等式性质与不等式性质 高中数学教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模) 3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理) 【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时 不等关系与比较大小必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号<，>，______，______或≠. (2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“a b ≤”的含义是什么？只有当“a b <”与“a b =”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a b ≤应读作“a 小于或者等于b ”，其含义是指“a b <或者a b =”，等价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确． 知识点2 比较两实数a ，b 大小的依据00a b a b a b ->⎧⎪-<⎨⎪-=⎩如果依据如果如果比较两实数a ，b 的大小⎩⎪⎨⎪⎧依据⎩⎪⎨⎪⎧如果a －b>0，那么________如果a －b<0，那么________如果a －b ＝0，那么________结论：确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只 需确定它们的差a －b 与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a ，b 大小的依据中，a ，b 两数是任意实数吗？ (2)若“0b a ->”，则a ，b 的大小关系是怎样的？ 提示：(1)是 (2)b a > 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式2x ≥的含义是指x 不小于2.( ) (2)若20x ＝，则0x ≥.( ) (3)若10x -≤，则1x <.( )(4)两个实数a ，b 之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种．( ) [解析] (1)不等式2x ≥表示2x >或2x ＝，即x 不小于2. (2)若20x =，则0x =，所以0x ≥成立． (3)若10x -≤，则1x <或者1x =，即1x ≤.(4)任意两数之间，有且只有a b >，a b =，a b <三种关系中的一种，没有其他大小关系． 2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．40T <B ．40T >C ．40T ≤D ．40T ≥3．已知1x <，则22x +与3x 的大小关系为_____________.关键能力·攻重难题型探究题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ [分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式． [解析] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少10101x -⨯件，因此，每天的利润为810010()[)]0(1x x ---元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]x x ---≥⋅.[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接．例2 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[分析] 首先用变量x ，y 分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则9106683600407,x y x y x y x y N +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩即954300407,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩ [归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围． 【对点练习】❶ 用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于2110m ，靠墙的一边长为xm ，试用不等式表示其中的不等关系． [解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为xm ，而墙长为18m ，所以018x <≤，这时菜园的另一条边长为30(15)()22x xm -=-． 因此菜园面积(15)2x S x =⋅-，依题意有110S ≥， 即(15)1102x x -≥，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102x xx <≤⎧≥⎪⎨-⎪⎩ 题型二 比较实数的大小 例3 已知a ，b[解析] 方法一(作差法)：-=+==2=. ∵a ，b0>，20≥，20≥≥方法二(作商法)===11==≥.0>0>≥方法三(平方后作差)：∵222a b b a =+2∴222()()a b a bab +--=.∵0a >，0b >，∴2()()0a b a b ab+-≥.>0>≥[归纳提升] 比较大小的方法1．作差法的依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<. 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 2．作商法的依据：()0b ><时，1()a a b b >⇔><；1a a b b =⇔=；1()aa b b<⇔<>. 步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论． 注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a b >，b c >，则a c >，其中b 是a 与c 的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值． 【对点练习】❷ 当1x ≤时，比较33x 与231x x -+的大小． [解析] 3232()()()331331x x x x x x --+--=+231()()1x x x +=--231()()1x x =+-．因为1x ≤，所以10x ≤－， 而2310x +>.所以2()(10)31x x +-≤， 所以32331x x x ≤-+.第2课时 不等式性质 必备知识·探新知基础知识知识点1 不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性) 性质3 a b >⇒ ______________；(同加保序性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则)性质4 a b >，0c >⇒ __________，(乘正保序性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性)性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向相加保序性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(正数同向相乘保序性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(非负乘方保序性) 思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？ 提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向． (3)各个数均为正数． 基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a b >，则22ac bc >.( )(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (3)设a ，b R ∈ ，且a b >，则33a b >.( ) (4)若a c b d >＋＋，则a b >，c d >.( )[解析] (1)由不等式的性质，22ac bc a b >⇒>；反之，0c =时，a b >22ac bc >.(2)相乘需要看是否0a b c d >>⎧⎨>>⎩，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a =，5c =，6b =，2d =，满足a c b d >＋＋，但不满足a b >，故此说法错误． 2．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a c b d ->- B ．ac bd > C ．a c b d >＋＋ D ．a d b c >＋＋3．已知0a <，10b -<<，那么下列不等式成立的是( ) A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >> [解析] 由10b -<<，可得21b b <<， 又0a <，∴2ab ab a >>，故选D ． 4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果a b >，c d <，那么a c -______b d -； (2)如果0a b >>，0c d <<，那么ac ______bd ； (3)如果0a b >>，那么21a ______21b ； (4)如果0a bc >>>，那么c a ______cb. [解析] (1)∵c d ->-，∴c d ->-，∵a b >，∴a c b d ->-.(2)∵0c d <<，∴0c d ->->.∵0a b >>，∴ac bd ->-，∴ac bd <. (3)∵0a b >>，∴0ab >，10ab >，∴110a b ab ab>>， ∴110b a >>，∴2211()()b a >，即2211a b<. (4)∵0a b >>，所以10ab >，10ab >.于是11a b ab ab ⋅>⋅，即11b a>，即11a b <.∵0c >，∴c ca b<. 关键能力·攻重难题型探究例1 若0a b <<，则下列结论正确的是( ) A ．22a b < B ．2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc >[分析] 通过赋值可以排除A ，D ，根据不等式的性质可判断B ，C 正误．[解析] 若0a b <<，对于A 选项，当2a =-，1b =-时，不成立；对于B 选项，等价于a b >，故不成立；对于C 选项，110b a<<，故选项正确；对于D 选项，当0c =时，不正确．[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【对点练习】❶ 设a ，b 是非零实数，若a b <，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b < B ．22ab a b < C ．2211ab a b < D ．b aa b< [解析] 当0a <，0b >时，22a b <不一定成立，故A 错．因为22()ab a b ab b a =--，0b a ->，ab 符号不确定，故B 错.2222110a b ab a b a b --=<，所以2211ab a b<，故C 正确．D 中b a 与ab的大小不能确定． 题型二 利用不等式的性质证明不等式 例2设a b c >>，求证：111>0a b b c c a++---. [分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立． [证明] 因为a b c >>，所以c b ->-. 所以0a c a b ->->，所以11>>0a b a c--. 所以110a b c a+>--.又0b c ->， 所以10b c >-.所以1110a b b c c a++>---.[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷ 若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22>()()e ea cb d --. [证明] 因为0cd <<，所以0c d ->->. 又因为0a b >>，所以0a c b d ->->. 所以22()()0a c b d ->->.所以22110()()a c b d <>--.又因为0e <，所以22>()()e ea cb d --.题型三 利用不等式的性质求范围 例3 已知14x -<<,23y <<. (1)求x y -的取值范围． (2)求32x y ＋的取值范围．[解析] (1)因为14x -<<,23y <<， 所以32y -<-<-， 所以42x y -<-<.(2)由14x -<<,23y <<，得3312x -<<,426y <<， 所以13218x y <<＋.[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸ 已知1025m <<，3015n -<<-，求m n -与mn的取值范围． [解析] 因为3015n -<<-，所以1530n <-<，所以10152530m n <-<＋＋，即2555m n <-<.因为3015n -<<-，所以1111530n -<-<，所以1113015n <-<，又111<<3015n ，所以10253015m n <-<，即1533m n <-<. 所以5133m n -<<-. 误区警示错用同向不等式性质例4 已知1260a <<,1536b <<，ab的取值范围是_____________. [错解] ∵1260a <<,1536b <<，∴1260<<1536a b ， ∴45<<53a b .故填45<<53a b . [错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误． [正解] ∵1536b <<，∴1113615b <<，又1260a <<，∴12603615a b <<，∴ 143a b <<，故填143ab<<. [方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m )分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m )分别为a ，b ，c ，且a b c <<.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析] 方法一：因为x y z <<，a b c <<，所以0()()()()()ax by cz az by cx a x z c z x x z a c ++-++--=--=>＋， 故ax by cz az by cx ++>++；同理，0()()()()()ay bz cx ay bx cz b z x c x z x z c b ++-++--=--=<＋， 故ay bz cx ay bx cz ++<++.又0()()()()()az by cx ay bz cx a z y b y z a b z y ++-++--=--+<=，故az by cx ay bz cx ++<++.综上可得，最低的总费用为az by cx ++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x =，2y =，3z =，1a =，2b =，3c =，则14ax by cz ++＝，10az by cx ++＝，11ay bz cx ++＝，13ay bx cz ++＝.由此可知最低的总费用是az by cx ++.[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．。

