S a a +=，，∴571111114=11=11=1177222a a a a S ++⋅⋅⋅=. 故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.5.已知双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（ ）A.12【答案】C 【解析】由双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的离心率为5，得：22254a b a +=，即224b a = ∴椭圆22221x y a b +=的离心率为22222334a b b a b -== 故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 6.函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()sin f x x x =的奇偶性排除选项A ，C ，然后取特殊值2x π=，计算2f π⎛⎫⎪⎝⎭判断即可得结果.【详解】[],x ππ∈-，定义域关于原点对称， ∵()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 为偶函数，即图象关于y 轴对称，则排除A ，C ，当2x π=时，02222f sin ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，故排除D ，故选B ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等. 7.将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A. ()62k x k Z ππ=-+∈ B. ππ122k x kZC. ()62k x k Z ππ=+∈ D. ()122k x k Z ππ=+∈ 【答案】A 【解析】 【分析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果.【详解】将函数2cos2y x =图象向左平移6π个单位长度，可得2cos 2()6y x π=+, 即2cos(2)3y x π=+,令2,3x k k Z ππ+=∈,解得,26k x k Z ππ=-∈, 则平移后图像的对称轴方程为,26k x k Z ππ=-∈, 故选A.【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及cos()y A x ωϕ=+的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.8.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为3，BC =AB AC ⋅=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】 由题意得22()()()()()(69)3AB AC DB DA DC DA DB DA DB DA DB DA ⋅=-⋅-=-⋅--=--=--=【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

2020-2021学年甘肃省天水一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x 2+2x −3}，B ={−2,0，2，3}，M =A ∩B ，则M 的子集共有( )A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个2. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则t =( )A. 5B. 4C. 3D. 23. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则a 5+a 9=( )A. 15B. 10C. 5D. 14. 已知sinα+3cosα3cosα−sinα=5，则sin 2α−sinαcosα的值是( )A. 25B. −25C. −2D. 25. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >b >0，则下列结论错误的是( )A. 1a <1bB. log 2(a −b)>0C. a 12>b 12D. 3a >3b6. 一个等比数列{a n }的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A. 63B. 108C. 75D. 837. 已知函数f(x)=√3sin(2x +π3)，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象的一个对称中心为(π6,0) C. 函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π3D. 函数f(x)的图象可以由函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度得到8. △ABC 中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinAsinB =ac ，(b +c +a)(b +c −a)=3bc ，则△ABC 的形状为( )A. 等边三角形B. 等腰非等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9. 已知正项等比数列{a n }中a 9=9a 7，若存在两项a m 、a n ，使a m a n =27a 12，则1m +16n的最小值为( )A. 5B. 215C. 516D. 65410. 已知点P(x,y)在曲线C ：x 2+y 2−2x =0上，则x −2y 的最大值为( )A. 2B. −2C. 1+√5D. 1−√511. 已知函数f(x)定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意x 1≠x 2∈(−4,0)，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0；②f(x)=−f(x +4)；③y =f(x +4)为偶函数，则( )A. f(2019)>f(15)>f(2)B. f(15)>f(2)>f(2019)C. f(2)>f(15)>f(2019)D. f(2)>f(2019)>f(15)12. 