2019年中考数学100份试卷分类汇编：科学计数法

2019年绍兴市中考数学试题、答案（解析版）（本试卷满分150分,考试时间120分钟）参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.卷Ⅰ(选择题)一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，多选、错选，均不给分） 1.5-的绝对值是（ ）A .5B .5-C .15D .15-2.某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000用科学记数法可表示为（ ） A .712.610⨯ B .81.2610⨯ C .91.2610⨯D .100.12610⨯3.如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）第3题图ABCD4x （cm ）统计如下：根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm 的概率是（ ） A .0.85 B .0.57C .0.42D .0.155.如图，墙上钉着三根木条a ，b ，C ，量得170∠︒＝，2100∠︒＝，那么木条a ，b 所在直线所夹的锐角是（ ）第5题图A .5︒B .10︒C .30︒D .70︒6.若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等于（ ）A .1-B .0C .3D .47.在平面直角坐标系中，抛物线()()53y x x +-＝经变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ）A .向左平移2个单位B .向右平移2个单位C .向左平移8个单位D .向右平移8个单位8.如图，ABC △内接于⊙O ，65B ∠︒＝，70C ∠︒＝.若BC ＝»BC的长为（ ）第8题图A .πBC .2πD .数学试卷 第3页（共30页）9.正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（ ）第9题图A .先变大后变小B .先变小后变大C .一直变大D .保持不变10.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）图1图2第10题图A .245B .325CD卷Ⅱ(非选择题)二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11.因式分解：21x -＝ . 12.不等式324x -≥的解为 .13.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等.如图的幻方中，字母m 所表示的数是 .第13题图14.如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，30PAD ∠︒＝，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则ADE ∠的度数为 .题14题图15.如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线ky x=（常数0k ＞，0x ＞）上，若顶点D 的坐标为(5,3)，则直线BD 的函数表达式是 .第15题图16.把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正方形的中心，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是 .第16题图三、解答题（本大题共8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17.（1）计算：214sin 60(2)2π-︒⎛⎫+--- ⎪⎝⎭（2）x 为何值时，两个代数式21x +，41x +的值相等？18.如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象. （1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当0150x ≤≤时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;（2）当150200x ≤≤时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.第18题图19.小明、小聪参加了100 m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图.数学试卷 第7页（共30页）第19题图根据图中信息，解答下列问题：（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法.20.如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上. （1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠︒＝，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE .（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使165BCD ∠︒＝，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm1.411.73）图1图2 图3第20题图21.在屏幕上有如下内容：如图，ABC △内接于⊙O ，直径AB 的长为2，过点C 的切线交AB 的延长线于点D .张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答.（1）在屏幕内容中添加条件30D ∠︒＝，求AD 的长.请你解答. （2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是1BD ＝，就可以求出AD 的长小聪：你这样太简单了，我加的是30A ∠︒＝，连结OC ，就可以证明ACB V 与DCO V 全等. 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答.第21题图22.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，6AB AE ＝＝，5BC ＝，90A B ︒∠＝∠＝，135C ∠︒＝，90E ∠︒＞，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积.（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.第22题图23.（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD ＝，10DM ＝. （1）在旋转过程中，①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长.②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由ABC △外的点1D 转到其内的点2D 处，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ∠︒＝，260CD ＝，求2BD 的长.图1图2第23题图24.如图，矩形ABCD 中，AB a ＝，BC b ＝，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k MN EF ＝:.（1）若:a b 的值为1，当MN EF ⊥时，求k 的值.（2）若:a b 的值为12，求k 的最大值和最小值.（3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，60MPE ∠︒＝，3MP EF PE ＝＝时，求:a b 的值.第24题图数学试卷 第11页（共30页）2019年绍兴市中考数学答案解析卷Ⅰ（选择题）一、选择题 1.【答案】A【解析】根据绝对值的性质求解.解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|5-=. 故选：A. 【考点】绝对值 2.【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1＞时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数. 解：数字126 000 000科学记数法可表示为81.2610⨯元. 故选：B.【考点】科学计数法 3.【答案】A【解析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A 符合题意， 故选：A. 【考点】三视图 4.【答案】D【解析】先计算出样本中身高不低于180 cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解. 解：样本中身高不低于180 cm 的频率150.15100==， 所以估计他的身高不低于180 cm 的概率是0.15. 故选：D.【考点】统计，等可能事件的概率 5.【答案】B【解析】根据对顶角相等求出3∠，根据三角形内角和定理计算，得到答案. 解：32100∠∠︒＝＝，∴木条a ，b 所在直线所夹的锐角1801007010︒︒︒︒＝--＝， 故选：B.【考点】对顶角相等，三角形内角和为180° 6.【答案】C【解析】利用()1,4，()2,7两点求出所在的直线解析式，再将点(,10)a 代入解析式即可； 解：设经过()1,4，()2,7两点的直线解析式为y kx b +＝，∴472k b k b =+⎧⎨=+⎩∴31k b =⎧⎨=⎩，∴31y x +＝，将点(,10)a 代入解析式，则3a ＝； 故选：C.【考点】一次函数及其图象，待定系数法 7.【答案】B【解析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律. 解：2(5)(3)(1)16y x x x =+-=+-，顶点坐标是(1,16)--.2(3)(5)(1)16y x x x =+-=--，顶点坐标是(1,16)-.所以将抛物线(5)(3)y x x =+-向右平移2个单位长度得到抛物线(3)(5)y x x =+-， 故选：B.【考点】二次函数及其图象，图形的平移 8.【答案】A【解析】连接OB ，OC .首先证明OBC △是等腰直角三角形，求出OB 即可解决问题. 解：连接OB ，OC .∵180180657045A ABC ACB ∠=-∠-∠=-︒-︒=︒︒︒， ∴90BOC ︒∠=∴BC =∴2OB OC ==∴»BC的长为2902360ππ⋅⋅=， 故选：A.【考点】三角形内角和，圆周角，圆心角，弧长公式 9.【答案】D【解析】由BCE FCD △∽△，根据相似三角形的对应边成比例，可得CF CE CD BC ⋅⋅＝，即可得矩形ECFG 与正方形ABCD的面积相等.解：∵正方形ABCD 和矩形ECFG 中，90DCB FCE ︒∠＝∠＝，90F B ︒∠＝∠＝，∴DCF ECB ∠＝∠， ∴BCE FCD △∽△， ∴CF CDCB CE=， ∴CF CE CB CD ⋅⋅＝，∴矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等. 故选：D.【考点】正方形，矩形，相似三角形 10.【答案】A【解析】设DE x ＝，则8AD x -＝，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C作CF BG ⊥于F ，由CDE BCF △∽△的比例线段求得结果即可. 解：过点C 作CF BG ⊥于F ，如图所示：数学试卷 第15页（共30页）设DE x ＝，则8AD x -＝，根据题意得：1(88)333362x -+⨯⨯=⨯⨯，解得：=4x ， ∴=4DE ， ∵90E ∠=︒，由勾股定理得：5CD ==， ∵90BCE DCF ∠=∠=︒， ∴DCE BCF ∠=∠， ∵90DEC BFC ∠=∠=︒， ∴CDE BCF △∽△， ∴CE CDCF CB=， 即358CF =， ∴245CF =. 故选：A.【考点】E 角形面积，勾股定理，相似三角形卷Ⅱ（非选择题）二、填空题11.【答案】(1)(1)x x +-【解析】原式利用平方差公式分解即可. 解：原式(1)(1)x x =+-. 故答案为：(1)(1)x x +-. 【考点】因式分解，平方差公式 12.【答案】2x ≥【解析】先移项，再合并同类项，把x 的系数化为1即可. 解：移项得，342x +≥， 合并同类项得，36x ≥， 把x 的系数化为1得，2x ≥. 故答案为：2x ≥. 【考点】一元一次不等式 13.【答案】4【解析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可.解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， ∴第一列第三个数为：15258--=， ∴15834m =--=. 故答案为：4【考点】一元一次方程14.【答案】15°或45°【解析】分点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧、点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答. 解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AE =，90DAE ∠=︒，∴180903060BAM ∠=︒-︒-︒=︒，AD AB =，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧时，由题意得，点E 与点B 重合， ∴45ADE ∠=︒，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧时，由题意得，E A E M '='， ∴AE M '△为等边三角形， ∴60E AM ∠'=︒，∴36012090150DAE ∠'=︒-︒-︒=︒， ∵AD AE ='， ∴15ADE ∠'=︒， 故答案为：15°或45°.