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高中数学苏教版选修12【备课资源】2.2.1习题课

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习题课
一、基础过关
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则下列结论正确的是________．
①a≤12 ②ab≥12

③a2＋b2≥2 ④a2＋b2≤3
2．下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；
②a(1－a)≤14；

③ba＋ab≥2；
④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有________个．
3．若实数a，b满足0①12 ②2ab ③a2＋b2 ④a

4．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a、b、c的大小顺序是________．

5．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，
垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，
只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由
SA⊥平面ABC可知，上式成立．
二、能力提升
6．命题甲：(14)x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则
甲是乙的________条件．
7．若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lg(a＋b2)，则P、Q、R的大小关系为________．
8．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>22.以其
中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．
9．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：ab＋ba>a＋b.

10．已知a>0，求证： a2＋1a2－2≥a＋1a－2.
11．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)·(1c－1)≥8.
12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln x(x>0)，对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：当a≤0时，
fx1＋fx22>f(x1＋x
2

2
)．

三、探究与拓展
13．已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤a2＋b2c2＋d2.(你能用几种方法证明？)
答案
1．③
2．3
3．③
4．a>b>c
5．EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC
6．充要
7．P8．①③⇒②
9．证明 方法一 用综合法
ab＋b
a－a－b＝aa＋bb－ab－baab

＝a－ba－bab＝
a－b2a＋b
ab
>0，

∴ab＋ba>a＋b.
方法二 用分析法
要证ab＋
b
a
>a＋b，

只要证a2b＋b2a＋2ab>a＋b＋2ab，
即要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b
2
)>ab(a＋b)，

即需证a2－ab＋b
2
>ab，

只需证(a－b)
2
>0，

因为a≠b，所以(a－b)
2
>0恒成立，

所以ab＋
b
a
>a＋b成立．

10．证明 要证 a
2
＋1a2－2≥a＋1a－2，
只要证 a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.
∵a>0，故只要证 a2＋1a2＋22≥



a＋

1

a
＋2
2
，

即a2＋1a2＋4 a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22a＋1a＋2，
从而只要证2a2＋1a2≥2a＋1a，
只要证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，
即a2＋
1
a
2
≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
11．证明 方法一 (分析法)
要证(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8成立，

只需证
1－aa·1－bb·1－c
c
≥8成立．

因为a＋b＋c＝1，

所以只需证
a＋b＋c－aa·a＋b＋c－bb·a＋b＋c－c
c
≥8成立，

即证
b＋ca·a＋cb·a＋b
c
≥8成立．

而b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bca·2acb·2abc＝8成立．
∴(
1a－1)(1b－1)(1
c
－1)≥8成立．

方法二 (综合法)
(
1a－1)(1b－1)(1
c
－1)

＝(a＋b＋ca－1)(a＋b＋cb－1)(a＋b＋cc－1)
＝
b＋ca·a＋cb·a＋b
c

＝
b＋ca＋ca＋b
abc

≥
2bc·2ac·2ab
abc
＝8，

当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．
12．证明 由f(x)＝x
2
＋2x＋aln x，

得fx1＋fx22＝12(x21＋x22)＋(1x1＋
1x2)＋a
2
(ln x1＋ln x2)

＝12(x21＋x22)＋x1＋x2x1x2＋aln x
1x2
.

f(x1＋x22)＝(x1＋x22)
2
＋4x1＋x2＋aln x1＋x22，
∵x1≠x2且都为正数，
有
12(x21＋x22)>1
4[(x21＋x22)＋2x1x2]＝(x1＋x22
)2.①

又(x1＋x2)2＝(x21＋x22)＋2x
1x2>4x1x2
，

∴x1＋x2x1x2>4x1＋x2.②

∵x1x2∵a≤0，∴alnx1x2>alnx1＋x22.③
由①、②、③得
fx1＋fx22>f(x1＋x
2

2
)．

13．证明 方法一 (用分析法)
①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，只需证
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b
2d2
.

