2020年天津市耀华中学高考数学二模试卷 (解析版)

高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的体积公式343V R =π球，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}0,1-D.1,0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合A ，再求交集得到答案.【详解】{}{}|2=22A x x x x =<-<<，{}1,0,1,2B =-，则{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查了交集运算，解不等式，属于简单题.2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q =（ ）A. 12-B.12C. 1或12-D. -1或12【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q，由333S a =，即123312332a a a a a a a ++=⇒+=，所以221112210a a q a q q q +=⇒--=，解得1q =或12q =-，故选C ．考点：等比数列的通项公式的应用． 3.已知131log 2a =，121log 3b =，32log 3c =，则（ ） A. b a c >> B. a b c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得到01a <<，l b >，0c <，得到答案. 【详解】111333110log 1log log 123a =<=<=，112211log log 132b =>=，332log log 310c =<=， 故b a c >>. 故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.4.设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小得到答案.【详解】2log 0x <，则()0,1x ∈，121x -<，则(),1x ∈-∞，故p 是q 的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5.若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ）A. 0或4B. 1或3C. 2-或6D. 1-【答案】A 【解析】试题分析：：∵圆22()4x a y -+= ∴圆心为：（a ，0），半径为：2圆心到直线的距离为：d =∵2222d r ⎛+=⎝⎭解得a=4，或a=0考点：直线与圆相交的性质6.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（ ）A. B.C.3D.【答案】B 【解析】 【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【详解】正方体的体积为38a =，则正方体棱长2a =，正方体的外接球半径为体对角线的一半，即2R ===34433V R ππ==⋅=.故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.7.将函数sin y x x =-的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. 12π-B.12πC. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化为2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 将函数的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，可得2sin 3y x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此函数图像关于y 轴对称，则()32m k k Z πππ--=+∈，解得()56m k k Z ππ=--∈， 因为0m >，则当1k =-时， m 取得最小值6π. 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质可得22p-=-，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点(2,1)--在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出b ，再利用双曲线的性质即可得解.【详解】抛物线22(0)y px p =>，∴该抛物线的准线为2p x =-， 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，∴点(2,1)--在直线2px =-上，∴22p -=-即4p =， ∴抛物线的焦点为(2,0)，又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，∴双曲线的左顶点为(2,0)-，2a =，∴双曲线的渐近线方程为2by x =±， 由点(2,1)--在双曲线其中一条渐近线上可得()122b-=⨯-即1b =， ∴双曲线的焦距2c ==故选：D.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.9.已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. (,0)-∞ B. (1,)+∞C. (0,1)D. [0,1]【答案】C 【解析】 分析】由题意画出函数()f x 的图象，转化条件为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，数形结合即可得解.【详解】当0x ≤时，2()2f x x x =--，其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线的一部分，且(1)121f -=-+=；当0x >时，()21xf x =-，其图像为函数2xy =在y 轴右侧图象向下平移1个单位形成；画出函数()f x 的图象，如图：因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()f x m =有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可知，01m <<， 所以实数m 的取值范围为(0,1). 故选：C.【点睛】本题考查了函数的零点、方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系，考查了数形结合与转化化归思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若i 为虚数单位，则复数23(1)i =-_________.【答案】32i 【解析】 【分析】由题意结合复数的乘法、除法运算法则直接计算即可得解.详解】由题意22233333(1)12222i i i i i i i ====--+--. 故答案为：32i . 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 11.某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有_________.【答案】150 【解析】 【分析】设三个社团共有x 人，由题意结合分层抽样的定义和方法列方程即可得解. 【详解】设三个社团共有x 人， 由分层抽样的定义和方法可得30124515x =+，解得150x =， 所以这三个社团共有150人. 故答案为：150.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，利用分层抽样每个个体被抽到的概率相等是解决本题的关键，属于基础题.12.已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是_________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式系数和为232n =得到5n =，再利用二项式定理得到答案. 【详解】二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为232n =，故5n =.251()x x+展开式的通项为：()521031551rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 取3r =得到x 项的系数是3510C =. 故答案为：10.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13.已知实数,a b 满足条件：0ab <，且1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b的等差中项，则22a ba b +=+_________.【答案】13-【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项计算得到1ab =-，2a b +=-，代入式子化简得到答案. 【详解】根据题意：221a b =，0ab <，故1ab =-，112a b a b ab++==，故2a b +=-. ()222221423a b a b a ab b a b ++-===-++-+.故答案为：13-.