【考点】正方形，等腰三角形，等边三角形，圆 15.【答案】35y x =【解析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到,33k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,5k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,35k k B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用待定系数法求直线BD 的解析式. 解：∵(5,3)D ，∴,33k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,5k C ⎛⎫⎪⎝⎭，∴,35k k B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线BD 的解析式为y mx n =+，把(5,3)D ，,35k k B ⎛⎫⎪⎝⎭代入得5335n k k m n π+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得350m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BD 的解析式为35y x =. 故答案为35y x =. 【考点】反比例函数及其图象，矩形，一次函数及其图象，待定系数法，整体思想 16.【答案】6+或10或8+【解析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解. 解：如图所示：数学试卷 第19页（共30页）图1的周长为1236++++ 图2的周长为141410+++=； 图3的周长为358++故四边形MNPQ的周长是6+10或8+故答案为：6+10或8+【考点】等腰直角三角形，平行四边形，矩形，图形的整合 三、解答题17.【答案】解：（1）原式4143=---. （2）2141x x +=+，240x x -=，(4)0x x -=， 10x =，24x =.【解析】（1）根据实数运算法则解答；（2）利用题意得到2141x x +=+，利用因式分解法解方程即可.【考点】锐角三角函数，零指数幂，负整数指数幂，二次根式化简，解一元二次方程，因式分解 18.【答案】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米. 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15066035=-千米；（2）设()0y kx b k =+≠，把点(150,35)，(200,10)代入，得1503520010k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴k 0.5b 110=-⎧⎨=⎩，∴0.5110y x =-+，当180x =时，0.518011020y =-⨯+=，答：当150200x ≤≤时，函数表达式为0.5110y x =-+，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时. 【解析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把180x =代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量. 【考点】一次函数及其图象，待定系数法19.【答案】（1）这5期的集训共有：5710142056++++=（天），小聪5次测试的平均成绩是：(11.8811.7611.6111.5311.62)511.68++++÷=（秒）， 答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；（2）从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，如图中第4期与前面两期相比；从测试成绩看，两人的最好成绩是都是在第4期出现，建议集训时间定为14天.【解析】（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；（2）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可.【考点】条形统计图，折线统计图，平均数，数据的分析20.【答案】（1）如图2中，作BO DE ⊥于O .图2∵90OEA BOE BAE ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOE 是矩形，∴90OBA =︒∠，∴1509060DBO ∠=︒-︒=︒，∴sin 60(cm)OD BD ︒=⋅=，∴539.6(cm)DF OD OE OD AB =+=+=≈.（2）作DF l ⊥于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H .则四边形PCHG 是矩形，图3∵60CBH ∠=︒，90CHB ∠=︒，∴30BCH ∠=︒，∵165BCD ∠=︒，45DCP ∠=︒ ，∴sin 60CH BC ︒=⋅=，sin 45DP CD ︒=⋅=，∴5)(cm)DF DP PG GF DP CH AB =++=++=，∴下降高度：55 3.2(cm)DE DF ⋅=-=.【解析】（1）如图2中，作BO DE ⊥于O .解直角三角形求出OD 即可解决问题.（2）作DF l ⊥于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H .则四边形PCHG 是矩形，求出DF ，再求出DF -DE即可解决问题.【考点】：锐角三角函数，解直角三角形，矩形21.【答案】（1）连接OC ，如图，∵CD 为切线，∴OC CD ⊥，∴90OCD ︒∠=∵30D ︒∠=数学试卷 第23页（共30页）∴22OD OC ==∴123AD AO OD =+=+=（2）添加30DCB ∠=︒，求AC 的长，解：∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒∵90ACB OCB ∠+∠=︒，90OCB DCB ∠+∠=︒∴ACO DCB ∠=∠∵ACO A ∠=∠∴30A DCB ∠=∠=︒在Rt ACB △中，112BC AB ==，∴AC ==【解析】（1）连接OC ，如图，利用切线的性质得90OCD ∠=︒，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到2OD =，然后计算OA OD +即可；（2）添加30DCB ∠=︒，求AC 的长，利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再证明30A DCB ∠=∠=︒，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC 的长.【考点】直线与圆相切，解直角三角形，线段、角度的和差，相似三角形等22.【答案】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示：过点C 作CF AE ⊥于F ，16530S AB BC =⋅=⨯=；②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图2所示：过点E 作EF AB ∥交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，∵135C ∠=︒，∴45FCH ∠=︒，∴CHF △ 为等腰直角三角形，∴6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==，∴651BG CH FH FG HG ===-=-=，∴615AG AB BG =-=-=，∴*26530S AE AG ==⨯=；（2）能；理由如下：在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM ⊥于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，∵135C ∠=︒，∴45FCG ∠=︒，∴CGF △为等腰直角三角形，∴5MG BC ==，BM CG =，FG DG =，设AM x =，则6BM x =-，∴11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-，∴22(11)11( 5.5)30.25S AM FM x x x x x =⨯=-=-+=-+∴当 5.5x =时，S 的最大值为30.25.图1 图2 图3 【解析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF AE ⊥于F ，得出16530S AB BC =⋅=⨯=；②若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作EF AB ∥交CD 于F ，FG AB ⊥于G ，过点C 作CH FG ⊥于H ，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出CHF △为等腰三角形，得出6AE FG ==，5HG BC ==，BG CH FH ==，求出1BG CH FH FG HG ===-=，5AG AB BG =-=，得出26530S AE AG =⋅=⨯=；（2）在CD 上取点F ，过点F 作FM AB ⊥于M ，FN AE ⊥于N ，过点C 作CG FM ⊥于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，证出CGF △为等腰三角形，得出5MG BC ==，BM CG =，FG DG =，设A M x =，则6B M x =-，11FM GM FG GM CG BC BM x =+=+=+=-，得出21111S AM FM x x x x =⨯=-=-+（），由二次函数的性质即可得出结果.【考点】矩形，等腰直角三角形，二次函数最值问题，构造函数思想23.【答案】解：（1）①40AM AD DM =+=，或20.AM AD DM =-=②显然MAD ∠不能为直角.当AMD ∠为直角时，222223010800AM AD DM =-=-=，∴AM =或（-舍弃）.当90ADM ∠=︒时，2222230101000AM AD DM =+=+=，∴AM =-.综上所述，满足条件的AM 的值为.（2）如图2中，连接CD .由题意：1290D AD ∠=︒，1230AD AD ==，∴2145AD D ︒∠=，12D D =∵2135AD C ︒∠=，∴1290CD D ︒∠=，∴1CD∵2190BAC A AD ∠=∠=︒，∴2212BAC CAD D AD CAD ∠-∠=∠-∠，∴12BAD CAD ∠=∠，∵AB AC =，21AD AD =，∴21()BAD CAD SAS V V ≌，数学试卷 第27页（共30页）∴21BD CD ==【解析】（1）①分两种情形分别求解即可.②显然MAD ∠不能为直角.当AMD ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=︒时，根据222AM AD DM =+，计算即可.（2）连接CD .首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可.【考点】线段、角的和差，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角24.【答案】（1）如图1中，图1作EH BC ⊥于H ，MQ CD ⊥于Q ，设EF 交MN 于点O .∵四边形ABCD 是正方形，∴FH AB =，MQ BC =，∵AB CB =，∴EH MQ =，∵EF MN ⊥，∴90EON ∠=︒，∵90ECN ∠=︒，∴1+80MNQ CEO ∠∠=︒，1+80FEH CEO ∠∠=︒，∴FEH MNQ ∠=∠，∵90EHF MQN ∠=∠=︒∴()FHE MQN ASA V V ≌∴MN EF =∴k MN =，1EF =.（2）∵:1:2a b =，∴2b a =，由题意：2a MN 剟，a EF 剟，∴当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k的值最大，最大值=，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k. （3）连接FN ，ME .∵3k =，3MP EF PE ==， ∴3MN EF PM PE ==， ∴2PN PF PM PE==， ∵FPN EPM ∠=∠，∴PNF PME V V ∽，∴2NF PN ME PM==，//NF ME 设2PE m =，则4PF m =，6MP m =，12NP m =，①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合.作FH BD ⊥于H .图2∵60MPE FPH ∠=∠=︒，∴2PH m =，FH =，10PH m =，∴a AB FH b AD HD ==②如图3中，当点N 与C 重合，作EH MN ⊥于H .则PH m =，HE =，图3∴13HC PH PC m =+=，∴tan 13MB HE HCE BC HC ∠=--， ∵ME FC ∥，∴MEB FCB CFD ∠=∠=∠，∵B D ∠=∠，∴MEB CFD V V ≌， ∴2CD FC MB ME==，∴213a CD MBb BD BC ---，综上所述，:a b 【解析】（1）作EH BC ⊥于H ，MQ CD ⊥于Q ，设EF 交MN 于点O .证明FHE MQN ASA △≌△（），即可解决问题.（2）由题意：2a MN ≤，a EF ≤，当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为5. （3）连接FN ，ME .由3k =，3MP EF PE ==，推出=3MN EF PM PE -，推出2PN PF PM PE==，由PNF PME △∽△ ，推出2NF PN ME PM==，ME NF ∥，设2PE m =，则4PF m =，6MP m =，12NP m =，接下来分两种情形①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合.②如图3中，当点N 与C 重合，分别求解即可.【考点】全等三角形，勾股定理，平行线之间距离，锐角三角函数，解直角三角形，相似三角形。

