不等式的基本性质知识点

高中基本不等式基础知识点
1. 不等式的基本概念：
不等式是一种数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。

它由两个数和一个不等号组成，如：a>b，表示a大于b。

2. 不等式的性质：
（1）交换律：如果a>b，则b<a；
（2）结合律：如果a>b，c>d，则a+c>b+d；
（3）分配律：如果a>b，c>0，则ac>bc；
（4）反转律：如果a>b，则1/a<1/b。

3. 不等式的解法：
（1）求解一元一次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后比较结果，即可得出解。

（2）求解一元二次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后求出不等式的两个根，再比较结果，即可得出解。

4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。

（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。

）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。

）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。

数学必修一不等式知识点一、不等式的基本性质。

1. 对称性。

- 如果a > b，那么b < a；如果a < b，那么b > a。

2. 传递性。

- 如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法法则。

- 如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论：如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法法则。

- 如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论：如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 乘方法则：如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 开方法则：如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈ N,n≥slant2)。

二、一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 求解一元二次不等式的步骤（以ax^2+bx + c>0(a>0)为例）- 先求出一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根（判别式Δ=b^2-4ac）。

- 当Δ>0时，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，不等式的解集为{xx < x_1或x>x_2}。

- 当Δ = 0时，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0，不等式的解集为{xx≠ x_0}。

- 当Δ<0时，方程ax^2+bx + c = 0无实根，不等式ax^2+bx + c>0的解集为R。

- 对于ax^2+bx + c < 0(a>0)的情况，当Δ>0时，解集为{xx_1；当Δ = 0时，解集为varnothing；当Δ<0时，解集为varnothing。

高考数学知识点不等式的基本性质详解不等式的调查在高考中从未消逝，以下是不等式的基本性质详解，请参考。

不等式的基本性质
1.不等式的定义：a-bb,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟习的知识背景，来看法作差法比大小的实际基础是不等式的性质。

作差后，为判别差的符号，需求分解因式，以便运用实数运算的符号法那么。

2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两局部。

不等式基本性质有：
(1)abb
(2)acac(传递性)
(3)ab+c(cR)
(4)c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1)ada+cb+d。

(2)a0,c0acbd。

(3)a0anbn(nN,n1)。

(4)a0N,n1)。

应留意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。

普通地，证明不等式就是从条件动身实施一系列的推出变换。

解不等式就是实施一系列的等价变换。

因此，要正确了解和运用不等式性质。

②关于不等式的性质的调查，主要有以下三类效果：
(1)依据给定的不等式条件，应用不等式的性质，判别不等式能否成立。

(2)应用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判别实数值的大小。

(3)应用不等式的性质，判别不等式变换中条件与结论间的充沛或必要关系。

以上为大家分享的不等式的基本性质详解希望大家可以熟练运用。

高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。

不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。

例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。

二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。

1.对称性：如果x > y，则y < x。

这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。

2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。

3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。

1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。

我们可以通过作差来比较两个数的大小。

2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。

我们可以通过作商来比较两个数的大小。

3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。

我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。

平均不等式常用于综合法的标度。

分析方法:不等式两边的关系不够清晰。

通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。

同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。

关于不等式的基本性质的高考数学知识点总结不等式是数学中非常重要的概念之一，它在数学的各个领域和实际问题中有着广泛的应用。

在高考数学中，不等式也是一个考查频率较高的知识点。

下面是对不等式的基本性质的总结：1.不等关系性质不等关系具有自反性、对称性、传递性。

即对任意实数a，b，有：自反性：a≥a，a≤a对称性：如果a≥b，则b≤a；如果a≤b，则b≥a传递性：如果a≥b，b≥c，则a≥c；如果a≤b，b≤c，则a≤c2.加减性质对于不等式a<b和任意实数c，有：a+c<b+ca-c<b-c3.乘除性质(1)正数乘除：对于不等式a<b，如果c是正数，则有：正数乘性：ac < bc正数除性：如果c是正数且c≠0，则有：a/c<b/c(2)负数乘除：对于不等式a<b，如果c是负数，则有：负数乘性：ac > bc负数除性：如果c是负数且c≠0，则有：a/c>b/c(3)双边不等式乘除：对于不等式a<b和任意非零实数c，有：a/c<b/c（当c>0时）a/c>b/c（当c<0时）4.基本不等式基本不等式是指在特定条件下，可以将不等式简化为更为简单形式的不等式。

