专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
第48讲直线、平面平行的判定与性质知识梳理知识点一：直线和平面平行1、定义直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平行，记作l ∥α2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线⇒线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行11l l ll l ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭∥∥面∥面⇒线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面⇒线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行l l l l l αβαβ⎫⎪'⊂⇒⎬⎪'=⎭∥∥知识点二：两个平面平行1、定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面α和β，若αβφ= ，则α∥β2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面⇒面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行,,a b a b Pαα⊂⊂= a b ββαβ⇒∥，∥∥线⊥面⇒面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行l l ααβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥β3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面⇒线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行⇒线面平行”）////.a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭面//面⇒线⊥面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//l l αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭【解题方法总结】线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．性质性质性质判定判定判定线∥面线∥线面∥面（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；必考题型全归纳题型一：平行的判定例1．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若α、β是两个不重合的平面，①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则//αβ；②设α、β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；③若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则//lα；以上说法中成立的有（）个．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对于①，设12,l l ⊂平面α，且12l l A ⋂=，由直线与平面平行的判定定理可知1//l β，2//l β，再由平面与平面平行的判定定理可知//αβ，则①正确；对于②，设α、β交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α、β可能垂直也可能不垂直，则②错误；对于③，由直线与平面平行的判定定理可知//l α，则③正确，故选：C ．例2．（2024·全国·高三对口高考）过直线l 外两点作与l 平行的平面，那么这样的平面（）A ．不存在B ．只有一个C ．有无数个D ．不能确定【答案】D【解析】过直线l 外两点作与l 平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．因此只有D 正确．故选：D ．例3．（2024·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C．D．【答案】DMN EF AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，【解析】对于A，由正方体的性质可得////MN平面ABC，能满足；所以直线//MN AD，MN⊄平面ABC，AD⊂对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得//MN平面ABC，能满足；平面ABC，所以直线//MN，MN⊄平面ABC，BD⊂对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得//BD平面ABC，MN平面ABC，能满足；所以直线//对于D ，作出完整的截面，如下图ABNMHC ，可得MN 在平面ABC 内，不能得出平行，不能满足．故选：D ．变式1．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①a c ∥，b c ∥，则a b ∥；②若a γ∥，b γ∥，则a b ∥；③c α∥，c β∥，则αβ∥；④若αγ∥，βγ∥，则αβ∥；⑤若c α∥，a c ∥，则a αP ；⑥若a γ∥，αγ∥，则a αP ．其中真命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，①a c ∥，b c ∥，则a b ∥，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；②a γ∥，b γ∥，则a ，b 可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；③c α∥，c β∥，则α，β可能平行，也可能相交，所以③不正确；④αγ∥，βγ∥，则αβ∥，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；⑤c α∥，a c ∥，则a αP 或a α⊂，所以⑤不正确；⑥a γ∥，αγ∥，则a αP 或a α⊂，所以⑥不正确；故选：C ．变式2．