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结构力学 虚功原理

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《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(1)

《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(1)
无应变 A 有应变 B
结构的位移与内部应变： 结构的位移与内部应变：
c c′
t1
t 2 > t1
无应变
∆ BV
∆BH
位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。 位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。
3、虚力原理 —— 虚设力系求刚体体系位移 、
c1
C A B b 1 A C B
∆=?
4、支座移动时静定结构的位移计算 、
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。代入 1 ⋅ ∆ + 得到支座移动时的位移计算公式： 得到支座移动时的位移计算公式：∆ ic 支座移动时的位移计算公式
= −∑ FR K CK
β
2l 3
∑F
Rk
Ck = 0
cA
A
B
C
ds = κ ⋅ ds R
dη = γ o ⋅ ds
d∆ = ∆ M + ∆ N + ∆ Q = M dθ + F N dλ + F Q dη
d∆ = Mdθ + F N dλ + F Q dη
或
d∆ = ( M ⋅ κ + F N ⋅ ε + F Q ⋅ γ o )ds
i
α
3、结构位移计算的一般公式 、
l 3
D
l
B A
1 3
∆c
1
已知位移 c A ，求： ⑴ C点的竖向位移 ∆ c 点的竖向位移 ⑵ 杆CD的转角 β 的转角 1 (1) 1 ⋅ ∆ c − ⋅ cD = 0 3
D
2 3
C 1 C D 3 2l
B A

结构力学虚功原理最小势能原理解题示例

结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
则外力虚功为：
虚应变能为：
由虚功原理，有： ，即：
故梁的位移为：
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学<静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
图2.2
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
<力的边界条件）
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
又：
【 】
由于变分可取任意值，故有：
所以：
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。DXDiTa9E3d
例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
图2.3
解：令在外载荷P作用下，梁的转角为 ，则各杆的变形为：
给梁施加一个虚位移：
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度 ，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度 ，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为 ，应变 ，弯曲应力为 ，因此，等截面梁的弯曲应变能为： 】p1EanqFDPw
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)

局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32

虚功原理

虚功原理

力所作的变形虚功总和。即：
W=Ｖ
称为虚功方程，式中：
W ——外力虚功 Ｖ ——内力虚功（虚应变能）
对于杆件结构虚功原理
对于直杆构成的结构
杆件的虚功方程
虚功原理的两种用法
1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。
三、单位荷载法
P1
t1
P2 t2
K
ΔKH
需首先虚拟力状态
在欲求位移处沿所求位移方向 加上相应的广义单位力P=1. 一个体系，两种状态
K‘ Ε2γ2κ2 位移状态 2 c2 c1
实际位移状态 虚拟力状态
W = 1D R1c1 R2c2
虚功
一般可写为： W = D Rc
V = M d FN du FQ dv
t t B β ΔB Δ B m P
Δ
B
5）两种情况的功 广义力是等值、反 向的一对力F
W = F D A F DB = F (D A DB )
桁架结构，在C、D上 作用与杆垂直的等值反 向的两个力F
DC D D W = F D C F D D = F (D C D D ) = F d
பைடு நூலகம்作业情况
一、桁架的内力标注在图上。
二、隔离体要画出。 用1-1截面将其断开……完了？？？ 应说明取那边为隔离体，并将隔离体 要画出。 三、桁架的内力+、-号代表 拉、压，仍有同学出错。 四、右面隔离体能计算出 FN1、FN2、FN3、FN4吗？

结构力学(力法、虚功原理)

结构力学(力法、虚功原理)
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X2 5 FP X1 4 F P 0 X 仅与刚 1 6 4 96 11 度相对 X 5 X F 3 F 2 P 1 P 0 X 值有关 2 4 6 16 88
假如：
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系
FP
δ11 X 1 12 X 2 1 P 0 由 δ 21 X 1 22 X 2 2 P 0
求得：X1 0 , X 2 0 (×)
可证：平衡条件均能满足。 但：
M 图
FPa
Bx 1 P 0 , By 2 P 0
问题：若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构，本题 应如何考虑？
FP
FP
基 本 体 系
解：力法方程的实质为：“ 3、4两结点的 相对位移 34 等于所拆除杆的拉（压 ）变形 l 34” 互乘求Δ 1P
FP FP FP
FP=P
自乘求δ
FNP 图
11
FN1
或互乘求δ
11X1
1 2 2 34 11 X 1 1P [( 2a 4 EA 2 2 1 1 1 FP 2a 2 ) X 1 2a 2] 2 2 2 2
4 FP X 1 11 X 2 3 FP 88