统计一.选择题1.（2019•贵阳•3分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（）A．甲比乙大B．甲比乙小C．甲和乙一样大D．甲和乙无法比较【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，再由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比，进行比较即可．【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是15÷（15+30+10+5）＝25%，所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大．故选：A．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2. （2019•铜仁•4分）某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（）A．1.70，1.75 B．1.75，1.70 C．1.70，1.70 D．1.75，1.725【解答】解：由表可知，1.75出现次数最多，所以众数为1.75；由于一共调查了2+3+2+3+1+1+1＝17人，所以中位数为排序后的第9人，即：170．故选：B．3. （2019•河北•2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→①【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D．4. （2019•江苏无锡•3分）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是（）A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是66，得到这组数据的众数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，第3个数是66，所以中位数是66，在这组数据中出现次数最多的是66，即众数是66，故选：B．【点评】此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．5. （2019•江苏宿迁•3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得．【解答】解：这组数据重新排列为：2、3、4、4、7、7，∴这组数据的中位数为＝4，故选：C．【点评】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．6.（2019•江苏扬州•3分）一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是( A)A.2B.3C.3.2D.4【考点】：统计，数据的集中趋势与离散程度【解析】：众数是出现次数最多的数据【答案】：故选：A7. （2019•江西•3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（C）A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°考点：统计图中的扇形统计图解析：本题是七年级上册第六章第四节《统计图的选择》的内容，根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，体现亲子阅读的重要性，灌输阅读要从娃娃抓起的思想.选项分别从扇形统计图的的特点、不同阅读时间所占百分比、通过扇形所占百分比来求扇形圆心角的度数.学生得分率会很高.8. （2019•河南•3分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）A．1.95元B．2.15元C．2.25元D．2.75元【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元），故选：C．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．9.（2019•四川自贡•4分）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【分析】根据方差的意义求解可得．【解答】解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定，故选：B．【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．10.（2019•浙江杭州•3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．标准差【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．【点评】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数．11. （2019•广西贺州•3分）一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用平均数的定义，列出方程＝4即可求解．【解答】解：∵数据2，3，4，x，6的平均数是4，∴＝4，解得：x＝5，故选：D．【点评】本题考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．12. （2019•广东省广州市•3分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（）A．5 B．5.2 C．6 D．6.4【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5故选：A．【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念．二.填空题1. （2019•铜仁•4分）小刘和小李参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是S小刘2＝0.6，S小李2＝1.4，那么两人中射击成绩比较稳定的是；【解答】解：由于S小刘2＜S小李2，且两人10次射击成绩的平均值相等，∴两人中射击成绩比较稳定的是小刘，故答案为：小刘2. （2019•江苏宿迁•3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是乙．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2＞S乙2，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．3. （2 019·江苏盐城·3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.142s，乙的方差是0.062s，这5次短跑训练成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】方差越小越稳定，故乙的训练成绩比较稳定.4. （2019•四川自贡•4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是90分．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：这组数据的众数是90分，故答案为：90．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．5.（2019•浙江杭州•4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于．【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．【解答】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于：．故答案为：．【点评】此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．6.（2019•浙江湖州•4分）学校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班的平均得分是9.1分．【分析】直接利用条形统计图以及结合加权平均数求法得出答案．【解答】解：该班的平均得分是：×（5×8+8×9+7×10）＝9.1（分）．故答案为：9.1．【点评】此题主要考查了加权平均数以及条形统计图，正确掌握加权平均数求法是解题关键．7. （2019•河南•9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级成绩频数分布直方图：b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有23人；（2）表中m的值为77.5；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，故答案为：23；（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，∴m＝＝77.5，故答案为：77.5；（3）甲学生在该年级的排名更靠前，∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，∴甲学生在该年级的排名更靠前．（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×＝224（人）．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．（2019•铜仁•4分）小刘和小李参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是S小刘2＝0.6，S小李2＝1.4，那么两人中射击成绩比较稳定的是；【解答】解：由于S小刘2＜S小李2，且两人10次射击成绩的平均值相等，∴两人中射击成绩比较稳定的是小刘，故答案为：小刘2. （2019•江苏宿迁•3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是乙．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2＞S乙2，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．3. （2 019·江苏盐城·3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.142s，乙的方差是0.062s，这5次短跑训练成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】方差越小越稳定，故乙的训练成绩比较稳定.4. （2019•四川自贡•4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是90分．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：这组数据的众数是90分，故答案为：90．【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．5.（2019•浙江杭州•4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于．【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．【解答】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于：．故答案为：．【点评】此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．6.（2019•浙江湖州•4分）学校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班的平均得分是9.1分．【分析】直接利用条形统计图以及结合加权平均数求法得出答案．【解答】解：该班的平均得分是：×（5×8+8×9+7×10）＝9.1（分）．故答案为：9.1．【点评】此题主要考查了加权平均数以及条形统计图，正确掌握加权平均数求法是解题关键．7. （2019•河南•9分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：a．七年级成绩频数分布直方图：b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有23人；（2）表中m的值为77.5；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，故答案为：23；（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，∴m＝＝77.5，故答案为：77.5；（3）甲学生在该年级的排名更靠前，∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后，∴甲学生在该年级的排名更靠前．（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×＝224（人）．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．