已知函数f(x)=e x +ax −3，其中a ∈R ，若对于任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1<x 2，都有x 2⋅f(x 1)−x 1⋅f(x 2)<a(x 1−x 2)成立，则a 的取值范围是( )A. [3,+∞)B. [2,+∞)C. (−∞,3]D. (−∞,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 复数z =21+i ，则|z|=______．14. 已知实数x ，y ，则{x ≤1,x +y −2≥0,x −y +2≥0,则z =2x −y 的最大值为______．15. 已知等差数列{a n }前n 项和S n ，且S 2019>0，S 2020<0，若a k a k+1<0，则k 的值为______．16. 如图，在△ABC 中，cos∠BAC =14，点D 在线段BC 上，且BD =3DC ，AD =√152，则△ABC 的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，tx 2+x +t ≤0．(1)若p 为真命题，求实数t 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，当p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，求实数t 的取值范围．18.已知在等差数列{a n}中，a2+a4=10，a5=9．(1)求数列{a n}的通项公式，写出它的前n项和S n；(2)若c n=2a n⋅a n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19.设函数f(x)=(sinx+cosx)2+√3sin(2x+5π2)．(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3asinA =bcosB，求f(A)的取值范围．20.在ABC中，角A、B、C所对的边长是a、b、c，向量m⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m⃗⃗⃗ |2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，求△ABC的周长的最大值．21.若数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2n−1，求数列{b n}的前n顶和T n．a n+lnx−1(a∈R)．22.已知函数f(x)=ax−1(1)若函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；<0．(2)若a>0，函数f(x)在x=t处取得极小值，证明：2f(t)−t+3t答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x|x 2+2x −3≥0}={x|x ≤−3或x ≥1}，B ={−2,0，2，3}， ∴M =A ∩B ={2,3}， ∴M 的子集共有：22=4个． 故选：B ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可求出M ，然后根据子集个数的计算公式即可得出M 的子集个数．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1)， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2,−1)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以2t −4−2=2，解得t =4． 故选：B ．利用已知条件，求出数量积的两个向量，然后利用数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算与应用，考查计算能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ， 若a 1+a 2+a 3=3，a 11+a 12+a 13=12，则有a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a 11+a 12+a 13=3a 12=12，变形可得a 2=1，a 12=4， 则d =a 12−a 212−2=4−110=310，而a 5+a 9=2a 7=2(a 2+5d)=2×(1+5×310)=5， 故选：C ．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的性质可得a 1+a 2+a 3=3a 2=3，a11+a12+a13=3a12=12，变形可得a2=1，a12=4，求出公差d，又由a5+a9= 2a7=2(a2+5d)，计算可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列通项公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵sinα+3cosα3cosα−sinα=5，∴tanα+33−tanα=5，∴tanα=2．∴sin2α−sinαcosα=sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α=tan2α−tanα tan2α+1=4−24+1=25，故选：A．由已知条件求出tanα值，化简sin2α−sinαcosα=tan2α−tanα tan2α+1，把tanα值代入运算．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，把所求的sin2α−sinαcosα变形为sin2α−sinαcosα sin2α+cos2α是解题的难点．5.【答案】B【解析】解：令a=2，b=1，得选项B错误，故选：B．根据特殊值法判断即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．6.【答案】A【解析】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60−48=12，∴第三个n项的和为：12248=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n 项的和和第二个n 项的和，求得第三个n 项的和，进而把前2n 项的和加上第三个n 项的和，即可求得答案．