新人教版高中数学—选修4-5《不等式选讲》教案

选修4-5 不等式选讲 班级____________ 姓名________________第1课时 不等式的基本性质(学案)一、学习目标：1.复习比较两个实数大小的几何意义和代数意义；2.复习、归纳不等式的基本性质，学会证明这些性质，并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题；3.通过对不等式的实数大小的比较和不等式性质的证明，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力.二、试一试：(一).引例：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为_____，加入m 克糖 后的糖水浓度为__________，要说明糖水更甜，只要证________________即可。

怎么证呢?（二）不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的_____________即可。

当00a ,b >>时，我们还可以用求商的方法来比较两个实数的大小，即：2、不等式的基本性质：性质1.__________________________________________________________________. 性质2.__________________________________________________________________. 性质3.__________________________________________________________________. 推论.__________________________________________________________________.性质4.__________________________________________________________________.推论1.__________________________________________________________________. 推论2.__________________________________________________________________. 推论3.__________________________________________________________________. 推论4.__________________________________________________________________.三、练一练：1.已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．2.已知a>b>0，c<0，求证：b ca c >。

课 题： 第4课时 指数不等式的解法三维目标：重点难点：教学设计：一、引入：二、范例分析：例1、解不等式)1(332)21(22---<x x x 解：原不等式可化为：)1(332222----<x x x ∵底数2>1∴)1(3322--<--x x x 整理得：062<-+x x解之，不等式的解集为{x |-3<x <2}例2、解不等式2931831>⋅+-+x x 。

解：原不等式可化为：018329332>+⋅-⋅x x即：0)233)(93(>-⋅-x x 解之：93>x 或323<x ∴x >2或32log 3<x ∴不等式的解集为{x |x >2或32log 3<x } 例3、解不等式：)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且(当a >1时),4()1,(+∞⋃--∞∈x 当0<a <1时)4,1(-∈x )例4、解不等式：x x -->4)21(32 (-1<x <3) 三、小结：四、练习：五、作业：课 题： 第4课时 对数不等式的解法三维目标：重点难点：教学设计：一、引入：二、范例分析：例1、解不等式2)1(log 3≥--x x 。

解：原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x 解之得：4<x≤5∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}例2、解关于x 的不等式： )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x （其实中间一个不等式可省）当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a >1时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ； 当0<a <1时不等式的解集为{}42<<x x 。

选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为ma mb ++，只要证m a m b ++>ab即可。

怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质及大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ⇒a>c 。

③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。

推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ． ⑤、如果a>b >0，那么nn b a >(n ∈N ，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么n nba >(n ∈N ，且n>1)。

三、典型例题：例1、已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ． 例2已知a>b>0，c<0，求证：bc a c >。

四、练习： 五、作业：课 题： 含有绝对值的不等式的证明 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b bab a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b bab a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。

数学选修45不等式选讲教学设计一、教学目标通过本次教学，让学生掌握以下知识和能力：1.理解不等式的概念及其表示方法；2.掌握一元一次不等式的解法；3.掌握二元一次不等式的解法；4.学会运用不等式解决实际问题；5.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重难点•重点：掌握不等式解法和应用方法；•难点：学会运用不等式解决实际问题。