等式性质与不等式性质第2课时教学设计一、内容和内容解析1.内容梳理等式性质及其蕴含的思想方法；不等式的基本性质及其研究方法；不等式的其他性质.2.内容解析等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类.从自身特性看, 包括“对称性”和“传递性”.“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系, 两者均是实数序的特征.从运算角度看, 有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性, 即等式两边同加或同乘同一个实数, 等式保持不变；也有其派生出来的在“乘方”“开方”等运算中的不变性.不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种.“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现.“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现.运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法”等运算，得出新的不等关系.由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异.实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位.利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质, 即以基本性质为理论依据, 以运算中的不变性和规律性为研究方向, 通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质.结合以上分析, 确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下, 类比等式基本性质, 探究不等式的基本性质.二、目标和目标解析1.目标（1）梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法, 即实数序关系的特性和运算中的不变性.（2）运用等式基本性质中蕴含的思想方法, 类比等式的基本性质研究不等式的基本性质, 掌握不等式的基本性质；体会“运算中的不变性”在研究不等式的基本性质中的“引路人”的作用, 发展学生逻辑推理素养.（3）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题, 发展学生逻辑推理素养.2.目标解析达成上述目标的标志是:（1）学生能够梳理出等式的基本性质, 并探究总结出等式的基本性质包含两个方面, 其一是实数序关系的特性, 即等式自身的特性, 包括“对称性”和“传递性”；其二是在加法、乘法运算中的不变性.（2）学生能够运用类比的方法, 从“实数序关系的特性（等式自身的特性）”和“运算中的不变性”两个方面, 猜想并证明不等式的基本性质, 并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异.（3）学生能从运算的角度出发, 猜测并进行证明不等式的一些常用性质（性质5, 6, 7）；并能说出为什么性质1—4称为“基本性质”.（4）学生能够分析简单不等式的证明思路, 利用不等式的性质证明简单的不等关系.三、教学问题诊断分析不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据, 以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提, 以类比等式的基本性质为方法展开的.学生虽然在初中阶段接触过一些内容, 然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的, 没能从根源上探索其成立的道理.高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维, 因此学生会有以下几个方面的困难.1.学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的, 但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考, 尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法, 总结每类性质的特点, 引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性.2.学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4, 而性质1和性质2学生认为是显然成立的, 学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时, 还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.3.学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用“分析法”进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.本节课的教学难点为：梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法, 猜想证明不等式的基本性质.四、教学过程设计（一）确定研究内容, 明确研究方法导入语: 同学们，通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？今天我们一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质.好！我们一起走进“等式性质与不等式性质”.设计意图: 此环节以单元教学理念为指导, 着眼于学生的最近发展区, 唤醒学生与所研究内容相关的认知。

【教学重难点】1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】多媒体【教学过程】第一课时教学设计一、情景引入，温故知新（一）情境导学1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m（含1.1 m）而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m时应买全价票。

每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。

从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。

师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（≥），小于或等于（≤），不等于（≠）。

老师总结板书：不等式的定义：用不等号（<，>，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2．师：两个指示标志分别表示什么意思？通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．5 3．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。

师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？ 生：师：不等关系用什么表示？ 生：不等式 （二）探索新知探究一 用不等式表示不等关系例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍。

