人教版高中数学(理科)选修线性回归教案

人教B版高二数学选修2-3教材教学设计《回归分析》§3.2 回归分析【教学目标】：（1）知识与技能：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。

（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的身高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。

（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。

【教学重点】：1.了解线性回归模型与函数模型的差异；2.了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。

【教学难点】：1.了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数；2.了解线性回归模型与一次函数模型的差异。

()()()21 1.950.6940.733 1.95 2.12/.1.952.12/.x y m s m m s ==+⨯=归线计结当为时预测约为由中求出的回直方程，把代入，得到算果表明，水深可以渠水的流速引导学生复习总结求线性回归方程的步骤：第一步：作散点图—→第二步：求回归方程—→第三步：代值计算x Y 试对与进行一元线性回归分析，并预测当母亲身高为问题3： 一组成对由上面的散点图，很难判断这些点是不是分布在某条直线附近，更像在一条曲线附近，此时，两变量是否相关呢？此时根据数据求出一个回归直线方程，它能不能反映这组成对数据的变化规律呢？Y 为了解决上述问题，我们有必要对x 与验，简称相关性检验.(教师总结：0.050.710.632,.95%Y ,.r r r x =>>从认为间线关关去归线义即而有的把握与之具有性相系求回直方程是有意的。

§3.2 回归分析(1)教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y 的值． 时刻x /s 12 3 4 5 6 7 8 位置观测值y /cm5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06根据《数学3（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，1221()ni i i ni i x y nx y b x n x a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？二．学生活动思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；将y a bx ε=++称为线性回归模型． 说明：（1）产生随机误差的主要原因有：①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：对于问题②，设有n 对观测数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，根据线性回归模型，对于每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使21nii ε=∑越小越好．所以，只要求出使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取得最小值时的α，β值作为a ，b 的估计值，记为a ，b ．注：这里的i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离． 用什么方法求a ，b ？回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a ，b 的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到a ，b 的计算公式为1122211()()()()nni i i ii i n ni ii i x x y y x y nx yb x x xn x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑由此得到的直线y a bx =+就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a ，b 分别为a ，b 的估计值，a 称为回归截距，b 称为回归系数，y 称为回归值．在前面质点运动的线性回归方程 3.5361 2.1214y x =+中， 3.5361a =， 2.1214b =． 3． 线性回归方程y a bx =+中a ，b 的意义是：以a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b 个单位；4． 化归思想（转化思想）在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1）b y a x =+，令'y y =，1'x x=，则有''y a bx =+． （2）by ax =，令'ln y y =，'ln x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （3）bxy ae =，令'ln y y =，'x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （4）b x y ae =，令'ln y y =，1'x x=，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （5）ln y a b x =+，令'y y =，'ln x x =，则有''y a bx =+．四．数学运用 1．例题：例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．年份1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x 表示，对应人口数用y 表示，x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 作出11个点(),x y 构成的散点图，由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型y a bx ε=++来表示它们之间的关系．根据公式（1）可得14.453,527.591.b a ⎧≈⎪⎨≈⎪⎩ 这里的,a b 分别为,a b 的估 计值，因此线性回归方程 为527.59114.453y x =+由于2004年对应的55x =,代入线性回归方程527.59114.453y x =+可得1322.506y =（百万），即2004年的人口总数估计为13.23亿. 例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x （万元）与人均产出y （万元）的数据： 人均 资本 x /万元3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14人均 产出 y /万元4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 （1）设y 与x 之间具有近似关系by ax ≈（,a b 为常数），试根据表中数据估计a 和b 的值；（2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．分析：根据x ，y 所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对by ax ≈的两边取对数，就能将其转化为线性关系．解（1）在by ax ≈的两边取常用对数，可得lg lg lg y a b x ≈+，设lg y z =，lg a A =，lg x X =，则z A bX ≈+．相关数据计算如图327--所示．仿照问题情境可得A ，b 的估计值A ，b 分别为0.2155,1.5677,A b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩由lg 0.2155a =-可得0.6088a ≈，即a ，b 的估计值分别为0.6088和1.5677．（2）由（1）知 1.56770.6088y x =．样本数据及回归曲线的图形如图328--（见书本102P页）当16x =时， 1.56770.60881647.01y =⨯≈（万元），故当企业人均资本为16万元时，A BCDEFGHIJ1 人均资本x /万元 345.56.578910.511.52 人均产出y /万元4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 43 lg X x = 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.人均产值约为47.01万元．。

由题意知lg lg
ห้องสมุดไป่ตู้
300＝klg 200＝klg
300＋b 2 000＋b，
解得k＝－14 b＝285，
所以 lg f＝－14lg W＋285，
25
1
所以f关于W的函数解析式为f＝10 8 W 4 .
03 残差平方和与决定系数R2
问题3 例2中给出了两个模型，那么如何比较这两个模型的拟合效果？ 提示 残差平方和、决定系数.
(2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产 生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的 影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2， 且 I11＋I42＝1010.已知点P的声音能量等于声音 能量I1与I2之和，请根据(1)中的经验回归方 程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并 说明理由.
点P的声音能量I＝I1＋I2， ∵I11＋I42＝1010， ∴I＝I1＋I2＝10－10·I11＋I42(I1＋I2)＝10－10· 5＋II21＋4II21≥9×10－10(当且仅当II21＝4II21，即 I2＝2I1 时等号成立)， 根据(1)中的经验回归方程，点 P 的声音强度 D 的最小预测值为D^ ＝ 10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
量 I 的经验回归方程D^ ＝a^ ＋b^ ·lg I；
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v^ ＝
n
ui－ u vi－ v
i＝1
α^ ＋β^ u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^ ＝
，α^ ＝ v
n
ui－ u 2
i＝1
－β^ ·u .
由Wi＝lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，

【变式1】 下列两个变量中具有相关关系的是________(填 写相应的序号)．
①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③ 单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产 量．
解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的 弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公 斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④.
性回归方程；
(3) 已 知 该 厂 技 改 前 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 为 90 吨 标 准
i＝1
i＝1
∴b＝1129.03－－55××442×5＝1.23， a＝5－1.23×4＝0.08. ∴所求线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式2】 某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单 位：元)，对应数据如下：
x 3 5 2 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程．
是一种理想关系模型 是更为一般的情况
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2.回归直线方程 (1)回归直线方程的思想方法 ①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一
条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这
条直线叫做回归直线．
可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种
线性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是