三、教学过程1.引入不等式是中国古代数学中的一个重要概念，也是现代数学中的一个重要部分。

本次课程将围绕不等式的概念、解法和应用展开。

2.概念解释不等式是一种代数式，是通过不等于、小于、大于等符号连接起来的数的形式表达式。

例如：x>3上式中的“大于”符号表示x的取值范围大于3。

3.一元一次不等式的解法一元一次不等式是一个只含有一项的一次式不等于0的不等式。

例如：2x+1>5对于这种不等式，可以采用以下解法：•移项法；•变形法。

4.二元一次不等式的解法二元一次不等式是一个只含有两个变量的一次式不等于0的不等式。

例如：x+2y<6对于这种不等式，可以采用以下解法：•图形法；•代数法；5.应用举例不等式在许多实际问题中有着广泛的应用。

例如：•达到一定生产目标需要完成的任务数；•减肥的过程中需要控制的饮食热量；•经济发展中需要达到的增长目标等。

6.课堂练习这部分通过一些练习题的讲解来加深学生对不等式的掌握。

训练题的设计应紧密贴合所学内容。

7.课堂小结本课程主要介绍了不等式的概念、表示方法、一元一次不等式的解法、二元一次不等式的解法以及应用方法。

通过课堂实践，可以让学生更好地掌握不等式解决实际问题的能力，在数学以及其他学科中取得更好的成绩。

四、教学评价本课程主要用到了讲解和练习两种教学方法。

讲解方法可以帮助学生掌握概念和解法要点，练习则可以提高学生的运用能力。

考试成绩和出勤情况也是对教学效果的重要评价指标。

人教版高中选修4-5第二讲讲明不等式的基本方法教学设计教学目标1.了解不等式的概念和性质2.掌握不等式的求解方法3.能够灵活运用不等式解决实际问题4.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力教学内容本节课的教学内容为“不等式的基本方法”。

主要包括如下几个方面：1.不等式的概念和性质2.不等式的解法及其应用3.不等式在实际问题中的应用教学重难点本节课的教学重难点为：1.不等式的解法及其应用2.不等式在实际问题中的应用教学方法1.课堂讲解：通过教师的讲解，让学生了解不等式的概念和性质，并掌握不等式的求解方法。

2.练习演示：通过例题演示，让学生掌握不等式解法，并培养学生灵活运用不等式解决实际问题的能力。

3.探究式教学：通过让学生自主探究和发现，培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。

教学过程Step 1 引入新课1.教师针对“不等式的基本方法”这一主题，通过引入一些生活实例，激发学生学习的兴趣，进入主题。

2.介绍本节课的教学目标、内容和重难点。

Step 2 教学内容讲解1.首先，教师给出不等式的概念和性质，包括定义、分类、性质、意义等方面的内容。

2.然后，介绍不等式的求解方法，包括一元不等式的解法和二元不等式的解法。

3.最后，通过例题演示不等式在实际问题中的应用，如面积、周长、速率等问题。

Step 3 练习与探究1.学生自主完成若干道基础练习。

2.教师引导学生探究不等式的引理和定理，让学生自主发现不等式性质的规律和特点。

3.学生自主设计不等式应用题，通过小组或个人讨论解决问题。

Step 4 总结与拓展1.教师对本节课所学内容进行总结。

2.教师给出不等式在实际问题中的拓展应用，引导学生思考更为复杂、实用的问题，并进行实例演示。

3.学生相互检查，互相评价，提出建议和意见。

教学评估评估方式：小测验小测验内容：1.不等式的定义及分类。

2.一元不等式和二元不等式的解法。

3.不等式在实际问题中的应用。

教学反思1.通过采用探究式教学方法，学生的理解能力得到了很大的提高，在练习中学生也更加自主、自信。

选修45《不等式选讲》全册教案教案题目：不等式选讲一、教学内容：本教学内容为45《不等式选讲》，包含了不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。

二、教学目标：1.了解不等式的基本概念及性质；2.掌握不等式的解集表示法；3.掌握一元一次不等式的解法及简单应用；4.掌握一元二次不等式的解法及简单应用；5.掌握绝对值不等式的解法及简单应用；6.能够运用不等式解决实际问题。

三、教学重点和难点：教学重点：不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式和一元二次不等式的解法。