8 （2019•广西贺州•3分）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用抽样调查方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”）【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用抽样调查方式更合适，故答案为：抽样调查．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．9. （2019•贵州省安顺市•4分）已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3x n的方差为．【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3…，x n的方差为2，∴另一组数据3x1，3x2，3x3…，3x n的方差为32×2＝18．故答案为18．10. （2019•广西北部湾经济区•3分）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是______．（填“甲”或“乙”）【答案】甲【解析】解：甲的平均数=（9+8+9+6+10+6）=8，所以甲的方差=[（9-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2]=，因为甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩比较稳定．故答案为甲．先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成绩稳定．本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x 1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x-）2+…+（x n-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，2反之也成立．.三.解答题1. （2019•贵阳•10分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 8890 97 95 90 95 88（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．整理、描述数据：数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表得出结论：（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为91分．数据应用：（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．【分析】（1）由题意即可得出结果；（2）由20×50%＝10，结合题意即可得出结论；（3）由20×30%＝6，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；出现次数最多的是90分，∴众数是90分；故答案为：5；3；90；（2）20×50%＝10，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分；故答案为：91；（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：∵20×30%＝6，∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．【点评】本题考查了众数、中位数、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数、用样本估计总体是解题的关键．2. （2019•铜仁•10分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1）和图（2））：（1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；（2）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？【解答】解：（1）该班的总人数为12÷24%＝50（人），足球科目人数为50×14%＝7（人），补全图形如下：（2）设排球为A，羽毛球为B，乒乓球为C．画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中有1人选修排球、1人选修羽毛球的占4种，所以恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率＝＝.3. （2019•海南•8分）为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了50个参赛学生的成绩；（2）表1中a＝8；（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是C；（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有320人．表1 知识竞赛成绩分组统计表【分析】（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人）；（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8；（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组；（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人）．【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），故答案为50；（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，故答案为8；（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，故答案为C；（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），故答案为320．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．4. （2019•江苏无锡•6分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．各等级学生平均分统计表（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是4%；（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．【分析】（1）根据各组的百分比之和为1，计算即可；（2）利用加权平均数公式计算即可；（3）设总人数为n个，列不等式组即可得到结论．【解答】解：（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是1﹣52%﹣18%﹣26%＝4%；故答案为：4%；（2）92.1×52%+85.0×26%+69.2×18%+41.3×4%＝84.1；答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；（3）设总人数为n个，80.0≤41.3×n×4%≤89.9 所以48＜n＜54 又因为4%n为整数所以n＝50，即优秀的学生有52%×50÷10%＝260 人．【点评】本题考查了扇形统计图，加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5. （2019•江苏宿迁•10分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．男、女生所选类别人数统计表根据以上信息解决下列问题（1）m＝20，n＝2；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为79.2°；（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出m、n；（2）由360°乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人），m＝50×30%﹣5＝10，n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2；故答案为：20，2；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360°×＝79.2°；故答案为：79.2；（3）列表得：由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，∴所选取的两名学生都是男生的概率为＝．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、统计表的应用，要熟练掌握．6. （2019•江苏扬州•8分）扬州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.根据以上信息，请回答下列问题：（1）表中a= 120 ，b= 0.1 ；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校有学生1200人，试估计该校学生每天阅读时间超过1小时的人数.【解析】：（1）36÷0.3=120（人）总共120人，∴a=12012÷120=0.1=b（2）如图0.4×120=48（人）。

2019年浙江省绍兴市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分．{题目}1．（2019•绍兴T1）－5的绝对值是A.5B.－5C.15D.－15{答案}A{解析}本题考查了绝对值的意义，根据负数的绝对值等于它的相反数，得|－5|＝5．因此本题选A．{分值}4{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的意义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019•绍兴T2）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000元用科学记数法可表示为（）A．12.6×107B．1.26×108C．1.26×109D．0.126×1010{答案} B{解析}本题考查了科学记数法的表示方法，126000000=1.26×100000000=1.26×108，因此本题选B．{分值}4{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019•绍兴T3）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．{答案}A{解析}本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，因此本题选A．{分值}4{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019•绍兴T4）为了解某地区九年级男生的身体情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x＜160160≤x＜170170≤x＜180x≥180人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A．0.85B．0.57C．0.42D．0.15{答案}D{解析}本题考查了利用频率估计概率，先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．样本中身高不低于180cm的频率＝15100＝0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．因此本题选D．{分值}4{章节:[1-25-3]用频率估计概率}{考点:利用频率估计概率}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019•绍兴T5）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A．5°B．10°C．30°D．70°{答案} B{解析}本题考查了三角形内角和定理和对顶角的性质，设a，b所在直线所夹的锐角是∠α，由对顶角相等，得到∠3＝∠2＝100°，再根据∠α＋∠1＋∠3＝180°，求得∠α＝180°－70°－100°＝10°，因此本题选B．{分值}4{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}{考点:三角形内角和定理}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}6．（2019•绍兴T6）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）α3A . －1B . 0C . 3D . 4{答案}C{解析}本题考查了用待定系数法求一次函数解析式；设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧4＝k ＋b ，7＝2k ＋b .∴⎩⎨⎧k ＝3，b ＝1，∴y ＝3x ＋1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；因此本题选C ． {分值}4{章节:[1-19-2-2]一次函数}{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}7．（2019•绍兴T7）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是（ ） A .向左平移2个单位 B .向右平移2个单位 C .向左平移8个单位 D .