本题主要考查了等比数列的前n 项的和．解题的关键是利用等比数列每k 项的和也成等比数列的性质．7.【答案】D【解析】解：对于函数f(x)=√3sin(2x +π3)，它的周期为2π2=π，故A 错误； 当x =π6时，求得f(x)=32，故f(x)的图象的对称中心不会是(π6,0)，故B 错误； 令x =π3，求得f(x)=0，故f(x)的图象的对称轴不会是x =π3，故C 错误； 把函数y =√3cos2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y =√3cos(2x −π6)=√3sin(2x +π3)的图象， 故选项D 正确， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵(b +c +a)(b +c −a)=3bc ， ∴(b +c)2−a 2=3bc ， ∴b 2+c 2+2bc −a 2=3bc ， ∴b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，A ∈(0,π)，∴A =π3，∵△ABC 中，由正弦定理得：asinA =bsinB ， ∴sinAsinB =ab ，又sinAsinB =ac ， ∴ab =ac ，∴b=c，综合可知三角形为等边三角形．故选：A．把(b+c+a)(b+c−a)=3bc整理课求得b2+c2−a2和bc的关系式，代入余弦定理中可求得cos A的值，进而取得A，同时利用正弦定理和sinAsinB =ac整理后可知b=c，最后可判断出三角形的形状．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成角和边的问题的转化．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，还考查了利用乘1法在基本不等式的应用条件配凑中的应用，属于中档试题．由已知结合等比数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{a n}中a9=9a7，所以q2=a9a7=9，即q=3，若存在两项a m、a n，使a m a n=27a12，则a12⋅3n+m−2=27a12，所以m+n=5，m>0，n>0，m≠n，则1m +16n=15(m+nm+16(m+n)n)=15(17+nm+16mn)≥15(17+8)=5，当且仅当nm =16mn且n+m=5即m=1，n=4时取等号，故选：A．10.【答案】C【解析】解：根据题意，设x−2y=t，则有x=2y+t，可以看成一条直线，将其代入圆的方程x2+y2−2x=0中，可得5y2+(4t−4)y+t2−2t=0，则有△≥0，可得t2−2t−4≤0，解−√5+1≤t≤√5+1；则x−2y的最大值为√5+1；故选：C．根据题意，设x−2y=t，将其代入圆的方程中，变形，由直线与圆的位置关系分析可得△≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，把几何问题转化为代数问题是解题的关键，是中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，若对任意的x1，x2∈(−4,0)，当x1<x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，则函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，若f(x+4)=−f(x)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为8，故(4,8)上也递增，若y=f(x+4)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=4对称，∵f(2)=f(6)，f(15)=f(1)=f(7)，f(2019)=f(252×8+3)=f(3)=f(5)，又由函数f(x)在区间[4,8]上为增函数，则有f(2019)<f(2)<f(15)．故选：B．根据题意，由①分析可得函数f(x)在区间(−4,0)上为增函数，由②分析可得函数f(x)的周期为8，由③分析可得函数f(x)的图象关于直线x=−4和x=4对称，进而分析可得f(2)=f(6)，f(15)=f(7)，f(2019)=f(5)，结合函数在[4,8]上的单调性，分析可得答案．本题考查抽象函数的应用，关键是依据题意，分析函数的单调性和周期性．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．将不等式变形为：f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，构造函数ℎ(x)=f(x)+ax，转化为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2，都有x2⋅f(x1)−x1⋅f(x2)<a(x1−x2)成立，∴不等式等价为f(x1)+ax1<f(x2)+ax2恒成立，令ℎ(x)=f(x)+ax，则不等式等价为当x1<x2时，ℎ(x1)<ℎ(x2)恒成立，即函数ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数；ℎ(x)=e x+ax−3+ax，则ℎ′(x)=xe x−e x+3−ax2≥0在[1,+∞)上恒成立；∴xe x−e x+3−a≥0；即a−3≤xe x−e x恒成立，令g(x)=xe x−e x，∴g′(x)=xe x>0；∴g(x)在[1,+∞)上为增函数；∴g(x)>g(1)=0；∴3−a≥0；∴a≤3．∴a的取值范围是(−∞,3]．故选：C．13.【答案】√2【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．【解答】解：∵复数z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i．∴|z|=√12+(−1)2=√2．故答案为：√2．14.【答案】1第11页，共17页【解析】解：由z =2x −y 得y =2x −z作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 最大， 由{x =1x +y −2=0，解得{x =1y =1，即A(1,1)． 代入目标函数z =2x −y ， 得z =2×1−1=1，∴目标函数z =2x −y 的最大值是1． 故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键．15.