教学难点：绝对值不等式的解法及应用。

四、教学方法：1.经典讲解法：通过教师讲解不等式的概念、性质和解法，引导学生理解并掌握相关知识点。

2.讨论交流法：通过引导学生进行讨论和交流，培养学生合作解决问题的能力。

3.实践操作法：通过实际问题的解决，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。

五、教学过程：1.针对不等式的基本概念及性质，教师通过举例和讲解，引导学生了解不等式的含义和不等式的常见性质。

2.针对不等式的解集表示法，教师通过讲解和练习题，帮助学生掌握不等式解集表示法的方法和技巧。

3.针对一元一次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元一次不等式的解法和简单应用。

4.针对一元二次不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握一元二次不等式的解法和简单应用。

5.针对绝对值不等式，教师通过讲解和例题，引导学生掌握绝对值不等式的解法和简单应用。

6.针对不等式的应用，教师通过实际问题的讲解和解决，引导学生运用所学知识解决实际问题。

七、教学评价：通过小组合作解题、课堂讨论、平时作业和期末考试等方式进行综合评价，评估学生对不等式相关知识的掌握情况和能力提升情况。

八、教学资源：1.教材：《不等式选讲》教材；2.多媒体教学设备；3.相关练习题和考试题。

九、教学反思：本次教案设计以教材为基础，以培养学生的综合应用能力为目标，通过不同的教学方法和教学环节，使学生掌握不等式的基本概念及性质、不等式的解集表示法、一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和不等式的应用等主要内容。

人教版高中选修4-5第二讲讲明不等式的基本方法课程设计课程背景不等式作为数学中一个重要的概念，广泛应用于数学、物理等领域。

在高中阶段，学生需要逐渐学习不等式的相关知识并掌握其基本方法。

本课程设计旨在帮助学生系统化地学习不等式的基本方法。

教学目标1.理解不等式的概念；2.熟练掌握求解一次不等式的方法；3.熟练掌握绝对值不等式、二次不等式的求解方法；4.能够应用所学知识在数学中的实际问题中解决不等式相关问题。

教学重点1.不等式求解方法的掌握；2.绝对值不等式和二次不等式的求解方法。

教学难点1.对于复杂的不等式进行求解。

教学方法本课程设计采用教师讲授和学生自主探究的方式相结合。

在讲解不等式的基本概念和求解方法后，进行相应的练习和实例分析，引导学生巩固所学知识和掌握解题方法。

教学过程设计阶段一：导入新知识1.引导学生思考不等式的概念；2.讲解不等式的定义和符号表示。

阶段二：求解一次不等式1.讲解求解一次不等式的方法；2.引导学生通过习题进行巩固。

阶段三：绝对值不等式的求解1.讲解绝对值不等式的定义；2.讲解绝对值不等式的求解方法；3.引导学生通过练习掌握绝对值不等式的求解方法。

阶段四：二次不等式的求解1.讲解二次不等式的定义；2.讲解二次不等式的求解方法；3.引导学生通过习题进行巩固。

阶段五：应用实例分析1.引导学生通过实例分析将所学知识应用于实际问题的解决；2.引导学生探究不等式在数学中的应用。

阶段六：课堂评价通过自主练习和课堂讨论，进行学生能力的评价。

教学资源1.电子黑板；2.实例分析案例。

课后作业1.完成相应课后练习；2.总结所学知识；3.应用所学知识解决实际问题。

参考资料1.《高中数学(选修4~选修5)》人民教育出版社；2.《同步课堂》课外辅导资料。

选修4_5 不等式选讲课 题： 第11课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 三维目标： 重点难点： 教学设计： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i ni ini ib a ba ，其中等号当且仅当n n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-= 即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i ni i i ni i b x b a x a x f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

数学选修45不等式选讲教学设计教学目标本次教学的核心目标是梳理和讲解高中数学选修四、五阶段中关于不等式的基本知识点和常见解题思路，让学生掌握该领域中的常规算法，进一步提高数学思维和解题能力。

在具体的教学过程中，我们将通过讲解、习题演示、自主练习三个部分来达成教学目标。

具体的内容安排和教学策略会在下面的章节中逐一给出。

教学内容本次教学内容大致包括以下几个部分：•不等式的基本定义•不等式的基本性质•不等式的基本解法•常见解题思路教学步骤第一步：讲解讲解环节是本次教学的基本步骤，我们将通过简明易懂的语言，对不等式的基本知识点展开讲解，包括但不限于以下几点：不等式的基本定义在讲不等式的基本定义时，我们将强调在学习高中数学不等式知识点时，不等式的定义是最为基础且最重要的内容。