向右平移8个单位{答案}4{解析}本题考查了二次函数图象与几何变换，y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)；y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，因此本题选B ． {分值}4{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数图象的平移} {类别:思想方法}{类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019•绍兴T8）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°，若BC ＝22，则⌒BC 的长为（ ）A .πB . 2πC .2πD . 22π{答案}A{解析}本题考查了弧长的计算和圆周角定理，如图，连接OB 、OC ，由三角形内角和定理，求得∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－65°－70°＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×45°＝90°，∴OB ＝BC2＝222＝2，∴⌒BC 的长90×π×2180＝π，因此本题选A ．{分值}4{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:圆周角定理} {考点:弧长的计算}{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}9．（2019•绍兴T9）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ．在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（ ） A ．先变大后变小 B ．先变小后变大 C ．一直变大 D ．保持不变{答案} D{解析}本题考查了相似三角形的性质，由题意，得∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠BCE ＝∠DCF ，又∵∠CBE ＝∠CFD ＝90°，∴△CBE ∽△CFD ，∴CE CD ＝CBCF ，∴CE ⋅CF ＝CB ⋅CD ，即矩形ECFG 的面积＝正方形ABCD 的面积，因此本题选D ． {分值}4{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}10．（2019•绍兴T10）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ） A .245B .325C .123417D .203417{答案} A{解析}本题考查了勾股定理的应用，解决此题的突破点在于根据题意得到关系式：长方体中水的容积＝倾斜后底面积为ADCB 的四棱柱的体积，列方程，得到DE 的长，如图，设DE ＝x ，则AD ＝8－x，12(8－x ＋8)×3×3＝3×3×6，解得x ＝4．∴DE ＝4．在Rt △DEC 中，CD ＝DE 2＋EC 2＝42＋32＝5，过点C 作CH ⊥BF 于点H ，则由△CBH ∽△CDE ，得到CH CE ＝CB CD ，即CH 3＝85，∴CH ＝245，因此本题选A ． {分值}4{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:勾股定理的应用} {考点:相似三角形的应用} {考点:几何选择压轴}{类别:思想方法}{类别:高度原创} {难度:3-中等难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，合计30分．{题目}11．（2019•绍兴T11）因式分解：x 2－1＝ .{答案}(x +1)(x -1){解析}本题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式，有x 2-1＝x 2-12＝(x +1)(x -1). {分值}5{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}12．（2019•绍兴T12）不等式3x －2≥4的解为 . {答案} x ≥2.{解析}本题考查了解一元一次不等式，先移项得，3x ≥4＋2，再合并同类项得，3x ≥6，把x 的系数化为1得，x ≥2． {分值}5{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式}ED C BAHF{类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}13．（2019•绍兴T13）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m 所表示的数是 .{答案}4{解析}本题考查了幻方的特点，数的对称性是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15－2－5＝8，∴m ＝15－8－3＝4． {分值}5{章节:[1-1-3-1]有理数的加法} {考点:有理数加法的实际应用} {类别:数学文化} {难度:2-简单}{题目}14．（2019•绍兴T14）如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，∠PAD ＝30°，以点B为圆心，AB 为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则∠ADE 的度数为 .{答案}45°或15°.{解析}本题考查了以正方形为背景的角度计算，正确画出图形是解题的关键．如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，∵∠PAD ＝30°，∴∠BAM ＝60°，又∵BA ＝BM ，∴△ABM 是等边三角形．当点E 在直线PA 的上方时，点E 与点B 重合，显然∠ADE ＝∠ADB ＝45°；当点E 在直线PA 的下方时，∠BDE ＝180°－∠BME ＝180°－2×60°＝60°，∴∠ADE ＝∠BDE －∠ADB ＝60°－45°＝15°，因此答案为45°或15°．{分值}5{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:等边三角形的判定} {考点:正方形的性质} {考点:几何综合} {类别:发现探究} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}15．（2019•绍兴T15）如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线y ＝kx （常数k ＞0，x ＞0）上，若顶点D 的坐标为（5，3），则直线BD 的函数表达式是 .{答案}y ＝35x .{解析}本题考查了反比例函数中几何图形问题，设C (5，k 5)，A (k 3，3)，则A (k 3，k5)；设直线BD 的函数表达式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k 3a ＋b ＝k 5，5a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝0， 因此直线BD 的函数表达式是y ＝35x ．{分值}5{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:矩形的性质}{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:双曲线与几何图形的综合} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}16．（2019•绍兴T16）把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正方形的中心，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是 ．{答案}10或6＋22或8＋22．{解析}本题考查了图形的剪拼，抓住图形的特征是解题的关键，如下图，共有3种周长不同的拼法，拼成的四边形的周长分别为10或6＋22或8＋22．E{分值}5{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:勾股定理的应用} {考点:图形的剪拼} {考点:几何填空压轴} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计80分．{题目}17．（2019•绍兴T17（1））（1）计算：4sin 60°＋(π－2)0－(－12)－2－12.{解析}本题考查了实数的运算，根据实数运算法则直接解答．{答案}解：原式＝4×32＋1－4－23＝－3.{分值}4{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:正弦}{考点:简单的实数运算}{题目}17．（2019•绍兴T17（2））（2）x 为何值时，两个代数式x 2＋1，4x ＋1的值相等？ {解析}本题考查了一元二次方程的解法，由题意得到x 2＋1＝4x ＋1，利用因式分解法解方程即可．{答案}解：由题意，得x 2＋1＝4x ＋1，x 2－4x ＝0，x (x －4)＝0，x 1＝0，x 2＝4． {分值}4{章节:[1-21-2-3] 因式分解法} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:解一元二次方程－因式分解法}{题目}18．（2019•绍兴T18）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x ≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x ≤200时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．{解析}本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把x ＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．{答案}解： （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060－35＝6千米；（2）设y ＝kx ＋b （k ≠0），把点(150，35)，(200，10)代入， 得⎩⎨⎧150k ＋b ＝35，200k ＋b ＝10，∴⎩⎨⎧k ＝－0.5，b ＝100，∴y ＝－0.5x ＋110． 当x ＝180时，y ＝－0.5×180＋110＝20．答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝－0.5x ＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时． {分值}8{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:分段函数的应用}{题目}19．（2019•绍兴T19）小明、小聪参加了100m 跑的5期集训，每期集训结束市进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法. {解析}本题考查了条形统计图、折线统计图、算术平均数，抓住图中信息是解题的关键．（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；（2）根据图中的信息和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可．{答案}解：（1）这5期的集训共有：5＋7＋10＋14＋20＝56（天），小聪这5次测试的平均成绩是：（11.88＋11.76＋11.61＋11.53＋11.62）÷5＝11.68（秒），答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；（2）一类：结合已知的两个统计图的信息及体育运动实际，如：集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下滑．二类：结合已知的两个统计图的信息，如：集训时间为10天或14天时，成绩最好．三类：根据已知的两个统计图中的其中一个统计图的信息，如：集训时间每期都增加．{分值}8{章节:[1-20-1-1]平均数}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:条形统计图}{考点:折线统计图}{考点:算术平均数}{题目}20．（2019•绍兴T20）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H，则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF－DE即可解决问题．{答案}解：（1）如图2中，作BO⊥DE，垂足为O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°－90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝40•sin60°＝203（cm），∴DF＝OD＋OE＝OD＋AB＝203＋5≈39.6（cm）．（2）下降了．如图3，过点D作DF⊥l于F，过点C作CP⊥DF于P，过点B作BG⊥DF于G，过点C作CH⊥BG 于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，又∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BC sin60°＝103（cm），DP＝CD sin45°＝102（cm），∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝102＋10＋5（cm），∴下降高度：DE－DF＝203＋5－102－103－5＝103－102≈3.2（cm）．{分值}8{章节:[1-28-2-1]特殊角}{难度:3-中等难度}{类别:高度原创}{类别:常考题}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{题目}21．