即证2abcd≤b2c2＋a
2d2
.

即证0≤(bc－ad)
2
.

因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，综合①②知，命题得证．
方法二 (用综合法)
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a
2d2
)

＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)
2≥(ac＋bd)2
.

∴a2＋b2c2＋d2≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法三 (用比较法)
∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝(bc－ad)
2
≥0，

∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)
2
，

∴a2＋b2c2＋d2≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法四 (用放缩法)
为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d
2
)．

由方法一知上式成立，从而方法四可行．

方法五 (构造向量法)
设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，

|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.
∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.
故ac＋bd≤a2＋b2c2＋d
2
.

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高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义课后导练 苏教版选修12

高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义课后导练 苏教版选修12

3.3 复数的几何意义课后导练基础达标1．i 2+i 3+i 4对应的点在（ ）A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第三象限解析：∵i 2+i 3+i 4=-1-i+1=-i,∴B 正确.答案：B2．z 1=1+2i 、z 2=2-i 、z 3=i 23-、z 4=i 32+对应的点（ ）A.在圆|z |=2上B.在|z |=5上C.在圆|z |2=5上D.不共圆解析：∵|z 1|=5212=+,|z 2|=5)1(222=-+,|z 3|=5,|z 4|=5,∴C 正确.答案：C 3．如果向量OZ =0，则下列说法中正确的个数是（ ）①点Z 在实轴上 ②点Z 在虚轴上 ③点Z 既在实轴上，又在虚轴上A.0B.1C.2D.3解析：①②③正确.答案：D4．若OZ =（0，-3），则OZ 对应的复数（ ）A.等于0B.等于-3C.在虚轴上D.既不在实轴上，也不在虚轴上解析：向量OZ 对应的复数为-3i.答案：C5．复数2-3i 对应的点在直线_________上（ ）A.y=xB.y=-xC.3x+2y=0D.2x+3y=0解析：复数2-3i 对应的点为（2，-3），经验证在3x +3y =0上.答案：C6．满足条件|z |<3的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是__________.解析：由复数的几何意义可知.答案：以原点为圆心，3为半径的圆的内部7．已知复数z =x-2+yi 的模是22，则点（x,y ）的轨迹方程是__________. 解析：由|x -2+y i|=22,得(x -2)2+y 2=8.答案：(x -2)2+y 2=88．复数z =x+3+i(y-2),(x,y∈R )且|z |=2,则点（x,y ）的轨迹方程是__________. 解析：∵22)2()3(-++y x =2,∴(x +3)2+(y -2)2=4.答案：(x +3)2+(y -2)2=49．已知|z |=2+z -4i,求复数z .解析：设z =x +y i(x 、y ∈R ),则由题意知 22y x +=2+x +i y -4i=(x +2)+(y -4)i, ∴,40,222-=+=+y x y x 即⎩⎨⎧==.4,3y x∴z =3+4i.10．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45°，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z . 解：设z =a+bi(a 、b∈R ). ∵OZ 与x 轴正向的夹角为45°,|z |=1, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+=0,1,122a b a a b 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=+-=0,1,122a b a a b ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.22,2222,22b a b a 或 ∴z =i 2222+或z =i 2222-. 综合运用11．实数x 分别取什么值时，复数z =x 2+x-6+(x 2--15)i 表示的点：（1）在实轴上？（2）在虚轴上？解：(1)当x 2-2x -15=0,即x =-3或x =5时，复数z 对应的点在实轴上.（2）当x 2+x -6=0,即x =2或x =-3时，复数z 对应的点在虚轴上.12．设z 是虚数，ω=z +z1是实数，且-1<ω<2.求|z |的值及z 的实部的取值范围. 解析：∵z 是虚数，∴可设z =x +y i(x ,y ∈R 且y ≠0)，ω=z +z1=(x +y i)+yi x +1=x +y i+22y x yi x +- =(x +22y x x +)+(y -22yx y +)i ， ∵ω为实数且y ≠0,∴1-221y x +=0， 即x 2+y 2=1,∴|z |=1此时ω=2x ,由-1<ω<2得-1<2x <2.∴-21<x <1. 即z 的实部的范围是（-21，1） 13．已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1=sin 2θ+i,z 2=-cos 2θ+icos2θ,其中θ∈(0,2π)，设对应的复数为z .（1）求复数z ;(2)若复数z 对应的点P 在直线y=21x 上，求θ的值. 解：（1）z =z 2-z 1=-cos 2θ-sin 2θ+i(cos2θ-1)=-1-2sin 2θ·i.（2）点P 的坐标为(-1,-2sin 2θ),由点P 在直线y =21x 上,得-2sin 2θ=-21. 所以sin 2θ=41,则sin θ=±21. 因为θ∈(0,2π),所以θ=6π,65π,67π,611π. 拓展探究14．若复数z 满足|z +3+i|≤1,求：（1）|z |的最大值和最小值；（2）|z -1|2+|z +1|2的最大值和最小值；（3）|z -3|2+|z -2i|2的最大值和最小值.解：（1）如下图所示,|OM |=221)3(+=2. ∴|z |ma x =2+1=3,|z |min =2-1=1.(2)|z -1|2+|z +1|2=2|z |2+2.∴|z -1|2+|z +1|2的最大值为20，最小值为4.（3）如右图，在圆面上任取一点P ，与复数z 1=3，z 2=2i 的对应点A 、B 相连，得向量PB PA 、，再以PB PA 、为邻边作平行四边形将问题再次转化为（1）的类型.设z a =3,z b =2i,P 为圆面上任一点，z P =z . 则2||2+2||2=||2+(2|O P |)2 =7+4|O P |2, ∴|z -3|2+|z -2i|2=21(7+4|z -23-i|2). 而|z -23-i|ma x =|O′M |+1=1+243, |z -23-i|min =|O′M |-1=243-1, ∴|z -3|2+|z -2i|2的最大值为27+432，最小值为27-432.。