试写出满足上述所有不等关系的不等式。

教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质教学设计一、教学目标1.了解不等式（组）的实际背景；2.了解不等式（组）的基本性质.二、教学重难点1.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，初步会比较两个代数式的大小.2.教学难点用不等式（组）正确表示出不等关系.三、教学过程（一）探究一：不等关系及其表示教师：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a ,b 是两个实数，那么a ≥b 即为a ＞b 或a ＝b ；a ≤b 即为a ＜b 或a ＝b .探究二：实数的大小比较性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变关于实数a ，b 大小的比较，有以下基本事实：如果a -b 是正数，那么a ＞b ；如果a -b 等于0，那么a ＝b ；如果a -b 是负数，那么a ＜b ，反过来也对.这个基本事实可以表示为0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 总结：1. 要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.2. 差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.探究三：一个重要不等式一般地，,a b R ∀∈，有a ²+b ²≥2ab当且仅当a ＝b 时，等号成立.事实上，利用完全平方差公式，得a ²+b ²-2ab =(a -b )².因为,a b R ∀∈，(a -b )² ≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ²+b ²-2ab ≥0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a ²+b ²≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.探究四：等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；（对称性）性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；（传递性）性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；（同加性，同减性）性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；（同乘性）性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a b c c=.（同除性） 探究五：不等式的性质类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即a b b a >⇔<.性质2 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c.即,a b b c a c >>⇒>.证明：由两个实数大小关系的基本事实知 0()()00.0a b a b a b b c a c a c b c b c >⇒->⎫⇒-+->⇒->⇒>⎬>⇒->⎭说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.例如：如果a ≥b 且b ＞c ，那么a ＞c ；如果a ＞b ，且b ≥c ，那么a ＞c .如果两个不等式都带有等号，即若a ≥b 且b ≥c ，则a ≥c ，其中a ＝c 时必须有a ＝b 且b ＝c ，否则a ＝c 不成立. 类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：性质3 如果a ＞b ，那么a +c ＞b +c .文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.性质4 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.性质5如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d.在根据性质2，即得a+c＞b+d.性质6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.性质7 如果a＞b＞0，那么a n＞b n（n∈N，n≥2）.说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.总结：（二）课堂练习1.若0a b>>,则下列不等式中一定成立的是( )A.11b ba a+>+B.11a ba b+>+ C.11a bb a+>+ D.22a b aa b b+>+答案：C解析：对于A，11(1)b b b aa a a a+--=++,因为0a b>>，所以0(1)b aa a-<+,即11b ba a+<+,故A错误；对于B ，取12a =,15b =,则1526125a b a b +=<=+,故B 错误； 对于C ，11()(1)a b ab a b b a ab -+⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭,因为0a b >>，所以()(1)0a b ab ab -+>,即11b b a >+,故C 正确；对于D,2()()2(2)a b a b a b a a b b b a b +-+-=++,因为0a b >>，所以()()0(2)b a b a b a b -+<+,故22a b a a b b +<+，故D 错误.2.若,,a b c ∈R ,a b >，则下列不等式恒成立的是( )A.22a b >B.||||a c b c >C.11a b <D.2211a b c c >++ 答案：D解析：A 项，当1a =，1b =-时，22a b =，所以错误；B 项，当0c =时，||||a c b c =，所以错误；C 项，当1a =，1b =-时，11a b >，所以错误; D 项，因为a b >，2101c >+，所以2211a b c c >++，所以正确. 3.已知a ,b 满足等式2220x a b =++,4(2)y b a =-,则x ,y 的大小关系是( )A.x y ≤B.x y ≥C.x y <D.x y > 答案：B解析：2222204(2)(2)(4)0x y a b b a a b -=++--=++-≥,即x y ≥.故选B.4.实数a ,b ,c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系式成立的是( )A.c b a ≥>B.c a b >>C.a c b >≥D.c a b >≥答案：A解析：因为221a a c b =+--,所以2(1)0a c b -=-≥,所以c b ≥,因为210a b ++=,所以21a b =--, 所以213024b a b ⎛⎫-=++> ⎪⎝⎭,所以b a >,所以c b a ≥>. （四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.不等关系的表示；3.一个重要的不等式；4.等式、不等式的性质.作业：四、板书设计2.1等式性质与不等式性质1不等关系及其表示.2实数比较大小.3一个重要不等式.4等式的性质.5不等式的性质.。

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质（第二课时）教学设计一、教学目标1.知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式。

2.过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。

3.情感态度与价值观通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣。

二、教学重难点1.教学重点掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式2.教学难点利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学过程ac=bc;性质5如果a=b,c≠0,那么。

2.探索新知类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 （对称性）性质2（传递性）接下来请你试证明性质2类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有哪些性质？性质3（可加性）这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所的不等式与原不等式同向。

性质4（可乘性）不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。

学生：由两个实数大小关系的基本事实可证学生利用数轴对得出结论加以证明，加深理解。

培养学生自主学习能力，灵活运用已学知识，体会证明的答题过程。

例1 已知求证. 证明：因为，所以ab>0,.于是，即.由c<0 ，得.根据已知的不等式的基本性质，你能猜想出不等式的基本性质还有哪些吗？性质 5 （同向可加性）性质6性质7（可乘方性）实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决问题的基本依据。

例2：已知x＞y＞z＞0，求证：.分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.证明：∵x＞y,∴x-y＞0. 让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。

等式性质与不等式性质【学习目标】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．【学习重难点】等式与不等式的性质。

