湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 三、黄金分割法0.618法》教案 新人教A版

黄金分割法【教学目标】1、掌握黄金分割法原理。

2、理解黄金分割法流程。

【教学重点】1、黄金分割法原理。

【教学难点】1、黄金分割法原理。

2、黄金分割法流程。

【教学准备】多媒体课件、多目标优化方法学习资料。

【教学过程】一、创设问题，引入课题以社会热点巴黎圣母院起火为切入点，巴黎圣母院、中国国旗、蒙娜丽莎三者有什么共同的特点。

二、黄金分割法又称作0.618法是一种等比例缩小区间的直接搜索方案，适用于单谷函数的求极小值问题。

三、黄金分割法原理指一条线段分为长短两部分，较长部分的长度与总长的比值，适用于较短部分的长度与较长部分的长度的比值。

在函数f(x)的已知区间[a,b]内搜索区间适当插入两点x1和x2（x1＜x2），得到其函数值f(x1)和f(x2)。

两个插入点将线段分割成三段。

黄金分割法要求插入点x1和x2的位置相对区间[a,b]具有对称性，即|ax2|=|x1b|，|ax1|=|x2b|，如下图所示。

设|ab|=l，|ax2|=|x1b|=c，|ax1|=|x2b|=l-c。

已知x2点将线段ab分为ax2和x2b两部分，若|ax2|/|ab|=|x2b|/|ax2|，则有c/l=（l-c）/c设c/l=λ，故λ2+λ-1=0，可得λ≈0.618λ（λ≈0.618）称为黄金分割比，x2是线段ab的黄金分割点。

x2=a+0.618（b-a）x1=a+0.382（b-a）黄金分割法每一次搜索区间都是取相同的区间多段率。

每次缩小区间后，新搜索区间是原区间的0.618倍，消去的区间是原区间的0.382倍。

比较f(x1)和f(x2)，根据区间消去原理来逐步缩小搜索区间：（1）如果f(x1)＜f(x2)，则新的搜索区间是[a,x2]。

已知x1和x2的位置相对区间[a,b]具有对称性，c/l=（l-c）/c=λ，可知|ax1|/|ax2|=λx1点则是线段ax2|的黄金分割点由于|x1x2|/|x1b|≈0.382，可知x2点则是线段x1b黄金分割点的对称点。

湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 优选法 四、分数法》教案 新人教A 版一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ二、新课案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1Λ这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列.ΛΛ, , ,138,85 ,53 ,32 ,211+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1Λ 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用65138F F =10=11=22=F 33=F 54=85=136=F来代替0.618，那么我们有80)0130(13801=-⨯+=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x在存优范围50~130ml 内：继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：阻值(K Ω) 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5 排列(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的nn n n F F F F 21--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nn nn n n F FF FF F ---=分数法的最优性在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +1－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.4F 5F 6F 502=x 801=x 130003F 4F 6F 1003=x 801=x 130500课后作业1.阅读教材P. 11-P.17；2.《学案》第一讲第四课时.。

三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL 到110 mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析 由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL. 答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析 最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618]. 答案 [1.382，1.618] 二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236； 若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764. 答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度. 解 因最佳温度为1001 ℃.试验范围为 2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n－1的结果比试验点a n要好，即a n－1与a n中a n－1为好点.(1)如果b2＝b1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b2n－1＝b2n时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？解(1)由b2＝b1，说明a2与a1的试验效果一样好.又因为目标函数f(x)是[m，n]上是一个单峰函数，x＝c是最佳点，且f(a2)＝f(a1)，则根据f(x)在[m，c]和[c，n]上单调，可知a2，a1不会同在[m，c]或[c，n]上，因此a2，a1分别在c的两侧，即c在保留的中间范围[a2，a1]上，故存优范围是[a2，a1].(2)当b2n－1＝b2n时，由(1)可知，最佳点c保留在中间范围[a2n，a2n－1]上.由a2，a1是区间[m，n]两个黄金分割点知，若n－m＝1，则有a1－a2＝0.618－0.382＝0.236，即经过2次试验后，存优范围缩小为原来的0.236.每经过2次试验，可得出存优范围是前面的0.236倍.即经过2n次试验后的精度δ2n＝0.236n.三、探究与创新10.膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料.由于产品产量低、成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用.为了解决这一问题，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验.在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度1 300 ℃～1 400 ℃范围内进行优选.(精确到10 ℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50 kg/m3(每立方米50公斤).(2)又找出第二试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65 kg/m3.两试点比较，1 360℃时质量较好，故将______________________________________.(3)再找出第三试点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55 kg/m3，并有少量粘炉.两试点比较，1 360 ℃时质量较好.根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度.用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定.解析(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340，1 400]之间，故把1 340以下部分舍去.(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340，1 380]之间，故把1 380以上部分舍去.从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360知，可把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度. 答案(1)1 360 (2)1 340 1 340 ℃以下部分舍去(3)1 380 1 360。