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
Page 15
14:26
LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评

结构力学 9虚功原理和结构的位移计算

Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3：求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形（分段+叠加） a、梯形相乘（分段+叠加）
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘（分段+叠加）
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘（分段+叠加）
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA

第四章 虚功原理

（1）解除约束代之以约束力，建立静力状态（k）； （2）沿所求约束力的方向给以单位位移，建立协调的位移状态（m）； （3）用“m”状态考察“k”状态的平衡条件，建立虚功方程，求解未知力。
结构力学
第4章 虚功原理
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD 和M E。
q=F/ 2a E a B a F
解： 1、解除D支座约束代之以FRD作用，
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
1
s s
ρm
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
ρm
ds
FQk FQm FNk FNm M M = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ k m ds s s s EA GA EI
结构力学
第4章 虚功原理
1、虚功互等定理
Fk km FQk FQm FNk FNm MkMm = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ ds s s s EA GA EI
Mk Mk
FNk
FNk
FQ k FQ k
FQ k
FQ k
ρm
ρm
dθm
dθm
γmds
ds
εmd s

结构力学第5章虚功原理与结构位移计算3ppt课件

第五章
虚功原理与结构位移 计算
⊿=
1 EI
A xC tana
xC tana=yC
⊿=∫(M MP /EI)ds=
1 EI
·A·yC
由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于MP图的面积A乘其形心所对应M 图上的竖标yC，再除以EI。
正负号规定：
A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。
=(l2/8×5/6×FP l)/EI
• =5FP l3/48EI (↓)
FP
⊿CV
l/2
l/2
FP
AP
1 l/6
FP l MP
l/2 M
• (2)、讨论
• 若：
• AP=1/2×FPl×l=Pl2/2
• yC=1/3×l/2=l/6
• ⊿CV=AP·yC /EI
•
=(FPl2/2×l/6)/EI
yC2 d M
MP=MP’+MP’’
⊿=(1/EI)∫MMPds
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
MP’
D
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
D
C2
b MP’’ B
⊿=
l (2ac+2bd+ab+bc) 6EI
C
a C1 A
c
yC1
l a C1
• (2)、左图也可分为两个
+FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
1
l/2
例:
图示刚架，用 图乘法求B端转角 θB ; CB杆中点D的
竖向线位移⊿DV。
各杆EI=常数。
60kN 12kN

结构力学(龙驭球)第5章_虚功原理与结构位移计算

--------变形体体系位移计算 （3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个 微段都产生变形）而引起的位移。
--------叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位 移计算公式
结构力学
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
计算结构位移的思路：
（1）化整为零：局部变形引起的位移。
（2）积零为整：叠加原理
M A A M BB 1 1 ( A B )
M A M B 1 --- 一对单位力偶 Δ=θA+ θ B--- A、B点左右两侧截面间的相对转角
广义力：与广义位移相对应的荷载
结构力学
广义位移和广义力
广义力和广义位移
P
A
BP
PP AB
MM
1 A
2 B
2 B A 1
3 令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功动时的 位移计算公式
计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。
结构力学
支座移动时的位移计算
例 确定B支座的水平位移和B截面的转角
B
B
(
A
)
l
a
h
河南理工大学
结构力学
支座移动时的位移计算
确定B支座的水平位移
B
A FN d FQd M d

FN
FN P ds EA
叠加法： d Md FN d FQd
结构力学
§5-2 结构位移计算的一般公式
（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移 d, d, d 求A点位移。
叠加法： d Md FNd FQd
d ds d 0ds d ds kds
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W （外力虚功） ＝（内力虚功）U ，称为虚功原理。
实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
1 A y C 求位移。 EI
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B EI l C
q A l
1 2 ql 2
1 2 ql 8
B EI l
C
MP图
2l l
M图
P 1
Cy
1 l ql 2 5l 2l ql 2 3l ( ) EI 2 2 3 3 8 2 7ql 4 24EI
y
MP
C
A
dx yC
MP图 B
M图
MM
A
B
P
dx
A yC
A — MP图的面积
tg A xC