【学习过程】一、自主学习知识点一：实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b>0c>d>0⇒ac>bd状元随笔（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b⇔a＋c>b＋c．（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．教材解难：教材P40思考等式有下面的基本性质：性质1：如果a＝b，那么b＝a；性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc．基础自测：1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（）A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（）A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N ．答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是（ ） A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x <a <0，不等号两边同时乘a ，则ax >a 2；不等号两边同时乘x ，则x 2>ax ，故x 2>ax >a 2．答案：B4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 解析：因为－1≤b ≤2，所以－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5，所以－1≤a －b ≤6． 答案：－1≤a －b ≤6 二、素养提升题型一：比较大小（教材P 38例1）例1：比较（x ＋2）（x ＋3）和（x ＋1）（x ＋4）的大小． 解析：因为（x ＋2）（x ＋3）－（x ＋1）（x ＋4） ＝（x 2＋5x ＋6）－（x 2＋5x ＋4） ＝2>0，所以（x ＋2）（x ＋3）>（x ＋1）（x ＋4）．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1：若f （x ）＝3x 2－x ＋1，g （x ）＝2x 2＋x －1，则f （x ）与g （x ）的大小关系是（ ）A ．f （x ）<g （x ）B ．f （x ）＝g （x ）C ．f （x ）>g （x ）D ．随x 值变化而变化解析：f （x ）－g （x ）＝（3x 2－x ＋1）－（2x 2＋x －1） ＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1>0， 所以f （x ）>g （x ）．故选C ． 答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小 题型二：不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断 例2：对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0． 其中正确的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc ．①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b ．②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2．③对．对于④，⎭⎬⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b ⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b ．④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b ⇒a >0，b <0．⑤对． 故选C ． 答案：C 方法归纳：（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2：（1）已知a <b ，那么下列式子中，错误的是（ ） A ．4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4（2）对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（ ） A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >bD．若a>b，则1 a< 1 b解析：（1）根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：（1）B；（2）C题型三：利用不等式性质求范围例3：已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1<a＋b<5；（3）依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；（4）由－2<a≤3得－4<2a≤6①，由1≤b<2得－6<－3b≤－3②，由①②得，－10<2a－3b≤3．状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳：利用不等式性质求范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3：已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，（1）求xy的取值范围；（2）求x－2y的取值范围．解析：（1）∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是（2，6）．（2）由（1）知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是（－5，－2）．状元随笔（1）根据不等式的性质6可直接求解；（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．三、学业达标（一）选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（ ） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －（4ab －b 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B ．答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a > c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bd D ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（ ） A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1． 又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A ． 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3．若1a <1b <0，则不正确的不等式的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．答案：C （二）填空题5．已知a ，b 均为实数，则（a ＋3）（a －5）________（a ＋2）（a －4）（填“>”“<”或“＝”）． 解析：因为（a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －15）－（a 2－2a －8）＝－7<0，所以（a ＋3）（a －5）<（a ＋2）（a －4）．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －（c －2b ）＝2b －2a ＝2（b －a ）<0． 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒ba <1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b －d ．其中错误的命题是________（填写相应序号）．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤ （三）解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－（2x 2－2x ）＝x 3－2x 2＋2x －1＝（x 3－x 2）－（x 2－2x ＋1）＝x 2（x －1）－（x －1）2＝（x －1）（x 2－x ＋1）＝（x －1）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以（x －1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，所以x 3－1<2x 2－2x ．9．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋dd ． 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，因为bd >0，所以a b ≤cd ，所以a b ＋1≤cd ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d ． 尖子生题库：10．设f （x ）＝ax 2＋bx ，1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4，求f （－2）的取值范围． 解析：方法一：设f （－2）＝mf （－1）＋nf （1）（m ，n 为待定系数）， 则4a －2b ＝m （a －b ）＋n （a ＋b ）＝（m ＋n ）a ＋（n －m ）b ， 于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1∴f （－2）＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4． ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]． 方法二：由⎩⎨⎧f －1＝a －b f1＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]b ＝12[f1－f－1]，∴f （－2）＝4a －2b ＝3f （－1）＋f （1）． 又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4， ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10， 故f （－2）的取值范围是[5，10]．。

高中数学的几个不等式教案
教学目标：
1. 了解不等式的基本概念与性质
2. 掌握解不等式的方法与技巧
3. 能够独立解决不等式问题
教学内容：
1. 不等式的定义及表示方法
2. 不等式的性质
3. 解不等式的方法
4. 不等式的应用
教学步骤：
1. 热身：利用简单的不等式练习引出不等式的概念
2. 导入：介绍不等式的定义及表示方法
3. 讲解：讲解不等式的性质，如加减乘除不等式、绝对值不等式等
4. 演示：演示解不等式的方法，如化简、整理、分析不等式中的关系等
5. 练习：让学生进行一些不等式练习，巩固所学知识
6. 拓展：引导学生探讨不等式的应用领域，如最值问题、应用题等
7. 总结：总结本节课的重点内容并布置作业
教学反馈：
1. 学生完成作业后，进行批改并给予反馈
2. 收集学生对不等式学习过程中的疑问，进行解答与指导
教学资源：
1. 教材：高中数学教材中的相关章节
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等
3. 练习册：针对不等式的练习题
教学评估：
1. 课堂学习表现评定
2. 作业完成情况评定
3. 学生解决不等式问题的能力评定
教学总结：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念与性质，掌握解不等式的方法与技巧，提高解决数学问题的能力。

同时，也对不等式的应用有一定的了解与认识。

2.1等式性质与不等式性质教学设计一、内容分析等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义．同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫．二、教学目标：1.会用不等式(组)来描述不等关系.2.会利用作差法比较数或式大小.3.掌握不等式的性质及不等式性质的简单应用.三、教学重难点：重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用难点：从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用四、教学过程复习回顾1.写出下列命题的否定：(1)∀x∈R,x2-2x+1≤0；(2)∃x∈R,x2+1<0.解：(1)否定：∃x∈R,x2-2x+1>0；(2)否定：∀x∈R,x2+1≥0.自学指导阅读课本37-41页，回答下列问题1.如何用不等式表示实际问题中不等关系？2.比较两个实数a，b大小的方法是什么？3.等式有哪些性质？4. 类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质，如何证明？教师点拨问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．解：对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h ,“限速40km/h ”就是v 的大小不能超过40，于是0<v ≤40；对于（2），由题意得{f ≥2.5%p ≥2.3%. 对于（3）设△ABC 的三条边为a,b,c ,则a +b >c,a −b <c对于（4）设C 是直线AB 外的任意一点，CD 垂直AB 于点D ，E 是直线AB 上不同于D 的任意一点，则CD<CE用不等式表示实际问题中不等关系的方法： 问题 2 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以销出8万本。

教学计划：《等式性质与不等式性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够准确理解并掌握等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性），能够运用这些性质进行简单的等式变形和不等式推导。

2.过程与方法：通过实例分析、逻辑推理和动手操作，培养学生的观察能力、分析能力和问题解决能力，同时引导学生学会归纳总结的学习方法。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和严谨的科学态度，感受数学在日常生活中的应用价值。

二、教学重点和难点●重点：等式的基本性质（反射性、对称性、传递性）和不等式的基本性质（加法性质、乘法性质、方向性）的理解与应用。

●难点：如何灵活运用不等式性质进行不等式推导，特别是涉及负数时乘法性质的方向性判断。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：以天平称重为例，引导学生思考天平平衡时两边重量相等（等式）和不平衡时一边重于另一边（不等式）的情况，引出等式与不等式的话题。

●提出问题：在等式中，我们可以做哪些操作而不改变其平衡状态？在不等式中，哪些操作会改变或保持其不平衡的方向？●明确目标：简要介绍本节课将要学习的等式与不等式的基本性质，并明确学习目标。