三黄金分割法——0.618法（二）一、基础达标1.假设因素区间为[1，2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A.1.618B.1.5C.1.382D.1.618或1.382解析用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382答案 D2.现决定优选加工温度，假定最佳温度在60 ℃到70 ℃之间，用0.618法进行优选，则第二次试点温度为( )A.63.82 ℃B.66.18 ℃C.63.82 ℃或66.18 ℃D.65 ℃解析若第一次试点x1＝60＋0.618×(70－60)＝66.18，则第二次试点x2＝60＋70－66.18＝63.82.若第一次试点x1＝70－(70－60)×0.618＝63.82，则第二次试点x2＝60＋70－63.82＝66.18.答案 C3.用0.618法优选寻找最佳点时，达到精度0.001所做试验的次数至少为( )(已知lg 0.618＝－0.209)A.16B.15选A.答案 A4.用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382.则b＝( )A.3B.2.618C.3.618D.3或2.618解析由2.382＝2＋(b－2)×(1－0.618)或2.382＝2＋(b－2)×0.618，解得b＝2.618或b＝3，选D.答案 D5.配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 mL到110 mL之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量为________mL.解析 由黄金分割法可知，第一个试点为x 1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为x 2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x 2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为10＋71.8－48.2＝33.6 mL.答案 33.66.用0.618法进行单因素优选时，若在试验范围[1，2] 的0.382处与0.618处的试验结果一样，则存优范围是________________________________________.解析 最佳点应在1＋0.382与1＋0.618之间，故存优范围为[1.382，1.618].答案 [1.382，1.618]二、能力提升7.某试验的因素范围是[3 000，4 000].用0.618法求最佳值.a n 表示第n 次试验加入量(结果取整数)，则a 3＝________.解析 a 1＝3 000＋0.618×(4 000－3 000)＝3 618，a 2＝3 000＋4 000－3 618＝3 382.若a 2为好点，则a 3＝3 000＋3 618－3 382＝3 236；若a 1为好点，则a 3＝3 382＋4 000－3 618＝3 764.答案 3 236或3 7648.某产品生产的过程中，温度的最佳点可能在1 000～2 000 ℃之间.某人用0.618法试验得到最佳温度为1 001 ℃.试问：此人做了多少次试验？并依次给出各次试验的温度.解 因最佳温度为1001 ℃.试验范围为2 000－1 000＝1 000(℃)可知，达到精度为0.001，则用0.618法寻找最佳点的次数n ≥lg 0.001lg 0.618＋1≈－3－0.209＋1≈15.4.知应安排16次试验.各次试验的温度分别为1 618 ℃、1 382 ℃、1 236 ℃、1 146 ℃、1 090 ℃、1 056 ℃、1 034 ℃、1 022 ℃、1 012 ℃、1 010 ℃、1 002 ℃、1 008 ℃、1 006 ℃、1 004 ℃、1 003 ℃、1 001 ℃.9.若已知目标函数是单峰函数，在用0.618法在因素范围[m ，n ]内进行最佳点探求时，设第n 次试验加入量为a n ，其对应的试验结果值用b n 表示，如果b n －1＞b n (n ＞1)，我们就说试验点a n －1的结果比试验点a n 要好，即a n －1与a n 中a n －1为好点.(1)如果b 2＝b 1时，则说明了什么？此时存优范围可怎样取？(2)若在已试验的过程中，都有b 2n －1＝b 2n 时，则这个试验的存优范围是如何变化的？精度可怎样计算？ 解 (1)由b 2＝b 1，说明a 2与 a 1的试验效果一样好.又因为目标函数f (x )是[m ，n ]上是一个单峰函数，x。