【点睛】本题考查了等差中项，等比中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】【解析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.15.已知,a b 是单位向量，·0a b =．若向量c 满足1c a b c --=，则的最大值是________.2+1 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设(,)c x y =，根据条件求得,x y 满足的关系式，再根据c 的几何意义求解．【详解】由0a b =，得a b ⊥．建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,0,0,1a b ==．设(,)c OC x y ==，由1c a b --=，可得22(1)(1)1x y -+-=，所以点C 在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上． 所以max 21c =+．【点睛】由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =. （1）求c 的值； （2）求sin(2)3C π+的值.【答案】（1）2c =（21573-【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理计算得到答案. （2）根据三角恒等变换计算15sin 28C =，7cos28C =-，代入计算得到答案.【详解】（1）根据余弦定理：2222cos 1414c a b ab C =+-=+-=，故2c =. （2）()0,C π∈，故2115sin 1cos 116C C =-=-=15sin 22sin cos C C C ==，27cos22cos 18C C =-=-，故17sin 2sin 2cos cos 2sin 33328C C C πππ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了计算恒等变换，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23和34，且各次射击互相独立. （1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1112（2）分布列见详解；()2E ξ= 【解析】 【分析】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件B ，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.（2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，231321()343434P A =⨯+⨯+⨯1112=.方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件B ，111()3412P B =⨯=. “至少有一人命中目标”为事件A ，111()11212P A =-=. （2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，1111(0)33327P ξ==⨯⨯=132116(1)33327P C ξ==⨯⨯=⋅ ()2322112233327P C ξ==⨯⨯=⋅()2228333327P ξ==⨯⨯=.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 127 627 1227 827以()61281232272727E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.18.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.（1）求证：PB ⊥平面ADF ；（2）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， ①求线段CE 的长；②求二面角P ED A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）①2317【解析】 【分析】（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出PB AD ⊥，PB AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证出. （2）①求出平面ADF 的一个法向量，利用cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，即可求线段CE 的长；②求出平面PED 的一个法向量，再根据(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）依题意，以点A 原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(2,,0)(03)E m m ≤≤，(1,,1)2mF ，(0,0,2)P . (2,0,2)PB =-，(0,3,0)AD =，(1,,1)2mAF =，0PB AD ⋅=，0PB AF ⋅=，.即PB AD ⊥，PB AF ⊥，AF A AD =，.所以PB ⊥平面ADF .（2）①设(,,)n x y z =为平面ADF 的法向量，则00AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即002y mx y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 不妨令1x =，可得(1,0,1)n =-为平面ADF 的一个法向量，(2,3,0)DE m =-于是有cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，. 22121012(3)0m =++⋅+-+，得1m =或5m =（舍）. (2,1,0)E ，(2,3,0)C ，线段CE 的长为2；.②设(,,)m x y z =为平面PED 的法向量，(2,1,2)PE =-，(0,3,2)PD =-则00PE m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，不妨令2y =，可得(2,2,3)m =为平面PED 的一个法向量，. 又(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，. 所以317cos 217m AP m AP m AP⋅⋅===⋅.【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运算求解能力，属于中档题.19.如图，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为x=4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在【解析】2231911124P a b+=（）由（，）在椭圆上得：①222,3a c b c =∴=② ②代入①得222221,4,3, 1.43x y c a b C ===∴+=椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力. 20.设，函数()ln f x x ax =-．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求a 的值并证明：322x e >．【答案】（Ⅰ）①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值，②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别令0a ≤及0a >分情况讨论；（Ⅱ）由已知得()1ln 2f x x x e=-，由（Ⅰ）函数()f x 在递减及323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，可知函数()f x 在区间有唯一零点，由此得证.试题解析：（Ⅰ）由已知得()0,+∞，()11ax f x a xx'-=-=，①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值； ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=， 在区间上，()0f x '>，函数()f x 是增函数，在区间上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln1ln 1f a a a=-=--． 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值；②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--．（Ⅱ）因为，所以102a e -=，解得2a e =，所以()ln 2f x x x e =-， 又323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，所以3522()()0f e f e ⋅<，由（Ⅰ）函数()f x 在递减，故函数()f x 在区间有唯一零点，因此322x e >．考点：导数的应用．【方法点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．。

双曲线的渐近线方程为 ，
由点 在双曲线的其中一条渐近线上可得 即 ，
双曲线的焦距 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.