（2024·全国·高三专题练习）设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β垂直于同一个平面C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一条直线【答案】D【解析】对于A ：α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，只有α内所有直线与β平行才能推出，故A 错误；对于B ：α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α与β相交，故B 错误；对于C ：α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故α，β垂直于同一条直线可得α∥β，故：D 正确．故选：D【解题方法总结】排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．题型二：线面平行构造之三角形中位线法例4．（2024·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别为,PD PB 的中点，连接EF ．（1）当G 为PC 上不与点,P C 重合的一点时，证明：//EF 平面BDG ；【解析】（1）因为,E F 分别为,PD PB 的中点，所以EF BD ∥，因为EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ，所以EF //平面BDG ．例5．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，AC AB ⊥，12,(2)AB AA AC t t ===>，1120A AB ∠=︒,E F 分别为棱11,A B BC 的中点，G 为线段CF 的中点．（1）证明：1//A G 平面AEF ．（2）若三棱锥A GEF -的体积为1，求t ．【解析】（1）连接1A B ，交AE 于点O ，连接OF ，由题意，四边形11ABB A 为平行四边形，所以11AB A B =，因为E 为11A B 中点，∴112A E AB =，∴1AOE 与BOA △相似，且相似比为12，∴112A O OB =，又∵F ，G 为BC ，CF 中点，∴12GF BF =，所以1//OF AG ，又OF ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，所以1//A G 平面AEF ．（2）由A GEF G AEFV V --=由（1）1//A G 平面AEF ，则点1A 与G 到平面AEF 的距离相等．所以11A GEF G AEF A AEF F AA E V V V V ----===，由侧面11ACC A 是矩形，则1AC AA ⊥，又AC AB ⊥，且1AA AB A = ，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以AC ⊥平面11ABB A ，F 是BC 的中点，所以F 到平面11ABB A 的距离为12AC ，又1120A AB ∠=︒，则1160B A A ∠=︒，所以11111111121sin 601223232F AA E C AA E AA E V V S AC t --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⋅=oV ，所以t =例6．（2024·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的中心为O ，PD 边上的垂线BE 交线段PO 于点F ，2PF FO =．（1）证明：EO //平面PBC ；【解析】（1）证明：如图，延长FO 至点M ，使FO OM =，连接MD ，∵底面ABCD 的中心为O ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO BD ⊥，∵BO OD =，FOB DOM ∠=∠，∴FOB DOM ≌，∴FBO MDO ∠=∠，∴FB DM ∥，∴EF DM ∥，∴PF PEFM ED=而2PF FO FM ==，∴PE ED =，∴EO PB ∥，∵PB ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，∴//EO 平面PBC ；变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，AD AB ⊥，24AB AP DC ===，2PB AD ==PD =M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（1）求证：直线//MN 平面ABCD ；【解析】（1）连接BD ， M ，N 分别是PD ，PB 的中点．∴//MN BD ，又 MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD∴直线//MN 平面ABCD变式4．（2024·陕西汉中·高三统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且12AA AB BC AC ====，点E 是棱AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1A CE ；（2）求三棱锥11E ACC -的体积．【解析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，E 是AB 的中点，F 是1AC 的中点，∴1EF BC ∥，EF ⊂ 平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，∴1//BC 平面1A CE ；（2）过E 作EG AC ⊥于G ，1AA ⊥ 平面ABC ，EG ⊂平面ABC ，1AA EG ∴⊥，又11,AC AA A AC AA ⊂=∩，平面11AAC C ，EG ∴⊥平面11AAC C ，在等边ABC 中，E 是AB 的中点，,2EG AC AB ⊥=，2EG ∴=．所以三棱锥11E ACC -的体积为11111112233223E A CC A CC V S EG -=⋅=⨯⨯⨯⨯△．变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，1PD AD ==，PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱PC 的中点，点F 是棱PB 上的一点，且EF PB ⊥．（1）求证：//PA 平面EDB ；（2）求点F 到平面EDB 的距离．【解析】（1）连接AC 交BD 于G ，连接EG ，如图所示．因为四边形ABCD 是正方形，所以G 是AC 的中点，又点E 是棱PC 的中点，所以EG 是PAC △的中位线，所以//PA EG ，又PA ⊄平面EDB ，EG ⊂平面EDB ，所以//PA 平面EDB ．（2）因为PD ⊥平面ABCD ，DC ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD DC ⊥，PD BC ⊥，又BC CD ⊥，CD PD D = ，CD ，PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，又PC ，DE ⊂平面PCD ，所以PC BC ⊥，DE BC ⊥．