高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线31双曲线及其标准方程实用课件北师大版选修1 10606171

2．在方程mx2－my2=n中，若mn<0，则方
程表示的曲线是（）D
(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在x轴上的双曲线 (C)焦点在y轴上的椭圆(D)焦点在y轴上的双曲线
3．若k>1，则关于x，y的方程(1－ k)x2+y2=k2－1表示的曲线C是（） (A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在y轴上的椭圆 (C)焦点在y轴上的双曲线 (D)焦点在x轴上的双曲线
(A)(B)(C)(D) C
4
5
23
3
3
3
3
9.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充
要条件是__-_2_<___<_-_1___.
作业：活页p75
再见！
2019年5月27日星期一
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6
3
3
7．若k∈R，则“k>3”是“方程x表2 示 双y2曲 1
线”的（）
A
k 3 k 3
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 8．已知双曲线的x2焦点y22F1、1 F2,点M在双曲线 上且，则点M到xM轴F的1 M距F离2 是0 （）
（1）x2 y2 1
16 9
（2）
y2 16

x2 20

1
例2．相距2000m的两个哨所A，B，听到 远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速 是330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比 在B哨所听到时迟4s，试判断爆炸点在什么 样的曲线上，并求出曲线的方程。
x2 y2 1(x 0) 435600 564400
a2=b2+c2（a>b>0,a>c>0,b与c大小不

椭圆是如何定义的？其标准方程是什么?我们把平面内到两个定点片,耳的距离之和等于常数(大于|巧爲|)的点的集合叫作椭圆2 2亠+「= 1 (a>b> 0)其焦点在x轴上a b2 2—+务=1 (a>b> 0)其焦点在y轴上CT O思考与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆挪么与两定点的距离的差是非零常数的点的轨迹是什么样的曲线呢?动手实践我们可以取一条拉链拉开它的一部分在拉开的两边上各选沪点，分别固定在点耳,笃上,耳到巧的长为2c(c〉0)把笔尖放在拉链开口的咬合处M,M与巧点的距离减去M与耳点的距离所得的差等于2°(c > a> 0),随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线这条曲线上的点M 满足下面条件：.\MF{\-\MF2\ = 2a.如果使点M到点厲的距离减去M到点耳的距离所得的差等于M2°,就得到另一条曲线这条曲线上的点M满足下面条件：\MF^-\MF^2a.这两条曲线合起来叫作双曲线，每一条叫作双曲线的一支.双曲线定义:一般地，平面内与两个定点F- F?距离的差的绝对值等于常数（小于丨F1F 2丨）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F ], F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.分析推导方程的稚导求曲线方程的步骤f 1.建系设点；2.写出适合条件的点M的集合；3・用坐标表示条件,列出方程；►X4•化简. I MF[・MF2 I =2a(0<2a<F1F2)J(x + c)2 + 严—J(x_c)2 + b = 2a 将上述方程化为：7( JV + c)2 + y 2— J(x_c)2 + 护二±2a 移项两边平方后整理得: ex-a1 = 土dj(x_c)2 两边再平方后整理得：(疋- 由双曲线定义知：2c>2a即：c〉ci 设c2-a2=b2(b>0)代入上式整理得：2 2罕-「= 1@〉0, b〉0)+严— a2y2 = a2(c2 -• I C? —Cl? > 0 a1a2a bX2y2厂-厉j(Q〉O"〉O) 双曲线的焦点在t轴上. 焦点坐标为：好(―c,0)迅(c,0).利用同样的方法我们还可以得到焦点比尸2在y轴上的双曲线的标准方程：2 2乂= 1（。

提示：双曲线的一支.
如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边
上各选择一点，分别固定在点F1，F2上， F1到F2的长 为2c(c>0).把笔尖放在
拉链开口的咬合处M，M与
点F1的距离减去M与点F2 的距离所得的差等于2a
(c>a>0),随着拉链逐渐拉
开或者闭拢，笔尖就画出
一条曲线.这条曲线上的点
y2
x2
a2 b2 1
【提升总结】双曲线的的两种形式
y
y
M
M
F2 x
F1 O F2 x
O
F1
(a 0，b 0)
1.
x2 y2 1
16 9
c2 a2 b2
1.
3.
x2 y2 1
16 9
y2
x2
1
16 9
思考1：若已知一个曲线的轨迹是双曲线，如何求 其标准方程呢？ 提示：设出其双曲线的标准方程，求出参数a,b的 值即可. 思考2：在设双曲线标准方程时，首先应注意什么 问题？ 提示：应注意双曲线焦点的位置，是在x轴上还是 在y轴上.
M
双曲线上任一点到两焦点之差的绝对 值为2a(0<a<c),以直线F1F2为x轴， F1 O F2 x
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系，焦点F1，F2的坐标
分别为F1（-c，0）， F2（c，0）.则双曲线的标准方
程如何求？
提示：设M（x,y）是双曲线上任意一点，由双曲线的
定义，点M满足
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
提示：由“这一动点的轨迹为双曲线”能推出“平面
内一动点到两定点距离之差为常数”反之不成立.

2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=