微分方程和差分方程

如果 tlim x(t ) x0 , 则称平衡点P0是稳定的.
t
lim y(t ) y0 ,
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设 f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) g ( P0 ) x y p , q g ( P0 ) g ( P0 ) y x x y
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统 若微分方程组
dxi fi ( x1 , x2 , , xn ), i 1, 2,, n dt
2 2
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 对微分方程进行定性分析 法
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方
程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
来代替.
dx f ( x0 )( x x0 ) dt

第八章
微分方程与差分方程简介
8.1 微分方程的基本概念
8.2 可分离变量的一阶微分方程
8.3 一阶线性微分方程
8.4 可降阶的高阶微分方程
8.5 二阶常系数线性微分方程 8.6 微分方程应用实例
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第八章
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。 本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中 未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有 关内容做一简单介绍。
(3) (4)
将条件（ 2）代入（ 3），可得c 1，则所求曲线方程：
例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现 汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已 知汽车刹车后获得加速度为－4 m / s 2,问汽车是否会撞到小孩？ 解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车
(5) (6)
(7) (8)
t 0
将条件v t 0 10代入（7）式中，将条件 S
0代入（ 8）式，
(9)
S 2t 2 10t (10) 在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要
的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为： 2 S 2 2.5 10 2.5 12.（米） 5
8.1
微分方程的基本概念
一.引例
例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一 点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。 解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义， y(x)应满足：

练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3

这是一个动力学问题. 考虑所涉及的所 有物理量, 用量纲的齐次性考虑规律的形式.
考虑问题中出现的物理量t、m、l、g
假设它们之间有关式
t lma1 la2 ga3
其中是a1, a2, a3待定常数，l是无量纲的
比例常数. 从而其量纲表达式为
t [m]a1 [l]a2 [g]a3
将[ t ]=T, [m]=M, [ l ]=L, [g ]=LT－2代入上 式
m w0v0
dV dT
代入原方程，有
dV K x C v F dT mw 0v0 mw 0v0 mw 0v0
K x Cv F mw02 ( x0 ) mw0 (v0 ) mw0v0
=－X－AV+F0
其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
原方程变形为
dV dT AV F0 X
很 多 地 方 也 常 用y ( n)解 出 的 形 式 ： y(n) f ( x, y, y', y'',...,y(n1) )
未知函数及其各阶导数都是线性的微分方 程称为线性微分方程. 其一般形式为
y(n) a1( x) y(n1) ... a1( x) y'a1( x) y f ( x)
原型中的各物理量: f’, l’, v’, r’, m’, m’, g’。
当无量纲量
, , l l v
h h l g
v lvr lg m
l vr m
成立时，可得
( ) f
lv 2 r
f
lv r
原型航船的阻力fˊ可由模型船的阻力f及其 他有关量算出
应用量纲分析法建立数学模型应注意：
1. 正确确定模型中所含物理量 主要靠经验和背景知识, 没有一般的方法可以