黄金分割法教案介绍：黄金分割法是一种常用于艺术、设计和数学等领域的比例原则。

它的起源可以追溯到古希腊时期，被认为是一种美学上最具吸引力和对称感的比例。

在本教案中，我将向你介绍黄金分割法的背景、原理以及如何应用于不同的艺术创作中。

一、黄金分割法的背景和意义（200字）黄金分割法或黄金比例最早出现在古希腊，古希腊建筑师和数学家发现，黄金比例可以创造出最和谐、平衡和美丽的形状。

黄金分割法的核心概念是将一个整体分割成两个部分，其中较小部分与较大部分的比例等于整体与较大部分的比例。

这种比例通常被表示为1:1.618（约等于）。

黄金分割法的意义在于它提供了一种直观且可衡量的美学准则，帮助艺术家和设计师在他们的作品中创建吸引人的比例和对称感。

它被广泛应用于绘画、摄影、建筑和平面设计等领域，为作品带来了视觉上的平衡和和谐。

二、黄金分割法的原理（300字）黄金分割法的原理基于黄金比例的数学特性。

黄金比例是指两个数之间的比例，其中较大数与较小数的比例等于整个数与较大数的比例。

具体来说，如果用A代表总长度，B代表较大部分的长度，C代表较小部分的长度，那么黄金比例可以表示为以下公式：A/B = B/C = φ（黄金比例）黄金比例的近似值约为1.618。