在PDC △中，PD DC ⊥，1PD CD ==，E 是PC 的中点，所以2PE EC DE ===，DE PC ⊥，又DE BC ⊥，BC PC C ⋂=，BC ，PC ⊂平面PBC ，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE 是三棱锥D BEF -的高．在PBC 中，PC BC ⊥，PC =1BC =，所以PB 所以Rt Rt BCP EFP ，所以PC BP BC PF EP EF ==，得3PC EP PF BP ⋅==，6BC EP EF BP ⋅==，BF 111133218D BEF BEF V S DE BF EF DE -=⋅=⨯⨯⋅⋅= ．在BDE △中，BD =，22DE =，2BE =，所以222BD DE BE =+，所以DE BE ⊥，所以124BDE S DE BE =⋅= ．设点F 到平面EDB 的距离为h ，所以11318F BDE BDE D BEF V S h h V --=== ，解得h =即点F 到平面EDB 变式6．（2024·新疆昌吉·高三校考学业考试）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．（1）证明：1//BD 平面AEC ；（2）若正方体棱长为2，求三棱锥D AEC -的体积．【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE ，如图，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，则O 是BD 的中点，又E 是1DD 的中点，则OE 是1BDD 的中位线，故1//OE BD ，又OE ⊂面AEC ，1BD ⊄面AEC ，所以1//BD 平面AEC ．（2）因为正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11DCC D ，所以111112122332323D AEC A DEC DEC V V S AD DE CD AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ．【解题方法总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在PB 位置（与PB 平齐），如图一；（2）然后把直尺平行往平面ACE 方向移动，直到直尺第一次落在平面ACE 内停止，如图二；（3）此时刚好经过点E （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点E ），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与AC 相交于点F ，连接EF ，如图三；（4）此时PB EF 、长度有长有短，连接PB EF 、并延长刚好交于一点D ，刚好构成A 型模型（E 为PD 中点，则F 也为BD 中点，若E 为等分点，则F 也为BD 对应等分点），PB EF ∥，如图四．图一图二图三图四题型三：线面平行构造之平行四边形法例7．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，平面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，6AB =，5DP AP ==，60BAD ∠=︒．（1）求证：//EF 平面PAD ；【解析】（1）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG ，因为,F G 分别是,PC PD 的中点，所以1,2FG CD FG CD =∥，又因为底面ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，所以1,2AE CD AE CD =∥，所以,FG AE FG AE =∥，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF AG ∥，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．例8．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱台ABCD EFGH -的底面是菱形，且π3BAD ∠=，DH ⊥平面ABCD ，2EH =，3DH =，4=AD ．（1）求证：//AE 平面BDG ；（2）求三棱锥F BDG -的体积．【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接,EG GO ，几何体ABCD EFGH -为四棱台，,,,A C G E ∴四点共面，且EG ⊂平面EFGH ，AC ⊂平面ABCD ，平面//EFGH 平面ABCD ，//EG AC ∴；四边形EFGH 和ABCD 均为菱形，π3BAD ∠=，2EH =，4=AD ，12EG AC AO ∴===∴四边形AOGE 为平行四边形，//AE GO ∴，又GO ⊂平面BDG ，AE ⊄平面BDG ，//AE ∴平面BDG ．（2）连接GE 交FH 于K ，DH ⊥Q 平面ABCD ，平面//ABCD 平面EFGH ，DH ∴⊥平面EFGH ，又GE Ì平面EFGH ，GE DH ∴⊥，GE FH ⊥ ，DH FH H ⋂=，,DH FH ⊂平面BDHF ，GE ∴⊥平面BDHF ；四边形EFGH 为菱形，π3FEH BAD ∠=∠=，2EF =，GK ∴=11143332F BDG G BDF BDF V V S GK --∴==⋅=⨯⨯⨯=例9．（2024·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1,,D D F 分别是BC ，11B C ，11A B 的中点，4BC BE =，ABC 的边长为2．（1）求证：：//EF 平面11ADD A ；【解析】（1）证明：取11A D 的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得11//FG B D ，且1112FG B D =，12DE BD =，由三棱柱得性质知11//BD B D ，所以//FG BD ，则四边形DGEF 是平行四边形，所以//EF DG ，因为EF ⊄面11ADD A ，DG ⊂面11ADD A ，所以//EF 面11ADD A ．变式7．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ==2BC =，1AA D 、E 分别为棱BC 、11A B 的中点，12A P PB = ，12C Q QE = ．（1）求证：//PQ 平面1C AD ；【解析】（1）证明：取11B C 中点F ，连接1A F 、FB ．