【高中课件】苏教版选修12高中数学2.1.1合情推理课件ppt.ppt

【高中课件】苏教版选修12高中数学2.1.1合情推理课件ppt.ppt

中小学精编教育课件
第2章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
自学导引
1．推理：从一个或几个已知命题得另出一个新命题的思维 过程称为推理．
从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是推理
所依据的命题叫做
；一部分是根据前提推理
得的命题，前叫提
做 结论 ．
2．合情推理
合情推理的主要形式有归纳 类比和 ．
②类比推理是从一种事物的特殊属性推测另一种事物 的特殊属性．
③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现 功能．
(2)类比推理的一般步骤 类比推理的思维过程大致为：观察、比较→联想、类推 →猜测新的结论． 该过程包括三个步骤：
①找出两类对象之间的相似性或一致性；
②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得 出一个明确的命题，即猜想．
③检验这个猜想．
说明：一般地，如果类比的相似性越多，相似的性质与 推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可 靠．
3．归纳推理与类比推理的区别与联系
区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是 特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都 可真可假．
题型一 归纳推理在数列中的应用
三角形的中位线的长等于第 四面体的中位面的面积等于
三边长的一半，且平行于第三 第四个面的面积的14，且中位
【训练2】 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图 形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图 形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与 这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可 以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个 顶点的连线所围成的图形．
苏教版高中数学必修2：阿波罗尼斯圆定理及其应用_习题2.2(1)

