高中数学第1讲优选法三黄金分割法——0.618法(一)练习新人教A版选修4_7
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三 黄金分割法——0.618法（一）
一、基础达标
1.有一优选问题，存优范围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试
点最好为( )
A.12 B.13
C.14 D.15
解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以
第二个试点最好为14.
答案 C
2.在存优范围[10，100]安排两个实验点x1，x2，则x1，x2关于( )对称.
A.0.618 B.65.62
C.55 D.61.8
解析 x＝x1＋x22＝10＋1002＝55.
答案 C
3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的( )
A.0.6182 B.0.6183
C.0.6184 D.0.6185
解析 由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验
后，存优范围缩小为原来的0.6183.
答案 B
4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，
两次试验存优范围缩小到区间________上.
解析 如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，
1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0，0.2]上.
答案 [0，0.2]
5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最
佳.(精确到0.1 ℃)
解析 36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.
答案 22.2～22.8
2
6.一个身高为170 cm的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到
1 cm).
解析 由170×0.618＝105.06≈105.
答案 105
二、能力提升
7.已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间，若用0.618法安排试验，则第一次
试点的加入量可以是________g.
解析 根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或
110＋210－171.8＝148.2(g)
答案 171.8或148.2
8.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加
入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试
验，求第三个试验点.
解 由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x2＝1 000＋2 000－
x
1
＝1 382(g).
由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618
－1 382＝1 236(g).
9.如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，
当FB⊥AB时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”.
(1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.
(2)设AB为黄金双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，M为AB的中点，若AB，OM的斜率存在，求
kOM·k
AB
.
解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF⊥AB.
则BO＝b，FO＝c，OA＝a，
在Rt△ABF中，b2＝ac.
又∵b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac
⇒
c
a
2
－ca－1＝0.
3
∴e＝ca＝1±52.又e＞1，
∴e＝1＋52.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则x21a2－y21b2＝1， ①x22a2－y22b2＝1. ②
由①－②得（x1－x2）（x1＋x2）a2＝（y1－y2）（y1＋y2）b2.
∵M是AB的中点，且x1≠x2，
∴x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22，
从而y1－y2x1－x2＝b2a2·x0y0.
故kOM·kAB＝y0x0·y1－y2x1－x2＝b2a2＝1＋52.
三、探究与创新
10.已知线段AB，怎样作出它的黄金分割点？
解 法一 在AB的端点B作BD⊥AB，使BD＝12AB，连接AD，在AD上截取DE＝DB，再在
AB上截取AC＝AE，则点C
为所求作的黄金分割点，如图1.
事实上，由作法可知AD＝52AB，则AC＝AE＝AD－DB＝AD－12AB＝5－12AB，
即证.
图1
法二 在AB上作正方形ABMN，在AN上取中点E，在NA的延长线上取EF＝EB.以AF为一
边作正方形ACDF，则点C为所求作的黄金分割点，如图2.
事实上，由AC＝AF＝EF－AE＝
4
EB－AE＝AB2＋12AB2－12AB
＝5－12AB，即证.
图2