因为E 是11A B 的中点，且12C Q QE = ，故Q 为111A B C △的重心，所以1A 、Q 、F 共线，且12AQ QF=，又12A P PB = ，故11AQ A P QF PB =，所以//PQ BF ，因为11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，故11//BC B C 且11BC B C =，因为D 、F 分别为BC 、11B C 的中点，所以，1//C F BD 且1C F BD =，则四边形1FC DB 为平行四边形，所以1//BF DC ，所以1//PQ DC ，又PQ ⊄平面1C AD ，1DC ⊂平面1C AD ，所以//PQ 面1C AD ．变式8．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点．（1）求证：BC AD ∥；（2）求证：CE 平面PAB ；（3）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN 平面PAB ？说明理由．【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以BC AD ∥；（2）如下图，取F 为AP 中点，连接,EF BF ，由E 是PD 的中点，所以EF AD ∥且12EF AD =，由（1）知BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥且EF BC =，所以四边形BCEF 为平行四边形，故CE BF ∥，而CE ⊂平面PAB ，BF ⊄平面PAB ，则CE 平面PAB ．（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，因为E ，N 分别为PD ，AD 的中点，所以EN PA ∥，因为EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB ，线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ，理由如下：由（2）知：CE 平面PAB ，又CE EN E = ，CE ⊂平面CEN ，EN ⊂平面CEN ，所以平面CEN 平面PAB ，又M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，所以MN 平面PAB ，所以线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ．【解题方法总结】（1）初学者可以拿一把直尺放在EF 位置，如图一；（2）然后把直尺平行往平面PAB 方向移动，直到直尺第一次落在平面PAB 内停止，如图二；（3）此时刚好经过点B （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点B ），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与PA 相交于点O ，连接BO ，如图三；（4）此时PB EF 、长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A 型的平行），连接OE ，刚好构成平行四边形BFEO 型模型（E 为PD 中点，O 也为PA 中点，OE 为三角形PAD 中位线），OB EF ∥，如图四．图一图二图三图四题型四：线面平行转化为面面平行例10．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点．（1）求证：//PE 平面BFG ；（2）若2AB =，求点C 到平面BFG 的距离．【解析】（1）连接DE ，∵ABCD 是正方形，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，∴DF BE =，//DF BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴//DE BF ，∵G 是PA 的中点，∴//FG PD ，∵,PD DE ⊄平面BFG ，,FG BF ⊂平面BFG ，∴//PD 平面BFG ，//DE 平面BFG ，∵PD DE D =I ，直线,PD DE 在平面PDE 内，∴平面//PDE 平面BFG ，∵PE ⊂平面PDE ，∴//PE 平面BFG ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，//FG PD ，∴FG ⊥平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作CM BF ⊥，垂足为M ，则FG CM ⊥，∵FG BF F =I ，又直线FG ，BF 在平面BFG 内，∴CM ⊥平面BFG ，∴CM 的长是点C 到平面BFG 的距离，∵BCF △中，FB CF =∴由等面积可得CM ==∴点C 到平面BFG例11．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDMP 中，四边形ABCD 是菱形，且有60DAB ∠=︒，1AB DM ==，2PB =，PB ⊥平面ABCD ，PB DM ∥．（1）求证：//AM 平面PBC ；【解析】（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD BC ∥，又AD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，因为PB DM ∥，PB ⊂平面PBC ，DM ⊄平面PBC ，所以//DM 平面PBC ，又因为AD MD D =I ，,AD MD ⊂平面ADM ，所以平面//ADM 平面PBC ，又AM ⊂平面AMD ，所以//AM 平面PBC ．例12．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是矩形，侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠= ，D 、E 分别为棱AB 、11B C 的中点，F 为线段1C E 的中点．（1）证明：//AF 平面1A DE ；【解析】（1）证明：取11AC 的中点M ，连接AM 、EM 、FM ，因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为平行四边形，所以，11//AB A B 且11AB A B =，因为D 为AB 的中点，则11//AD A B 且1112AD A B =，因为M 、E 分别为11AC 、11B C 的中点，所以，11//EM A B 且1112EM A B =，所以，//AD EM 且AD EM =，故四边形ADEM 为平行四边形，所以，//AM DE ，因为AM ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以，//AM 平面1A DE ，因为M 、F 分别为11AC 、1C E 的中点，所以，1//FM A E ，因为FM ⊄平面1A DE ，1A E ⊂平面1A DE ，所以，//FM 平面1A DE ，因为⋂=AM FM M ，AM 、FM ⊂平面AFM ，所以，平面//AFM 平面1A DE ，因为AF ⊂平面AFM ，故//AF 平面1A DE ．