山东省平邑县高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.1 指数与指数幂的运算(1)导学案(无答案)

人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一)指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0n=0。

注意：(1)()nnaa

(2）当 n是奇数时，nnaa ，当 n是偶数时,,0||,0nnaaaaaa

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义,规定：(0,,,1)mnmnaaamnNn且

正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)mnmnaamnNna且

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）(0,,)rsrsaaaarsR

（2）()(0,,)rsrsaaarsR

（3)(b)(0,0,)rrraababrR

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(12)]1221而应=

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地,函数xya 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1

2、指数函数的图象和性质

01

图

像

定义域R ， 值域（0，+∞)

（1)过定点（0,1），即x=0时，y=1

性质 (2）在R上是减函数 (2)在R上是增函数

（3）当x〉0时，0

当x<0时，y>1 （3）当x>0时,y>1;

当x<0时，0〈y〈1

图象特征 函数性质

共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R

函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+

图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数

函数图象都过定点(0，1) 过定点(0，1）

0〈a<1 自左向右看，图象逐渐下降 减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x〉0时,0〈y〈1;

在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x〈0时，y>1

2.1.2 指数函数及其性质

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知识·巧学·升华

一、指数函数及其性质

1.指数函数的定义

一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1，x∈R）叫做指数函数，其中x是自变量.

由于当a=0时，若x＞0，ax恒等于0；若x≤0，ax无意义.

当a＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在.

当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a＞0且a≠1.

只有形如y=ax（a＞0且a≠1）且定义域为R的函数，才是指数函数，又如y=3·2x，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.

要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a＞0且a≠1的情况下，对任意一个x都有唯一确定的值y与它对应，所以x是任意实数.

2.指数函数的图象和性质

（1）下面先画指数函数y=2x及y=0.5x图象

列出x,y的对应值表，用描点法化出图象：

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8

y=0.5x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.13

要点提示 函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称.

（2）指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1 0＜a＜1

图象

性质 ①定义域：R

②值域：（0，+∞）

③过点（0，1），即x=0时，y=1

④在R上是增函数，

当x＜0时，0＜y＜1；

当x＞0时，y＞1 ④在R上是减函数，

当x＜0时，y＞1；

当x＞0时，0＜y＜1

指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等． 指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数．

1 【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数（I）2.1.1.2 指数幂及运算课时作业 新人教版必修1

1.已知am＝4，an＝3，则am－2n的值为( )

A.23 B.6 C.32 D.2

解析 am－2n＝am（an）2＝49＝23.

答案 A

2.如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于(

)

A.x＋1x－1 B.x＋1x C.x－1x＋1 D.xx－1

解析 由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋12b＝1＋1x－1＝xx－1.

答案

D

3.化简(36a9)4(63a9)4的结果为( )

A.a16 B.a8 C.a4 D.a2

解析 (36a9)4(63a9)4＝3a9646a934＝a124a124＝a4.

答案 C

4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________.

解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8.

答案 8

5.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______.

①－x＝(－x)12 (x≠0)；②x－13＝－3x；

③xy－34＝4yx3(x，y≠0)；④4b－32－23＝b19.

解析 ①不正确，∵－x＝－x12； 2 ②不正确，∵x－13＝13x；

③正确，∵xy－34＝yx43＝4yx3；

④不正确，∵b≠0时，4b－23－23＝b19.

答案 ③

6.计算下列各式的值或化简：

(1)(0.027)13－61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；

(2)化简：44x－34x·13y÷－63y2x.

解 (1)原式＝[(0.3)3]13－52212＋(44) 34＋23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715.

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

本章概述

函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础.

学生在初中已经初步接受了函数的知识，掌握了一些简单函数的表示方法、性质和图象，本章在初中学习的基础上，继续系统学习函数知识，培养学生应用函数知识的意识，并对后续选修课程中要涉及的函数知识打下良好的基础.本章在学生学习函数知识的过程中是一个重要的环节.

一、课标要求

1.函数的概念和图象

(1)学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.

(2)了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

(3)结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.

(4)通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物，了解生活中的函数实例.

2.基本初等函数

(1)了解指数函数模型的实际背景.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.

(2)理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).