9．C
【分析】
由题意画出函数 的图象，转化条件为直线 与函数 的图象有三个交点，数形结合即可得解.
6．B
【分析】
根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.
【详解】
正方体的体积为 ，则正方体棱长 ，正方体的外接球半径为体对角线的一半，
即 ，故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.
13．已知实数 满足条件： ，且 是 与 的等比中项，又是 与 的等差中项，则 _________.
14．曲线y=x(3lnx+1)在点 处的切线方程为________
15．已知 是单位向量， ．若向量 满足 ________.
三、解答题
16．在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ， ， .
（1）求 的值；
【分析】
由题意结合抛物线的性质可得 ，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点 在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出 ，再利用双曲线的性质即可得解.
【详解】
抛物线 ， 该抛物线的准线为 ，
又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ，
点 在直线 上， 即 ，
抛物线的焦点为 ，
又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4， 双曲线的左顶点为 ， ，
考点：等比数列的通项公式的应用．

2023年天津市和平区高考数学二模试卷1. 已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.3. 若x，，则“”的一个充分不必要条件可以是( )A. B. C. D.4. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩满分100分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的( )①a的值为；②估计成绩低于60分的有25人；③估计这组数据的众数为75；④估计这组数据的第85百分位数为A. ②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③5. 设，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.6. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A. 1B.C.D. 37. 如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为( )A. B. C. D.8. 设、分别为双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过点，若在双曲线右支上存在点P，满足，且点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则点到该双曲线的渐近线的距离为( )A. 3B. 4C.D. 59. 函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为( )①②函数在上单调递减；③函数在上的值域为；④曲线在处的切线斜率为A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 复数z满足，则______.11. 若在的展开式中，的系数为______ 用数字作答12. 设x，，，，若，，则的最大值为______ .13. 在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.则进行1局投篮比赛，甲、乙平局的概率为______ ；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望______ .14. 在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的长分别为2与1，则在上的投影向量为______ 用表示；若点M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是______ .15. 已知函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，则实数m的取值集合为______ . 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设a，b，c满足条件和求角A和；若，求的面积；求17. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD ，求证：；求直线AB与平面所成角的余弦值；求平面与平面的夹角的正弦值.18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆与y轴正半轴的交点为点B，且为等腰直角三角形.求椭圆C的离心率；已知斜率为1的直线l与椭圆C相切于点P，点P在第二象限，过椭圆的右焦点作直线l的垂线，垂足为点H，若，求椭圆C的方程.19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，求数列，的通项公式；记数列的前n项和为，求证：；求20. 已知函数，，其中，若；当时，求的单调区间；曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围.证明：当时，存在直线l，使直线l是曲线的切线，也是曲线的切线.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，且，，0，，故选：进行补集和交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，补集和交集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由，，则，所以为奇函数，故排除C，D；当时，，故只有A满足，排除故选：利用诱导公式化简得，，由此可得为奇函数，故排除C，D；再判断函数在时的正负情况即可得答案．本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由，推不出，排除AB；由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；，反之不成立，D正确；故选：根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果．本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图知，由频率和为1，得，解得，故①正确；估计成绩低于60分的有人，故②错误；最高的小矩形底边中点为75，所以估计这组数据的众数为75，故③正确；因为，，所以第85百分位数x在则，解得，即估计这组数据的第85百分位数为86，故④正确．综上，正确的命题序号是①③④．故选：根据频率分布直方图求出a的值，再求众数和百分位数，从而判断命题是否正确．本题考查了频率分布直方图应用问题，也考查了数据分析与应用问题，是基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，故故选：计算，，，得到答案．