(1)三角形不等式：对于三角形的三边长a，b，c，有：a+b>ca+c>bb+c>a(2) 平均值不等式：对于任意n个非负实数a1，a2，...，an，有：平均值不等式：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)5.同向不等式同向不等式的性质和解法与等式类似。

对于同向不等式，如果对不等号两边同时乘除以同一个正数，或者对不等号两边同时乘除以同一个负数，则不等号方向不变。

例如，对于不等式2x+1<3x-2，可以同时减去2x，得到1<-2x-2，再同时减去1，得到0<-2x-3，再同时乘以(-1/2)，得到0>(2x+3)/2，最后反转不等号得到(2x+3)/2<0。

根据不等式的基本性质知识点不等式是描述数值之间关系的数学工具，与等式不同，不等式中允许存在不等关系，如大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。

不等式的基本性质是指不等式在各种操作下的性质和变化规律。

一、基本性质之加减性质：1.加减同一个数：如果在不等式两边同时增加或减去同一个数，不等关系不变。

例如：若a>b，则a+c>b+c；若a<b，则a+c<b+c；其中c为任意数。

2.乘除同一个正数：如果不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等关系不变。

例如：若a > b，则ac > bc；若a < b，则ac < bc；其中c为任意正数。

3.乘除同一个负数：如果不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等关系改变。

例如：若a > b，则ac < bc；若a < b，则ac > bc；其中c为任意负数。

二、基本性质之逆性质与保持性质：1.不等式的逆性质：将不等式的两边互换，则不等关系也要互换。

例如：若a>b，则b<a；若a<b，则b>a。

2.不等式的保持性质：不等式两边同时加（或减）一个正数时，不等关系保持不变；不等式两边同时加（或减）一个负数时，不等关系改变。

例如：若a>b，则a+c>b+c（其中c>0）；若a<b，则a+c<b+c（其中c>0）；若a>b，则a+c<b+c（其中c<0）；若a<b，则a+c>b+c（其中c<0）。

三、基本性质之积性质：1. 同号相乘：如果a > b，c > 0，则ac > bc；如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a > b，c < 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。

基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│§06. 不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：<-⇔ab=⇔⇔>>-=-a<;0b;.babababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a⇔>（对称性）bba<（2）c⇒>>,（传递性）a>bcba（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bcac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；○1如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.○2 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x ax a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,bababaRba+≤±≤-∈则、若4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，222(22a b a bab++≤≤（当a = b时，222(22a b a bab++==）),,,(332222时取等cbaRcbacbacba==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...nnaaanaaa+++≥+++注：例如：22222()()()ac bd a b c d+≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nn n n n n n n n n-==-≥++--1)n==≥（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa====+++++++≤++++∈∈332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f xf f++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩（3）无理不等式：转化为有理不等式求解()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域1 ⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ○2○3（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；○1○2应用化归思想等价转化○3⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x +=+≥与同号，故取等。

不 等 式1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有： 1对称性：a>b ⇔b<a ；2传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； 3可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；4可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

5同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； 6异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. 7正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

8乘方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n nb a >；9开方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n n b a >；10倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

2、绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}； ｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-3、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解法.： 一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,因而可以总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).一元二次方程的解的讨论0>∆0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅5、整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 6、分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f7、含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. （1）ax a a a x <<-⇔><)0(；（2）ax a x a a x >-<⇔>>或)0(；（3）ax f a a a x f <<-⇔><)()0()(；（4）a x f a x f a a x f >-<⇔>>)()()0()(或；（5）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<；（6）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f >-<⇔>或；（7）ax b b x a a b b x a -≤≤-≤≤⇔>>≤≤或)0(；（8）⎪⎩⎪⎨⎧≠<⇔⎩⎨⎧≠<⇔><0)(])([)(0)()()()0()()(22x g x g a x f x g x g a x f a a x g x f 。