在艺术中，黄金分割法的应用体现在将画面分成合适的比例，使元素之间达到平衡和和谐。

例如，将画布按照黄金分割法划分为三个水平或垂直部分，将关键元素放置在这些分割线的交叉点上，可以增强画面的对称感和视觉吸引力。

三、黄金分割法的应用（500字）1. 绘画和摄影中的黄金分割法黄金分割法在绘画和摄影中被广泛应用，可以帮助艺术家和摄影师创造出吸引人的构图和视觉效果。

在绘画中，艺术家可以利用黄金分割法的原理来决定物体的尺寸和位置，以达到视觉上的平衡和美感。

例如，水平和垂直分割线可以用来决定背景、前景、主体和元素之间的关系。

在摄影中，摄影师可以使用黄金分割法来决定照片的主体位置和背景布局。

三黄金分割法——0.618法1．黄金分割常数2．黄金分割法——0.618法课标解读1.了解0.618法进行试验设计的原理．2.掌握用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.1．黄金分割常数(1)在试验中为最快地达到或接近最佳点，在安排试点时，最好把握两个原则： ①使两个试点关于[a ，b ]的中心a ＋b2对称；②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同． (2)黄金分割常数常用ω表示，且ω＝5－12≈0.618. 2．黄金分割法——0.618法(1)定义：利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法，又叫做0.618法；它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一． (2)确定试点的方法类别 第一试点第二试点… 第n 试点计算 方式 x 1＝小＋0.618×(大－小) x 2＝小＋大－x 1 …x n ＝小＋大－x m 原理用黄金分割 法确定x 1 加两头减中间…加两头减中间①定义：用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为δn ＝n 次试验后的存优范围原始的因素范围. ②0.618法中，n 次试验后的精度δn ＝0.618n －1_.1．如何通过缩小存优范围来寻找最佳点？【提示】 先在因素范围[a ，b ]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点，在差点处把区间[a ，b ]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a 1，b 1]，再在[a 1，b 1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的．2．在黄金分割法——0.618法中，如果两个试点的结果一样，应如何舍去区间？ 【提示】 当两个试点的结果一样时，可同时舍去两个试点外侧的区间． 3．在存优范围[a ，x 1]内取第三个试点x 3，则x 3与x 2的相对位置如何？ 【提示】 如图所示：结合黄金分割常数原理可知x 2，x 3关于区间[a ，x 1]的中心a ＋x 12对称且x 3在x 2的左侧.用0.618法确定试点为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选．已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？【思路探究】 第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”来确定．【自主解答】 在因素范围[1 000,2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1， 满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618.第二个试点x2满足，x2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x1的效果比x2好，消去x2＝1 382以下部分，则第三个试点x3满足，x3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764.示意图如下：0．618法满足的原则是：(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称；(2)每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同．例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？【解】由于x2的效果比x1的效果好，消去x1＝1 618以上部分，此时的存优范围为[1 000,1 618]，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236.∴第三个试点应选在1 236处.0.618法的应用调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100 kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1 000 g到2 000 g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量．(1)写出这个试验的操作流程．(2)达到精度0.001需要多少次试验？【思路探究】(1)利用0.618法确定第一个试点x1―→利用对称性确定第二个试点x2―→利用x n＝小＋大－x m来确定第n个试点(2)确定精度―→求试验次数【自主解答】用一张纸条表示1 000～2 000 g，以1 000为起点标出刻度．(1)试验可按以下步骤进行：①做第一次试验：第一次试验的加入量为：(2 000－1 000)×0.618＋1 000＝1 618(g)，即取1 618 g柠檬汁进行第一次试验．②做第二次试验：取第一点的对称点做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：加两头，减中间．即第二点的加入量为：1 000＋2 000－1 618＝1 382(g)．③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1 618 g以上的部分：如果第一点较好，则去掉1 382 g以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1 382 g以下的部分，即存优范围为[1 382,2 000]，在此范围找出第一点(即1 618)的对称点做第三次试验．即第三次试验的加入量为：2 000－1 618＋1 382＝1 764(g)．④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1 764 g以上部分，如果第三点好些，则去掉1 618 g以下部分．假设第三点好些，则在留下部分(即[1 618,2 000])找出第三点(即1 764)的对称点做第四次试验．第四点加入量为：2 000－1 764＋1 618＝1 854(g)．⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍．在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止．(2)精度σ≤0.001.所以0.618n－1≤0.001，得n≥lg 0.001/lg 0.618＋1，即n≥16.故需要16次试验．黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头、减中间”的方法来确定．(2012·浏阳模拟)用0.618法寻找试验的最优加入量时，若当前存优范围是[2,3]，好点是2.382，则此时要做试验的加入量值是________．【解析】由题意可知，此时要做试验的加入量值为2＋3－2.382＝2.618.【答案】 2.618(教材第10页习题1.3第3题)举出现实生活或学习过程中可应用0.618法寻找最佳点的例子．已知一种材料的最佳加入量在100 g到200 g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【命题意图】本题主要考查了优选法中的黄金分割法(0.618法)及第一试点的取法，属基础题．【解析】用0.618法确定第一次试点的加入量由下面公式算出：第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(200－100)×0.618＋100＝161.8.第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝200－(200－100)×0.618＝138.2.【答案】161.8或138.21．假设因素区间为[1,2]，用0.618法选取的第一个试点是( )A．1.618 B．1.5C．1.382 D．1.618或1.382 【解析】用0.618法选取的第一个试点为x1＝1＋0.618(2－1)＝1.618，或2－(2－1)×0.618＝1.382.【答案】 D2．假设因素区间为[0,1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0,0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上．