2. 讲解新知（15分钟）●等式性质：o反射性：以“我=你，则你也=我”为例，说明等式两边可以互换。

o对称性：通过具体等式展示，如“a=b，c=d，则a+c=b+d”，说明等式在相等关系下可以进行对称操作。

o传递性：利用“如果a=b，b=c，那么a=c”的逻辑链，强调等式的传递性质。

●不等式性质：o加法性质：以实际情境（如增加相同重量的物品）为例，说明不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变。

o乘法性质：分正数、负数两种情况讨论，通过实例展示（如放大或缩小比例），强调正数时方向不变，负数时方向反转。

o方向性：强调不等式总是指向较大的数，并通过实例加深理解。

3. 案例分析（10分钟）●精选例题：选取几道涉及等式与不等式性质应用的典型例题，逐步分析解题步骤和思路。

2.1 等式性质与不等式性质单元设计第2课时等式性质与不等式性质一.教学内容1.类比等式性质得不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.2.不等式基本性质的证明与应用二．教学目标1.通过了解等式的性质;掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．2.通过对不等式性质的证明，体会类比思想在数学中的应用，提升逻辑思维能力和数学思维的严密性.三．教学重难点1. 重点：不等式的基本性质2.难点：不等式性质的证明与综合应用四．教学过程设计问题1；如何求方程5x+4=0的解？解方程的理论依据是什么？学生演练：先将等式两边同时减4，得5x=−4,再将等式两边同时除以5，得x=−45,所以方程的解是x=−45.师：解方程的理论依据是等式的性质。

等式性质性质1 如果a=b,那么b=a.（对称性）性质2如果a=b，b=c,那么a=c.（传递性）性质3如果a=b,那么a±c=b±c.性质4如果a=b,那么ac=bc.性质5如果a=b,c≠0,那么ac =bc.性质3,4,5是等式对四则运算的不变性.【设计意图】通过解方程例子，自然而然引出等式的性质。

让学生思维有个过渡，为后面的类比思想作铺垫。

问题2 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗？并进行证明吗？师生活动：师;类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质：（1）如果甲同学比乙同学大，那么乙同学比甲同学小，对吗？（2）如果甲同学比乙同学大，且乙同学比丙同学大，那甲同学比丙同学大，对吗？（3）如果a>b，那么a＋c与b＋c的大小关系如何？ac与bc呢？（4）不等式还有哪些性质？生： (1), (2)对；（3）如果a>b，那么a＋c>b＋c.当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac<bc；当c＝0时，ac＝bc.不等式性质性质1 如果a>b,那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2 如果a>b,b>c，那么a>c.(传递性）符号表示：a>b,b>c⟹a>c.性质3 如果a>b，那么a+c>b+c.文字表示：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.移项法则：a+b>c⟹a>c−b.性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.文字表示：不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.性质5 如果a>b，c>d那么a+c>b+d.注意：同向不等式相加得同向不等式，并无相减。

等式性质与不等式性质（一）【整体感知】问题1：请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？师生活动：学生自主阅读后、讨论交流．预设的答案：1．本章主要研究的内容是方程和不等式，包括不等关系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通过回顾、梳理初中学习的等式内容，提炼出其中蕴含的思想方法，用一次函数的观点看一次方程、不等式中蕴含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有关问题．2．方程和不等式是重要的数学工具，可以解决数学内外的各种问题，为今后学习作工具上的准备，另外，用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法，体现了数学知识之间的联系性和整体性，为今后的学习作思想方法上的准备．设计意图：一章的起始课，首先要从整体上把握所学内容，让学生明确本章内容的地位、作用、内在联系及研究方法，有助于学生良好认知结构的建立和完善．引语：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，首先来学习等式性质和不等式性质．（板书：等式性质和不等式性质）【新知探究】任务一：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．预设的答案：（1）设速度为v km/h，则0＜v≤40；追问：如何解不等式①？解方程的依据是什么？类比解方程的依据，解不等式的依据是什么？师生活动：学生回忆初中解方程方法，教师引导学生得到解方程的依据为等式的性质．因些解不等式要用不等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质．设计意图：从实际情境出发，得到不等式，并通过将类比等式的解决，引出不等式性质研究的必要性．任务三：两个实数大小关系的基本事实问题4：若要研究不等式的性质，首先要用到两个实数大小关系的基本事实．如何比较两个式的大小关系呢？师生活动：让学生回忆初中两个数比较大小的方法，从而得出结论：0>-⇔>b a b a ；0=-⇔=b a b a ；0<-⇔<b a b a ．追问：这三条就是“两个实数大小关系的基本事实”．据此，要比较两个实数的大小，可以转化为什么运算完成？预设的答案：转化为减法运算，并将求得的结果与0比较．设计意图：学生通过回忆实数比较大小的方法，明确基本事实，了解把大小比较转化为数学运算的思路，提高学生的化归能力．例1 比较(x +2)(x +3)和(x +1)(x +4)大小．师生活动：学生独立完成之后展示交流．师生总结求解思路：将问题转化为两个多项式的差与0的大小．教师点拨：0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”．预设的答案：因为(x +2)(x +3)-(x +1)(x +4)=(x 2+5x +6)-(x 2+5x +4)=2＞0，所以(x +2)(x +3)＞(x +1)(x +4)．设计意图：两个实数大小关系的基本事实的初步应用，让学生体会作差比较法在比较大小中的作用．任务四：重要不等式的探究和证明问题5：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：首先让学生用四个全等的直角三角形拼接出图形，小组交流不同人的拼接图形中的不同，之后教师利用几何画板进行动态演示：改变直角三角形两直角边长，让学生直观感觉图形的变化．然后按照前面的程序，引入符号，比如用a，b表示直角三角形的两条直角边，寻找关系，写出不等式．然后以小组为单位合作探究，展示成果．预设方案1：学生已经发现重要不等式，让学生展示其发现过程．预设方案2：学生没有发现重要不等式，可以进一步启发．追问1：你能用字母表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？预设的答案：用a，b表示直角三角形的两条直角边，则直角三角形的面积为2ab，大正方形的面积为a2+b2．追问2：在变化过程中四个直角三角形的面积和大正方形面积之间存在着相等和不等关系，你能表示出来吗？师生活动：学生得到a2+b2＞2ab．教师进一步变化图形，引导学生观察当a=b时，小正方形的面积为0，这时a2+b2=2ab．综合两类情况，得到a2+b2≥2ab，当a=b且仅当时取等号．追问3：上述过程中，a，b为正数，如果a，b∈R，式子是否成立？为什么？师生活动：引导学生分析问题，回归到用“两个实数大小关系的基本事实”作差比较，并规范证明过程．证明：∵a2+b2-2ab=( a-b)2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．设计意图：对实际问题深入分析，发现不等关系，引入符号，表示不等关系，感受到由“形”到“数”的转换过程．利用软件演示图形的动态变化，感受图形从量变到质变的过程，培养学生直观想象素养．通过追问，让学生经历猜想到证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．对问题情境的分析中让学生感受数学文化的价值．【归纳小结】问题6：本节课我们主要学习了哪些知识，为什么要研究这些内容？研究这些内容有什么作用？师生活动：师生一起总结．预设的答案：。