苏教版高中数学必修2：阿波罗尼斯圆定理及其应用_习题2.2(1)


x
l
A
O
y
例2、(08年江苏，13题)若AB=2，AC= √2 BC，则三角形ABC的面积的最大值是____。
变式：
在等腰三角形ABC中，如图，AB=AC，BD 是腰AC的中线，且BD= √3 ，则 三角形 ABC面积的最大值是________
A
D
B
C
课后巩固，检验定理
课后作业: 1、已知点P是圆O：x2+y2=25上任意一点， 平面上有两个定点M_
阿波罗尼斯圆定理及其应用
江苏省郑梁梅高级中学 严海艳
教材入手，奠定基础
问题1 （必修2 习题2.2（1）探究拓展第12题）已知 点M（x,y）与两点O（0,0），A（3,0） 的距离之比为 1/2 ，那么点M的坐标应满足什 么关系？
教材入手，奠定基础
问题2 （选修2-1.2.6.2求曲线的方程例2）求平面内 到两定点A，B的距离之比为2的动点M的轨迹 方程。
l 领海 公海
B
A
特殊到一般，提出猜想
猜想：平面内到两个定点的距离之比为定值 的动点轨迹是圆。
总结提炼 ，得到定理
阿波罗尼斯圆定理：在平面上给定两点A,B 设点 P 在同一平面上，且满足 PA/PB= λ ， 当 λ>0且λ ≠1 时，点 P 的轨迹是一个圆。 称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。 （当 λ=1 时，点 P 的轨迹是线段AB的垂直平 分线）
2、一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方 向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东 30 °方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉 私艇立即追击。已知缉私艇的最大航速是走私船 最大航速的3倍。假设缉私艇和走私船均按直线 方向以最大航速航行。问：无论走私船沿何方向 逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说 明理由。
高中数学 31数系的扩充规范训练 苏教版选修12

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第3章 数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充双基达标限时15分钟 1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋1＝0，m 2－1≠0.所以m ＝0.答案 02．对于复数集C ，实数集R ，虚数集M ，纯虚数集P ，下列关系：①P∪R ＝C ；②M∪R ＝C ；③P∩M ＝∅；④(M∪R )C .其中正确的是________(只填序号)．答案 ②3．复数z ＝－3i 的实部是__________，虚部是________．答案 0 －34．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为__________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，得a ＝－4.答案 －45．以3i －2的实部为虚部，以－7的虚部为实部的复数是__________． 答案 －2i 6．说出下列数(其中i 是虚数单位)中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？实部与虚部分别是什么？2＋7，27i,0，i ，i 2,5i ＋8，i(1－3)，2－i 2. 解 实数有：2＋7，0，i 2，它们的实部分别为2＋7，0，－1，虚部都为0.虚数有：27i ，i,5i ＋8，i(1－3)，2－i 2，它们的实部分别是0,0,8,0,2，虚部分别为27，1,5,1－3，－ 2. 纯虚数有：27i ，i ，i(1－3)，它们的实部都为0，虚部分别为27，1,1－ 3. 综合提高限时30分钟 7．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a 、b 的值分别是________．解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，∴a ＝±2，b ＝5.答案 ±2，58．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，则有序实数对(x ，y )＝________.解析 由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1.答案 (1,1)或(－1，－1)9．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,3}，M ∩P ＝{3}，则实数m ＝__________.解析 ∵M ∩P ＝{3}，∴3∈M .∴3＝m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0， ∴m ＝－1.答案 －110．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是__________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10.得：m ＝3.答案 {3}11．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合M ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a 、b .解 依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ③由①得a ＝－3，b ＝±2，经检验a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．∴a ＝－3，b ＝2.由②得a ＝±3，b ＝－2.又a ＝－3，b ＝－2不合题意．∴a ＝3，b ＝－2.③中，a ，b 无整数解不符合题意．综合①、②得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.12．设z 1＝(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i ，z 2＝－3－i ，当m 取何实数时：(1)z 1＝z 2；(2)z 1≠0.解 (1)∵z 1＝z 2，∴(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i ＝－3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝－3，m 2－4m ＋3＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2－4m ＋4＝0，解得m ＝2.(2)∵z 1≠0，∴(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0，m 2－4m ＋3≠0，解得m ≠3.13．(创新拓展)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＋i ＝y －3－y i ，①2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i ② 有实数解，求实数a ，b 的值．解 由①得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4， 将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝9，－6＋b ＝－8，∴a ＝1，b ＝2.。