2020版高中数学第3章不等式3.1不等关系与不等式第2课时不等式性质的应用课件新人教A版必修5

④因为 x，y∈R，xy＜0，所以xy＋xy＝－－xy＋－xy≤－2 －xy－xy＝－2.
其中正确推导过程的序号为________．
【解析】 从基本不等式成立的条件考虑． ①因为 a，b∈(0，＋∞)，所以ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不 等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然 x，y∈(0，＋∞)，但当 x∈(0，1)时，lg x 是负数，当 y∈(0， 1)时，lg y 是负数，所以②的推导过程是错误的；
1．当 a，b∈R 时，下列不等关系成立的是( )
A.a＋2 b≥ ab
B．a－b≥2 ab
C．a2＋b2≥2ab
D．a2－b2≥2ab
答案：C
2．四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则( )
a＋d A. 2 > bc
B．a＋2 d< bc
C.a＋2 d＝ bc
D．a＋2 d≤ bc
解析：选 A.因为 a，b，c，d 是不相等的正数且成等差数列，
(2)因为 x＞0，y＞0，z＞0，且 x＋y＋z＝1， 所以1x＋4y＋9z ＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ＝14＋xy＋4yx＋xz＋9zx＋4yz＋9zy ≥14＋2 xy·4yx＋2 xz·9zx＋2· 4yz·9zy＝14＋4＋6＋12＝ 36.
(3)两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”， 因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积 式”化为“和式”的放缩功能．
利用基本不等式比较大小 已知 0＜a＜1，0＜b＜1，则 a＋b，2 ab，a2＋b2，2ab 中哪一个最大？ 【解】 因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b≥2 ab，a2＋b2≥2ab， 所以四个数中最大数应为 a＋b 或 a2＋b2. 又因为 0＜a＜1，0＜b＜1， 所以 a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)＜0，所 以 a2＋b2＜a＋b，所以 a＋b 最大．

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________． 答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级 能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。

3.比较x2+5x+6与2x2+5x+9的大小. 【解析】因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3≥3. 所以x2+5x+6<2x2+5x+9.
类型一 用不等式组表示不等关系 【典例1】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7 辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至 少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可 往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述 所有不等关系的不等式.
【解析】由题可知,x,y应满足的不等关系式为:
x 1，
y 3
x
1
， 5y
2 0，
5
x
4y
25，
x , y N .
类型二 比较数(式)的大小
【典例2】(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,
c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a<b≤c
B.b≤c<a
要同时满足上述三个不等关系,可以用下面的不等式
组来表示:
xy9，
xy9，
100x6x46，8y360， 即50xx4y4， 30，
0y7，
0y7.
【方法总结】将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示.
【跟踪训练】 某年夏天,我国遭受特大洪灾,灾区学生小李家中经济 发生困难,为帮助小李解决开学费用问题,小李所在班 级学生(除小李外)决定承担这笔费用.若每人承担12元 人民币,则多余84元;若每人承担10元,则不够;若每人 承担11元,又多出40元以上.设该班(除小李外)共有x人, 这笔开学费用共y元,请列出x,y应满足的不等式组.

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(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题：在用 不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质 的量才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间 不能用不等式(组)来表示．
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[变式训练] 用不等式表示下列关系： (1)x 为非负数； (2)x 为实数，而且大于 1 不大于 6； (3)x 与 y 的平方和不小于 2，而且不大于 10. 解：(1)x 为非负数，表示为不等式 x≥0；
b≤d.
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类型 4 求取值范围(因忽视性质成立的条件致误) [典例 4] 设 f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤ f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围． 解：法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系 数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
解：因为 a－1a＝a2－a 1＝（a－1）a（a＋1），
当
a＜－1
（a－1）（a＋1）
时，
a
＜0，有
a＜1a；
当
a＝－1
（a－1）（a＋1）
时，
a
＝0，有
a＝1a；
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当－1＜a＜0 时，
（a－1）（a＋1）
a
＞0，有
a＞1a.
综上，当 a＜－1 时，a＜1a；
当 a＝－1 时，a＝1a；
A．(a－b)a2＜0 B．a2＜b2
C.1a＞1b
D．ac＜bc
(2)若 a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：（a－e c）2＞
e （b－d）2.
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(1)解析：对于 A 项，显然 a2＞0，必有 a＜b；对于 B 项，a2＜b2⇔|a|＜|b|，当 a，b 均为负值时，有 a＞b；对 于 C 项，若 a＞0，b＜0，有1a＞1b，但不能推出 a＜b；对 于 D 项，若 c＜0，显然有 a＞b.