B
A
xtgM P dx

o
x xC
M
A
B
x
yC — MP图形心所对 M 图的竖距
于是虚功原理 可写作：
1 A yC EI
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
⑵ yC所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线，需 分段图乘，并取和。 C2 A2
1 A yC EI
C1 A1
C3 A3

y1
y2
y3
1 ( A1 y1 A2 y 2 ) EI
ql2 h 8
常用图形的面积和形心位置： C h h C C
l/2 l/2 A=lh
l/3 2l/3 A=lh/2
MP(x1)
q x2
x1
M ( x1 ) 1
M ( x1 )
x1
m=1
M ( x2 )
l
x2
m=1 l
1 2 MP(x2)= qx 2 2
1 1 C M M P dx EI EI
l
M ( x2 ) 1
1 2 ql3 0 2 qx 2 dx 2 6 EI
2．图乘法 积分 M M P dx 可用几何法（图乘法）求之。
l
M ( x2 ) x2 l
7ql4 1 2 0 2 qx 2 ( x2 l )dx 2 24EI
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B x2 EI l
x1
C
A l
x2
B l
x1 C m=1
MP(x1)=0
MP(x2)
第七章 静定结构位移计算 · 虚功原理
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
1
M图
1 l ql 2 2l ql 2 C ( ) 1 EI 2 2 3 8 ql 3 m 1 6 EI
【例7－4】用虚功原理求图示刚架C端的水平位移△Cx和转角θC 。
B EI C
q
EI A
l
ql2/2 ql2/2 ql2/8 l l
l
P 1
m 1
1
MP图
M图
M图
1 l ql 2 2l 2l ql 2 l 3ql 4 Cx ( 2 ) EI 2 2 3 3 8 2 8EI 1 l ql 2 1 ql 3 C ( ) EI 2 2 3 12EI
N P dx kQ dx M dx N Q P M P EI EA GA
由虚功原理 W ＝ U 得位移计算的一般公式
NNP k QQP MMP dx dx dx EA GA EI
M N 、Q 、 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩；
NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。 二、静定梁、刚架的位移计算 1．积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚 功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：
MM P dx EI
等截面杆可写作：
1 M M P dx EI
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B x2 EI l
x1
C
A l
x2
B l
P 1
x1 C
P 1
MP(x1)=0
MP(x2)
MP(x1)
q x2
x1
M ( x1 ) x1
M ( x1 )
x1
P 1
M ( x2 )
l
x2
l
1 2 MP(x2)= qx 2 2
Cy 1 1 M M P dx EI EI
0
a
杆长 a
BF
2a
2a
1 2a a
1 2a a
2 2 2 1 1 1 P P ( P 2a P a ) ( 2 ) 0.914 EA 2 2a 2 2a 2 EA EA
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
B
D
B
P 1
D
B
a
【例7－5】用虚功原理求图示桁架BC杆转角θC ，各杆EA为常数。 1 D E F D E F P a
A C B
A
a
a
C
B
1 a
杆件 DE EF
NP -P 0
1 a a
AD
0
AE
2 P 2 2 2a
CE
0

BE
2 P 2
BF
0
AC
1 P 2
CB
1 P 2
N
0
0
a
0
a
2 2a
三、静定桁架的位移计算 桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为：
N N Pl EA
N 为单位荷载下各杆轴力，NP为实际荷载下各杆轴力，l为杆长。
桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。
P
C
图示桁架
A
a
D
B
a
a
求△Cx
P 1
A D C A
求△Dy
C A
求θ
BC
C
P
1 2a P 1 2a
3．虚功的计算 ⑴外力虚功的计算： W 1 ⑵内力虚功的计算： 虚拟力状态
N N
Q
Q
M
M
dx
dx
dx
实际位移状态
d
d
N dx
N d(△l)
Q dx
Q
M
M
dx
虚拟力状态
N NΒιβλιοθήκη QQMM
dx 实际位移状态
dx
d
dx
d
NP
dx
NP
d(△l)
QP
dx
QP MP
dx
MP
内力虚功： U N d (l ) Qd M d