【答案】1010【解析】解：等差数列{a n }中，S 2019=2019×(a 1+a 2019)2>0，所以a 1+a 2019>0，即2a 1010>0，即a 1010>0， 同理S 2020=2020×(a 1+a 2020)2<0，所以a 1+a 2020<0，即a 1011<0， 所以a 1010⋅a 1011<0， 又因为a k a k+1<0， 所以k =1010． 故答案为：1010．利用等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质可得a 1010>0，a 1011<0，结合a k a k+1<0，可求k 的值．本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，掌握等差数列的性质是解题的关键，属于基础题．16.【答案】√15【解析】解：设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC．∵BD=3DC，AD=√152，∴S△ABD=34S△ABC，∴12AB⋅ADsinθ=34×12×AB⋅ACsin∠BAC，∴AC=83sinθ，同理AB=8sin(∠BAC−θ)，∴S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=8√153sinθsin(∠BAC−θ)=8√153sinθ(√154cosθ−14sinθ)=5sin2θ+√153cos2θ−√153=√153(√15sin2θ+cos2θ)−√153=√153[4sin(2θ+φ)−1]，(其中tanφ=√1515)，∵0<θ<∠BAC，∴当2θ+φ=π2时，sin(2θ+φ)max=1，∴(S△ABC)max=√15．故答案为：√15．设∠BAD=θ，则0<θ<∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC=1 2AB⋅AC⋅sin∠BAC=√153[4sin(2θ+φ)−1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴当t=0时，x≤0，与x∈R矛盾，舍去；当t<0且△=1−4t2≤0，解得t≤−12．∴p为真命题时，t≤−12．第12页，共17页第13页，共17页(2)∃x ∈[2,16]，tlog 2x +1≥0，，即，∴∃x ∈[2,16]，t ≥−1log 2x 有解．又x ∈[2,16]时，−1log2x∈[−1,−14]，∴t ≥−1，∴q 为真命题时，t ≥−1．∵p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真， 当p 假q 真，有{t ≥−1t >−12解得t >−12； 当p 真q 假，有{t <−1t ≤−12解得t <−1；∴p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，t <−1或t >−12．【解析】(1)利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可． (2)求出命题q 成立时，t 的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可． 本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．18.【答案】解：(1)设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }中，a 2+a 4=10，a 5=9． 所以{a 2+a 4=10a 5=9，整理得{2a 1+4d =10a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n =1+2(n −1)=2n −1． 则S n =1+3+5+⋯+(2n −1)=n(1+2n−1)2=n 2．(2)由(1)得c n =2an ⋅a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，所以T n =1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)首先利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式和数列的和；(2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx +√3cos2x +1=sin2x +√3cos2x +1第14页，共17页=2sin(2x +π3)+1，所以函数f(x)的最小正周期为T =2π2=π；令2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； (2)在锐角△ABC 中，由√3a sinA =b cosB，利用正弦定理得√3bsinB=bcosB ， 所以tanB =√3，其中A ∈(0,π)， 所以B =π3； 由{0<A <π20<2π3−A <π2， 得π6<A <π2， 所以2A +π3∈(2π3,4π3)，所以sin(2A +π3)∈(−√32,√32)，所以2sin(2A +π3)+1∈(1−√3,1+√3)， 即f(A)的取值范围是(1−√3,1+√3)．【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间； (2)利用正弦定理求出tan B 和B 的值，再利用三角恒等变换求出f(A)的取值范围． 本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)向量m ⃗⃗⃗ =(b,c)，且满足|m ⃗⃗⃗ |2=a 2+bc ， 可得b 2+c 2=a 2+bc ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)， ∴A =π3．(2)由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−3bc ≥(b +c)2−34(b +c)2=14(b+c)2，当且仅当b=c时取等号，∴(b+c)2≤12，∴b+c≤2√3∴△ABC的周长为a+b+c≤√3+2√3=3√3．【解析】(1)根据向量的模和余弦定理即可求出，(2)利用余弦定理和基本不等式即可求出．