（2019•绍兴T21）在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答．{解析}本题考查了切线的性质及应用，添加过切点的半径是常用辅助线．（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长；本题答案不唯一．{答案}解：（1）连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D ＝30°，∴OD ＝2OC ＝2，∴AD ＝AO +OD ＝1+2＝3；（2）本题答案不唯一，如：添加∠DCB ＝30°，求AC 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACO +∠OCB ＝90°，∠OCB +∠DCB ＝90°，∴∠ACO ＝∠DCB ，∵∠ACO ＝∠A ，∴∠A ＝∠DCB ＝30°，在Rt △ACB 中，BC ＝12AB ＝1， ∴AC ＝3BC ＝3．{分值}10{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:圆周角定理}{考点:切线的性质}{题目}22．（2019•绍兴T22）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB ＝AE ＝6，BC ＝5，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝135°，∠E ＞90°．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．{解析}本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF ⊥AE 于F ，得出S 1＝AB •BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作EF ∥AB 交CD 于F ，FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥FG 于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出△CHF 为等腰三角形，得出AE ＝FG ＝6，HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ＝FH ，求出BG ＝CH ＝FH ＝FG －HG ＝1，AG ＝AB －BG ＝5，得出S 2＝AE •AG ＝6×5＝30；（2）在CD 上取点F ，过点F 作FM ⊥AB 于M ，FN ⊥AE 于N ，过点C 作CG ⊥FM 于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，证出△CGF 为等腰三角形，得出MG ＝BC ＝5，BM ＝CG ，FG ＝DG ，设AM ＝x ，则BM ＝6－x ，FM ＝GM +FG ＝GM +CG ＝BC +BM ＝11－x ，得出S ＝AM ×FM ＝x (1－x )－x 2+11x ，由二次函数的性质即可得出结果．{答案}解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示：过点C 作CF ⊥AE 于F ，S 1＝AB •BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EF∥AB交CD于点F，FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°，∴△CHF为等腰直角三角形，∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6－x，∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11－x，∴S＝AM×FM＝x(11－x)＝－x2+11x＝－(x－5.5)2+30.25，∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．{分值}12{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}{难度:3-中等难度}{类别:高度原创}{考点:矩形的性质}{考点:与平行四边形有关的面积问题}{考点:二次函数与平行四边形综合}{题目}23．（2019•绍兴T23）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM ＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．{解析}本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识．（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2－DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2＋DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．{答案}解：（1）①AM＝AD＋DM＝40，或AM＝AD－DM＝20．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∴AM＝202或（AM＝－202舍去）．当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∴AM＝1010或（AM＝－1010舍去）．综上所述，满足条件的AM的值为202或1010．（2）如图2中，连接CD1．由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝302，∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，∴CD1＝CD22＋D1D22＝306，∵∠BAC＝∠D2AD1＝90°，∴∠BAC－∠CAD2＝∠D2AD1－∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1，又∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1（SAS），∴BD2＝CD1＝306．{分值}12{章节:[1-17-1]勾股定理}{难度:4-较高难度}{类别:发现探究}{考点:勾股定理}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:几何综合}{题目}24．（2019•绍兴T24）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k ＝MN ∶EF ．（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．（2）若a ：b 的值为12，求k 的最大值和最小值． （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE ＝60°，MP ＝EF ＝3PE 时，求a ∶b 的值．{解析}本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，是一道几何综合题．（1）作EH ⊥BC 于H ，MQ ⊥CD 于Q ，设EF 交MN 于点O ．证明△FHE ≌△MQN （ASA ），即可解决问题．（2）由题意：2a ≤MN ≤5a ，a ≤EF ≤5a ，当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值＝5，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为255． （3）连接FN ，ME ．由k ＝3，MP ＝EF ＝3PE ，推出MN PM ＝EF PE ＝3，推出PN PM ＝PF PE＝2，由△PNF ∽△PME ，推出NF ME ＝PN PM＝2，ME ∥NF ，设PE ＝2m ，则PF ＝4m ，MP ＝6m ，NP ＝12m ，接下来分两种情形①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合．②如图3中，当点N 与C 重合，分别求解即可．{答案}解：（1）如图1中，作EH ⊥BC 于H ，MQ ⊥CD 于Q ，设EF 交MN 于点O ．∵四边形ABCD 是正方形，∴FH ＝AB ，MQ ＝BC ，∵AB ＝CB ，∴EH ＝MQ ，∵EF ⊥MN ，∴∠EON ＝90°，∵∠ECN ＝90°，∴∠MNQ +∠CEO ＝180°，∠FEH +∠CEO ＝180°，∴∠FEH ＝∠MNQ ，∵∠EHF ＝∠MQN ＝90°，∴△FHE ≌△MQN （ASA ），∴MN ＝EF ，∴k ＝MN ∶EF ＝1．（2）∵a ∶b ＝1∶2，∴b ＝2a ，由题意：2a ≤MN ≤5a ，a ≤EF ≤5a ，∴当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值＝5，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为255． （3）连接FN ，ME ． ∵k ＝3，MP ＝EF ＝3PE ，∴MN PM ＝EF PE ＝3，∴PN PM ＝PF PE＝2， ∵∠FPN ＝∠EPM ，∴△PNF ∽△PME ，∴NF ME ＝PN PM＝2，ME ∥NF ， 设PE ＝2m ，则PF ＝4m ，MP ＝6m ，NP ＝12m ，①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合．作FH ⊥BD 于H ．∵∠MPE ＝∠FPH ＝60°，∴PH ＝2m ，FH ＝23m ，DH ＝10m ，∴a b ＝AB AD ＝FH HD ＝35． ②如图3中，当点N 与C 重合，作EH ⊥MN 于H ．则PH ＝m ，HE ＝3m ，∴HC ＝PH ＋PC ＝13m ，∴tan ∠HCE ＝MB BC ＝HE HC ＝313， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB ＝∠FCB ＝∠CFD ，∵∠B ＝∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，∴CD MB ＝FC ME ＝2，∴a b ＝CD BD ＝2MB BC ＝2313， 综上所述，a ∶b 的值为35或2313． {分值}14{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{难度:5-高难度}{类别:发现探究}{考点:矩形的性质}{考点:相似三角形的性质}{考点:其他二次函数综合题}{考点:几何综合}。

2019年天津市初中毕业生学生考试试卷数学试卷满分120分，考试时间100分钟。

第I 卷{题型:1-选择题}一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分） {题目}1.（2019年天津）计算（-3）×9的结果等于（ ） A. -27 B. -6 C. 27 D. 6 {答案}A{解析}本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，故原式=-3×9=-27，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-1-4-1]有理数的乘法} {考点:有理数的乘法法则} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2.（2019年天津）︒60sin 2的值等于（ ）C. 3D. 2 【解析】锐角三角函数计算，故选A. {答案}B{解析}本题考查了特殊角的锐角三角形函数，由于sin 60︒=︒60sin 2=2×23=3，因此本题选B ．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3.（2019年天津）据2019年3月21日《天津日报》报道：“伟大的变革---庆祝改革开放四十周年大型展览”3月20日圆满闭幕，自开幕以来，现场观众累计约为4 230 000人次，将4 230 000用科学记数法表示为（ ）A. 0.423×107B.4.23×106C.42.3×105D.423×104{答案}B{解析}本题考查了科学记数法，将一个数写成a ×10n的形式，叫做科学记数法.其中a 是整数数位有且仅有一位的数，即a 应满足1≤|a|＜10；当原数的绝对值不小于1时，n 等于原数的整数位数减去1所得的差；当原数的绝对值小于1时，n 等于原数左起第一位非零数字前面所有0的个数的相反数.4 230 000=4.23×106，因此本题选B ． 本题考查了，，因此本题选． {分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}4.（2019年天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了轴对称图形的识别，看一个图形是否轴对称图形，关键是看它能否沿着某条直线折叠后使得两边能完全重合，以此来判断可知：“”可以看做轴对称图形.因此本题选A．{分值}3{章节:[1-13-1-1]轴对称}{考点:轴对称图形}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5.右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B.C. D.{答案}B{解析}本题考查了三视图，从前面看到的图形叫做物体的主视图，容易看出图中的立体图形主视图为，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:几何体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}（2019年天津）6.