中职数学平面向量教案

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1. 向量的概念

把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如a,b,c,...等．

如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．

向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a|,|b|,|c|,...或|a|,|b|,|c|,...．

特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．

为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量

表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示

了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量

的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标

出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB,CD,11CB等表

示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB|,|CD|,|11CB|．

由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．

例1 设矩形ABCD的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？

课内练习1

1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ c a

图7-2(1) b

D C

图7-2(2) B

A B1 C1 精品

可编辑 2. 向量的比较

(1)向量相等

任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(ab)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(ab)．在例1中的相等向量有且仅有

AB=DC, BA=CD, BC=AD, CB=DA，

更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．

若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．

例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．

(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；

(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？

(2)相反向量

对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：

AB=-BA, BC=-CB, DC=-CD, DA=-AD, AC=-,CA, BD=-DB．

例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从精品

可编辑 C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、四次位移．

(3)平行向量

若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．

规定零向量平行于任意向量.

根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．

例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．

课内练习2

1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？

2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？

3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在

物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物

体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理

的解释．

第3题图 W F1 F

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(1)向量的加法运算

向量加法运算的法则．

向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：把b的始点移到a的终点后、从a的始点连到b的终点．记作

c=a+b．

与数量相加一样，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量．

在a,b不平行的情况下，c是重合a,b的始

点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量，

其指向与a,b同侧(平行四边形法则，见图9-9(1))；

也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的

第三边向量(三角形法则，见图9-9(2))．对于三角形

法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连．

例4 用两种方法作出图9-10(1)中向量a,b

的和向量c．

解 (1)按平行四边形法则，把的始

点移到同一点构成一个以为相邻边的平

行四边形，对角线向量即为和向量c．

(见图9-10(2))

(2)移b的始点到a的终点，从a的

始点连向b的终点的向量即为和向量c(见图9-10(3))．

例5 (1)若b=-a，求c=a+b；

(2)若a,b平行，求c=a+b．

例6 已知向量a,b, c, d如图9-

12，求f=a+b+c+d．

解 逐次应用向量加法的法则——

移加向量的始点到被加向量的终点，从图9-9(1) c

a b

图9-9(2) c a b

图9-10(3) a b

b

c 图9-10(2) c

a b

图9-10(1)

图9-12 a b

d c

a b c d

f 精品

可编辑 被加向量的始点连向加向量的终点，得

到和向量f如图9-12所示，其中虚线表

示的向量，从左向右依次是a+b, a+b+c．

课内练习3

1. 请举一个向量相加的实际问题．

2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？

3. a+(-a)=0，因此|a|+|-a|=0，这个结论正确吗？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？

4. 矩形ABCD如图，试求

AB+BC,BC+AB,BA+BC,BA+CB

得到的和向量之间有哪些关系？

5. 矩形ABCD如第4题，求

(AB+BC)+CD,AB+(BC+CD),AB+BC+DC,BA+BC+DA．

得到的和向量之间有哪些关系？

数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律(a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c))，向量的加法运算同样满足交换律和结合律

a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，

(2)向量的减法运算

如同数量a,b相减a-b，是被加数a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a,b相减a-b，实际上是向量a与向量b的相反向量-b相加，即a+(-b)．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-

13(1)中是已知向量a,b；图9-13(2)

显示了a+(-b)；图9-13(2)显示了

a-b的直接运算法则，法则的文字

表述是：a-b的结果是一个向量c，

把a,b的始点移到同一点，从b的终点连向a的终点的向量就是c(三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．第4题图 A B

C D

图9-13(1) a b

图9-13(2) -b a

-b

a c

图9-13(3) a

b c 精品

可编辑 记作 c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．

例7 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使CA是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？

例8

在ABC中，若边向量为AB,AC,BC，求

(1)a=AB+BC+AC；(2)求b=AB-BC-AC． 课内练习4

1. 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？

2. 在矩形ABCD中的边向量为AB,BC,CD，求 (1)a=AB-BC；(2)b=BC-AB；(3)c=CD-BC；(4)d=AB-BC- CD．

因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如

a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c)．

(3)向量的数乘运算

在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=AC+AC,b=CB+CB这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2AC,

b=2CB呢？这完全取决与如何规定2AC,2CB的含义，若规定它们的含义确实与AC+AC,CB+CB相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：

一个实数乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模||倍，即

|b|=|||a|；

b的方向当>0时与a的方向相同，当<0时与a的方向相反．记作

b=a 或 b=a，

把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．

根据向量数乘运算的这种规定，立即可知

-a=-1a，a+a=2a，-a-a=-2a．