变式9．（2024·上海·模拟预测）直四棱柱1111ABCD A B C D -，AB DC ，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝3，DC ＝4（1）求证：11//A B DCC D 面；【解析】（1）由题意得11//A A D D ，//AB CD ，1,A A AB ⊄平面1D CD ，1,D D CD ⊂平面1D CD ，∴1//A A 平面1D CD ，//AB 平面1D CD而1A A AB A = ，∴平面1//A AB 平面1D CD ，又1A B ⊂ 平面1,A AB 1//A B ∴平面1DCC D变式10．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --的大小为45 ，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DC =．（1）求证：//BF 平面ADE ；【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以，//BC AD ，因为BC ⊂平面BCF ，AD ⊄平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，因为//DE CF ，CF ⊂平面BCF ，DE ⊄平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，因为AD DE D ⋂=，AD 、DE ⊂平面ADE ，则平面//BCF 平面ADE ，因为BF ⊂平面BCF ，所以，//BF 平面ADE ．变式11．（2024·全国·高三对口高考）已知正方形ABCD 和正方形ABEF ，如图所示，N 、M 分别是对角线AE 、BD 上的点，且EN BM AN MD=．求证：//MN 平面EBC ．【解析】证明：过点N 作//NF BE 交AB 于点F ，连接FM ，因为//NF BE ，则EN BF AN AF =，又因为EN BM AN MD =，则BF BM AF DM=，所以，//FM AD ，因为四边形ABCD 为矩形，则//BC AD ，所以，//FM BC ，因为//NF BE ，NF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以，//NF 平面BCE ，因为//FM BC ，FM ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以，//FM 平面BCE ，因为NF FM F = ，NF 、FM ⊂平面MNF ，所以，平面//MNF 平面BCE ，因为MN ⊂平面MNF ，所以，//MN 平面MNF ．【解题方法总结】本法原理：已知平面α∥平面β，则平面β里的任意直线均与平面α平行题型五：利用线面平行的性质证明线线平行例13．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P ABCD -，底面为菱形,ABCD PD ⊥平面ABCD ，2,,3PD AD CD BAD E π===∠=为PC 上一点．（1）平面PAD ⋂平面PBC l =，证明：BC l ∥；【解析】（1）证明：因为,BC AD BC ⊄∥平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，又因为平面PAD ⋂平面PBC l =，所以BC l ∥．例14．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD CD ===，π3BAD ∠=，E 为PC 上一点．（1）平面PAD ⋂平面PBC l =，证明：//BC l ．（2）当直线BE 与平面BCD 的夹角为π6时，求三棱锥P BDE -的体积．【解析】（1）因为//,BC AD BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以BC //平面PAD ，BC ⊂平面PBC ，又因为平面PAD ⋂平面PBC l =，所以//BC l ．（2）过点E 作CD 的垂线，垂足为M ，则//PD EM ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以EM ⊥平面BCD ，若点E 为PC 中点，则点M 为CD 的中点，此时11,,2EM PD BM CD BM ==⊥=，所以直线BE 与平面BCD 的夹角为π6EBM ∠=，即点E 为PC 中点时满足题意，因为PD ⊥平面ABCD ，所以BM ⊂平面ABCD ，所以PD BM ⊥，又因为BM CD ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BM ⊥平面PCD ，所以点B 到平面PCD 的距离为BM =故11.33P BDE B PDE V V --==⨯例15．（2024·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形ABCD 中，BC CD ⊥，E 为BC 上一点，22AE BE AD CD ====，CE AECD 沿AE 折起，使得BC =，得到如图2所示的四棱锥．（1）若平面BCD 平面ABE l =，证明：//CD l ；【解析】（1）在图1中，因为BC CD ⊥，CE 1CD =，所以2DE =，sin 2CDE ∠=，又π0,2CDE ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3∠=CDE ，因为2DE =，2AE AD ==，所以π3DEA ∠=，故//CD AE ，在图2中，因为//CD AE ，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ，因为CD ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABE l =，所以//CD l ；变式12．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 、E 分别为棱11AC 、11B C 的中点，点F 是线段1BB 上的点（不包括两个端点）．（1）设平面DEF 与平面ABC 相交于直线m ，求证：11A B m //；【解析】（1）证明：因为点D 、E 分别为棱11AC 、11B C 的中点，则11//DE A B ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，所以，11//A B AB ，则//DE AB ，因为DE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以，//DE 平面ABC ，因为DE ⊂平面DEF ，平面DEF ⋂平面ABC m =，所以，//m DE ，故11//m A B ．