2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 一、设函数()f x 在∞∞（-,+）持续，其2阶导函数()f x ''的图形如以下图所示，那么曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的概念 【难易度】★★【详解】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，而且在这点的左右双侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，应选(C). 二、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，那么（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===-（C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】211,23x xe e -为齐次方程的解，因此二、1为特点方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=⨯=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-3、假设级数1n n a ∞=∑条件收敛，那么x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B)【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为1n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()11nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，进而得()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故()11n n n na x ∞=-∑的收敛区间仍为()0,2，因此x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的收敛点、发散点.4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上持续，那么(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★【详解】由y x =得，4πθ=；由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==因此34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰五、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，假设集合{1,2}Ω=，那么线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =六、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，假设132(,,)Q e e e =-，那么123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 【答案】(A)【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，应选(A)7、若,A B 为任意两个随机事件，那么（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥)(2)()(AB P B P A P ≥+∴ ()()()2P A P B P AB +∴≤应选（C ）八、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5 【答案】(D) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】()()()()()()()()()22222225E X X Y E X XY X E X E XY E X D X EX E X E Y E X ⎡⎤+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++-=二、填空题：9～14小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 九、20ln cos limx x x→=【答案】12-【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】2222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰【答案】24π【考点】积分的计算 【难易度】★★【详解】2220-2sin ()21cos 4x x dx xdx xππππ+==+⎰⎰ 1一、假设函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确信，那么(0,1)dz =.【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，那么1sin x F yz x '=+-，y F xz '=，z F xy '=，又当0,1x y ==时，0z =，因此(0,1)1x z F z x F '∂=-=-'∂，(0,1)0y z F zy F '∂=-='∂，因此(0,1)dz dx =-1二、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，那么(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=【答案】14【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6zdx dydz Wòòò=6zdz 01òdx dyD zòò其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面，其面积为121-z ()2.因此 x +2y +3z ()dx dydz Wòòò=6z dx dydz Wòòò=6z ×121-z ()2dz =01ò3z 3-2z 2+z ()dz =01ò1413、n 阶行列式2002-120202200-12=【答案】122n +- 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得=2n +1-214、设二维随机变量(,)X Y 服从正态散布(1,0,1,1,0)N ，那么(0)P XY Y -<=.【答案】12【考点】【难易度】★★ 【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<}{}{10,0100P X Y P X Y =-<>+-><，1111122222=⨯+⨯=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.1五、（此题总分值10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，假设()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。