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解即可．【解答】解：切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，圆心到直线的距离为，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：7.【答案】A【解析】解：由题意可知星行八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，故该星形八面体体积为：故选：根据已知条件及正四面体的体积公式即可求解．本题考查星形八面体的结构特征、正四面体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：取的中点M，连接，如下图所示：易知抛物线的准线方程为，则、，因为双曲线的右支上存在点P，使得，又因为M为的中点，所以，，由双曲线的定义可得，则，由题意可知，，由勾股定理可得，即，所以，故，可得，所以，双曲线的右焦点到渐近线的距离为故选：取的中点M，连接，分析可得，，利用双曲线的定义结合已知条件可得出三边边长，利用勾股定理可求得a的值，进而可求得b的值，最后利用点到直线的距离公式可求得结果．本题考查双曲线的几何性质，勾股定理的应用，化归转化思想，属中档题．9.【答案】B【解析】解：由图可知：函数过点，则，即，且，可得，又因为函数过点，且为减区间的零点，则，即，则，，解得，，注意到，即，则，解得，故，解得，此时，所以对于①：令，，解得，，取，则，即函数在y轴左侧离y轴最近的对称轴为，由图可得，即，且，即，所以，故①正确；对于②：因为，则，且在上不单调，所以在上不单调，故②错误；对于③：因为，则，，可得，所以函数在上的值域为，故③错误；对于④：，可得，曲线在处的切线斜率为，故④错误；故选：根据图像求的解析式，对于①②③：结合正弦函数的性质分析运算；对于④：结合导数的几何意义运算求解．本题考查三角函数的图象和性质，考查导数的几何意义，属于中档题．10.【答案】【解析】解：，，，故答案为：根据复数模的计算和复数的运算法则以及共轭复数的定义即可求出．本题考查了复数模的计算和复数的运算法则以及共轭复数，属于基础题．11.【答案】【解析】解：的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的系数为故答案为：写出二项展开式，令x的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．12.【答案】3【解析】解：，，，，，，，，即，当且仅当时取等号，，，即的最大值为：故答案为：根据可得出，，从而得出，而根据，，，由基本不等式可得出，这样即可得出的最大值．本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，对数的运算性质，基本不等式，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】 2【解析】解：由题意知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，则甲、乙平局的情况为两人都投中或都不中，故平局概率为；甲每局获胜的概率为，故共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，则，故，故答案为：；第一空，考虑两人平局情况，根据相互独立事件的乘法公式，即可求得答案；第二空，求出甲每局获胜的概率，确定甲获胜的局数，根据二项分布的期望公式即可求得答案．本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式的应用，二项分布的期望的求解，化归转化思想，属中档题．14.【答案】【解析】解：以点A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为平行四边形ABCD中，，边AB，AD的长分别为2与1，所以，，，，所以，，，，所以，所以在上的投影向量为；设，，则，，所以，所以，因为二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，所以，即的取值范围是故答案为：；建立平面直角坐标系，求得平行四边形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得的坐标，利用数量积的投影向量概念求解即可；设，可得，然后利用二次函数的性质即可求解．本题主要考查了向量的坐标运算，考查了向量数量积运算的性质，属于中档题．15.【答案】【解析】解：作出函数的大致图象，如图所示，令，则可化为，则或，则关于x的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，所以的图象与直线的交点个数为3个，即此时，解得，即实数m的取值集合为故答案为：利用函数与方程的解的个数之间的关系，利用数形结合的思想即可求解．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】解：由余弦定理得，因为，所以由已知条件，应用正弦定理，即，所以因为，所以，所以因为，所以，又，所以，所以因为，所以【解析】先利用余弦定理求出，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案；求出c，利用三角形面积公式可得答案；先根据倍角公式求出，，再利用两角和的余弦公式可求答案．本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．17.【答案】证明：四边形ABCD为正方形，，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面，平面，；解：取AD的中点O，连接，，O为AD的中点，，平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，以点O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，，设为平面的法向量，由，令，则平面的法向量，设直线AB与平面所成角为，，则直线AB与平面所成角的余弦值为；解：设平面的法向量为，由，得，令，则平面的法向量，设平面与平面的夹角为，，平面与平面的夹角的正弦值为【解析】由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；取AD的中点O，连接，以点O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间坐标系，利用空间向量解答．本题主要考查线线垂直的证明，线面角、平面与平面所成角的求法，考查空间向量法的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：设椭圆C的半焦距为c，由已知得点，因为为等腰直角三角形，且O为的中点，所以，即，所以，有解：由知，设椭圆C方程为，因为切点P在第二象限，且直线l的斜率为1，设直线的方程为，设点，因为直线与椭圆C相切，联立，可得，由，可得，即，所以，，所以，因为直线与直线l垂直，所以直线的斜率为，则直线的方程为，联立，可得，即点，又因为、，有，，所以，所以椭圆C的方程为【解析】根据等腰直角三角形的几何性质可得出，根据a、b、c的关系可求得椭圆C的离心率的值；由题意，设直线l的方程为，设切点，将直线l的方程与椭圆C 的方程联立，由可得出m、c的等量关系，求出点P的坐标，写出直线的方程，求出点H的坐标，根据，求出c的值，即可得出椭圆C的方程．