变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P ABCD -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为点,,,G E F H 分别是棱,,,PB AB CD PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，//BC 平面GEFH ．证明：//GH EF ．【解析】因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ⋂平面GEFH GH =，所以GH ∥BC ，因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ⋂平面GEFH EF =，所以EF ∥BC ，所以GH ∥EF ．变式14．（2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，三棱台ABC DEF -中，2AB DE =，M 是EF 的中点，点N 在线段AB 上，4AB AN =，平面DMN ⋂平面ADFC l =．（1）证明：MN l ∥；【解析】（1）证明：取FD 的中点G ，连接GM ，AG ，因为M 是EF 的中点，所以GM DE ∥，12GM DE =，因为三棱台ABC DEF -中，DE AB ∥，12DE AB =，4AB AN =，所以GM AN ∥，GM AN =，即四边形ANMG 为平行四边形，所以MN GA ∥，因为MN ⊂平面ADFC ，GA ⊂平面ADFC ，所以//MN 平面ADFC ，因为MN ⊂平面DMN ，平面DMN ⋂平面ADFC l =，所以MN l ∥．【解题方法总结】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行题型六：面面平行的证明例16．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（1）证明：平面BMN∥平面PCD；【解析】（1）证明：连接BD，如图∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵M为AD的中点，∴BM⊥AD，∵AD⊥CD，又CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD，又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD，∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD，又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．例17．（2024·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，2AB =，DE BF =，//BF DE ，M 为棱AE 的中点．（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；【解析】（1）连AC 交BD 于N ，则N 为AC 的中点，因为M 为AE 的中点，所以//MN CE ，因为MN ⊄平面EFC ，CE ⊂平面EFC ，所以//MN 平面EFC ，因为//BF DE ，BF DE =，所以四边形BDEF 是平行四边形，所以//BD EF ，因为BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，所以//BD 平面EFC ，因为BD MN N = ，,BD MN ⊂平面BMD ，所以平面//BMD 平面EFC ．32．（2024·河北·统考模拟预测）在圆柱12O O 中，等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，且1AD DC BC ===，矩形ABFE 是该圆柱的轴截面，CG 为圆柱的一条母线，1CG =．（1）求证：平面1O CG ∥平面ADE ；【解析】（1）在圆柱12O O 中，AE CG ∥，AE ⊄平面1O CG ，CG ⊂平面1O CG ，故AE ∥平面1O CG ；连接1DO ，因为等腰梯形ABCD 为底面圆1O 的内接四边形，1AD DC BC ===，故111π3AO D CO D BO C ∠=∠=∠=，则1AO D 为正三角形，故11π3O AD CO B ∠=∠=，则1AD O C ∥，AD ⊄平面1O CG ，1O C ⊂平面1O CG ，故AD ∥平面1O CG ；又,,AE AD A AE AD ⋂=⊂平面ADE ，故平面ADE ∥平面1O CG ．例18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，OP =E ，F 分别是棱PA ，PB 的中点，连接OE ，OF ，EF ．（1）求证：平面//OEF 平面PCD ；（2）求三棱锥O PEF -的体积．【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O所以O 为AC 中点，点E 是棱PA 的中点，F 分别是棱PB 的中点，所以OE 为三角形ACP 的中位线，OF 为三角形BDP 的中位线，所以//OE PC ，//OF DP ，OE ⊄ 平面DCP ，PC ⊂平面DCP ，//OE ∴平面DCP ，OF ⊄Q 平面DCP ，DP ⊂平面DCP ，//OF ∴平面DCP ，而OE OF O ⋂=，OE ⊂平面OEF ，OF ⊂平面OEF ，∴平面//OEF 平面PCD ．（2）因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，所以BAD 为等边三角形，所以1,OB OA ==因为OP ⊥底面ABCD ，OA ⊂底面ABCD ，OB ⊂底面ABCD ，所以OP OA ⊥，OP OB ⊥，所以POA 和POB 均为直角三角形，所以PA =，2PB ==，所以22222cosPAB +-∠==所以sin 4PAB ∠=，所以1222PAB S PAB =⨯∠ ，设点O 到平面PEF 的距离为h ，根据体积相等法可知O PAB P OAB V V --=，所以1111332h =⨯⨯，所以5h =．111111334348O PEF PEF PAB V S h S -⎛⎫=⋅⋅=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故三棱锥O PEF -的体积为18．变式15．（2024·四川南充·统考三模）如图所示，已知,AC BD 是圆锥SO 底面的两条直径，M 为劣弧 BC的中点．（1）证明：SM AD ⊥；（2）若2π3BOC ∠=，E 为线段SM 上的一点，且2SE EM =，求证：平面BCE 平面SAD ．