( )A．[0,0.1] B．[0.1,1]C．[0,0.2] D．[0.2,1]【解析】如图所示：∵峰值在(0,0.1)内，故应舍去区间[0.2,1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0,0.2]上．【答案】 C3．对于上题中，舍去区间占舍去前的区间的比例数是________．【解析】上题中舍去区间为[0.2,1]其区间长度为0.8，占舍去前的区间的比例数为0.8.【答案】0.84．用0.618法确定试点时，经过4次试验后，存优范围缩小为原来的________．【解析】由n次试验后的精度δn＝0.618n－1可知，4次后的精度为0.6183，即存优范围缩小为原来的0.6183.【答案】0.6183(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每题5分，共20分)1．有一优选问题，存优范围为[10,20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )A．12 B．13C．14 D．15【解析】在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称．所以第二个试点为14.故选C.【答案】 C2．在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于5 000 mL 或小于3 000 mL时，效果肯定不好，用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别为( )A．4 500,3 500 B．4 382,3 618C．4 236,3 764 D．4 618,3 618【解析】x1＝3 000＋0.618×(5 000－3 000)＝4 236，x2＝3 000＋5 000－4 236＝3 764.【答案】 C3．(2012·湖南师大附中模拟)配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10 ml 到110 ml之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是( )A．35 ml B．40.9 mlC．33.6 ml D．86.4 ml【解析】由黄金分割法可知，第一个试点为x1＝10＋(110－10)×0.618＝71.8，第二个试点为：x2＝10＋110－71.8＝48.2，由于x2是好点，故第三次试验时葡萄糖的加入量为：10＋71.8－48.2＝33.6 ml.【答案】 C4．用0.618法寻找最佳点时，要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是(lg 0.618＝－0.21)( )A．8 B．9 C．10 D．11【解析】由题意得0.618n－1≤0.01，∴n－1≥lg 0.01lg 0.618≈9.52，∴n≥10.52.∴n＝11时就可以达到精度0.01的要求．【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．(2012·长沙模拟)用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2,4]，则第二试点x2应选在________处．【解析】第一试点x1＝2＋(4－2)×0.618＝3.236，由对称性可知x2＝(2＋4)－3.236＝2.764.【答案】 2.7646．已知一种材料的最佳加入量在110到210之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.【解析】第一种方法为：(大－小)×0.618＋小＝(210－110)×0.618＋110＝171.8(g)．第二种方法为：大－(大－小)×0.618＝210－(210－110)×0.618＝148.2(g)．【答案】171.8或148.2三、解答题(每题10分，共30分)7．在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料．若每吨需要加入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试验，求第三个试验点．【解】由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618 g，x2＝1 000＋2 000－x1＝1 382 g.由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236 g.8．农场主有2 400 m长的篱笆，想把一块沿着河的矩形土地围起来，沿河的一面不用围，已知矩形宽的边长为x m，其范围为500 m≤x≤700 m，要求所得值与最好值相差不超过10 m．怎样才能使所围的面积最大？【解】由题意设面积为S，则S＝x(2 400－2x)＝2x(1 200－x)．当x＝500时，S＝700 000，x＝700时，S＝700 000.x1＝623.6，x2＝576.4，∴Sx1＝Sx2＝718 886.08.∴x3在存优范围(576.4,623.6)中，∴x3＝605.569 6，x4＝594.430 4，∴Sx3＝Sx4＝719 937.959 1.∴x5在存优范围(594.430 4,605.569 6)中，∴x5＝601.314 425 6，x6＝598.685 574 4，∴Sx5＝Sx6＝719 996.544 6.此时601.314 425 6－598.685 574 4＝2.628 851 2＜10.∴矩形的宽为(598.685 574 4,601.314 425 6)之间任一值时都符合题意，精确值为x ＝600 m.创新应用9．膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料．由于产品质量低，成本高，目前尚不能在建筑部门广泛应用．为了解决这一薄弱环节，某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验．在焙烧试验中，经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度，而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制，于是他们就在珍珠岩焙烧温度 1 300℃～1 400℃范围内进行优选．(精确到10℃)请完成以下填空：(1)首先找出第一点：________℃，经试验，此时产品混合容重为50公斤/m3(每立方米50公斤)．(2)又找出第二点：________℃，经试验，此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较，1 360℃时质量较好，故将________．(3)再找出第三点：________℃，经试验，此时产品混合容重为55公斤/m3，并有少量粘炉．两点比较，1 360℃时质量较好．根据优选结果，把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．用这个温度生产顺利，而且产品质量稳定．【解析】(1)1 300＋(1 400－1 300)×0.618≈1 360.(2)1 300＋1 400－1 360＝1 340；结合0.618法的原理，可知最佳点落在区间[1 340,1 400]之间，故把1 340以下部分丢掉．(3)1 340＋1 400－1 360＝1 380，又结合题意可知最佳点落在区间[1 340,1 380]之间，故把1 380以上部分丢掉．从而由1 340＋1 380－1 360＝1 360可知，把1 360 ℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度．【答案】(1)1 360 (2)1 340 1 340以下部分丢掉(3)1 380 1 360教师备选10．若某实验的因素范围是[100,1 100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量，分别以a n表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．(1)a1＝________；(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内，则a5＝________.【解析】(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为a1＝100＋0.618×(1 100－100)＝718.(2)易知a2＝100＋1 100－718＝482.因为[700,750]包含存优范围，所以最优点在区间[700,750]上．由此可知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优区间为[482,1 100]，所以a3＝482＋1 100－718＝864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优区间为[482,864]，所以a4＝482＋864－718＝628.同理可求得a5＝628＋864－718＝774.【答案】(1)718 (2)774。