第3讲等式性质与不等式性质1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．1．两个实数比较大小的基本事实－b >0⇔a □1>b ，－b ＝0⇔a □2＝b ，－b <0⇔a □3<b .(a ，b ∈R )2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c □4>b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c □5>b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac □6>bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac □7>bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n □8>b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方性：a >b >0⇒na □9>nb (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0，0<c <d ⇒a c >bd .2．有关分数的性质若a >b >0，m >0，则(1)b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；(2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a >b ⇔ac 2>bc 2.()(2)a ＝b ⇔ac ＝bc .()(3)若ab>1，则a >b .()(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．回源教材(1)(多选)下列命题为真命题的是()A ．若ac 2>bc 2，则a >bB ．若a >b >0，则a 2>b 2C ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2D ．若a <b <0，则1a >1b 解析：ABDC 中，若a ＝－2，b ＝－1，则a 2>ab >b 2，故C 错误．(2)设M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝2(x ＋y －1)，则M 与N 的大小关系为________．解析：M －N ＝x 2＋y 2＋1－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0.故M >N .答案：M >N(3)已知2<a <3，－2<b <－1，则2a －b 的取值范围是________．解析：由2<a <3，－2<b <－1得4<2a <6，1<－b <2，两式相加得5<2a －b <8.答案：(5，8)比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为()A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q解析：Bp －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·(1a－1b)＝（b2－a2）（b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.(2)若a>b>1，P＝a e b，Q＝b e a，则P，Q的大小关系是() A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定解析：C P，Q作商可得PQ＝a e bb e a＝e bbe aa，令f(x)＝e xx，则f′(x)＝e x（x－1）x2，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝e xx在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以e bb<e aa，又e bb>0，e aa>0，所以PQ＝e bbe aa<1，所以P<Q.反思感悟比较两个数(式)大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．训练1(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝NC ．M <ND ．不确定解析：A 因为M －N ＝(a 2－ab )－(ab －b 2)＝(a －b )2，又a ≠b ，所以(a －b )2>0，即M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．解析：e π·πe e e ·ππ＝e π－e ππ－e ＝(e π)π－e，又0<eπ<1，0<π－e<1，所以(e π)π－e<1，即e π·πe e e·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.答案：e π·πe <e e ·ππ不等式的基本性质例2(1)已知a <b <0，c <d <0，则下列不等式错误的是()A ．a ＋c <b ＋dB ．ac >bdC ．d a >ca D ．a 2>ab >b 2解析：C因为a <b <0，c <d <0，所以a ＋c <b ＋d ，故选项A 正确；因为－a >－b >0，－c >－d >0，所以ac >bd ，故选项B 正确；因为－c >－d >0，－1a >0，所以d a <ca，故选项C 错误；因为－a >－b >0，所以a 2>ab ，ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故选项D 正确．故选C ．(2)(多选)(2024·淄博实验中学期末)对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是()A ．若a >b ，则a >a ＋b 2>bB ．若a >b >0，则a >ab >bC ．若1a >1b ，则a >0，b <0D ．若a >b >0，c >0，则a b >a ＋cb ＋c 解析：ABD对于A ，∵a >b ，∴a －a ＋b 2＝a －b 2>0，a ＋b 2－b ＝a －b2>0，∴a>a＋b2>b，故A正确；对于B，∵a>b>0，∴aab＝ab>1，abb＝ab>1，∴a>ab>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足1a>1b，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴ab－a＋cb＋c＝a（b＋c）－b（a＋c）b（b＋c）＝c（a－b）b（b＋c）>0，即a b >a＋cb＋c，故D正确．故选ABD．反思感悟判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．训练2(1)(2024·昌平区质量检测)若a<b<0，c>d>0，则一定有()A．ac>bdB．ac<bdC．ad>bcD．ad<bc解析：D由题知a<b<0，c>d>0，则可取a＝－2，b＝－1，c＝2，d＝1，则a c＝－22＝－1，bd＝－11＝－1，故A错误，B错误；由a<b<0，得－a>－b>0，又c>d>0，则两式相乘得－ac>－bd，则不等式左右两边同时除以cd得－ad >－b c，再同时除以－1得ad<bc，故C错误，D正确．(2)已知a，b，c∈R，则下列说法正确的是() A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞b，则1a＜1 bC．若a＞b＞c＞0，则ab＜a＋c b＋cD．若a＞b＞c＞0，则ba－b＞c a－c解析：D对于A，若a＝1，b＝－2，则a2＝1<b2＝4，所以A错误；对于B，若a＝1，b＝－2，则1a＝1>1b＝－12，所以B错误；对于C，若a＝3，b＝2，c＝1，则ab＝32>a＋cb＋c＝43，所以C错误；对于D，因为a>b>c>0，所以a－c>a－b>0，所以1a－b>1a－c>0，所以ba－b>ca－c，所以D正确．故选D．不等式性质的应用例3已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，分别求a＋b，2a－b，ab，ab的取值范围．解：因为2<a<3，－2<b<－1，所以2＋(－2)<a＋b<3＋(－1)，即a＋b的取值范围是(0，2)．由4<2a<6，1<－b<2，得5<2a－b<8，所以2a－b的取值范围是(5，8)．由2<a<3，1<－b<2，得2<－ab<6，所以ab的取值范围是(－6，－2)．易知12<－1b<1，则1<－ab<3，所以ab的取值范围是(－3，－1)．反思感悟1．利用不等式性质求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．