同时，我们还会指出，不等式定义中的“符号”是不等式学习中最核心的部分，是后面内容理解的基础。

不等式的基本性质在讲不等式的基本性质时，我们将重点强调以下几个方面：1.不等式的加、减、乘、除操作规律2.不等式的两边平方规律3.不等式的倒数规律4.不等式的反向性不等式的基本解法在讲不等式的基本解法时，我们将系统讲解以下几点：1.常规不等式的解法2.二次函数不等式的解法3.绝对值函数不等式的解法4.根号函数不等式的解法常见解题思路在讲常见解题思路时，我们将讲解一些常用的解题思路和技巧，包括但不限于以下几点：1.通过图像来理解不等式2.通过移项来理解不等式3.通过恒等变形来理解不等式第二步：习题演示通过习题演示，我们将重点呈现一些基础题和典型题，让学生感受到不等式知识点的实际应用和习题技巧。

本次习题演示的具体安排如下：1.基础题：从前几章的知识入手，给予学生足够的演示题量，帮助他们熟悉和掌握基础题解题思路。

2.典型题：挑选两到三道典型题，涉及不同类型的不等式，帮助学生理解和掌握不等式知识点的具体应用。

第三步：自主练习最后一个环节是自主练习，在自主练习环节，我们将配合教学案例和习题演示，提供足够的自主练习时间，让学生通过练习，巩固和提高对不等式知识点的理解和掌握程度。

选修4--5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、教材内容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。

回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。

通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。

其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。

这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。

本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。

数学选修45不等式选讲教学设计选修课程背景本课程是数学选修模块中的一个重要部分，旨在通过对不等式的深度探究和研究，帮助学生掌握不等式的基本性质、方法和应用，增强学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学目标本课程的教学目标主要有以下三项：1.掌握不等式的基本概念和基本性质。

2.掌握不等式的求解方法，并能够灵活运用。

3.掌握不等式在各种问题中的应用方法。

教学内容第一部分：不等式的基本概念和基本性质1.不等式的定义和表示方法。

2.不等式的基本性质及其证明。

3.不等式的常见类型和特殊形式。

第二部分：不等式的求解方法1.不等式的变形和化简。

2.不等式的分析法和代数法求解。

3.不等式的图像法和几何法求解。

第三部分：不等式在问题中的应用1.利用不等式解决实际问题。

2.利用不等式证明数学定理。

3.利用不等式进行数学游戏和思维拓展。

教学方法1.讲授法：通过板书、示例和解题过程，使学生理解不等式的定义、性质和求解方法。

2.练习法：通过习题解析和课堂练习，帮助学生巩固知识点，提高解题技巧和能力。

3.探究法：通过引导学生自主思考、探究不等式的性质和应用，提高学生的创新性和独立思考能力。

4.案例法：通过案例分析，让学生了解不等式在实际问题中的应用，培养学生的实际解决问题的能力。

教学评价1.写作评价：要求学生在课后完成一篇题目相关的论文或报告，对所学知识进行总结和归纳，并提出自己的思考和建议。

2.课堂测验：每节课结束时进行小测验，测试学生对所学知识的掌握情况和解题能力，并在下节课回顾和分析小测验，让学生真正理解知识点和解题技巧。

3.期末考试：期末考试主要考查学生对不等式知识的理解、运用和综合能力，包含理论分析和实际解题两部分。

教学资源1.教材：使用教育部最新出版的选修45数学教材，包含了不等式相关的所有知识点和例题。

2.资料：收集整理相关的教学资料和习题集，供学生参考和练习。

3.工具：利用计算机提供的各种工具和软件进行图像展示和数学计算，提高教学效率和趣味性。

数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。

六、教学方法手段
1、微视频教学，故事穿插。

2、
j
i B OA in,8 min,6 min,10 min,5 min ，那么如何安排
这5个和尚接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少，从而使得救火的效率最高？用排序不等式说明。

师生活动：
教师强调等待的总时间，学生讨论完成，学生分析如何构建数学模型并运用排序不等式解决问题。

（四）归纳小结
排序不等式—错误!
思想方法：
能力提升： 数学素养： 师生活动：
教师提问，学生总结。

现代数学教学论指出，教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，
教学中必须展
现思维的过程性，在这里，以生活中的问题创设情境，学生根据生活经验可以得出答案，但又无法作出合理的解释，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望。