本题考查了椭圆的方程和离心率的计算，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题．19.【答案】解：数列为等差数列，设公差为d，数列为等比数列，设公比为q，且，，，可得，，，，解得，，则，；证明：由，可得，，上面两式相减可得，所以，，，所以；，则【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，结合等差数列和等比数列的通项公式，化简即可得证；由数列的裂项相消求和与分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和、裂项相消求和与分组求和，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．20.【答案】解：，当时，，，令，得，即，令，得，即，所以在上单调递增，在上单调递减．，所以，两边取对数可得，所以，设，所以，令得，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，又因为，且时，，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件为，所以，所以a的取值范围为证明：曲线在点处的切线：，曲线在点处的切线：，要证明时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得和重合，即只需证明时，方程组有解，由①得，代入②得③，所以只需证明当时，关于的方程③存在实数解，设函数，即要证明当时，函数存在零点，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，所以存在唯一的，且，使得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，在处缺德极大值，因为，故，，下面证明实数t，使得，因为可证，所以当时，有，所以由二次函数的性质，存在实数t，使得，所以当时，存在，使得，所以当时，存在直线l，使得l是曲线的切线，也是曲线的切线．【解析】，当时，，求导分析的符号，的单调性．，即，则两边取对数可得，进而可得，设，只需与直线有两个交点，即可得出答案．曲线在点处的切线：，曲线在点处的切线：，要证明时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线的切线，即只需证明当时，存在，，使得和重合，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

天津市河西区2020届高三数学二模试题（含解析）一､选择题1.设集合{}24M x x =≤，集合{}12N x x =≤≤，则MN =（ ）A. {}21x x -≤< B. {}2,1,0-- C. {}2x x ≤- D. {}02x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M ，N ，根据补集运算求解即可. 【详解】{}24[2,2]M x x =≤=-，{}12N x x =≤≤，[2,1)MN ∴=-，故选：A【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于容易题.2.设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分而不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系，即可容易判断充分性和必要性. 【详解】因为对立一定互斥，互斥不一定对立. 故命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及对立事件和互斥事件的联系，属综合基础题. 3.已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程为ˆˆ0.95yx a =+，则 a 的值为（ ） A. 0.325 B. 0C. 2.2D. 2.6【答案】D 【解析】 【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，【详解】解：由题意，013424x +++==，2.2 4.3 4.8 6.74.54y +++==，∴样本中心点为()2,4.5，数据的样本中心点在线性回归直线0.95y x a =+上，4.50.952a ∴=⨯+，∴ 2.6a =，故选：D【点睛】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．4.已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -= C. 221916y x -=D. 221169y x -=【答案】C 【解析】【分析】根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得,,a c b ，则方程得解. 【详解】因为220x y =的焦点为()0,5，故双曲线的焦点在y 轴上，故设双曲线方程为22221y x a b-=，则5c =；由双曲线定义知：26a =，解得3a =；故可得4b =；则双曲线方程为：221916y x -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题.5.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，2223163()c S b a =+-，则tan B =（ ）A.23B.32C.43D.34【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由2223163()c S b a =+-， 则22233316c a b S +-=， 即132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯， 所以3cos 4sin B B =，且cos 0B ≠， 所以3tan 4B =. 故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.6.已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A. π B. 2πC. 4πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可.【详解】因为正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，底面积为()222S ==所以棱锥高3422V h S ===, 即圆柱的高为2，因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点， 所以正方形的对角线为圆的直径2=22=2R ⨯，即1R = 所以圆柱的表面积为2222242hS R R πππππ=⨯+=+= 故选：C【点睛】本题主要考查了正四棱锥的体积，圆柱的表面积，考查了空间想象能力，属于容易题.7.