2．解题时应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．训练3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是()A．[－7，4]B．[－6，9]C．[6，9]D．[－2，8]解析：A因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知(x－1)2＞4，则2x＋1x的取值范围是________．解析：因为(x－1)2＞4，所以x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1.当x＞3时，0＜1x＜13，所以2x＋1x＝2＋1x∈(2，73)；当x＜－1时，－1＜1x＜0，所以2x＋1x＝2＋1x∈(1，2)．故2x＋1x的取值范围是(1，2)∪(2，73)．答案：(1，2)∪(2，73)限时规范训练(三)A级基础落实练1．(2024·延安部分学校联考)已知a>b，下列不等式一定成立的是()A．1a <1bB．ln(a－b)>0C．a2>b2D．a3>b3解析：D若a>0>b，则1a>1b，A不一定成立；因为a>b，所以a－b>0，所以ln(a－b)∈R，B不一定成立；若0>a>b，则a2<b2，C不一定成立；因为幂函数y ＝x3在R上单调递增，所以当a>b时一定有a3>b3，D一定成立．故选D．2．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝a＋b，N＝a＋b，则M与N的大小关系为()A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定解析：B M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2ab)＝－2ab<0，∴M<N.3．(2024·安阳期中)若a>b>0>c，则()A．(a－b)c>0B．ca >c bC．a－b>a－c D．1a＋c <1 b＋c解析：B对于A，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错误；对于B，由a>b>0得1a<1b，又c<0，所以ca>cb，故B正确；对于C，当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；对于D，当b＋c＝0时，1b＋c 没有意义，故D错误．故选B．4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是()A ．－2π<α－β<2πB ．0<α－β<2πC ．－2π<α－β<0D ．{0}解析：C∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.5．如果a ＜0，b ＞0，那么下列不等式中正确的是()A ．a 2＜b 2B ．－a ＜bC ．|a |＞|b |D ．1a ＜1b解析：D 对于A 和B ，若a ＝－2，b ＝1，则a 2＜b 2，－a ＜b 不成立，故AB 错误；对于C ，若a ＝－1，b ＝2，则|a |＞|b |不成立，故C 错误；对于D ，因为1a ＜0＜1b ，故D 正确．故选D ．6．已知P ＝a 2＋b 2＋1c 2＋c 2，Q ＝2a ＋2b ，则()A ．P ≤QB ．P ＝QC ．P ≥QD ．P ，Q 的大小无法确定解析：CP －Q ＝(a 2＋b 2＋1c 2＋c 2)－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1c)2≥0，所以P －Q ≥0，即P ≥Q .故选C ．7．(2023·咸阳中学第二次质检)“a >b ”的一个充分条件是()A ．e a －b >0B ．ln ab >0C ．a a >b bD ．1a <1b<0解析：D 对于A ，根据e a －b >0得a －b 为任意实数，故A 错误；对于B ，由ln a b >0＝ln 1，得ab>1，当a >0且b >0时，有a >b ；当a <0且b <0时，有a <b ，不满足题意，故B错误；对于C，因为a＝2>b＝1满足a a>b b，a＝－23<b＝1也满足a a>b b，不满足题意，故C错误；对于D，因为1a <1b<0，所以0>a>b，所以能推出a>b，满足题意，故D正确．故选D．8．已知－3<a<－2，3<b<4，则a2b的取值范围为()A．(1，3)B．(43，9 4 )C．(23，34)D．(12，1)解析：A因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，即14<1b<13，故a2b的取值范围为(1，3)．9．(多选)(2024·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是()A．a2>b2＋1B．2a>2b＋1C．a2>4b D．|ab | >b＋1解析：ABC对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，结合a2＞b2＋2|b|＋1，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，此时|ab|＝53<b＋1＝4，故D不一定成立．10．(2024·河北省级联测)已知a＝12e34，b＝e，c＝e＋12，则()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a解析：A因为2c－2b＝e－2e＋1＝(e－1)2>0，所以2c>2b，即c>b；又(2b)4－(2a)4＝16e2－e3＝e2(16－e)>0，所以(2b)4>(2a)4，又a，b均为正数，所以2b>2a，即b>a，所以a<b<c.故选A．11．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．解析：令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．答案：－3，－1，0(答案不唯一)12．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.答案：(2，10)B级能力提升练13．(多选)(2023·邵阳二中模拟)如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论一定正确的是()A．ab＞ac B．cb2＜ab2C．c(b－a)＞0D．ac(a－c)＜0解析：ACD由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.对于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正确．对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确．对于C，b－a＜0，c＜0，故c(b－a)＞0，故C正确．对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac(a－c)＜0，故D正确．故选ACD．14．(多选)(2023·衡水模拟)已知c5b＜c5a＜0，则下列不等式一定成立的有()A．ba＞1B．a－bc＜0C．ab＜a＋c2b＋c2D．bc＜ba解析：BD由c5b＜c5a＜0，得c≠0，当c＞0时，0＞1a＞1b，即a＜b＜0；当c＜0时，0＜1a＜1b，即a＞b＞0.综上，a＜b＜0＜c或a＞b＞0＞c，上述两种情况均可得0＜ba＜1，故A选项错误．当a＜b＜0＜c时，得a－bc＜0，当a＞b＞0＞c时，得a－bc＜0，故B选项正确．令a＝－1，b＝－12，c＝1，则ab＝2，a＋c2b＋c2＝0，从而得ab＞a＋c2b＋c2，故C选项错误．由上述论证可知bc＜0＜ba恒成立，故D正确．故选BD．15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则ca的取值范围是________．解析：因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，所以1>－a＋ca>ca，即1>－1－ca>ca，－1，2，解得－2<ca<－12.答案：(－2，－1 2 )16．(2024·湖州高三月考)已知a，b，c∈(0，＋∞)，若ca＋b <ab＋c<bc＋a，则a，b，c从小到大的顺序是________．解析：由ca＋b<ab＋c<bc＋a可得ca＋b＋1<ab＋c＋1<bc＋a＋1，即a＋b＋c a＋b <a＋b＋cb＋c<a＋b＋cc＋a a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c，由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c<a<b.答案：c<a<b。