通过情境创设，学生共同归纳总结排序原理的结论，培养学生由特
殊到一般，总结
事物规律的能
力。

数学教学论指
（五）作业布置
课时跟踪检测（十一）排序不等式（六）作诗一首出，数学概念（定理等）要明确其内涵和外
延（条件、结论、应用范围等），通过对常见类
型的几个重要
方面的阐述，使学生的认知结
构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次
突破思维的难点，所以教师提问学生回答概念，并且分解概念，使得学生记住其形式，理解其思想。

重做第二问，
让学生再次理
解概念。

观看微课，多种教学方式能够。

选修4_5 不等式选讲课 题： 第13课时 几个著名的不等式之三：平均不等式 三维目标： 重点难点： 教学设计： 一、引入：1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 强调取“=”的条件b a =。

2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++ 指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。

推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。

（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33a b cc b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式： ①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式： na a a n+++ 21≥nna a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

绝对值不等式的解法2教案时间：1课时课型：讲授为主、辅以讨论、探究.学习目标：1. 学习第一类绝对值不等c b x a <+||及c b x a >+||的解法；2. 学习第二类绝对值不等c b x a x <+++||||的解法.重难点：1.重点：利用等价性解第一类不等式，利用分区间讨论的方法解第二类不等式. 再研究数形结合、函数、等价转化等方法.2.难点：绝对值从运算到几何解释再到绝对值不等式性质运用都有难点，运用上就有障碍. 准备从分类、数形结合、函数、等价转化等方面突破难点.（下面填空及练习，可事前在导学案上做，然后讲评.）教学过程：一、 复习绝对值不等式的性质、运算与几何解释（一）复习绝对值不等式的性质：1.|x |≤a ⇔-a ≤|x |≤a2.|x |≥a ⇔x ≥a 或x ≤-a3.|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |（二）复习绝对值不等式的运算：1.⎩⎨⎧<≥==)0____()0____(|||-|x x x x ； 2.______||2=x ； 3.________||=ab ；4..____0}(||=≠b ba 等等. （三）复习几何解释1.|x |表示：在数轴上x 对应的点与原点的距离；2.||a x -表示：_________________________________________；3.)0(||≠-a b x a 表示：_________________________________________. 讨论去绝对值的方法与解上面不等式的关系(讨论后要有中心发言人)二、 去不等式里的绝对值，通常有1._______________；2._________________________________________________________.利用上面思考，填空回答：解c b ax <+||与c b ax >+||通常采用_____________的方法；解c b x a x <+++||||通常采用________________的方法.三、 利用绝对值不等式的性质及运算求解问题1.|x +2|>3; 问题2.|2x -1|<5.四、 利用数形结合、函数法等求解问题3.|x +1|+|x -3|<6（根据导学案做的情况，多人展示）五、 讨论下面等价关系的真实性，并证明. 如何利用它求解第二类不等式. 对于⎩⎨⎧≤≤⇔≤++c b c a c b a b a |||||2-||2|. 的真实性进行讨论直至证明. (讨论后要有中心发言人)问题4.求解：|2x -1|+|x +3|<5.（根据导学案做的情况，多人展示）六、 练习：求解：1.|3x +5|<7；2.|x -1|+|x +3|<6；3.|x -1|+|x +3|≥6；4.|x -3+|x -2|>3x -15.|x +3|-|x -2|>2（导学案中这个内容可适度少一些，以备做当堂训练后展示）七、 归结出上不等式的解法：1.|ax +b |<c ⇔-c <ax +b <c ；2.|ax +b |>c ⇔ax +b <-c 或ax +b >c ；3.|x +a |+|x +b |<c 主要解法有：（1）__________________；（2）___________________；（3）__________________；(4)_____________________. 等等.八、 拓展训练：已知函数.|1|2|1|)(a x x x f --++=（I ）若1=a ，求不等式2)(+>x x f 的解集；（II ）若不等式)2()(+≤x a x f 的解集为非空集合，求a 的取值范围.九、 课堂小结：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ （小结可以指定中心发言人）十、 作业布置：1. 求解：（1）7|32|<-x ；（2）3|12|≥+x ；（3）5|13||12|<-++x x .2. 设函数.|2||1|)(-+-=x x x f（I ）求证：1)(≥x f ；（II ）12)(22++=a a x f 成立，求x 的取值范围.。