【解析】（1）连接MO 并延长交AD 于N ，如图所示，M 为劣弧 BC的中点，MO ∴是BOC ∠的角平分线，MN ∴平分AOD ∠，OA OD = ，MN AD ∴⊥，又 在圆锥SO 中，SO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，SO AD ∴⊥，MN ，SO ⊂平面SMN ，且MN SO O ⋂=，AD ∴⊥平面SMN ，又SM ⊂ 平面SMN ，AD SM ∴⊥．（2）设MO 交BC 于F ，显然OF 平分BOC ∠，且OF BC ⊥，又2π3BOC ∠=，π3COF ∠∴=，∴在COF 中，12OF CO =，F ∴为OM 的中点，同理12ON OD =，2NF FM ∴=，又2SE EM = ，12ME MF SE NF ∴==，EF SN ∴∥，SN ⊂ 平面SAD ，且EF ⊄平面SAD ，EF ∴ 平面SAD ，又 在平面ABCD 中，,BC MN AD MN ⊥⊥，BC AD ∴∥，又AD ⊂平面SAD ，且BC ⊄平面SAD ，BC ∴ 平面SAD ，又EF ，BC ⊂平面BCE ，且EF BC F ⋂=，∴平面BCE 平面SAD ．【解题方法总结】常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．题型七：面面平行的性质例19．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，平面1A DCE 与1BB 交于点E ．求证：1//EC A D ．【解析】由四棱柱1111ABCD A B C D -可知，1//BE AA ，1AA ⊂平面1AA D ，BE ⊄平面1AA D ，所以//BE 平面1AA D ；又//AD BC ，AD ⊂平面1AA D ，BC ⊄平面1AA D ，所以//BC 平面1AA D ；又BC BE B = ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ；所以平面//BCE 平面1AA D ，又平面1A DCE ⋂平面BCE EC =，平面1A DCE ⋂平面11AA D A D =，所以1//EC A D ．例20．（2024·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -被平面α所截，截面为CDEF ，且EF DC =，1242DC AD A E ===，π3ADC ∠=，平面EFCD与平面ABCD ．（1）证明：//AD BC ；【解析】（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面//ABCD CD α= ，平面1111A B C D EF α⋂=，则//EF CD ，而1111//,C D CD C D CD =，又EF CD =，因此1111//,C D EF C D EF =，则四边形11EFC D 是平行四边形，1111//A D B C ，所以//AD BC ．例21．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形．AB BC =，点D 为棱AC 上动点（不与A ，C 重合），平面B 1BD 与棱A 1C 1交于点E ．（1）求证：1BB DE //；【解析】（1）11//BB CC ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1CC ⊂平面11AAC C ，1//BB ∴平面11AAC C ，又1BB ⊂ 平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，1//BB DE ∴；变式16．（2024·北京·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，平面//ABF 平面CDE ，A ，D ，E ，F 四点共面，2AB DE ==，1AF =．（1）求证：//AF DE ；【解析】（1）因为平面//ABF 平面CDE ，A ，D ，E ，F 四点共面，且平面ABF 平面ADEF AF =，平面CDE ⋂平面ADEF DE =，所以//AF DE ．变式17．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱中，AB ，CD 分别是下底面圆O ，上底面圆1O 的直径，AD ，BC 是圆柱的母线，E 为圆O 上一点，P 为DE 上一点，且OP ∥平面BCE ．（1）求证：DP PE =；【解析】（1）如图，连接1O P ，1O O ，因为BC 为母线，所以1OO BC ∥，又BC ⊂平面BCE ，所以1OO ∥平面BCE ．因为OP ∥平面BCE ，所以平面1OPO 平面BCE ．又因为平面DCE 平面11OPO O P =，平面DCE 平面BCE CE =，所以1O P CE ，因为1O 是CD 的中点，所以P 是DE 的中点，即DP PE =．【解题方法总结】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行⇒线面平行”）题型八：平行关系的综合应用例22．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；（2）若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．【解析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD ，故~PBC PDM △△，所以23CP BP PM PD ==，又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==，所以1//PQ MD ．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．（2）当AR AB 的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA．证明：因为35AR AB =，即有23BR RA =，故BR BP RA PD=．所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．例23．（2024·全国·高三专题练习）如图、三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 垂直于底面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，1=3AA ，点D 在线段1A B 上且12A D DB =，点E 是线段11B C 上的动点．当11B E EC 为多少时，直线//DE 平面11ACC A？【解析】当点E 是线段11B C 上靠近点1B 的三等分点，即1112B E EC =时，//DE 平面11ACC A ．过点D 作1//DF A A 交11AB 于点F ，过点F 作11//EF AC 交11B C 于点E ，连接DE，11//,EF AC EF ⊄ 平面11ACC A ，11AC ⊂平面11ACC A，//EF ∴平面11ACC A ，1//FD A A ，FD ⊄面11ACC A ，1A A ⊂平面11ACC A ，。