高中数学《等式与不等式》教案一、教学目标1. 理解等式和不等式的概念及其特点；2. 掌握解一元一次方程和一元一次不等式的基本方法；3. 能应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 等式的概念和性质；2. 解一元一次方程的基本方法；3. 不等式的概念和性质；4. 解一元一次不等式的基本方法。

三、教学重点1. 掌握解一元一次方程的基本方法；2. 掌握解一元一次不等式的基本方法。

四、教学方法1. 讲授法：通过讲解等式和不等式的概念、性质以及解法，帮助学生理解和掌握知识；2. 案例分析法：通过实际问题的分析和解决，培养学生应用知识解决问题的能力；3. 练与讨论：通过课堂练和小组讨论，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

五、教学步骤1. 引入：- 通过一个生活实例引出等式和不等式的概念，并让学生思考其特点。

- 提出解决问题的需求，引发学生的研究兴趣。

2. 讲解：- 介绍等式的定义和性质，重点解释解方程的基本方法。

- 介绍不等式的定义和性质，重点解释解不等式的基本方法。

3. 实例分析：- 提供一些简单的方程和不等式实例，引导学生运用所学解法解决问题。

4. 练与讨论：- 布置一些练题，让学生独立完成并相互交流讨论。

- 对学生的答题情况进行点评和指导。

5. 总结：- 总结本节课的重点和要点，强调解方程和解不等式的基本方法。

- 鼓励学生对所学知识进行总结和归纳。

六、教学评价1. 观察学生在课堂上的参与情况和表现，包括回答问题的准确性和积极性。

2. 批改学生的课堂练和作业，评价他们对所学知识的掌握程度。

3. 针对学生的表现给予及时的反馈和指导，以促进他们的研究进步。

七、教学资源1. 教材：高中数学教材，包含《等式与不等式》单元。

2. 展示工具：黑板、白板、投影仪等。

3. 辅助资料：练册、教学PPT等。

八、教学延伸1. 鼓励学生通过做更多的练题来巩固所学知识。

2. 引导学生探索更复杂的方程和不等式的解法，培养他们的问题解决能力。

【新教材】2.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义•同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫课程目标1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题.2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小.3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法,将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

重点：掌握不等式性质及其应用.难点：不等式性质的应用.教学方法：以学生为主体，米用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系, 不超过或不少于等•举例说明生活中的相等关系和不等关系 •要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察•研探•二、 预习课本，弓I 入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1. 不等式的基本性质是？2. 比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3. 重要不等式是？4. 等式的基本性质？5. 类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究1、两个实数比较大小的方法?? ??> 0 ? ??>?? 作差法 {??■ ??= 0 ? ??= ???? ??< 0 ? ??<????> ?? 1 ? ??> ??作商法???? 1 ? ??= ????{ V { ??1 ? ??< ??2.不等式的基本性质对称性：a >b<^b<a 传递性：>⅛⅛⅛g=>tf>C ② 、α?乩I € R . a÷c>b÷c （可加性） ③ 、a>br g>θ>那么ac>b ς3 I 町乘性』a>b> XQ 那么ac<bc④ ,a >b>O∏ £' a a 0 那么* jc>bd f 集法法则） 近、a>b>0τ那么日心帆〔条件A 詁卫兰2丄（乘厅杵）⑥、3>b>0 φ么 诉A 诉（亲H√旦匕空J （开方性）3.重要不等式-⅛⅛的”0ct,h 皂 Rr ⅛ + ⅛2≥ 2abUlL 仅F c7 = b I 忖”"股；成此/ + b2一⅛⅛的，Pa 、b w R 、⅛ ab<——-——例如多与少、大与小、长与短、轻与重、沟M仅当a = h时.等号成四、典例分析、举一反三 题型一不等式性质应用例1判断下列命题是否正确题型二 比较大小例 2(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知 a > b > 0, c > 0,求 C > C 。

不等式高中数学教案教学目标：1. 能够理解不等式的概念和性质。

2. 能够解决简单的一元不等式。

3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：重点：不等式的概念和性质，一元不等式的解法。

难点：应用不等式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT课件，包括不等式的定义、性质和解法。

2. 打印不等式练习题目，用于课堂练习。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线性方程的解法，了解不等式的概念。

2. 提出一个简单的不等式问题，让学生思考如何解决。

二、讲解不等式的定义和性质（15分钟）1. 介绍不等式的定义，即含有不等号的等式。

2. 讲解不等式的性质，包括可加性、可乘性和转化性等。

三、解决一元不等式（20分钟）1. 讲解一元不等式的解法，包括加减法解法、乘除法解法和开平方解法。

2. 给学生提供几个简单的一元不等式练习题目，让他们尝试解答。

四、应用不等式解决实际问题（15分钟）1. 引导学生思考如何应用不等式解决实际问题，例如长度、面积和体积等问题。

2. 给学生一个实际问题案例，让他们运用所学知识进行解答。

五、总结复习（5分钟）1. 通过回顾本节课的内容，强化学生对不等式的理解和运用能力。

2. 鼓励学生积极思考和练习不等式相关的题目，提高解决问题的能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的概念和性质，能够解决简单的一元不等式，并能够应用不等式解决实际问题。

在接下来的教学中，需要继续强化学生对不等式知识的理解和应用能力，提高他们的数学思维和解决问题的能力。

《2.1 等式性质与不等式性质》◆教学目标1、知识与技能（1）能用不等式(组)表示实际问题的不等关系；（2）初步学会作差法比较两实数的大小；（3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.2、过程与方法使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系.3、情感态度与价值观通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量.◆教学重难点◆【教学重点】能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，会作差法比较两实数的大小，通过类比法，掌握不等式的基本性质.【教学难点】运用不等式性质解决有关问题.◆教学过程（一）新课导入用不等式(组)表示不等关系中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ).12v v v ≤<（二）新课讲授问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km /h ；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40.对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.2.5%2.3%f p ≥⎧⎨≥⎩ 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c .对于（4），如图2.1-1，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE .以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图2.1-1接着，就可以用不等式研究相应的问题了问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？解：提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20. ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a ，b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A ，B .那么，当点A 在点B 的左边时，a ＜b ；当点A 在点B 的右边时，a ＞b .探究一：比较两个数(式)的大小的方法:我们用数学符号“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.判断两个数(式)的大小的依据是:( 作差法)a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.（三）例题探究例1 比较（x +2）（x +3）和（x +1）（x +4）的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。