估计33的值在（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间{答案}D{解析}＜335＜33＜6，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-6-3]实数}{考点:无理数的估值}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}7.（2019年天津）计算2211a a a +++的结果是（ ） A. 2 B. 22+a C. 1 D.14+a a{答案}A{解析}本题考查了同分母分式的加减，21221212=++=+++a a a a a ，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8.（2019年天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A 、B 两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C ，D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于（ ）A.5B.34C.54D. 20{答案}C{解析}本题考查了菱形的性质，∵A （2，0），B （0，1），∴OA=2，OB=1，由勾股定理可得AB=,由菱形的性质可知所以其周长等C.{分值}3{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}9.（2019年天津）方程组⎩⎨⎧=-=+1126723y x y x 的解是（ ）A.⎩⎨⎧=-=51y xB.⎩⎨⎧==21y xC.31x y =⎧⎨=-⎩D.⎪⎩⎪⎨⎧==212y x{答案}D{解析}本题考查了二元一次方程组的解法，用加减消元法解方程组⎩⎨⎧=-=+②①1126723y x y x ，①+②，得9x=18，∴x=2， 将x=2代入①得，726=+y ，解得21=y ，从而方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==212y x ，因此本题选D.{分值}3{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组} {考点:加减消元法}{类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}10.（2019年天津）若点A （-3，1y ），B （-2，2y ），C （1，3y ）都在反比函数xy 12-=的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A.312y y y <<B.213y y y <<C.321y y y <<D.123y y y << {答案}B{解析}本题考查了反比例函数的性质，将（-3，1y ），（-2，2y ），（1，3y ）代入xy 12-=，得：12-112,6212,4312321=-==--==--=y y y ，所以213y y y <<，因此本题选B ． {分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}11.（2019年天津）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是（ ）A.AC=ADB.AB ⊥EBC. BC=DED.∠A=∠EBC{答案}D{解析}本题考查了图形旋转的性质，由旋转性质可知，AC=CD ，AC 不一定等于AD ，∴A 选项错；由旋转性质可知，BC=EC ，BC 不一定等于DE ，∴C 错；由旋转性质可知，∠ACB=∠DCE ，∠ACD=∠ECB ， AC=CD ，BC=CE ，∴∠A=∠CDA=21（180°-∠ECB ），∠EBC=∠CEB=21（180°-∠ECB ），∴∠A=∠EBC ，∴D 正确；要想∠ABE=90°，需∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠A=90°，这就需要∠ACB=90°，而由题意不能得到∠ACB=90°，∴B 选项错误.因此本题选D ． {分值}3{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:旋转的性质} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}12.（2019年天津）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）且当x=2-时，与其对应的函数值0>y ，有下列结论： ①abc ＞0；② －2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根；③0＜m +n ＜203.其中，正确结论的个数是（ ）A.0B.1C. 2D.3{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象与性质.由表格可知，抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，-2），（1，-2），∴c＝﹣2，a+b﹣2＝﹣2，∴a+b＝0，∵a≠0，∴ab＜0，从而可得abc＞0，∴①正确；抛物线为y＝ax2﹣ax﹣2，x=12是对称轴，x＝﹣2时y＝t，故由抛物线的轴对称性可知当x＝3时，y＝t，∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故②正确；将（-1，m）、（2，n）代入解析式y＝ax2﹣ax﹣2得m＝n＝2a﹣2，∴m＝n＝2a﹣2，∴m+n＝4a﹣4，∵当x=12-时，y＞0，∴112042a a+->，∴a＞83，∴m+n＞203，故③错误.因此本题选C．{分值}3{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）{题目}13.（2019年天津）计算x 5•x 的结果等于 . {答案}x 6{解析}本题考查了同底数幂的乘法，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可知x 5•x ＝x 6．因此本题答案为：x 6． {分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:同底数幂的乘法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}14.（20191）（13-）的结果等于 . {答案}2{解析}本题考查了二次根式的乘除，由平方差公式得原式＝221-＝3﹣1＝2．因此本题答案为：2． {分值}3{章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:二次根式的乘法法则} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15.（2019年天津）不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球，3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 . {答案}37{解析}本题考查了等可能条件下的概率的计算，因为不透明袋子装有7个球，其中3个绿球，所以从袋子中随机取出一个球，有7种等可能的结果，其中是绿球的有三种，∴P （摸出1个球是绿球）=37.因此本题答案为：37． {分值}3{章节:[1-25-1-2]概率} {考点:一步事件的概率} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}16.（2019年天津）直线12-=x y 与x 轴交点坐标为 . {答案}（21，0） {解析}本题考查了一次函数图象的性质，求直线与x 轴的交点坐标，就要求出当y=0时，x 的值为多少.令0=y ，得21=x ，所以直线12-=x y 与x 轴交点坐标为（21，0）.因此本题答案为：（21，0）．{分值}3{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:一次函数的性质} {类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}17.（2019年天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .{解析}本题考查了正方形的性质、勾股定理及折叠的有关性质.设AE、BF交于点H.在正方形ABCD中，AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠FAH+∠AFH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠AFH＝∠BAH，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE＝5，由勾股定理得，AE=BF==13，S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，∴AB•AF=BF•AH，∴12×5＝13AH，∴AH=6013，∴AG＝2AH=12013，∴GE＝AE﹣AG＝13-12013=4913.因此本题答案为：4913．{分值}3{章节:[1-18-2-3] 正方形}{考点:正方形的性质}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}18.（2019年天津）如图，在每个小正方形得边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B 是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A、B的圆的圆心在边AC上.（1）线段AB的长等于；（2）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） .；（2）利用圆与网格线的交点画出一条直径与AC相交得到圆心O，取AB与{答案}（1）2网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，即可找到点P．{解析}本题第（1）问考查了勾股定理，由勾股定理得AB=；第（2）问考查了正方形网格和圆的背景下的网格直尺作图问题，综合性较强.先利用90°的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点为圆心找出圆心.如图，取圆与网格线的交点D，E，连接DE交AC于点O，则点O是圆心.再取AB与网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，则点P就是满足条件∠PAC＝∠PBC＝∠PCB的点.简要证明如下：根据题意容易知道∠OAF＝∠OBF＝30°，∠AOF＝∠BOF＝∠BOC＝∠GOC＝60°，从而可得∠OBC＝20°，利用“SAS”证明△GOC≌△GBC，得到∠G=∠OBC=20°，从而可求出∠OPG=40°，从而可得∠PCB＝∠OPG-∠PBC＝20°=∠PBC.利用“SAS”证明△GOP≌△AOP，得到∠PAC=∠G=20°，从而可证出∠PAC＝∠PBC＝∠PCB.因此本题答案为：（1；（2）利用圆与网格线的交点画出一条直径与AC相交得到圆心O，取AB与网格线的交点F，连接FO并延长交⊙O于点G，连接GC并延长交BO于点P，连接AP，即可找到点P．{分值}3{章节:[1-24-1-4]圆周角} {考点:圆周角定理}{考点:直径所对的圆周角} {考点:几何综合} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {难度:6-竞赛题}三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答题写出文字说明、演算步骤或推理过程） {题目}19.（2019年天津）（本小题8分） 解不等式11,211x x +≥-⎧⎨-≤⎩①，②请结合题意填空，完成本题的解答：（I ）解不等式①，得 ； （II ）解不等式②，得 ； （III ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV ）原不等式组的解集为 .{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，由于采用了填空的形式，因此考生只需按题中所提供的解题步骤依次完成即可． {答案}（Ⅰ）x ≥﹣2； （Ⅱ）x ≤1； （Ⅲ）（Ⅳ）﹣2≤x ≤1． {分值}8{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:解一元一次不等式组}{题目}20.（2019年天津）（本小题8分）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h ），随机调查了该校的部分初中学生，根据随机调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：图① 图②（I ）本次接受调查的初中生人数为 ，图①中m 的值为 ；（II ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数.{解析}本题考查了统计图，求平均数、众数、中位数，以及利用样本估计总体.（I ）根据公式频率=频数÷样本容量进行计算即可，样本容量=1.2÷20%=40，m%=10÷40=25%，所以m=25，故本小题答案为40、25；（II ）根据平均数、众数、中位数的定义计算即可；（Ⅲ）利用样本中体育活动时间大于1h 的学生人数的占比对总体作出估计即可. {答案}解： （I ）40，25；（II ）5.1310158431.2108.1155.182.149.0=++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x∵在这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1.5；∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，故这两个数的平均数即这组数据的中位数是1.5.