函数()()1e2cos 1x f x x -=--的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】排除法，根据()1f 和()0f 的符号可排除B ，D ，再对函数求导，判断函数在()2,+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】解：()11f =-，∴舍去B ，()02cos10f e =->，∴舍去D ，2x >时，()()22cos 1x f x e x -=--，()()12sin 120x f x e x e -'∴=+-≥->，∴函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 8.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A. 64 B. 72 C. 96 D. 144【答案】C 【解析】 【分析】由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可. 【详解】根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有122C =种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=个符合条件的四位数;②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有122C =种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,安排在其他三个位置,有336A =种情况,则有23636⨯⨯=个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有4424A =个符合条件的四位数；则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数. 故选：C【点睛】本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.9.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键. 二､填空题10.设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________．5【解析】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --， 所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． 11.二项式6(2x x的展开式中常数项为 . 【答案】60 【解析】试题分析：二项式6(2x x的展开式的通项公式为()36662166·2?()?2?(1)r rrr r r rr T C x C x x---+==-,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为46446·2?(1)60C --=，故答案为60.考点：二项展开式的通项公式.12.若直线34x y m +=与圆22x y m +=相切，则实数m =______.【答案】25 【解析】 【分析】根据直线和圆相切转化为点到直线的距离等于半径即可. 【详解】直线34x y m +=与圆()220x y m m +=>相切，∴圆心到直线的距离5m d -===平方可得225m m =，解得25m = 故答案为：25【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，直线与圆相切考，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于基础题.13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数x 的期望是______. 【答案】 (1). 715 (2). 35【解析】 【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；（2）先求得x 的分布列，再求其期望即可.【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有310120C =种可能； 若取出的3件中恰有1件是次品，有218256C C ⋅=种可能；故满足题意的概率56712015P ==； （2）根据题意，0,1,2x =，()38567012012015C P x ====；()2182567112012015C C P x ⋅====；()128281212012015C C P x ⋅====，故()72315155E x =+=. 故答案为：715；35.【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.14.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 15.在ABC 中，点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则BC BA ⋅=______；AG AC ⋅=______.【答案】 (1). 1 (2). 83【解析】【分析】根据点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，可得G 为三角形ABC 的重心，再将AG 、MB 、AC 、用BA 、BC 表示，利用5AB =，1CB =可得答案.【详解】因为点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，所以G 为三角形ABC 的重心， 所以()2233AG AN BN BA ==-=21123233BC BA BC BA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12MB BM BA BC =-=-+， 因为223AG MB CA CB ⋅=+，所以()22121133322BC BA BA BC BA BC CB ⎛⎫⎛⎫-⋅--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以221113636BC BA BC BA ⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭2222BA BC BA BC BC =+-⋅+，所以52BC BA ⋅=252BC ，所以21BC BA BC ⋅==，AG AC ⋅=()1233BC BA BC BA ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭221233BC BA BC BA =+-⋅12851333=+⨯-=. 故答案为：1；83.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的数量积，属于中档题. 三､解答题16.已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =-∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 【答案】（1）π.（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简()f x 为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得()f x 在R 上的单调增区间，结合区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即可求得结果. 