选修4－5不等式选讲全国卷错误!年考情图解高考命题规律把握高考对本章考查主要有以下两个方面：1绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点；2绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合第一节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立❶定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当a－bb－c≥0时，等号成立2绝对值不等式的解法1含绝对值不等式||＜a与||＞a的解法：不等式a＞0a＝0a＜0||＜a 错误!∅∅||＞a {|＞a或＜－a}{|∈R且≠0}R2|a＋b|≤cc＞0和|a①|a＋b|≤c⇔－c≤a＋b≤c；②|a＋b|≥c⇔a＋b≥c或a＋b≤－c3|－a|＋|－b|≥cc＞0和|－a|＋|－b|≤cc＞0型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想1等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大小值时，应特别注意2定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0分区间讨论时，要注意以下两点：1不要把分成的区间的端点遗漏2原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集[熟记常用结论]错误![小题查验基础]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若||＞c的解集为R，则c≤02不等式|－1|＋|＋2|＜2的解集为∅3对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立4对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立答案：1×2√3×4×二、选填题，b为满足ab＜0的实数，那么A|a＋b|＞|a－b|B|a＋b|＜|a－b|C|a－b|＜||a|－|b|| D|a－b|＜|a|＋|b|解析：选B∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|2不等式3≤|5－2|＜9的解集为A[－2,1∪[4,7 B－2,1]∪4,7]C－2，－1]∪[4,7 D－2,1]∪[4,7解析：选D由题意得错误!即错误!解得错误!不等式的解集为－2,1]∪[4,73不等式|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，则a＋b的值为A－2 B2C8 D－8解析：选C∵|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，∴b＞0，由|2－a|＜b，得－b＜2－a＜b，即错误!＜＜错误!∴错误!＝4，∴a＋b＝8，故选C4不等式|＋1|－|－2|≥1的解集是________解析：令f＝|＋1|－|－2|＝错误!当－1＜＜2时，由2－1≥1，解得1≤＜≥2时，f＝3＞错误!答案：错误!＝|－4|＋|＋4|的最小值为________解析：因为|－4|＋|＋4|≥|－4－＋4|＝8，所以所求函数的最小值为8答案：8考点一绝对值不等式的解法[师生共研过关][典例精析]2021·洛阳第一次统考已知函数f＝错误!|－a|a∈R1当a＝2时，解不等式错误!＋f≥1；2设不等式错误!＋f≤的解集为M，若错误!⊆M，求实数a的取值范围[解]1当a＝2时，原不等式可化为|3－1|＋|－2|≥3①当≤错误!时，原不等式可化为－3＋1＋2－≥3，解得≤0，所以≤0；②当错误!＜＜2时，原不等式可化为3－1＋2－≥3，解得≥1，所以1≤＜2；③当≥2时，原不等式可化为3－1＋－2≥3，解得≥错误!，所以≥2综上所述，当a＝2时，原不等式的解集为{|≤0或≥1}2不等式错误!＋f≤可化为|3－1|＋|－a|≤3，依题意知不等式|3－1|＋|－a|≤3在错误!上恒成立，所以3－1＋|－a|≤3，即|－a|≤1，即a－1≤≤a＋1，所以错误!解得－错误!≤a≤错误!