答：这组数据的平均数、众数、中位数都是1.5h.（III ）∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数占的比例为1-10%=90%，∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的人数约占90%，从而可计算得：800×90%=720，答：该校每天在校体育活动时间大于1h 的学生约有720人． {分值}3{章节:[1-10-1]统计调查} {章节:[1-20-1-1]平均数}{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}{考点:用样本估计总体} {考点:扇形统计图} {考点:条形统计图}{考点:加权平均数（频数为权重）} {考点:中位数} {考点:众数}{题目}21.（2019年天津）（本小题10分）已经PA,PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB=80°，C 为⊙O 上一点.如图①，求∠ACB 的大小；（II ）如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB=AD ，求∠EAC 的大小.图①图②{解析}本题考查了切线的性质、切线长定理、圆心角与圆周角的关系等相关知识．（I）连接OA、OB，根据切线的性质结合四边形内角和先求出∠AOB，再利用在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求出答案；（II）先求出∠PAB=50°，再求出∠BAD=40°，再根据AB=AD求出∠ADB=70°，再根据三角形外角的性质可得∠EAC=∠ADB-∠ACB=20°．{答案}解：（Ⅰ）连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠APB=80°，∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°，∴∠ACB=12∠AOB=50°；图①图②（II）如图②，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠APB=80°，∴∠PAB=∠PBA=50°，由（Ⅰ）知∠PAD=90°，∠ACB=50°，∴∠BAD=∠PAD-∠PAB=40°，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=70°，∵∠ADB=∠EAC+∠ACB，∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=20°.{分值}10{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:切线长定理}{题目}22.（2019年天津）（本小题10分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).参考数据： sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60 .{解析}本题考查了解直角三角形的应用问题（增长率）．设所求灯塔高度为x，利用直角三角形的边角关系表示出AD和BD的长，再列出方程即可求解.{答案}解：设CD=x.在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=CDAD≈0.60，∴AD=tan31x≈53x.在Rt △CBD 中，∠CBD ＝45°，∴BD ＝CD =x ，∵AD ＝AB +BD ，∴53x ＝x +30，解得x ＝45. 答：这座灯塔的高度CD 约为45m ．{分值}10{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}{题目}23.（2019年天津）（本小题10分）甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超过50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg （x ＞0）．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/kg 30 50 150 …甲批发店花费/元 300 …乙批发店花费/元 350 …（Ⅱ）设在甲批发店花费y 1元，在乙批发店花费y 2元，分别求y 1，y 2关于x 的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多．{解析}本题考查了一次函数的简单应用.（Ⅰ）根据题意计算即可，6×30＝180，6×150＝900，7×30＝210，7×50+5×（150﹣50）＝850，因此本小题答案为：（从左到右，从上往下）依次为180，900，210，850．（Ⅱ）根据题意直接列式即可，甲批发店花费 y 1（元）＝6×购买数量x （千克）；而乙批发店花费 y 2（元）是购买数量x （千克）的分段函数：花费 y 2（元）在一次购买数量不超过50kg 时，y 2（元）＝7×购买数量x （千克）；一次购买数量超过50kg 时，y 2（元）＝7×50+5（x ﹣50）．（Ⅲ）①根据花费相同，即y 1＝y 2列方程即可求出相应的x 的值；②求出在x ＝120时，所对应的y 1、y 2的值，比较得出结论；③求出当y ＝360时，两店所对应的x 的值，再通过比较得出结论．{答案}解：（Ⅰ）（从左到右，从上往下）依次为：180，900，210，850；（Ⅱ）y 1＝6x （x ＞0）；当0＜x ≤50时，y 2＝7x （0＜x ≤50）；当x ＞50时，y 2＝7×50+5（x ﹣50）＝5x +100 （x ＞50）.因此y 1，y 2与x 的函数解析式分别为：y 1＝6x （x ＞0）；⎩⎨⎧>+=-+⨯≤<=)50(,1005)50(5507)500(,72x x x x x y .（Ⅲ）①当0＜x ≤50时，由题知6x ＝7x ，解得x ＝0，不合题意舍去；当x ＞50时，由题知6x ＝5x +100，解得x ＝100，故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克，因此本小题的答案为：100；②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120+100＝700，∵720＞700，∴乙批发店花费少．故本小题答案为：乙；③当y 1＝6x ＝360时，解得x ＝60；当y 2＝7x =360时，解得x=3607（大于50，舍去）；当y 2＝5x +100＝360时，解得x ＝52.∵60＞52，∴甲批发店购买数量多．本小题答案为：甲．{分值}10{章节:[1-19-2-2]一次函数}{{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:分段函数的应用}{题目}24.（2019年天津）（本题10分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2． （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移，得到矩形C ′O ′D ′E ′，点C ，O ，D ，E 的对应点分别为C ′，O ′，D ′，E ′．设OO ′＝t ，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分的面积为S ． ①如图②，当矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为五边形时，C ′E ′，E ′D ′分别与AB 相交于点M ，F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②S ≤，求t 的取值范围（直接写出结果即可）．图① 图②{解析}一次函数图像与几何图形的综合问题．（Ⅰ）先求出AD 的长，再解直角三角形ADE 求出ED ，即可得答案；（Ⅱ）①将阴影部分的面积化为矩形C ′O ′D ′E ′与ME ′F 的面积的差来求即可得S ；利用点C ′、E ′在直线AB 上这两种极端情况，可求得t 的取值范围.由（I ）知当点E ′落在AB 上时，t=0；当点C ′落在AB 上时，C ′O ′=43，可求出A ′O ′=4，从而得到C ′O ′=2，故t 的取值范围是0＜t ＜2.②先通过计算①中函数的值的范围确定≤S ≤，t 超过2.再分重叠部分为直角梯形、直角三角形两种情况进行探究，先分别确定重叠部分形状，再求出S 与t 的函数关系式.然后计算当S 为时的t 的值，就能得到t 的取值范围．{答案}解： （I ）由A （6，0），得OA=6，又OD=2，∴AD=OA-OD=4.在矩形CODE 中，由DE ∥CO ，得∠AED=∠ABO=30°，∴在Rt △AED 中，AE=2AD=8.∴由勾股定理得：ED=AE-AD=43，有∴E （2，43）；（II ）①由平移可知，2=''D O ，D E ''=43，t O O E M ='='，由D E ''∥BO ，得∠FM E '=∠ABO=30°，在Rt △MF E '中，MF=2t E M 2='，∴由勾股定理得t E M MF E F 322='-='.∴211222MFE S ME FE t '∆''=⋅==，而C O D E S O D E D ''''''''=⋅=矩形 ∴38232+-=t s （0＜t ＜2）.②由①知当20≤≤t 时，22S =-+S 随着t 的增大而减小.当t=0时，S 最大=；当t=2时，S 最小=∴≤S ≤，t ＞2.当2＜t ＜4时，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为直角梯形，如图③，设O ′C ′交AB 于N ，D ′E ′仍交AB 于F.∵AD ′=4-t ，AO ′=6-t ，∴D ′4-t ），O ′6-t ），O ′D ′=2，∴S=124-t ）（6-t ）]×2=-+，显然S 随着t 的增大而减小.当S=-+t=2.5；当t=4时，∴当2＜t ＜4时，S ＞．∴当2＜t ＜4S ≤的t 的取值范围是2.5≤t ＜4；（图③） （图④）当4≤t ＜6时，矩形C ′O ′D ′E ′与△ABO 重叠部分为直角三角形，如图④，设O ′C ′仍交AB 于N ，则AO ′=6-t ，O ′6-t ），∴S=12（6-t ）（6-t ）6-t ）2，显然S 随着t 的增大而减小.当S=2（6-t ）2=时，解得16t =，26t =∴264-≤<t .∴当4≤t ＜6S ≤的t 的取值范围是4≤t ≤6.综上，本小题答案为：562t ≤≤{分值}10{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}{难度:4-较高难度}{类别:常考题}{考点:一次函数与几何图形综合}{题目}25.（本小题10分）已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）经过点A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b ＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM ＝AD ，m ＝5时，求b 的值；（Ⅲ）点Q （21+b ，y Q ）在抛物线上，当2AM +2QM 的最小值为4233时，求b 的值． {解析}本题考查了二次函数的图像与性质，综合性较强．（Ⅰ）将点A （﹣1，0）代入y ＝x 2﹣2x +c ，求出c 的值，进一步便可根据抛物线的解析式及求出其顶点坐标；（Ⅱ）将点D （b ，y D ）代入抛物线y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1，求出点D ，利用条件AM ＝AD 构造方程即可求出b 的值；AM+2QM=2（2AM+QM ），再通过构造以AM 为斜边的等腰直角三角形，将2AM+QM 及其最小值通过图形表示出来，“以形显数”，再利用等腰直角三角形的性质及点Q 的坐标列方程组求出m 和b ，就能解决问题.{答案}解： （I ）当b=2时，抛物线为y ＝x 2﹣2x +c ，将A （-1，0）代入，得1-2+c=0,∴c= - 3 ,∴抛物线解析式为4)1(3222--=--=x x x y ，∴其顶点坐标为（1，- 4）；（II ）A （-1，0）代入抛物线解析式得，1+b +c ＝0，∴c ＝﹣b ﹣1，∴抛物线为y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1. 设抛物线与y 轴交于点C ，则C （0,﹣b ﹣1）.当x=b 时，y D ＝b 2﹣b •b ﹣b ﹣1＝﹣b ﹣1，∴D （b ，﹣b ﹣1）.∵b ＞0，∴D 与C 不重合，点D 在第四象限.如图①，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E （b ，0），∴AE ＝DE ＝b +1，∴（b +1）.∵m ＝5，∴M （m ，0），∴AM=6.由已知AM ＝AD （b +1）=6，∴b ＝3√2−1；图① 图②（Ⅲ）把Q （21+b ，Q y ）代入12---=b bx x y ，得432--=b y Q ，∵b ＞0，抛物线对称轴为直线x=2b ，∴点Q （21+b ，432--b ）在第四象限、对称轴右侧.，则w=2AM+2QM=2（2AM+QM ）.如图，在x 轴上方取一点N ，使得△AMN 是以AM 为斜边的等腰直角三角形，则MN=2AM ，此时2AM+QM=MN+QM ≥NQ,∴w 最小=2NQ=4,∴NQ=8.∵∠MNH=45°，∴△NQH 为等腰直角三角形，∴NH=QH=338,∵AF=NF=12AM=12(m+1).∴1333(1)()22481133(1)(1)228bmb m⎧+++=⎪⎪⎨⎪++-+=⎪⎩,解得474bm=⎧⎪⎨=⎪⎩.综上，b=4.{分值}10{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{考点:其他二次函数综合题}。