黄金分割教案教案题目：黄金分割教案目标：1.了解黄金分割的定义和原理；2.掌握黄金分割的计算方法；3.培养学生的审美能力和艺术鉴赏能力。

教学重点：1.黄金分割的概念和原理；2.黄金分割的计算方法。

教学难点：1.培养学生的审美能力和艺术鉴赏能力；2.理解黄金分割的原理。

教学准备：1.计算器；2.黄金分割的相关教学图片。

教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）通过展示一张黄金分割的例图，提问学生是否觉得该图看起来很美观，引导学生思考美学与黄金分割的关系。

Step 2：讲解黄金分割的原理（15分钟）1.向学生介绍黄金分割的概念，即将一段线段分为两部分，使整段线段与其中一部分的比例等于其中一部分与另一部分的比例，这个比例约为1:0.618。

2.解释黄金分割的原理，即黄金分割点的位置是一种具有视觉和美学上的平衡和和谐感。

Step 3：计算黄金分割（15分钟）1.向学生演示如何计算黄金分割，即将一段线段的长度乘以0.618，得到黄金分割点的位置。

2.让学生自己计算一些线段的黄金分割点。

Step 4：艺术鉴赏（15分钟）通过展示一些著名艺术作品，引导学生分析其中是否存在黄金分割，并让学生讨论这些作品是否看起来很美观。

Step 5：总结与拓展（5分钟）总结黄金分割的概念、原理和计算方法，并鼓励学生在日常生活中观察和欣赏黄金分割的存在。

教学方法：1.讲解法：通过向学生讲解黄金分割的概念、原理和计算方法；2.示范法：向学生演示如何计算黄金分割；3.讨论法：引导学生讨论艺术作品中的黄金分割。

教学评估：1.课堂讨论：根据学生的回答和讨论情况，评估学生对黄金分割的理解程度；2.作业检查：布置相关作业，检查学生对黄金分割的计算方法的掌握情况。

板书设计：黄金分割教案黄金分割的定义和原理：- 将一段线段分为两部分，使整段线段与其中一部分的比例等于其中一部分与另一部分的比例；- 黄金分割点位置具有视觉和美学上的平衡和和谐感。

黄金分割点教案第一篇：黄金分割点教案黄金分割点教案教学目标：（一）知识技能目标：（1）知道黄金分割的定义．（2）会找一条线段的黄金分割点．（二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．（三）情感态度目标：（1）从学生乐于接受的现实背景中学习黄金分割，认识到数学上解决实际问题和进行交流的重要工具。

（2）通过对黄金分割的理解和掌握，明确黄金分割的作图方法，体会数形结合的思想。

（3）通过分组讨论学习，体会在解决实际问题的过程与他人合作的重要性，从而培养学生的团结协作精神。

教学重点：黄金分割的定义和简单应用。

教学难点：黄金点的画法和验证。

教学方法和手段1、采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的学习方式。

2、利用多媒体教学设备辅助教学，充分调动学生的积极性，创设和谐、轻松的学习氛围。

学法指导学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索，发现问题，小组之间互相合作，取长补短。

养成自主学习和合作学习相结合的良好习惯。

教学准备教师准备多媒体课件，黄金分割的学习资料直尺圆规教学流程设计（一）、创设问题情境，激发学生兴趣向学生展示与“黄金分割”有关的图片：以激发学生兴趣，引起学生探索的欲望。

问：为什么它们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉?（二）、实例引入，导出定义。

1、（这是本节课的重点。

学生学习“线段的比”仅有两节课，掌握程度比较浅，而黄金分割的定义又使用了这一知识点，所以在课件使用过程中应注意帮助学生体会、理解定义中出现的“线段的比”。

）以五角星为例引入黄金分割的定义，在五角星中也存在黄金分割。

首先，《黄金分割》学习资料［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方．那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？［生］相等．［师］所以．[设计意图] 阅读是学生自主获取知识的一种重要学习方法，培养学生良好的学习习惯和数形结合的思想，加深对概念的理解。