【详解】（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ππω==.（2）依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题. 17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E 为1CC 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE ；（3）若F 为1BB 上的动点，使直线1A F 与平面BDE 所成角的正弦值是6，求DF 的长. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）3 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面BDE 的法向量，利用10AC n →→⋅=证明即可；（2）利用1//A E n →→即可证明；（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，由线面角公式可求出λ，即可利用向量的模求DF 的长.【详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，1A (1，0，2)，1B (1，1，2)，1C (0，1，2)，1D (0，0，2)，E (0，1，1)（1）证明：设平面BDE 的法向量n →=(x ，y ，z )，DB →=(1，1，0)，DE =(0，1，1)由00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得n →=(1，-1，1)， 又1AC →=(-1，1，2)，因为()11111210AC n →→⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以1AC n →→⊥，所以1//AC 平面BDE .（2）证明：由（1）可知n →=(1，-1，1)，1A E →=(-1，1，-1)，1A E n →→=-，所以1//A E n →→，所以1A E ⊥平面BDE .（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，1A F →=(0，1，2λ-)，设直线1A F 与平面BDE 所成角为α，则11sin A F nA F nα→→→→⋅===⋅， 解得1λ=，所以点F 的坐标为(1，1，1)，DF →=(1，1，1)，||DF →=所以DF 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*232n n S a n N =-∈，数列{}nb 是公差为0的等差数列，且满足1116b a =，5b 是2b 和14b 的等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求10111i i i b b =+∑；（3）设数列{}n c 的通项公式122k n kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，求()()22*11ni i c n N =-∈∑； 【答案】（1）23nn a =⋅，21n b n =-.（2）1021.（3）111392322n n n ++⨯-⨯++ .【解析】 【分析】（1）利用两式()232n n S a =-(*N n ∈)， ()11232n n S a --=-(2n ≥)相减得到13nn a a -=(2n ≥)，再根据等比数列的通项公式可得n a ，根据()25214b b b =⋅求得等差数列{}n b 的公差，再根据等差数列的通项公式可得n b ；（2）根据1111122121n n b b n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭裂项求和可得结果； （3）由{}n c 的通项公式分析可知，数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，由此可得()()2221111nni i i i c a ==-=-∑∑，然后利用等比数列的前n 项和公式可得结果.【详解】（1）因为()232n n S a =-(*N n ∈)，所以()11232n n S a --=-(2n ≥)， 两式相减，整理得：13n n a a -=()2n ≥， 又当1n =时，()11232a a =-，16a =，所以13nn a a -=(2n ≥)， 所以{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，1123n n n a a q -=⋅=⋅.设等差数列{}n b 的公差为d ，因为11116b a ==，5b 是2b 和14b 的等比中项， 所以()25214b b b =⋅，即()()()2141113d d d +=++， 整理得220d d -=，解得0d =或2d =，因为公差不为0， 所以2d =，故()1121n b b n d n =+-=-.（2）因为()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以101111111111012335192121i i i b b =+⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭∑. （3）因为122kn kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，23n n a =⋅， 所以数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，所以()()()()222211111123149431nn n niiiiii i i i c a ====-=-=⋅-=⋅-⋅+∑∑∑∑()()111191931313494344923191322n n nni i n n i i n n n ++==--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯++--∑∑.【点睛】本题考查了由n a 与n S 的关系式求n a ，考查了等比中项的应用，考查了裂项求和方法，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了分析问题的能力，属于较难题. 19.如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为)，⎛⎝⎭是椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上下顶点分别为A ，B ，()()000,0P x y x ≠是椭圆上异于A ､B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C ，N 为线段BC 的中点. ①求证：OM MN ⊥； ②若MON △的面积为32，求0y 的值； 【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②45【解析】 【分析】(1)设椭圆方程为22221x y a b +=,由题意,得3c =,再由3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;(2)根据题意,求出直线AB 的方程、点M,C,N 的坐标,计算0OM NM →→⋅=,可得OM MN ⊥,再利用32MON S ∆=,结合椭圆方程,求解可得结果. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意，得3c =因为222a c b -=，所以223a b -=.又3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点，所以2231413aa +=-， 解得24a =或234a =(舍去)，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）①解：因为()00,P x y ，()00x ≠，则()00,Q y ，且220014x y +=.因为M 为线段PQ 中点，所以00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭. 又()0,1A ，所以直线AM 的方程为()00211y y x x -=+. 因为00x ≠，∴01y ≠令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，有()00,121x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以()0000,1221x x NM y y →⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭.因此，()()()2220000000000012221441x x x x x OM NM y y y y y y →→⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭ ()()2220000000110441x x y y y y y ⎛⎫=+-+=-++= ⎪-⎝⎭. 所以OM MN ⊥. ②由①知，OM MN ⊥.因为1OM ==，ON ===所以在Rt MON中，MN =因此12MON S OM MN =⋅=△32=， 解得045y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，涉及向量运算，属于难题.20.已知函数()02xxf x e e sinx x e π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，（为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()(1)(1sin )f x k x x --对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：1213()122x e x ---+＞． 【答案】（1）[]0,1；（2）2112e k ππ-≤≤-；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为(1)xe k x ≥-对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，构造函数()x g x e kx k =-+，对函数()g x 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.（3）令()1213()122x h x ex -=+--，对函数()h x 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可. 【详解】（1）因为()xxf x e e sinx =-，所以()((1sin cos )1)4cos )x x x xf x e e sinx x e e x x x π'=-+⎡⎤--==+⎢⎥⎣⎦， ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴3444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴42sin x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()0f x '≤， 故函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，函数()f x 的最大值为()1010f =-=；()f x 的最小值为22022f e e sin ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]0,1．（2）原不等式可化为)(1)(1sin (1)xe sinx k x x -≥-- …（*）， 因为1sin 0x -≥恒成立，故（*）式可化为(1)xe k x ≥-． 令()xg x e kx k =-+，则()x g x e k '=-，当0k ≤时，()0xg x e k '=->，所以函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()(0)10g x g k ≥=+≥，所以10k -≤≤；当0k >时，令()0xg x e k '=-=，得ln x k =，所以当(0,ln )x k ∈时，()0xg x e k '=-<；当(ln ,)x k ∈+∞时，()0xg x e k '=->．所以当2lnk π＜，即20k e π<<时，函数min ()(ln )2ln 0g x g k k k k ==->成立； 当2lnk π≥，即2k e π≥时，函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，2()022ming x g e k k πππ⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭，解得2212e e k πππ≤≤-综上，2112e k ππ-≤≤-．（3）令()1213()122x h x ex -=+--，则()132x h x e x -'=+-． 由1124133100244h e h e --⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，＞，故存在01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 即 01032x ex -=-． 所以，当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>． 故当0x x =时，函数()h x 有极小值，且是唯一的极小值，故函数()0122min 000013313()()1()()122222x h x h x ex x x -==+--=--+-- 220013313()12222522x x ⎡⎤⎛⎫=---=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22015313531()()022*******x ----=>>， 故()1213()1022x h x ex -=+-->， 即1213()122x e x ---+>．【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.。