，故所求实数a的取值范围是错误![解题技法]解绝对值不等式的常用方法基本性质法对a∈R＋，||＜a⇔－a＜＜a，||＞a⇔＜－a或＞a平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解[过关训练]已知函数f＝|＋1|－|2－3|1画出＝f的图象；2求不等式|f|＞1的解集解：1由题意得f＝错误!故＝f的图象如图所示2由f的表达式及图象可知，当f＝1时，可得＝1或＝3；当f＝－1时，可得＝错误!或＝5，故f＞1的解集为{|1＜＜3}；f＜－1的解集为错误!所以|f|＞1的解集为错误!考点二绝对值不等式性质的应用[师生共研过关][典例精析] 2021·银川模拟设函数f＝2－－15，且|－a|＜11解不等式|f|＞52求证：|f－fa|＜2|a|＋1[解]1因为|2－－15|＞5，所以2－－15＜－5或2－－15＞5，即2－－10＜0或2－－2021，解得错误!＜＜错误!或＜－4或＞5，所以不等式|f|＞5的解集为错误!2证明：因为|－a|＜1，所以|f－fa|＝|2－－15－a2－a－15|＝|－a＋a－1|＝|－a|·|＋a－1|＜1·|＋a－1|＝|－a＋2a－1|≤|－a|＋|2a－1|＜1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2|a|＋1，即|f－fa|＜2|a|＋1[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b∈R，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式[过关训练]若对于实数，有|1－|≤2，|＋1|≤1，求|2＋3＋1|的最大值解：因为|2＋3＋1|＝|2－1＋3＋1|≤2|－1|＋3|＋1|≤7，所以|2＋3＋1|的最大值为7考点三含绝对值不等式的综合问题[师生共研过关][例1]2021·辽宁五校联合体模拟已知函数f＝|－a|＋|2－a|a∈R1若f1＜11，求a的取值范围；2若∀a∈R，f≥2－－3恒成立，求的取值范围[解]1f1＝|1－a|＋|2－a|＝错误!当a≤1时，3－2a＜11，解得a＞－4，∴－4＜a≤1；当1＜a＜2时，1＜11恒成立；当a≥2时，2a－3＜11，解得a＜7，∴2≤a＜7综上，a的取值范围是－4,72∵∀a∈R，f≥2－－3恒成立，又f＝|－a|＋|2－a|≥|－a－2－a|＝||，∴||≥2－－3，∴错误!或错误!解得0≤≤3或－错误!≤＜0，∴的取值范围是[－错误!，3][例2]2021·南昌模拟设函数f＝|2＋3|＋|－1|1解不等式f＞4；2若存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立，求实数a的取值范围[解]1由已知，得f＝错误!∴f＞4⇔错误!或错误!或错误!⇔＜－2或0＜≤1或＞1综上，不等式f＞4的解集为－∞，－2∪0，＋∞2存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立⇔a＋1＞f min，∈错误!由1得，∈错误!时，f＝＋4，f min＝错误!，∴a＋1＞错误!，∴a＞错误!，∴实数a的取值范围为错误![解题技法]1含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法1分离参数法：运用“f≤a⇔f ma≤a，f≥a⇔f min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题求最值的3种方法：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值2更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法3数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题2不等式能成立问题1在区间D上存在实数使不等式f＞A成立，等价于在区间D上f ma＞A；2在区间D上存在实数使不等式f＜B成立，等价于在区间D上f min＜B3不等式恰成立问题1不等式f＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f＞A的解集为D；2不等式f＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f＜B的解集为D[过关训练]12021·惠州第一次调研已知函数f＝|2－1|＋|＋1|，g＝|－a|＋|＋a|1解不等式f＞9；2若∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，求实数a的取值范围解：1f＝错误!f＞9等价于错误!