不等式知识点总结1、不等式的基本性质①对称性a b b a >⇔> ②传递性,a b b c a c >>⇒> ③可加性a b a c b c >⇔+>+ 同向可加性d b c a d c b a +>+⇒>>,异向可减性d b c a d c b a ->-⇒<>,④可积性bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,⑤同向正数可乘性0,0a b c d ac bd >>>>⇒> 异向正数可除性0,0a b a b c d cd>><<⇒>⑥平方法则0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦开方法则0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧倒数法则ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,当且仅当a b =时取""=号. 变形公式：22.2a b ab +≤②基本不等式2a b+≥()a b R +∈，,当且仅当a b =时取到等号.变形公式： a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时积定和最小,和定积最大,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③三个正数的算术—几何平均不等式3()a b c R +∈、、当且仅当a b c ==时取到等号.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，当且仅当a b c ==时取到等号.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>当且仅当a b c ==时取到等号.⑥0,2b a ab a b >+≥若则当仅当a=b 时取等号0,2b aab a b<+≤-若则当仅当a=b 时取等号 ⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大,大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或 22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：112a b a b --+≤+()a b R +∈，,当且仅当a b =时取""=号.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量,则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使k αβ=时,等号成立.⑧排序不等式排序原理：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列,则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++反序和≤乱序和≤顺序和当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时,反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:特例:凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称fx 为凸或凹函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法作差,作商法、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项,如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大缩小,如211,(1)kk k <-211,(1)k k k >+==<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿奇穿偶切,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ <≤“或”时同理规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ 2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时,()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法,其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数或恒成立的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数或恒成立的条件是： ①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥。

基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。

在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。

本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。

一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。

二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。

2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。

3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。

4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。

5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。

若c ≤ 0，则ac ≥ bc。

6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。

若 c < 0，则a/c ≥ b/c。

三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。

该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。

柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。

该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。

3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>；（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。

特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④ba b a 11,0<<<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______ ； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ ；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法 ；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

不等式知识点归纳1.不等式的基本性质不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质； 在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． （1）a b b a <⇔>对称性 （2）c a c b b a >⇒>>,传递性（3）c b c a b a+>+⇒>加法单调性（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加 （5）d b c a d c b a->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,. 或 c b c a >（乘法单调性）（7）bc ac c b a <⇒<>0, 或 c bca <（8）bd ac d c b a>⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a ba b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n且平方法则（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b an n 且开方法则倒数性质①a>b,ab>0.11b a <⇒②a<0<b.11b a <⇒③a>b>0,0<c<d.d b c a >⇒ ④0<a<x<b 或a<x<b<0.a x b 111<<⇒ 有关分数的性质:若a>b>0,m>0,则①真分数的性质： ②假分数的性质：).(;0>--->++<m b m a mb a b m a m b a b ).(;0>---<++>m b m b m a b a m b m a b a比例的几个性质①比例基本性质：；②反比定理：；③更比定理：；④合比定理；；⑤分比定理：；⑥合分比定理：；⑦分合比定理：；⑧等比定理：若，，则.①，则.【说明】：（，糖水的浓度问题）.【拓展】：.②，，则；2.比较大小：分类讨论1.作差比较法；2.作商比较法（常用于指数式或均为正数的两式）.（1）作差法步骤：作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小.（2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的. 1．比较法(1)作差比较法①理论依据：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔a －b ＜0.②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b ＞0，ab ＞1⇒a ＞b ；b ＜0，ab ＞1⇒a ＜b .②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2.平方法、开方法、倒数法等3.用同向不等式求差的范围.c b y xd a cy d bx a d y c b x a -<-<-⇒⎩⎨⎧-<-<-<<⇒⎩⎨⎧<<<<4.倒数关系在不等式中的作用..110;110b a b a ab b a b a ab >⇒⎩⎨⎧<><⇒⎩⎨⎧>>5．不等式的解法： 注意“系数化正”附：化归方法在不等式中的具体运用：（1）异向化同向；（2）负数化正数；（3）减式化加式；（4）除式化乘式；（5）多项化少项；（6）高次化低次．注:1.求不等式的解集、定义域及值域时，结果一定要用集合或区间表示，不能用不等式表示． 2.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即ａ＞ｂ＞ｏ，ａ＜ｂ＜ｏ．解不等式应遵守的原则：1.凡是x的系数为负数的因式首先要[ 即标准式]2.分式不等式不能两边同乘上公分母而约去分母，只能移项通分。

不等式的基本性质知识点不等式的基本性质知识点1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x3为单增函数，设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2，f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+)2+x22]再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。

2．不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1) a>b b<a (对称性)(2) a>b, b>c a>c (传递性)(3) a>b a+c>b+c (c∈R)(4) c>0时，a>b ac>bcc<0时，a>b ac<bc。

运算性质有：(1) a>b, c>d a+c>b+d。

(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。

(3) a>b>0a n>b n(n∈N, n>1)。

(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。