本题考查了余弦定理和基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−1①，当n=1时，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=2a n−1−1②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，所以a na n−1=2(常数)，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以a n=1×2n−1=2n−1．(2)由于b n=2n−1a n =(2n−1)⋅(12)n−1，所以T n=1×120+3×(12)1+⋯+(2n−1)⋅(12)n−1①，1 2T n=1×121+3×(12)2+⋯+(2n−1)⋅(12)n②，①−②得：12T n=1+2(12+14+⋯+12n−1)−(2n−1)⋅12n=1+2×12(1−12n−1)1−12−(2n−1)⋅12n，整理得T n=6−2n+32n−1．【解析】(1)利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．第15页，共17页22.【答案】解：(1)∵函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0,1)上恒成立，即f′(x)=−a(x−1)2+1x≥0，∵x∈(0,1)，∴a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，则g′(x)=1−1x2<0，故g(x)在(0,1)递减，g(x)>g(1)=0，故a≤0时，f(x)在(0,1)递增，故a的取值范围是(−∞,0]；(2)证明：∵函数f(x)在x=t处取极小值，故f′(t)=0即f′(t)=−a(t−1)2+1t=0，即a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=−a(x−1)2+1x=x2−(a+2)x+1x(x−1)2，∵a>0，∴△=(a+2)2−4>0，设f′(x)=0的两根为x1，x2(x1<x2)，解得：x1=a+2−√a2+4a2，x2=a+2+√a2+4a2，由x1+x2=a+2，x1x2=1，得0<x1<1<x2，故x∈(0,x1)，(x2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(x1,1)，(1,x2)时，f′(x)<0，∵f(x)在x=t处取得极小值，故t>1，要证2f(t)−t+3t <0，只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t<0(t>1)，则ℎ′(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t2<0，故ℎ(t)在(1,+∞)递减，ℎ(t)<ℎ(1)=0，故2f(t)−t+3t<0．【解析】(1)求出函数的导数，问题转化为a≤(x−1)2x =x+1x−2在(0,1)上恒成立，令g(x)=x+1x−2，x∈(0,1)，根据函数的单调性求出a的范围即可；(2)求出a=(t−1)2t ，故f(t)=t−1t+lnt−1，问题转化为只需证明2lnt−t+1t<0(t>1)第16页，共17页<0(t>1)，根据函数的单调性证明即可．成立即可，令ℎ(t)=2lnt−t+1t本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．第17页，共17页。

2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题一、选择题（本大题共个小题，每小题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．“”是“函数在区间上为增函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3．已知，则（）A. B. C. D.4．曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5．定义域为上的奇函数满足，且，则（）A. 2B. 1C. -1D. -26．已知函数，（为自然对数的底数），且,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7．在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4C. D.8．已知函数，且，则（）A. B. C. D.9．函数的示意图是（）A. B. C. D.10．已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12．若点在直线上，则．13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____．14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足. （1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16．（10分）已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.17．（12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，的面积为，求.18．(12分)已知函数.（Ⅰ）判断函数在上的单调性；（Ⅱ）若恒成立, 求整数的最大值．2021届甘肃省天水市一中高三上学期第一阶段考试数学（理）试题参考答案一、选择题1——5 DAAAC 6——10 CDDCD二、填空题11、 12、3 13、 14、三、解答题15、【答案】(1) (2)试题解析：解：（1）由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件，即，且，等价于，且，设，，则；则，且所以实数的取值范围是.16、【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）由题意可得：，因为相邻量对称轴间的距离为，所以，，因为函数为奇函数，所以，，，因为，所以，函数∵∴要使单调减，需满足，，所以函数的减区间为；（2）由题意可得：∵，∴∴，∴即函数的值域为.17、【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理得：，即，∴，∵，∴，则，∵，∴由正弦定理得：（2）∵的面积为，∴，得，∵，∴，∴，即，∵，∴.18、试题解析：（Ⅰ）上是减函数（Ⅱ），即的最小值大于.令，则上单调递增, 又，存在唯一实根, 且满足，当时，当时，∴，故正整数的最大值是3。