或错误!或错误!解得＞3或＜－3，所以原不等式的解集为{|＞3或＜－3}2∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，等价于f min≥g min因为g＝|－a|＋|＋a|≥2|a|，由1知f≥f 错误!＝错误!，所以2|a|≤错误!，解得－错误!≤a≤错误!，所以实数a的取值范围是错误!22021·全国卷Ⅰ已知函数f＝－2＋a＋4，g＝|＋1|＋|－1|1当a＝1时，求不等式f≥g的解集；2若不等式f≥g的解集包含[－1,1]，求a的取值范围解：1当a＝1时，不等式f≥g等价于2－＋|＋1|＋|－1|－4≤0①当＜－1时，①式化为2－3－4≤0，无解；当－1≤≤1时，①式化为2－－2≤0，从而－1≤≤1；当＞1时，①式化为2＋－4≤0，从而1＜≤错误!所以f≥g的解集为错误!2当∈[－1,1]时，g＝2所以f≥g的解集包含[－1,1]，等价于当∈[－1,1]时，f≥2又f在[－1,1]的最小值必为f－1与f1之一，所以f－1≥2且f1≥2，得－1≤a≤1 所以a的取值范围为[－1,1]错误! 12021·沈阳模拟已知函数f＝|－1|＋|－a|1若函数f的值域为[2，＋∞，求实数a的值；2若f2－a≥f2，求实数a的取值范围解：1∵|－1|＋|－a|≥|－1－－a|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－12由f2－a≥f2，得3|a－1|－|a－2|≥1，则错误!或错误!或错误!解得a≤0或错误!≤a≤2或a＞2，综上，实数a的取值范围是－∞，0]∪错误!＝|2＋3|－|2－1|1求不等式f＜2的解集；2若存在∈R，使得f＞|3a－2|成立，求实数a的取值范围解：1不等式f＜2等价于错误!或错误!或错误!解得＜－错误!或－错误!≤＜0，∴不等式f＜2的解集是－∞，02∵f≤|2＋3－2－1|＝4，∴f ma＝4，∴|3a－2|＜4，解得－错误!＜a＜2，∴实数a的取值范围是错误!32021·成都模拟已知函数f＝|－2|＋|＋1|，∈R1当＝1时，若不等式f＜4的解集为{|1＜＜2}，求1＋2的值；2当∈R时，若关于的不等式f≥恒成立，求的最大值解：1由题意，得|－2|＋|＋1|＜4当＞2时，原不等式可化为2＜5，∴2＜＜错误!；当＜－1时，原不等式可化为－2＜3，∴－错误!＜＜－1；当－1≤≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤≤2综上，原不等式的解集为错误!，即1＝－错误!，2＝错误!∴1＋2＝12由题意，得|－2|＋|＋1|≥在∈R上恒成立，则当＝2时，不等式3≥成立，∴≥0①当≤－2或≥0时，∵|＋1|≥1，∴不等式|－2|＋|＋1|≥恒成立②当－2＜≤－1时，原不等式可化为2－－－≥，可得≤错误!＝－1＋错误!，∴≤3③当－1＜＜0时，原不等式可化为2－＋＋≥，可得≤1－错误!，∴＜3综上，可得0≤≤3，即的最大值为342021·全国卷Ⅰ已知f＝|＋1|－|a－1|1当a＝1时，求不等式f＞1的解集；2若∈0,1时不等式f＞成立，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝|＋1|－|－1|，即f＝错误!故不等式f＞1的解集为错误!2当∈0,1时|＋1|－|a－1|＞成立，等价于当∈0,1时|a－1|＜1成立若a≤0，则当∈0,1时，|a－1|≥1，不满足题意；若a＞0，则|a－1|＜1的解集为错误!，所以错误!≥1，故0＜a≤2综上，a的取值范围为0,2]52021·甘肃第二次诊断检测设函数f＝|－3|，g＝|－2|1解不等式f＋g＜2；2对于实数，，若f≤1，g≤1，证明：|－2＋1|≤3解：1解不等式|－3|＋|－2|＜2①当＜2时，原不等式可化为3－＋2－＜2，可得＞错误!，所以错误!＜＜2②当2≤≤3时，原不等式可化为3－＋－2＜2，可得1＜2，所以2≤≤3③当＞3时，原不等式可化为－3＋－2＜2，可得＜错误!，所以3＜＜错误!综上，不等式f＋g＜2的解集为错误!2证明：|－2＋1|＝|－3－2－2|≤|－3|＋2|－2|≤1＋2＝3，当且仅当错误!或错误!时等号成立＝5－|＋a|－|－2|1当a＝1时，求不等式f≥0的解集；2若f≤1，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝错误!。